高三數(shù)學(xué)下冊(cè)三角函數(shù)學(xué)習(xí)要點(diǎn)

11/11高三數(shù)學(xué)下冊(cè)三角函數(shù)學(xué)習(xí)要點(diǎn)2019數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的根底,以下是查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)為大家整理的高三數(shù)學(xué)下冊(cè)三角函數(shù)學(xué)習(xí)要點(diǎn),希望可以解決您所遇到的相關(guān)問題,加油,查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)一直陪伴您。一、函數(shù)學(xué)習(xí)的幾個(gè)步驟先送小詩一首學(xué)函數(shù)函數(shù)函數(shù)定義鋪路,式子擺出,再限制參數(shù),定義域優(yōu)先,值域斷后,圖像是小名,性質(zhì)是輔助,拓展要灑脫,應(yīng)用要把握好步驟,學(xué)吧,學(xué)吧,請(qǐng)走出自己的路。1、學(xué)習(xí)某個(gè)函數(shù)肯定是先學(xué)習(xí)定義,而定義一般是用函數(shù)式來定義的,并且定義式中的參數(shù)一般會(huì)有一定的限制。如：一次函數(shù)y=ax+b,a不為0。2、定義域優(yōu)先應(yīng)該說所有的老師都明白,但是應(yīng)用的時(shí)候就可能會(huì)忘記,事實(shí)上在方程與不等式的研究中也應(yīng)該有定義域優(yōu)先的原那么。缺少了定義域就不是完整的函數(shù)的定義了。而函數(shù)的值域是由解析式與定義域唯一確定的,所以一般不寫。但它是研究的重點(diǎn),研究的方法也非常多,并且不同的函數(shù)研究的方法不一樣。3、圖像也是表示函數(shù)的一種方式,它直觀,用其研究性質(zhì)或是直接解題會(huì)很方便。性質(zhì)只是對(duì)函數(shù)的一種深入思考,研究時(shí)不能受到局限。4、拓展包括定義與性質(zhì),比方研究參數(shù)對(duì)函數(shù)的影響,值域中要研究最大最小值,奇偶性應(yīng)該研究其它的對(duì)稱性等;函數(shù)應(yīng)用題的思考步驟應(yīng)該是：?是自變量,?是函數(shù),什么關(guān)系?,定義域怎么樣?,5、談?wù)労瘮?shù)定義中的參數(shù)對(duì)單調(diào)性的影響各位朋友有沒有注意到這一點(diǎn)：函數(shù)定義中的參數(shù)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性產(chǎn)生直接的影響(1)一次函數(shù)：a0時(shí),單調(diào)增;a0時(shí),單調(diào)減;(2)二次函數(shù)：a0時(shí),減后增;a0時(shí),增后減;(3)三次函數(shù)：a0時(shí),一直增或是增減增;a0時(shí),一直減或是減增減;(4)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)：當(dāng)0二、三角函數(shù)學(xué)習(xí)的序曲再送小詩一首推廣角角角角,銳角直角加鈍角,皆為圖形角;有始有終旋轉(zhuǎn)角,有逆有順任意角,放入直角坐標(biāo)后,終邊確定解析角;銳角鈍角是單區(qū)角,象限角為多區(qū)角,直角只是一個(gè)角,象限間角是多個(gè)角;角角角,用度做單位太蹩腳,改用弧度才真正吹起函數(shù)的號(hào)角。1、用平面內(nèi)從一點(diǎn)發(fā)出的兩條射線所構(gòu)成的圖形來定義角,是中學(xué)生最先學(xué)到的角的概念,這種定義下的角叫圖形角;2、由平面內(nèi)的一條確定的射線繞起點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的角,定義為旋轉(zhuǎn)角,開始的射線為角的始邊,終止的位置射線為終邊,旋轉(zhuǎn)角的范圍可以到達(dá)一周;3、把上述的逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角定義為正角,順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而形成的角定義為負(fù)角,轉(zhuǎn)過的度數(shù)定義為角的大小,此時(shí)的角為任意角;4、為了研究三角函數(shù)我們使任意角的始邊與x的非負(fù)半軸重合,這樣被確定的角我們(也許只有我自己)把它叫做解析角。此時(shí)一個(gè)終邊可以確定無限多個(gè)任意角;5、用弧的長(zhǎng)度與對(duì)應(yīng)圓的半徑的比值來度量角,就是我們引入的弧度制,所以弧度就是用弧來度量的意思;6、省略了角的弧度這個(gè)單位之后,角的大小就與實(shí)數(shù)產(chǎn)生了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,這為研究三角函數(shù)提供了必要的前提條件;7、角的再開展當(dāng)角在平面上感覺有點(diǎn)郁悶的時(shí)候,它就開始了新的旅程：(1)異面直線所成的角;(2)斜線與平面所成的角;(3)二面角;三、表示法中的過渡一般來說,我們表示函數(shù)習(xí)慣于用y=f(x)表示,其中x表示自變量,y表示函數(shù),f表示對(duì)應(yīng)關(guān)系。那么我們有沒有注意到,學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過程中：1、初中就學(xué)習(xí)了三角函數(shù),但是沒有說什么是自變量,什么是函數(shù)。只是在直角三角形中,定義了銳角a的正弦、余弦、正切。2、高中把角推廣到任意角之后,給出三角函數(shù)的定義時(shí),使用的角仍然為a,只是定義用解析角的終邊上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)和該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離來定義(特別地,也可用終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)定義),知道這是為什么嗎?3、在研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的時(shí)候,才把正弦函數(shù)的解析式寫成y=sinx,余弦寫為y=cosx教學(xué)中,千萬不要忽略這一點(diǎn),教材這樣處理是有它自已的道理的。四、幾個(gè)定義的對(duì)照1、初中學(xué)習(xí)了在直角三角形中定義銳角的三角函數(shù),定義過程沒有任何理由,利用定義可以根據(jù)兩個(gè)特殊三角形記憶三個(gè)特殊角的三角函數(shù)值;2、在直角坐標(biāo)系中,用角的終邊與單位圓的交點(diǎn)縱坐標(biāo)定義正弦,用橫坐標(biāo)定義角的余弦,,利用這個(gè)公式容易證明同角關(guān)系式,容易看出不同象限角的各個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào),也容易得到相關(guān)的誘導(dǎo)公式;3、單位圓中的三角函數(shù)線也是三角函數(shù)的定義,只不過是用有向線段的數(shù)量來定義的,利用這個(gè)定義容易畫出三角函數(shù)的圖像,解決一些比擬大小的問題或是求三角函數(shù)值;4、利用角的終邊上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)與該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離來定義,這個(gè)定義是上述二者中所述定義的一般形式,可以用來解決一般的問題;5、在整個(gè)三角函數(shù)定義的過程中,讓我們感覺到了學(xué)習(xí)的知識(shí)是在不斷地開展中的,知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系非常密切,應(yīng)該體會(huì)同一性之中有著自己的特點(diǎn)。五、同角關(guān)系式的運(yùn)用新教材中,重點(diǎn)學(xué)習(xí)兩個(gè)同角關(guān)系式,一個(gè)是平方關(guān)系的,另一個(gè)是商數(shù)關(guān)系的。兩個(gè)公式各有應(yīng)用,運(yùn)用時(shí)應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：1、平方關(guān)系可以完成正余弦的互求,注意開方時(shí)應(yīng)該有兩個(gè)平方根,所以在角未受到一定的限制時(shí),應(yīng)該仔細(xì)考慮結(jié)果的符號(hào),而無限制時(shí)就應(yīng)該討論了。2、商數(shù)關(guān)系的最大應(yīng)用是弦切互化。注意與余角余函數(shù)公式對(duì)應(yīng)學(xué)習(xí)與結(jié)合運(yùn)用。六、誘導(dǎo)公式的理解1、誘導(dǎo)公式在教材上占了較大篇幅,從誘導(dǎo)公式(一)到誘導(dǎo)公式(六),最后結(jié)果是：較差的學(xué)生死記硬背,學(xué)一個(gè)忘一個(gè);中等的學(xué)生似懂非懂,會(huì)做一些簡(jiǎn)單的題;優(yōu)秀生學(xué)完之后,感覺太簡(jiǎn)單了,不知道為什么還要論述那么久?你的學(xué)生是不是這樣呢?2、有一個(gè)口訣：奇變偶不變,符號(hào)看象限。多數(shù)的學(xué)生都知道,但是知其然不知其所以然。所以,好多的學(xué)生不會(huì)用。追究其原因,仍然是不理解造成的。3、這些公式的形式都是從一個(gè)三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一個(gè)三角函數(shù),可以同名也可以不同名。那么,我們?yōu)槭裁匆D(zhuǎn)化呢?求值?求角?還是?4、復(fù)雜之中,有著一絲不變的線索,它是什么呢?角的變化。事實(shí)上是把終邊相同或是關(guān)于x軸、y軸或是坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的角與角之間建立起來的等量關(guān)系。這些公式能把角從一個(gè)象限轉(zhuǎn)化到其它象限中,或者說是與其它象限中的某些相關(guān)角建立聯(lián)系。我們把這種聯(lián)系的起源選定,其它就都是利用上述公式誘惑與引導(dǎo)而來。在做題目的時(shí)候,可以有上述的體會(huì)。5、例如：sinA=-1/2,A在第四象限,請(qǐng)把A角表示出來。熟練的老師或是學(xué)生,可能一下就可以看出,有一個(gè)特角-30度,再加上360度的整數(shù)倍就可以了。但不熟練的學(xué)生怎么辦呢?用誘導(dǎo)的方法就可以完成。第一步：在銳角中找一個(gè)角,使它的正弦值為1/2,那么當(dāng)然是30度了。第二步：把30度誘導(dǎo)到第四象限,可以就是-30度,也可以是360度減去30度,第三步：把第二步的角再加上360度的整數(shù)倍就可以了。如果想誘導(dǎo)到第二象限,只需用180度減;如果想誘導(dǎo)到第三象限,就用180度加就好了。6、誘導(dǎo)公式口訣奇變偶不變,符號(hào)看象限的正確性可以用和差角公式去驗(yàn)證,sin(/2-x)=sin(/2)cosx-cos(/2)sinx=cosx。輔助角公式配合單位圓,用數(shù)量積定義去理解,acosx+bsinx=(a,b)(cosx,sinx),對(duì)于學(xué)生進(jìn)一步理解所學(xué)知識(shí)是非常有好處的。同時(shí),我們也不能不看到,原來的思路與方法和公式可能解決的問題是不可代替的。七、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的深入思考1、三角函數(shù)圖像的作法與其它函數(shù)的圖像的作法相同,根本步驟應(yīng)該是：(1)確定函數(shù)定義域,值域;(2)研究單調(diào)性與奇偶性等性質(zhì);(3)取關(guān)鍵點(diǎn)列表描點(diǎn);(4)結(jié)合函數(shù)的變化速度與變化趨勢(shì)連線作圖;2、與其它函數(shù)不同的就是周期性,體會(huì)最小正周期,與起點(diǎn)的位置無關(guān);3、三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何定義,它把三角函數(shù)值準(zhǔn)確的用有向線段的數(shù)量表示出來,這為準(zhǔn)確描點(diǎn)提供了保障;4、由于圖像本身就是函數(shù)的定義的一種形式,所以對(duì)函數(shù)圖像的研究就顯得非常的重要,而函數(shù)的性質(zhì)都寫在函數(shù)的圖像上,所以不必太追究性質(zhì)是什么、分幾條,而應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)會(huì)讀懂函數(shù)的圖像語言,會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖像解題就可以了;5、所謂深入思考就是體會(huì)函數(shù)=Asin(wx+q)+b中的各個(gè)參數(shù)對(duì)函數(shù)圖像的影響,對(duì)性質(zhì)的影響,這一點(diǎn)應(yīng)該與其它函數(shù)對(duì)照研究;6、關(guān)于正弦與余弦函數(shù)圖像與性質(zhì)的再思考(1)單調(diào)區(qū)間的長(zhǎng)度為最小正周期長(zhǎng)度的一半,單調(diào)區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)是函數(shù)取到最值的點(diǎn);(2)函數(shù)圖像與x軸(平衡位置)的交點(diǎn)都是它們的對(duì)稱中心,過最大或最小值點(diǎn)垂直于x軸(平衡位置所在的直線)的直線都是它們的對(duì)稱軸。相鄰的對(duì)稱中心或是兩個(gè)對(duì)稱軸之間的距離應(yīng)該是周期的一半;(3)兩個(gè)函數(shù)圖像形狀相同,只是在坐標(biāo)系中的位置不同,它們左右位置差周期的1/4;(4)對(duì)于函數(shù)y=Asin(wx+q)+b或y=Acos(wx+q)+b來說,對(duì)以上三條只需進(jìn)行稍微的修改即可。八、平移與伸縮變換的引申有好多的學(xué)生在平移與伸縮變換的時(shí)候會(huì)混淆,知其然不知所以然。下面提出幾個(gè)問題,請(qǐng)各位朋友一起思考,你們?cè)诮虒W(xué)的時(shí)候是否對(duì)它們進(jìn)行了研究？1、對(duì)于平移口訣：左加右減,上加下減的理解左是x軸的負(fù)半軸,為什么要加呢？右是x軸的正半軸,為什么要減呢？上是y軸的正半軸,加就好理解了,下是y軸的負(fù)半軸也是一回事。2、對(duì)于左右平移與橫坐標(biāo)的伸縮變換,如果先后順序倒置,那么平移的量就可能不一致,這是為什么呢？3、把平移與伸縮變換推廣到一般情況應(yīng)該是什么樣的？關(guān)鍵在什么地方？4、左右與上下平移變換與沿某向量平移的關(guān)系如何？5、對(duì)函數(shù)的平移與對(duì)曲線的平移有區(qū)別嗎？6、平移函數(shù)的圖像與坐標(biāo)變換怎樣進(jìn)行區(qū)別？各有什么優(yōu)點(diǎn)？(1)對(duì)于平移口訣：左加右減,上加下減的理解左是x軸的負(fù)半軸,為什么要加呢?右是x軸的正半軸,為什么要減呢?上是y軸的正半軸,加就好理解了,下是y軸的負(fù)半軸也是一回事。這個(gè)問題其實(shí)是這樣的：向左移,每點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在減少,應(yīng)該把橫坐標(biāo)減去移動(dòng)的量。但是,你必須把函數(shù)式y(tǒng)=f(x)變成x=g(y)的形式之后完成。比方：你把函數(shù)圖像向左平移了2個(gè)單位,那么,函數(shù)式x=g(y)應(yīng)該變?yōu)椋簒=g(y)-2。而這個(gè)式子變形之后就是：y=f(x+2)了。別的還用說嗎?(2)對(duì)于左右平移與橫坐標(biāo)的伸縮變換,如果先后順序倒置,那么平移的量就可能不一致,這是為什么呢?同問1的答復(fù)：把函數(shù)y=f(x)變形為x=g(y),如果向右平移a個(gè)單位,那么變?yōu)閤=g(y)+a,再伸縮為原來的b倍,那么變?yōu)閤=b[g(y)+a],解得：y=f[(1/b)x-a];如果橫坐標(biāo)先伸縮為原來的b倍,那么變?yōu)閤=bg(x),再向右平移a個(gè)單位,那么變?yōu)閤=bg(y)+a,解得：y=f[1/b(x-a)]。顯然所得兩函數(shù)表達(dá)式不同7、把平移與伸縮變換推廣到一般情況應(yīng)該是什么樣的?關(guān)鍵在什么地方?(1)如果把函數(shù)y=f(x)的圖像向左平移a個(gè)單位,然后再把每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腷倍,那么所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=f(bx+a);(2)如果把函數(shù)y=f(x)的圖像每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腷倍,然后再把圖像向左平移a個(gè)單位,那么所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=f[b(x+a)];仔細(xì)分析,左右的平移與每點(diǎn)橫坐標(biāo)的伸縮都是對(duì)自變量x而言的,只對(duì)x做相應(yīng)的處理。8、左右與上下平移變換與沿某向量平移的關(guān)系如何?左右的平移就是向量的橫坐標(biāo),上下的平移就在于向量的縱坐標(biāo),橫與縱坐標(biāo)的符號(hào)代表平移的方向。目標(biāo)相同,路徑不同罷了。9、對(duì)函數(shù)的平移與對(duì)曲線的平移有區(qū)別嗎?函數(shù)本身就是方程,所以函數(shù)圖像就是曲線,所以對(duì)曲線的平移方法可以直接用到函數(shù)中來。但是,對(duì)函數(shù)圖像的平移口訣左加右減不可以直接用到曲線的平移之中原因應(yīng)該由上面的可以知道了。10、平移函數(shù)的圖像與坐標(biāo)變換怎樣進(jìn)行區(qū)別?各有什么優(yōu)點(diǎn)?這兩者都可以完成同樣的事,那就是簡(jiǎn)化我們要研究的函數(shù)表達(dá)或是曲線的方程,優(yōu)點(diǎn)也與些類似。各自的優(yōu)點(diǎn)可以通過例題來體會(huì),不多述了。九、和角與差角公式的推導(dǎo)指引1、cos(A-B)2、cos(A+B)3、sin(A-B)4、sin(A+B)5、tan(A-B)6、tan(A+B)7、sin2A8、cos2A9、tan2A10、sinAcosA11、(sinA)^212、(cosA)^213、asinA+bcosA14、tanA+tanB15、用tanA表示sin2A,cos2A,tan2A16、上述公式,每天推導(dǎo)三次,連續(xù)推導(dǎo)三天,題可做,分可拿請(qǐng)注意,是推導(dǎo)不是背公式啊!十、倍角余弦公式的變形應(yīng)用公式：cos2A=(cosA)^2-(sinA)^2=1-2(sinA)^2=2(cosA)^2-1公式變形：(sinA)^2=1/2(1-cos2A);(cosA)^2=1/2(1+cos2A)上述公式與正弦二倍角公式的變形統(tǒng)稱降冪公式,對(duì)化簡(jiǎn)三角函數(shù)式為Asin(wx+b)的形式起到非常重要的作用。十一、解三角形的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)1、三角形本身就是條件：(1)內(nèi)角和定理;(2)邊角大小關(guān)系;2、正弦與余弦定理：注意應(yīng)用時(shí)解