數(shù)與形相倚依

本文格式為Word版，下載可任意編輯——數(shù)與形相倚依林萍

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方法.它通過(guò)數(shù)的形式準(zhǔn)確地分析形，通過(guò)形的方式直觀地表達(dá)數(shù)，將數(shù)量關(guān)系和幾何圖形相結(jié)合，展示出了數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系.數(shù)形結(jié)合能夠展示數(shù)學(xué)的本質(zhì)問(wèn)題.本文主要探究了數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐應(yīng)用，勉勵(lì)學(xué)生通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式探究知識(shí)，建構(gòu)空間幾何圖形，挖掘知識(shí)本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;實(shí)踐;空間幾何

華羅庚曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微〞.數(shù)形結(jié)合展示了數(shù)的準(zhǔn)確和形的直觀，表達(dá)了數(shù)與形的雙重優(yōu)勢(shì).在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要培養(yǎng)學(xué)生思維能力，勉勵(lì)學(xué)生靈活遷移和轉(zhuǎn)化問(wèn)題，達(dá)到對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用.學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合方法可體會(huì)到數(shù)學(xué)的直觀形象，探究數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)幾何圖形，理解位置關(guān)系，形成對(duì)知識(shí)的客觀性認(rèn)識(shí).學(xué)生的主動(dòng)分析和探究會(huì)理解數(shù)量與圖形之間的規(guī)律關(guān)系，把握其中的本質(zhì)聯(lián)系，在思考中加工知識(shí)，在推理中判斷知識(shí)，形成對(duì)知識(shí)的理性認(rèn)識(shí)和理解，提高解題能力.

一、“以形助教〞，抽象問(wèn)題具體化

（一）以形教數(shù)學(xué)概念，客觀認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)的根本和關(guān)鍵，也是學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ).只有學(xué)生把握了數(shù)學(xué)概念，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，才能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行進(jìn)一步的理解和分析，實(shí)現(xiàn)思維能力的提高.教師采用以形助教的方式講解概念，會(huì)幫助學(xué)生更好地理解概念的來(lái)龍去脈，使學(xué)生直觀地看到數(shù)學(xué)概念的形態(tài)和面貌，形成對(duì)數(shù)學(xué)概念的客觀性認(rèn)識(shí).例如，在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)〞時(shí)，分?jǐn)?shù)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)就是一個(gè)新的概念，他們之前學(xué)過(guò)整數(shù)、小數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等概念，但是對(duì)分?jǐn)?shù)并不了解.為了幫助學(xué)生理解這個(gè)概念，教師在課堂講解中可以通過(guò)畫圖的方式來(lái)展示.教師可以用圓規(guī)在黑板上畫出一個(gè)圓，告訴學(xué)生把它想象成為一個(gè)大大的月餅，中秋節(jié)到了，媽媽買來(lái)月餅給家人吃.家里一共有5口人，平均分，每人會(huì)得到這個(gè)月餅的多少？在情境中，學(xué)生會(huì)想象著把月餅平均分成5份，每人得到其中的一份.表示這樣一份的數(shù)可以用五分之一，這就是分?jǐn)?shù).借助圖形，學(xué)生會(huì)很好地理解分?jǐn)?shù)概念，學(xué)會(huì)分?jǐn)?shù)的表達(dá)，認(rèn)識(shí)單位“1〞.學(xué)生融入情境會(huì)進(jìn)行想象和體會(huì)，感受情境中的內(nèi)容，思考情境中的表達(dá)，形成對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解.直觀的圖形使學(xué)生真實(shí)地看到了五分之一是多少，它表示的意義是什么，單位“1〞表示的是什么.學(xué)生在圖形的幫助下會(huì)更好地理解數(shù)學(xué)概念，提高認(rèn)知能力.

（二）以形教數(shù)學(xué)公式，深化理解

數(shù)學(xué)公式是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力和思維能力的基礎(chǔ)性工具.學(xué)生只有了解了數(shù)學(xué)公式，才能夠利用公式分析問(wèn)題，探究問(wèn)題，最終解決問(wèn)題.教師要以形教數(shù)學(xué)公式，促進(jìn)學(xué)生通過(guò)具體、形象的圖形感知公式的來(lái)龍去脈，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)和規(guī)律.在公式的講解中，假如教師直接告訴學(xué)生長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式、長(zhǎng)方形面積公式或三角形面積公式，那么學(xué)生很簡(jiǎn)單忘掉，且不會(huì)靈活應(yīng)用.假如教師利用圖形，一邊帶領(lǐng)學(xué)生畫圖，一邊引導(dǎo)學(xué)生探究公式，就會(huì)幫助學(xué)生理解并記憶公式.例如，在教授“長(zhǎng)方形、正方形面積的計(jì)算〞時(shí)，教師就可以設(shè)計(jì)拼圖游戲，讓學(xué)生準(zhǔn)備面積為1平方厘米的小正方形若干個(gè)，課堂上讓學(xué)生拼出長(zhǎng)為5厘米、寬為3厘米的長(zhǎng)方形，這樣就可使學(xué)生直觀地看到長(zhǎng)方形的面積了.通過(guò)動(dòng)手拼圖和思考，學(xué)生可以體會(huì)到長(zhǎng)方形的面積就是長(zhǎng)×寬.借助圖形的幫助，學(xué)生會(huì)理解公式的來(lái)龍去脈，提高理解能力，從而穩(wěn)固把握知識(shí).

（三）以形教數(shù)學(xué)解題，靈活應(yīng)用

教師借助圖形教授數(shù)學(xué)知識(shí)會(huì)達(dá)到事半功倍的效果.通過(guò)圖形具體形象的展示，學(xué)生會(huì)看到抽象的數(shù)量關(guān)系.對(duì)于好多抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生理解起來(lái)很困難，但教師利用圖形會(huì)把抽象問(wèn)題具體化，便利學(xué)生進(jìn)行猜想、假設(shè)、思維拓展等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的形象思維，從而更好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì).例如，在教授“幾倍求和應(yīng)用題〞時(shí)，教師可以出示問(wèn)題：某工廠有男職工24人，女職工的人數(shù)是男職工的5倍，工廠一共有多少名職工？為了幫助學(xué)生理解題目，教師可以通過(guò)畫線段圖的方式指導(dǎo)學(xué)生解題，讓學(xué)生看到男職工和女職工的數(shù)量關(guān)系，從而想到采用“24×5+24〞的方法或者“24×（1+5）〞的方法解題.有了圖形的幫助，學(xué)生會(huì)更好地理解其次種解題方法，提高思維能力.有了圖形，學(xué)生就會(huì)大膽假設(shè)，主動(dòng)思考，進(jìn)行推理想象，在大腦中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)形象分析和探究的方式理解知識(shí).針對(duì)數(shù)學(xué)中的相遇問(wèn)題和追擊問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)畫圖的方式可以更好地理解數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)數(shù)學(xué)模式，把握解題方法.

二、“以數(shù)解形〞，繁雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化

（一）“以數(shù)解形〞完成填空題

填空題并不需要學(xué)生詳細(xì)地寫解題步驟和解題過(guò)程，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助圖形的方式完成填空題，促進(jìn)學(xué)生把繁雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，快速解決問(wèn)題.例如，“正方形的面積是16平方厘米，在這個(gè)正方形中畫一個(gè)最大的四分之一圓形，剩下部分的面積是______.〞為了使學(xué)生了解題目中的數(shù)和形，教師要指導(dǎo)學(xué)生采用以數(shù)解形的方式分析問(wèn)題.首先依照題目要求畫出圖形，用數(shù)據(jù)表示各種數(shù)量，如正方形的邊長(zhǎng)和圓的半徑.由于正方形的面積是已知的，所以可以求出正方形的邊長(zhǎng)是4厘米.這樣圓的半徑也是4厘米，由此就可以算出四分之一圓形的面積，之后用正方形的面積減去四分之一圓形面積就可以得到剩下部分的面積.假如沒(méi)有圖形的幫助，學(xué)生單純地想，就會(huì)感覺問(wèn)題很繁雜.但是，有了圖形的幫助，學(xué)生就會(huì)明了地看到各種數(shù)量關(guān)系，并把繁雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，快速理清解題思路，明確解題方法.

（二）“以數(shù)解形〞完成選擇題

在解答選擇題時(shí)，教師指導(dǎo)學(xué)生利用畫圖的方式可以快速地理清題目中的信息，促進(jìn)學(xué)生更好地理解問(wèn)題.學(xué)生借助圖形會(huì)主動(dòng)思考，主動(dòng)加工，并在具體、形象的圖形幫助下理解知識(shí)，梳理題目中的信息，形成對(duì)知識(shí)的客觀認(rèn)識(shí).例如，有兩根蠟燭，一根長(zhǎng)8厘米，另一根長(zhǎng)6厘米.把兩根都燃燒同樣長(zhǎng)的一部分后，短的一根剩下的長(zhǎng)度是長(zhǎng)的一根剩下的3/5.每段燃燒掉多少厘米？

A.2厘米

B.3厘米

C.4厘米

D.5厘米

在解題的時(shí)候，學(xué)生利用畫線段圖的方式會(huì)更好地理解題目.在線段圖的幫助下，學(xué)生會(huì)看到兩根蠟燭相差2厘米，現(xiàn)在長(zhǎng)的是2÷（1-3/5）=5（厘米），燒掉8-5=3（厘米）.通過(guò)線段圖的幫助，學(xué)生會(huì)感受到線段圖解決問(wèn)題的優(yōu)越性.

（三）“以數(shù)解形〞完成應(yīng)用題

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，要以數(shù)作為手段，以形作為目的，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式解決問(wèn)題.“以數(shù)解形〞借助了數(shù)的準(zhǔn)確性和嚴(yán)密性來(lái)闡述形，其會(huì)把繁雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，幫助學(xué)生透過(guò)圖形看到其中隱含的各種數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合解允許用題會(huì)更加快速地理清各種數(shù)量關(guān)系，把握知識(shí)本質(zhì).例如，在教授“三位數(shù)乘一位數(shù)〞時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)問(wèn)題：李叔叔從哈爾濱坐普通火車到長(zhǎng)春，走3個(gè)小時(shí)，每小時(shí)行駛90千米;之后坐高鐵從長(zhǎng)春到沈陽(yáng)走了1個(gè)小時(shí)，高鐵每小時(shí)行駛300千米，哈爾濱到沈陽(yáng)有多少千米？為了能夠快速解決問(wèn)題，學(xué)生可以畫圖，在圖中看到，從哈爾濱到沈陽(yáng)的距離就是從哈爾濱到長(zhǎng)春與長(zhǎng)春到沈陽(yáng)的距離之和.有了圖形的幫助，學(xué)生會(huì)快速地整理出解題思路，列出算式：3×90+300×1.學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式解允許用題，會(huì)把繁雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，有利于梳理思路，并在探究中總結(jié)規(guī)律，形成對(duì)知識(shí)的客觀性認(rèn)識(shí)，提高解題能力.

三、“數(shù)形互譯〞，幫助學(xué)生靈活解題

（一）數(shù)形交互，解決實(shí)際問(wèn)題

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，教師要指導(dǎo)學(xué)生數(shù)形互譯，通過(guò)把數(shù)與形聯(lián)系起來(lái)的方式，幫助學(xué)生理解知識(shí)，提高分析能力.通過(guò)數(shù)形互譯的方式，學(xué)生會(huì)更好地理解數(shù)量關(guān)系，并把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)具體化，在應(yīng)用中理解數(shù)學(xué)概念、公式，從而達(dá)到靈活應(yīng)用的目的.學(xué)生會(huì)在探究中對(duì)圖形進(jìn)行觀測(cè)，提煉數(shù)量關(guān)系，大膽猜想，合理假設(shè)，梳理解題思路.例如，把兩個(gè)外形和大小一致的長(zhǎng)方體水杯盒包裝成一包，怎樣包裝最省紙？學(xué)生可通過(guò)數(shù)形互譯的方式分析問(wèn)題，通過(guò)形象思維和抽象思維共同合作的方式探究問(wèn)題，尋覓解決問(wèn)題的方法.學(xué)生可以假設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，在練習(xí)紙上畫出圖形，并且做到a>b>c.這樣，學(xué)生的思維就有了圖形的支持，可以把抽象的問(wèn)題具體化.在分析中學(xué)生會(huì)認(rèn)識(shí)到要求包裝最省，就是求拼成的大長(zhǎng)方體的表面積最小.

帶著這種認(rèn)識(shí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)探究長(zhǎng)方體的表面積，并思考哪個(gè)面的面積最大，應(yīng)當(dāng)把最大的面積變小.根據(jù)已知條件，學(xué)生會(huì)求出長(zhǎng)方體的每個(gè)面面積，并明確ab>ac>bc.為了使新的長(zhǎng)方體表面積最小，就要把最大的兩個(gè)側(cè)面貼在一起，因此可以采用S=4（ab+bc+ac）-2ab的方式來(lái)解決問(wèn)題.通過(guò)規(guī)律思考和推理判斷，學(xué)生的思維會(huì)變得更加完善，推搭理更符合規(guī)律，并在數(shù)形相互轉(zhuǎn)化和滲透中把思路清楚化，從而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，分析問(wèn)題，并解決問(wèn)題，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

（二）數(shù)形互助，幫助理解算理

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需要學(xué)生挖掘數(shù)與形的本質(zhì)聯(lián)系，通過(guò)“慧眼〞識(shí)別數(shù)量，感知圖形，形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的明了認(rèn)識(shí)和理解.理解算理是計(jì)算教學(xué)的關(guān)鍵，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和規(guī)律推理能力的根本.教師要利用清楚的理論指導(dǎo)學(xué)生理解算理.在指導(dǎo)學(xué)生探究算理時(shí)，教師要勉勵(lì)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行，理解其中的運(yùn)算技巧和策略，促進(jìn)學(xué)生把握知識(shí)本質(zhì)，提高理解能力.例如，在教授“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)〞時(shí)，教師可以提出問(wèn)題：工人師傅要維修一段路，每小時(shí)完成1/2，照這樣計(jì)算，1/4小時(shí)能完成這條路的幾分之幾？在引導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)，教師可以勉勵(lì)學(xué)生通過(guò)畫圖的方式梳理自己對(duì)題目的理解.通過(guò)畫圖，學(xué)生會(huì)很好地理解題目中的已知數(shù)據(jù)以及所求數(shù)據(jù)，并能夠用圖形表示出來(lái).有了圖形的幫助，學(xué)生會(huì)在觀測(cè)中理解各種數(shù)量關(guān)系，把握本質(zhì)，從而把算式形象