高等數(shù)學第六版

因此，第一章是認識對象、掌握方法.后面各章是用極限方法研究函數(shù)的各種性質(zhì)，如連續(xù)性、可導性、可積性、可逐次逼近性等各種性質(zhì).初等數(shù)學的研究對象——常量高等數(shù)學對象——變量方法——極限依賴關(guān)系函數(shù)1一、集合1.集合具有某種特定性質(zhì)的對象的總體.組成這個集合的對象稱為該集合的元素.（列舉法）（描述法）集合按其所含元素有限、無限可分為有限集與無限集.第一章函數(shù)與極限§1.映射與函數(shù)22.實數(shù)與數(shù)軸：O1-1x實數(shù)系的連續(xù)性：實數(shù)的集合與數(shù)軸上點的集合一一對應.有理數(shù)系（無理數(shù)系、實數(shù)系）的稠密性：任意兩個有理數(shù)（無理數(shù)、實數(shù)）之間都有無窮多個有理數(shù)（無理數(shù)、實數(shù)）.3數(shù)集分類:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系:例如不含任何元素的集合稱為空集例如,規(guī)定空集為任何集合A的子集,43.集合的運算：集合的并：集合的交：集合的差：集合的直積：AB(x,y)xyAB5集合的余集（補集）：(P2)如在實數(shù)集R中，集合的并、交、余的運算法則(P3)注：考察余集必須指明全集64.區(qū)間:是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,7稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.85.鄰域:96.絕對值:運算性質(zhì):絕對值不等式:（三角不等式）107.一個常用不等式11二、映射(自學)（P5-P7)在Y中有唯一確定的元素記作

集合X稱為映射f的定義域,12三、函數(shù)1.函數(shù)概念定義

因變量自變量定義域注:1.以上定義的函數(shù)也稱為單值函數(shù);13函數(shù)的兩要素:定義域與對應法則.約定:如無特別指出，定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值（自然定義域）.函數(shù)的圖形:注意：構(gòu)成函數(shù)的這兩個要素是判別兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)（或者說相等）的依據(jù).14(2)符號函數(shù)幾個特殊的函數(shù)舉例1-1xyo(1)絕對值函數(shù)xyO1512345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線(3)取整函數(shù)

y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)有理數(shù)點無理數(shù)點?1xyo(4)狄利克雷函數(shù)如:[5.3]=5,[-4.5]=-5.16在自變量的不同變化范圍中,對應法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).17(5)取最值函數(shù)18(5)取最值函數(shù)yxoyxo19復習鄰域:

取整函數(shù)

y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)函數(shù)的兩要素:定義域與對應法則.20例1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時間的函數(shù)關(guān)系式.解單三角脈沖信號的電壓21例2解故22例3解下列各題232.函數(shù)關(guān)系的建立1.函數(shù)的列表表示：某公司一年中月銷售額統(tǒng)計月份123456789101112銷售額2524181716171718192123242.函數(shù)的圖像表示：某氣象觀察點24小時氣溫觀察資料圖O

tT243.

函數(shù)關(guān)系的解析式表示：某人從美國到加拿大去旅游，他把美元換成加拿大元時幣面數(shù)值增加了12%，回國時又把加拿大元換成美元，幣面數(shù)值減少12%，把兩次兌換后的幣面數(shù)值用函數(shù)表示出來。這樣兩種兌換方式產(chǎn)生的函數(shù)是否互為反函數(shù)？253.函數(shù)的幾種特性(1)函數(shù)的有界性(下)(下)x0y12.有上界有下界26有界無界x0y12.易證:27(2)函數(shù)的單調(diào)性xyo減少xyo28(3)函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)yxox-x奇函數(shù)yxox-x29(4)函數(shù)的周期性（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.304.函數(shù)的初等運算(1)函數(shù)的四則運算

31(2)復合函數(shù)定義32注意:a.不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的;b.復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合構(gòu)成；c.復合運算不滿足交換律,33例7解復合函數(shù)的求法（代入法，分析法）1、代入法34例8解2、分析法（關(guān)鍵抓住最外層函數(shù)定義域的區(qū)間段）35綜上所述36(3)反函數(shù)運算DD3738(c)直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.395.基本初等函數(shù)與初等函數(shù)基本初等函數(shù)（6類）：常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù).

xyOy=C1.常值函數(shù)2.冪函數(shù)403.指數(shù)函數(shù)4.對數(shù)函數(shù)415.三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)42正切函數(shù)余切函數(shù)43正割函數(shù)余割函數(shù)446.反三角函數(shù)4546初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構(gòu)成并可用

一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).基本初等函數(shù)（6類）:

常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù).

問題:分段函數(shù)是否為初等函數(shù)?一般不是.但47雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)(P17-20)奇函數(shù).偶函數(shù).雙曲函數(shù):48奇函數(shù),有界函數(shù),49雙曲函數(shù)常用公式50反雙曲函數(shù):奇函數(shù),5152奇函數(shù),53小結(jié)基本概念集合,區(qū)間,鄰域,絕對值.映射的概念、函數(shù)的概念.函數(shù)的初等性質(zhì)有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性.函數(shù)的初等運算四則運算、復合運算、反函數(shù)運算.基本初等函數(shù)，初等函數(shù)54函數(shù)的分類:函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(某些分段函數(shù),有無窮多項等函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)(多項式函數(shù)