數學英雄課件

數學英雄——歐拉報告人：林娜北京師范大學珠海研究生院18世紀在數學史上被譽為英雄輩出的時代，微積分的日漸成熟，使得大部分被研究工作都能利用微積分進行新的創(chuàng)造，于是伯努利家族、拉格朗日、拉普拉斯、達朗貝爾、勒讓德等一大批數學家相繼涌現，但這些人都受到到同時代一位數學家的影響，他就是萊昂哈德?歐拉。歐拉計算起來輕松自如，就像人們呼吸，鷹在空中飛翔。------D.F.J.Arago（阿拉戈）學習歐拉的著作，乃是認識數學最好的工具。------JohannCarlFriedrichGauss（卡爾·弗里德里?！じ咚梗┙裉斓膶W生從歐拉的無窮分析引論中所能獲得的益處,是現代任何一本教科書都不能比擬的。------A.Weil（外爾）讀歐拉的著作吧，在任何意義上，他都是我們的大師。------Pierre-SimonLaplace（皮埃爾-西蒙·拉普拉斯）我介紹高等分析的時候，它還是個孩子，而你正在將它帶大成人。------JohannBernoulli（約翰·伯努利）大師的評價1、歐拉的生平簡介萊昂哈德·歐拉1707年4月15日生于瑞士巴塞爾的牧師家庭。13歲時進入了巴塞爾大學，主修哲學和法律，但在每周星期六下午便跟當時歐洲最優(yōu)秀的數學家約翰·伯努利學習數學。15歲在巴塞爾大學獲學士學位，翌年得碩士學位學位論文的內容是笛卡爾哲學和牛頓哲學的比較研究。1727年，19歲的歐拉應圣彼得堡科學院的邀請到俄國。1731年接替丹尼爾·伯努利成為物理教授。1741年受普魯士腓特烈大帝的邀請到柏林科學院工作，達25年之久。1766年他又回到了圣彼得堡。（工作長達17年之久，58歲雙目失明）1783年9月18日卒于俄國圣彼得堡。在柏林期間他的研究內容更加廣泛，涉及行星運動、剛體運動、熱力學、彈道學、人口學，這些工作和他的數學研究相互推動。歐拉這個時期在微分方程、曲面微分幾何以及其他數學領域的研究都是開創(chuàng)性的。俄國的14年中，他在分析學、數論和力學方面作了大量出色的工作。歐拉是科學史上最多產的一位杰出的數學家，據統(tǒng)計他那不倦的一生，共寫下了886本書籍和論文，其中分析、代數、數論占40%，幾何占18%，物理和力學占28%，天文學占11%，彈道學、航海學、建筑學等占3%，彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年．此外，歐拉的業(yè)績多得數不勝數，曾風靡世界的開發(fā)大腦的游戲“數獨”的創(chuàng)始人也是歐拉。歐拉死后留下大量手稿，歐拉自己說他未發(fā)表的論文足夠彼得堡科學院用上20年，結果是直到1862年即他去世80年后，彼得堡科學院院報上還在刊登歐拉的遺作。1911年瑞士自然科學協會開始出版歐拉全集，現已出版70多卷，計劃出齊84卷，都是大四開本。歐拉從18歲開始創(chuàng)作，到76歲逝世，因此單是收進全集的這些文稿，歐拉平均每天就要寫1.5頁大4開紙的東西，而歐拉還有不少手稿在1771年的彼得堡大火中化為灰燼。歐拉28歲左眼失明，56歲雙目失明，他完全是依靠驚人的記憶和心算能力進行研究與寫作的。

歐拉于1783年9月18日突然離開了人世。他盡管兩眼失明，但是直到死的瞬間為止也沒有放棄對數的研究。據記載，他在世的最后一天跟孫子一起討論著當時的定理和天王星。歐拉是名副其實的“死了才停止了計算的數學家”。

歐拉于1707年4月15日生于瑞士巴塞爾城，這個家族幾代多為手藝勞動者，歐拉的父親保羅，歐拉畢業(yè)于巴塞爾大學神學系，他很喜愛數學，也曾是大數學家雅各布·伯努利的高材生，歐拉的早期教育大多是從父親那里開始的。

一天老師剛講完習題，小歐拉就高高舉起自己的左手。老師問道：“你還有什么不太清楚的地方嗎？”歐拉問：“老是天上有多少顆星星？”這種讓老師猝不及防的問題，已經不是第一次提出了。老師對此十分反感，卻又無法阻止歐拉的提問，只好敷衍道：“這無關緊要，只要你知道這是上帝鑲嵌上的就可以了。”歐拉顯然不滿意這個答案，繼續(xù)說：“上帝怎么這么粗心啊？自己鑲嵌上去的也忘記記數了?！?/p>

這件事不僅讓老師很下不了臺，還涉嫌對上帝的懷疑。這在當時神學主宰的社會里是絕不允許的，于是學校把歐拉請回家去了。

歐拉回家后，閑及無事就幫父親放羊，父親的羊逐漸增多，現在已經有100只了，父親的羊圈不夠用了，父親決定建造一個大的羊圈，想讓每只羊有6平方米的占地面積。父親設計了一個長40米、寬15米的羊圈，結果需要110米長的籬笆，但現在籬笆只有100米長。歐拉發(fā)現了父親的難處，他對父親說：“讓我來試試?！敝灰娦W拉將長和寬都改成了25米，這時所用的籬笆共有100米長，但面積反而超出計劃25平方米。父親看了他的設計非常高興，夸獎小歐拉真會用腦筋。

這正是歐拉在少年時就不隨便輕信權威、愛思考的表現，也是他日后能夠成功的一個重要原因。2、歐拉的童年趣事3、歐拉走進數學

歐拉從小就特別喜歡數學，不滿10歲就開始學習《代數學》，可是不想從事清貧的數學工作的父親，希望兒子也和自己一樣，長大后當一名牧師。13歲時父親送他去巴塞爾大學學習神學，但他卻被約翰?伯努利旁征博引，富有激情的數學講座給迷住了，而歐拉的數學天賦也引起伯努利的關注。伯努利讓他每個星期天下午到他家，單獨給他授課。名師的精心指導，是歐拉突飛猛進；而他的勤奮和才華也深深地吸引了約翰的兒子丹尼爾伯努利和尼古拉·伯努利，他們從此經常在一起討論數學問題，并成為終身好友。歐拉15歲在巴塞爾大學獲得學士學位，17歲獲得哲學碩士學位。但父親要他放棄數學而專注神學。歐拉雖然打心底里不愿做專職神職人員，但又不好公然違抗父親的意愿，又入神學系，他在神學、希臘語、希伯來語方面的學習并不成功，他仍把大部分時間花在數學上，正在左右為難時候，約翰伯努利勸他的父親說：“親愛的神甫，您知道我遇到過不少才華橫溢的年輕人，但要和您的兒子比起來它們都相形見絀。如果我的眼光不錯，您的兒子無疑將是瑞士未來最了不起的數學家?！薄盀榱藬祵W，為了孩子，我請求您重新考慮您的決定?！鄙铈诒娡牟淌诘脑捠贡Ａ_改變了初衷。

歐拉18歲開始其數學生涯，1726年，他在《博學者》上發(fā)表關于再有阻尼的介質中的等時曲線的結構問題的文章，當時歐洲各國的科學院，常常把政府或一些部門提出的研究課題設置獎金公開征求解答，其中有不少與航海有關，因為航運的發(fā)展和頻繁的海戰(zhàn)，是各國政府愈來愈關注海洋的控制權。巴黎科學院1727年的征解問題就是關于海船桅桿的最佳布置問題。19歲的歐拉決定檢驗一下自己的能力。他的論文顯示了他在數學分析方面的巨大能力，但他并未見過真正的海船，結果他的論文得到很高的評價，盡管未得到獎金只是得了一個提名獎，這次牛刀初試，是他在歐洲數學界嶄露頭角

在朋友們的慫恿下，歐拉向巴塞爾大學申請教授職位。雖然約翰伯努利極力推薦，還是因為資歷尚淺被校方拒絕?！氨炯易鍥]有合適成員，但擬另保舉一人”丹尼爾接著說“此人姓名為萊昂哈德?歐拉，今年19歲，巴塞爾大學碩士畢業(yè)生，不久前因一篇有關船桅的論文獲得巴黎科學院獎，歐拉聰明、勤奮，具有高度洞察分析能力，他的記憶力特別強，善于運用各種計算技巧?！迸鯎u搖頭，她認為丹尼爾并沒有認真答復他的請求，于是問道：“那么，這個歐拉與你相比孰上孰下？”丹尼爾活躍起來了：“我怎么能比得上他呢？我好比駑馬，他好比猛虎，我好比寒鴉，他則是天鵝；天下科學研究者像我這樣的車載斗量，不可勝計，而他則是國中挑一呢！如果以軍事家作比喻，則歐拉于百萬軍中，取上將首級，如探囊取物。如果為他創(chuàng)造良好研究條件，可以預見日后必凌駕于整個伯努利家族之上?！甭牭つ釥柦榻B女王怫然不悅，他認為言過其實，但是聘書第二年就發(fā)出了，安排歐拉作為丹尼爾的助手。5、歐拉與柏林科學院

是萊布尼茨(Leibniz)起草過規(guī)劃的這兩個科學院給歐拉提供了成為歷史上最多產的數學家的機會。

柏林科學院由于缺乏頭腦而日漸衰敗已有40年，歐拉在腓特烈大帝的鼓勵下給了它有力的沖擊，使它再次有了生氣。

他在柏林生活了25年，并在那兒寫了不止380篇文章。在柏林，他出版了他最有名的兩部作品：關于函數方面的文章《無窮小分析引論》，出版于1748年；另一部是出版于1755年關于微分的《微積分概論》。在1755年，他成為瑞典皇家科學院的外籍成員。這兩個科學院不像今天一些科學院那樣以鑒定精心撰寫的優(yōu)秀著作，授予院士資格為主要職責。它們是研究機構，雇傭院士進行科學研究。薪水和津貼金很優(yōu)厚，使人足以保證本身家庭的舒適生活。歐拉的家屬一度不少于18個人，他還是足以維持他們都過著豐裕的生活。使18世紀院士生活具有吸引力的最后一點是，他的孩子們只要有任何一點才能，都肯定會得到很好的施展機會。

18世紀統(tǒng)治者們比今天許多研究院院長更明智的是讓科學按自己的規(guī)律發(fā)展的，只不過偶爾提到他們眼前需要什么。他們似乎本能地意識到了，只要不時作個恰當的暗示，所謂的"純粹"研究就會把他們期待的緊迫實際問題作為副產品搞出來。整天只想著向腓特烈獻媚的伏爾泰(Voltaire)喜歡與腓特烈周圍另一些善于咬文嚼字的人一道用形而上學的難題來糾纏取笑不幸的歐拉。歐拉拿出全副好脾氣進行應付，隨著他人的哄鬧，嘲笑自己的滑稽錯誤。但腓特烈逐漸感到惱火了，他開始設法尋找一個比較善辯的哲學家來領導他的科學院并增添他宮廷的歡樂。達朗貝爾被邀請到柏林察看情況。他跟歐拉在數學方面小有齟齬。但達朗貝爾可不是那種讓個人的無知影響判斷的人。他直率地對腓特烈說，把任何別的數學家置于歐拉之上都是一種侮辱。這個忠告結果只是使腓特烈比原來更加生氣和執(zhí)拗，歐拉的處境變得無法忍受了。他感到，他的孩子們在普魯士不會有任何前途。終于在他59歲的時候(1766年)收拾起行裝，應葉卡捷琳娜二世的熱誠邀請再次移居圣彼得堡。重返彼得堡．1766年7月28日，歐拉重返圣彼得堡，他的三個兒子和兩個女兒也回到俄國，伴于身旁．歐拉的家安置在涅瓦河畔離圣彼得堡科學院不遠的舒適之處．他的長子阿爾勃蘭克這年成為科學院院士、物理學部教授，三年后又被任命為科學院的終身秘書．1766年，歐拉父子還同時當選為科學院執(zhí)行委員．歐拉的工作是順心的，然而，厄運也接二連三地向他襲來．回到圣彼得堡不久，一場疾病使歐拉的左眼幾乎完全失明．這時，他已經不能再看書了．只能勉強看清大字體的提綱，用粉筆在石板上寫很大的字母．1771年，歐拉雙目完全失明．這一年，圣彼得堡的一場特大火災又使歐拉的住所和財產付之一炬，僅搶救出歐拉及其手稿．1773年11月，歐拉夫人柯黛琳娜去世．三年后，她同父異母的妹妹莎洛姆?葛塞爾成為歐拉的第二個妻子．歐拉晚年遭受雙目失明、火災和喪偶的沉重打擊，他仍不屈不撓地奮斗，絲毫沒有減少科學活動．在他的周圍，有一群主動的合作者：包括他的兒子和兩位年輕的助手。重返圣彼得堡后，歐拉的著作出版得更多．他的論著幾乎有一半是1765年以后出版的．其中，包括他的三卷本《積分學原理》(Institutionescalculiintegralis，1768—1770)和《關于物理學和哲學問題給德韶公主的信》(Lettresàuneprincessed’AllemagneSurdiverssujetsdephysiqueetdephilosophie，1768—1772)．前者的最重要部分是在柏林完成的．后者產生于歐拉給普魯士國王的侄女的授課內容．這本文筆優(yōu)雅、通俗易懂的科學著作出版后，很快就在歐洲翻譯成多種文字，暢銷各國，經久不衰．歐拉是歷史上著作最多的數學家．歐拉的多產也得益于他一生非凡的記憶力和心算能力．他70歲時還能準確地回憶起他年輕時讀的荷馬史詩《伊利亞特》(Iliad)每頁的頭行和末行．他能夠背誦出當時數學領域的主要公式和前100個素數的前六次冪．

歐拉是18世紀數學界的中心人物．他是繼牛頓(Newton)之后最重要的數學家之一．在歐拉的工作中，數學緊密地和其他科學的應用、各種技術問題的應用以及公眾的生活聯系在一起．他常常直接為解決力學、天文學、物理學、航海學、地理學、大地測量學、流體力學、彈道學、保險業(yè)和人口統(tǒng)計學等問題提供數學方法．歐拉的這種面向實際的研究風格，使得人們常說：應用是歐拉研究數學的原因．其實，歐拉對數學及其應用都十分愛好．作為一位數學家，歐拉把數學用到整個物理領域中去．他總是首先試圖用數學形式表示物理問題，為解決物理問題而提出一種數學思想并系統(tǒng)地發(fā)展和推廣這一思想．因此，歐拉在這個領域中的杰出成就作為一個整體，可以用數學語言加以系統(tǒng)的闡述．6、歐拉的貢獻數學一般力學流體力學代數無窮級數數論歐拉的貢獻力學天文學物理學函數概念單復變函數微積分學初等函數微分方程變分法幾何學歐拉還研究了數學常數以及同超越數論有關的重要問題．蘭伯特1768年證明e和π是無理數時，曾用連分數表示e，但連分式是歐拉首先采用并奠定理論基礎的．1873年，埃爾米特證明e是超越數．1882年，林德曼應用歐拉公式eiπ=-1(歐拉1728年發(fā)現的)，證明了π是超越數，因此，用直尺和圓規(guī)作出一個正方形和已知圓面積相等是不可能的，從而解決了古希臘遺留下來的“化圓為方”問題．歐拉常數

歐拉是解析數論的奠基人，他提出歐拉恒等式，建立了數論和分析之間的聯系，使得可以用微積分研究數論。后來，高斯的學生黎曼將歐拉恒等式推廣到復數，提出了黎曼猜想，至今沒有解決，成為向21世紀數學家挑戰(zhàn)的最重大難題之一。代數學17世紀，代數是人們興趣的一個重要中心．到了18世紀，它變成從屬于分析，人們很難把代數和分析互相區(qū)別開來．歐拉很早就把對數定義為指數，并于1728年在其一篇未發(fā)表的手稿中引入e作為自然對數的底．1732年，歐拉對卡爾達諾的三次方程解法作出了第一個完整的討論．他還試圖找到用根式表示的高于四次的方程之解的一般形式，誠然這是徒勞的．1742年，歐拉在給尼古拉第一?伯努利和哥德巴赫的信中，第一次提出了所有實系數的n次多項式都可以分解為實一次或實二次因式的定理，即具有n個形如a＋bi的根．這是和代數基本定理等價的重要命題，先后由達朗貝爾和歐拉證明．他們的證明思路不同，但都不夠完全．19世紀有了更精確的證明．歐拉的《代數學入門》一書，是對16世紀中期開始發(fā)展的代數學的一個系統(tǒng)總結．此書出版后，很快被譯成英文、荷蘭文、意大利文、法文等多種文字，對于19世紀和20世紀代數學教科書的編寫產生極大影響．微分方程

《積分原理》還展示了歐拉在常微分方程和偏方程理論方面的眾多發(fā)現。他和其他數學家在解決力學、物理問題的過程中創(chuàng)立了微分方程這門學科。

在常微分方程方面，歐拉在1743年發(fā)表的論文中，用代換給出了任意階常系數線性齊次方程的古典解法，最早引人了“通解”和“特解”的名詞。1753年，他又發(fā)表了常系數非齊次線性方程的解法，其方法是將方程的階數逐次降低。

歐拉在18世紀30年代就開始了對偏微分程的研究。他在這方面最重要的工作，是關于二階線性方程的。變分法

設想一個小球從空間一點沿某條曲線滾落到(不在同一垂直線上的)另外一點，問什么形狀的曲線使球降落用時最短。這就是著名的“最速降線問題”

在這個問題中，變量本身就是函數，因此比微積分的極大極小值問題更為復雜，這個問題和其他一些類似問題的解決，成為變分法的起