復(fù)變函數(shù)與積分變換-

22021/10/2932021/10/29課程考核上間地點：周六

SY108考核方式：考試（閉卷）考試日期：第16

（具體日期待定）42021/10/29課程要求上課認真聽講課后及時復(fù)習獨立、認真地完成作業(yè)有問題及時提出，不積累問題考試時遵守考場紀律，不出現(xiàn)任何

現(xiàn)象52021/10/2962021/10/29第一節(jié)

復(fù)數(shù)及其代數(shù)運算一、復(fù)數(shù)的概念二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運算三、小結(jié)與思考82021/10/29一、復(fù)數(shù)的概念虛數(shù)單位:實例:方程

x2

1在實數(shù)集中無解.為了解方程的需要,引入一個新數(shù)i,稱為虛數(shù)單位.對虛數(shù)單位的規(guī)定:i2

1;

i可以與實數(shù)在一起按同樣的法則進行四則運算.92021/10/29虛數(shù)單位的特性:i1

i;

i

2

1;i

3

i

i

2

i;i5

i4

i1

i;i7

i4

i

3

i;i4

i

2

i

2

1;i6

i4

i

2

1;i8

i4

i4

1;……一般地，如果n是正整數(shù),則i4n1

i,i4n

1,

i4n2

1,i4n

3

i.2.復(fù)數(shù):對于任意兩實數(shù)或

xziy

為復(fù)數(shù).稱,

,

xzyxyi其中x,

y

分別稱為z

的實部和虛部,記作

x

Re(z),

y

Im(z).當x

0,

y

時0,

z

iy

稱為純虛數(shù);當

y

時0,

z

x

0,i

把它看作實數(shù).x102021/10/29112021/10/29例1

實數(shù)m取何(m2

3m

4)

(m2

5m

6)i

是(1)實數(shù); (2)純虛數(shù).解

令

x

m2

3m

4,y

m2

5m

6,如果復(fù)數(shù)是實數(shù),則y

0,由m2

5m

6

0知m

6或m

1.如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則x

0且y

0,由m2

3m

4

0知m

4或m

1.但由y

0知m

1應(yīng)舍去.

即只有m

4.兩復(fù)數(shù)相等當且僅當它們的實部和虛部分別相等.復(fù)數(shù)z等于0當且僅當它的實部和虛部同時等于0.說明兩個數(shù)如果都是實數(shù),可以比較它們的大小,如果不全是實數(shù),就不能比較大小,也就是說,復(fù)數(shù)不能比較大小.122021/10/29二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運算設(shè)兩復(fù)數(shù)z1

x1

iy1

,

z2

x2

iy2

,兩復(fù)數(shù)的和:z1

z2

(

x1

x2

)

i(

y1

y2

).兩復(fù)數(shù)的積:z1

z2

(

x1

x2

y1

y2

)

i(

x2

y1

x1

y2

).兩復(fù)數(shù)的商:z1

x1

x2

y1

y2

i

x2

y1

x1

y2

.x

2

y

2

x

2

y

22

2

2

2132021/10/292z4.

共軛復(fù)數(shù):實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù).與z

共軛的復(fù)數(shù)記為z

,若

z

x

iy,

則

z

x

iy.例2計算共軛復(fù)數(shù)x

yi

與x

yi

的積.解

(

x

yi)(

x

yi)

x2

(

yi)2

x2

y2

.結(jié)論：兩個共軛復(fù)數(shù)z,z

的積是一個實數(shù).142021/10/295.

共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):11z2

;

z2

z

zz1

z2

z1

z2

;

z1

z2

z1

z2

;z

z;z

z

Re(z)2

Im(z)2;z

z

2

Re(z),

z

z

2i

Im(

z).以上各式證明略.152021/10/29例3

將下列復(fù)數(shù)表示為x

iy

的形式.(2)

.1

i

i

(1)

1

i

;

1

i

7

i

1

i解(1)1

i(1

i)(1

i)(1

i)21

i

2

(1

i)2

i,

1

i

1

i

7

(i)7

i.i(2)

1

i

i1

i

i

2

(1

i)2(1

i)i1

i

1

2i

(1

2i)(1

i)

3

1

i.2

2

2162021/10/29例4解.i

11

i

i

2i計算(1

i)(i

1)

i(i

2)(i

1)ii

11

i

i

2

i

i

2i

2

1

3i2i

2

1

i

2

i(2

i)(2

i)

(1

3i)(2

i)(2)2

i

2172021/10/29

2

i

6i

3i

2

1

i.例5解設(shè)z1

5

5i,z2

3

4i,121

2

zz

z

與

.z求z1

5

5iz2

3

4i(3

4i)(3

4i)

(5

5i)(3

4i)

(15

20)

(15

20)i

7

1

i.25

5

51

z2

5

5182021/10/29

z

7

1

i.例6

設(shè)

z

1

3i

,

求Re(z),

Im(z)

與z

z

.i

1

ii

1

i3i(1

i)i

i

(1

i)(1

i)解

z

1

3i

i

3

1

i,2

2Re(z)

3

,

Im(z)

1

,2

21

2

2

3

2

z

z

Re(z)2

Im(z)2

2

2192021/10/295

.例7

設(shè)兩復(fù)數(shù)z1

x1

iy1

,

z2

x2

iy2

,證明z1

z2

z1

z2

2Re(z1

z2

).證

z1

z2

z1

z2

(

x1

iy1

)(

x2

iy2

)

(

x1

iy1

)(

x2

iy2

)

(

x1

x2

y1

y2

)

i(

x2

y1

x1

y2

)

(

x1

x2

y1

y2

)

i(

x2

y1

x1

y2

)

2(

x1

x2

y1

y2

)

2Re(z1

z2

).或z1

z2

z1

z2

z1

z2

z1

z2

2Re(z1

z2

).202021/10/29212021/10/29三、小結(jié)與思考本課學習了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)及其運算.重點掌握復(fù)數(shù)的運算,