復(fù)變函數(shù)和積分變換重要知識(shí)點(diǎn)歸納

(圓滿版)復(fù)變函數(shù)和積分變換重要知識(shí)點(diǎn)概括(圓滿版)復(fù)變函數(shù)和積分變換重要知識(shí)點(diǎn)概括(圓滿版)復(fù)變函數(shù)和積分變換重要知識(shí)點(diǎn)概括.WORD.格式.復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)要點(diǎn)(一)復(fù)數(shù)的見解1.復(fù)數(shù)的見解：zxiy，x,y是實(shí)數(shù),xRez,yImz.i.21注：一般兩個(gè)復(fù)數(shù)不比較大小，但其模（為實(shí)數(shù)）有大小.2.復(fù)數(shù)的表示1）模：zx2y2；2）幅角：在z0時(shí)，矢量與x軸正向的夾角，記為Argz（多值函數(shù)）；主值argz是位于(,]中的幅角。3）argz與arctanyx之間的關(guān)系以下：當(dāng)x0,argarctanzyx；當(dāng)x0,y0,argzarctany0,argzarctanyxyx；4）三角表示：zzcosisin，此中argz；注：中間必定是“+”號(hào)。5）指數(shù)表示：izze，此中argz。(二)復(fù)數(shù)的運(yùn)算1.加減法：若zxiyzxiy，則z1z2x1x2iy1y2111,2222.乘除法：1）若zxiyzxiy，則111,222zzxxyyixyxy；1212122112xiyxiyzxiyxxyyyxyx111112212121221i2222zxiyxiyxiyxyxy22222222222。2）若zzezze,則ii11,2212.專業(yè)資料.整理分享.izzzze；121212zz11zz22ie123.乘冪與方根1）若(cossin)zzizei，則(cossin)znzninzein。nn2）若(cossin)

zzize，則inzzn12ki2kkncossin(0,1,21)L（有n個(gè)相異的值）nn（三）復(fù)變函數(shù)1．復(fù)變函數(shù)：wfz，在幾何上可以看作把z平面上的一個(gè)點(diǎn)集D變到w平面上的一個(gè)點(diǎn)集G的照耀.2．復(fù)初等函數(shù)1）指數(shù)函數(shù)：cossineeyiy，在z平面各處可導(dǎo)，各處分析；zx且zzee。注：ze是以2i為周期的周期函數(shù)。（注意與實(shí)函數(shù)不一樣樣）3）對(duì)數(shù)函數(shù)：Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2L)（多值函數(shù)）；主值：lnzlnziargz。（單值函數(shù)）Lnz的每一個(gè)主值分支lnz在除掉原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的z平面內(nèi)各處分析，且lnz1z；注：負(fù)復(fù)數(shù)也有對(duì)數(shù)存在。（與實(shí)函數(shù)不一樣樣）3）乘冪與冪函數(shù)：(0)aea；(0)zezbbLnabbLnz注：在除掉原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的z平面內(nèi)各處分析，且bb1zbz。4）三角函數(shù)：izizizizeeeesinzcoszsinz,cosz,tgz,ctgz2i2coszsinzsinz,cosz在z平面內(nèi)分析，且sinzcosz,coszsinz1注：有界性sinz1,cosz1不再建立；（與實(shí)函數(shù)不一樣樣）zzzzeeee4）雙曲函數(shù),shzchz；22shz奇函數(shù)，chz是偶函數(shù)。shz,chz在z平面內(nèi)分析，且shzchzchzshz。,（四）分析函數(shù)的見解1．復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1）點(diǎn)可導(dǎo)：fz=0limz0fzzfz00z；2）地區(qū)可導(dǎo)：fz在地區(qū)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)。2．分析函數(shù)的見解1）點(diǎn)分析：fz在z及其z0的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，稱fz在z0點(diǎn)分析；02）地區(qū)分析：fz在地區(qū)內(nèi)每一點(diǎn)分析，稱fz在地區(qū)內(nèi)分析；3）若f(z)在z點(diǎn)不分析，稱z0為fz的奇點(diǎn)；03．分析函數(shù)的運(yùn)算法例：分析函數(shù)的和、差、積、商（除分母為零的點(diǎn)）仍為分析函數(shù)；分析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為分析函數(shù)；（五）函數(shù)可導(dǎo)與分析的充要條件1．函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：fzux,yivx,y在zxiy可導(dǎo)uxy和vx,y在x,y可微，且在x,y處知足CD條件：,uvuv,xyyx此時(shí)，有uvfzixx。2．函數(shù)分析的充要條件：fzux,yivx,y在地區(qū)內(nèi)分析2uxy和vx,y在x,y在D內(nèi)可微，且知足CD條件：,uvuv,xyyx；此時(shí)uvfzixx。注意：若ux,y,vx,y在地區(qū)D擁有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則ux,y,vx,y在地區(qū)D內(nèi)是可微的。所以在使用充要條件證明時(shí)，只需能說明u,v擁有一階連續(xù)偏導(dǎo)且知足CR條件時(shí)，函數(shù)f(z)uiv必定是可導(dǎo)或分析的。3．函數(shù)可導(dǎo)與分析的鑒別方法1）利用定義（題目要求用定義，如第二章習(xí)題1）2）利用充要條件（函數(shù)以fzux,yivx,y形式給出，如第二章習(xí)題2）3）利用可導(dǎo)或分析函數(shù)的四則運(yùn)算定理。（函數(shù)fz是以z的形式給出，如第二章習(xí)題3）（六）復(fù)變函數(shù)積分的見解與性質(zhì)n1．復(fù)變函數(shù)積分的見解：fzdzlimfz，c是圓滑曲線。kkcnk1注：復(fù)變函數(shù)的積分實(shí)質(zhì)是復(fù)平面上的線積分。2．復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)1）fzdzfzdz（1cc1c與c的方向相反）；2）[],,

fzgzdzfzdzgzdz是常數(shù)；ccc3）若曲線c由c與c2連結(jié)而成，則1fzdzfzdzfzdz。ccc1233．復(fù)變函數(shù)積分的一般計(jì)算法1）化為線積分：fzdzudxvdyivdxudy；（常用于理論證明）ccc2）參數(shù)方法：設(shè)曲線c：zzt(t)，此中對(duì)應(yīng)曲線c的起點(diǎn)，對(duì)應(yīng)曲線c的終點(diǎn)，則fzdzf[zt]z(t)dt。c（七）對(duì)于復(fù)變函數(shù)積分的重要定理與結(jié)論1．柯西—古薩基本定理：設(shè)fz在單連域B內(nèi)分析，c為B內(nèi)任一閉曲線，則?cfzdz02．復(fù)合閉路定理：設(shè)fz在多連域D內(nèi)分析，c為D內(nèi)隨意一條簡(jiǎn)單閉曲線，c1,c2,Lcn是c內(nèi)的簡(jiǎn)單閉曲線，它們互不包含互不訂交，并且以c1,c2,Lcn為界限的地區(qū)全含于D內(nèi)，則n①?cfzdz?此中c與fzdz,k1ckc均取正向；k②?fzdz0，此中由c及ckLn所構(gòu)成的復(fù)合閉路。1(1,2,)1(1,2,)3．閉路變形原理：一個(gè)在地區(qū)D內(nèi)的分析函數(shù)fz沿閉曲線c的積分，不因c在D內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，只需在變形過程中c不經(jīng)過使fz不分析的奇點(diǎn)。4．分析函數(shù)沿非閉曲線的積分：設(shè)fz在單連域B內(nèi)分析，Gz為fz在B內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，則z2z1fzdzGz2Gz1(z1,z2B)說明：分析函數(shù)fz沿非閉曲線的積分與積分路徑?jīng)]關(guān)，計(jì)算時(shí)只需求出原函數(shù)即可。5。柯西積分公式：設(shè)fz在地區(qū)D內(nèi)分析，c為D內(nèi)任一正向簡(jiǎn)單閉曲線，c的內(nèi)部完整屬于D，z0為c內(nèi)隨意一點(diǎn)，則4?cfzzz0dz2ifz06．高階導(dǎo)數(shù)公式：分析函數(shù)fz的導(dǎo)數(shù)仍為分析函數(shù)，它的n階導(dǎo)數(shù)為?cfzi2ndzfz(n1,2L)0n1(zz)n!0此中c為fz的分析地區(qū)D內(nèi)環(huán)繞z0的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，并且它的內(nèi)部圓滿屬于D。7．重要結(jié)論：12i,n0?。（c是包含a的隨意正向簡(jiǎn)單閉曲dzn1(za)0,n0c線）8．復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法1）若fz在地區(qū)D內(nèi)各處不分析，用一般積分法fzdzf[zt]ztdtc2）設(shè)fz在地區(qū)D內(nèi)分析，c是D內(nèi)一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，則由柯西—古薩定理，0fzdz?cc是D內(nèi)的一條非閉曲線，z1,z2對(duì)應(yīng)曲線c的起點(diǎn)和終點(diǎn)，則有z2fzdzfzdzFzFz21cz13）設(shè)fz在地區(qū)D內(nèi)不分析曲線c內(nèi)僅有一個(gè)奇點(diǎn)：?c?cfzdz2ifz0zz0fz2indzfzn10(zz)n!0（f(z)在c內(nèi)分析）n曲線c內(nèi)有多于一個(gè)奇點(diǎn)：?cfzdz?fzdz（kc1kc內(nèi)只有一個(gè)奇i5點(diǎn)zk）n或：?（留數(shù)基本定理）fzdz2iRes[f(z),z]kk1c若被積函數(shù)不可以表示成fzn(zz)o1，則須改用第五章留數(shù)定理來(lái)計(jì)算。（八）分析函數(shù)與調(diào)解函數(shù)的關(guān)系1．調(diào)解函數(shù)的見解：若二元實(shí)函數(shù)(x,y)在D內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)22且知足220xy，(x,y)為D內(nèi)的調(diào)解函數(shù)。2．分析函數(shù)與調(diào)解函數(shù)的關(guān)系分析函數(shù)fzuiv的實(shí)部u與虛部v都是調(diào)解函數(shù)，并稱虛部v為實(shí)部u的共軛調(diào)解函數(shù)。兩個(gè)調(diào)解函數(shù)u與v構(gòu)成的函數(shù)f(z)uiv不用然是分析函數(shù)；但是若u,v假如知足柯西—黎曼方程，則uiv必定是分析函數(shù)。3．已知分析函數(shù)fz的實(shí)部或虛部，求分析函數(shù)fzuiv的方法。vv1）偏微分法：若已知實(shí)部uux,y，利用CR條件，得,xy；對(duì)vuyx兩邊積分，得uvdygxx（*）再對(duì)（*）式兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)，得vudygxxxx（）由CR條件，uvyx，得uudygxyxx，可求出gx；6代入（*）式，可求得虛部uvdygxx。2）線積分法：若已知實(shí)部uux,y，利用CR條件可得vvuudvdxdydxdyxyyx，故虛部為x,yuuvdxdycx,yyx00；因?yàn)樵摲e分與路徑?jīng)]關(guān)，可采納簡(jiǎn)單路徑（如折線）計(jì)算它，其中x0,y0與x,y是分析地區(qū)中的兩點(diǎn)。3）不定積分法：若已知實(shí)部uux,y，依據(jù)分析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和CR條件得悉，uvuu

fzii

xyxy將此式右端表示成z的函數(shù)Uz，因?yàn)閒z仍為分析函數(shù)，故fzUzdzc（c為實(shí)常數(shù)）注：若已知虛部v也可用近似方法求出實(shí)部u.（九）復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1．復(fù)數(shù)列的極限1）復(fù)數(shù)列{}{}nanibn（n1,2L）收斂于復(fù)數(shù)abi的充要條件為limana,limbnb（同時(shí)建立）nn2）復(fù)數(shù)列{}n收斂實(shí)數(shù)列{an},{bn}同時(shí)收斂。2．復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1）復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(aib)收斂的充要條件是級(jí)數(shù)nnnna與nb同nn0n0n0時(shí)收斂；2）級(jí)數(shù)收斂的必需條件是lim0n。n7注：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性可以概括為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性問題的討論。（十）冪級(jí)數(shù)的斂散性1．冪級(jí)數(shù)的見解：表達(dá)式nczz或( )n0ncz為冪級(jí)數(shù)。nn0n02．冪級(jí)數(shù)的斂散性1）冪級(jí)數(shù)的收斂定理—阿貝爾定理(Abel)：假如冪級(jí)數(shù)ncz在z00nn0處收斂，那么對(duì)知足zz0的全部z，該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；假如在z處發(fā)散，那么對(duì)知足0zz的全部z，級(jí)數(shù)必發(fā)散。02）冪級(jí)數(shù)的收斂域—圓域冪級(jí)數(shù)在收斂圓域內(nèi)，絕對(duì)收斂；在圓域外，發(fā)散；在收斂圓的圓周上可能收斂；也可能發(fā)散。3）收斂半徑的求法：收斂圓的半徑稱收斂半徑。比值法假如cn1lim0ncn，則收斂半徑1R；根值法limcn0，則收斂半徑n1R；假如0，則R；說明在整個(gè)復(fù)平面上各處收斂；假如，則R0；說明僅在zz0或z0點(diǎn)收斂；注：若冪級(jí)數(shù)出缺項(xiàng)時(shí)，不可以直接套用公式求收斂半徑。（如2ncz）nn03．冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)1）代數(shù)性質(zhì)：設(shè)nnazbz的收斂半徑分別為R1與,nnn0n0R，記2RRR，min,128則當(dāng)zR時(shí)，有nnn( )abzazbz（線性運(yùn)算）nnnnn0n0n0nnn( )( )( )azbzababLabz（乘積運(yùn)算）nnn0n110nn0n0n02）復(fù)合性質(zhì)：設(shè)當(dāng)r時(shí)，nfa，當(dāng)zR時(shí)，gz分析nn0且gzr，則當(dāng)zR時(shí)，nf[gz]a[gz]。nn03）分析運(yùn)算性質(zhì)：設(shè)冪級(jí)數(shù)naz的收斂半徑為R0，則nn0其和函數(shù)nfzaz是收斂圓內(nèi)的分析函數(shù)；nn0在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)，收斂半徑不變；且nfznaznn01zR在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求積，收斂半徑不變；z0annfzdzz0n1n1zR（十一）冪函數(shù)的泰勒張開1.泰勒張開：設(shè)函數(shù)fz在圓域zzR內(nèi)分析，則在此圓域內(nèi)fz0可以張開成冪級(jí)數(shù)nfz0fzzz0n0n!n；并且此張開式是獨(dú)一的。注：若fz在z0分析，則fz在z的泰勒張開式建立的圓域的收斂0半徑Rz0a；此中R為從z0到fz的距z近來(lái)一個(gè)奇點(diǎn)a之間的距離。092．常用函數(shù)在z的泰勒張開式001）23n1zzzznez1zLLzn!2!3!n!n02）11zn0n2nLLz1z1zzz3）sinn35n(1)zz(1)2n12n1zzzLzLzn0(2n1)!3!5!(2n1)!4）n24n(1)zz(1)2n2ncoszz1LzLzn0(2n)!2!4!(2n)!3．分析函數(shù)張開成泰勒級(jí)數(shù)的方法1）直接法：直接求出1ncfzn0n!n，于是fzczz0。nn02）間接法：利用已知函數(shù)的泰勒張開式及冪級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算和逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法將函數(shù)張開。（十二）冪函數(shù)的洛朗張開1.洛朗級(jí)數(shù)的見解：nczz，含正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)。n0n2．洛朗張開定理：設(shè)函數(shù)fz在圓環(huán)域RzzR內(nèi)各處分析，102c為圓環(huán)域內(nèi)繞z0的隨意一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，則在此在圓n環(huán)域內(nèi)，有fzczz0，且張開式獨(dú)一。nn3．分析函數(shù)的洛朗張開法：洛朗級(jí)數(shù)一般只好用間接法張開。*4．利用洛朗級(jí)數(shù)求圍線積分：設(shè)fz在rzzR內(nèi)分析，c為0rzzR內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，則?21。此中fzdzic0cc為f(z)在rzz0R內(nèi)洛朗張開式中11zz0的系數(shù)。說明：圍線積分可轉(zhuǎn)變?yōu)榍蟊环e函數(shù)的洛朗張開式中1(zz)的系010數(shù)。（十三）孤立奇點(diǎn)的見解與分類1。孤立奇點(diǎn)的定義：fz在z點(diǎn)不分析,但在0z的0zz0內(nèi)解0析。2。孤立奇點(diǎn)的種類：1）可去奇點(diǎn)：睜開式中不含zz的負(fù)冪項(xiàng)；02fzcczzczzL010202）極點(diǎn)：張開式中含有限項(xiàng)zz的負(fù)冪項(xiàng)；0ccc(m1)12mfzLcc(zz)c(zz)Lmm101020(zz)(zz)(zz)000gzm(zz)0,此中m1mgzcczzLczzczzL在z0分析，mm(1)(0)1(0)0(0)且gz00,m1,cm0；3）天性奇點(diǎn)：張開式中含無(wú)量多項(xiàng)zz的負(fù)冪項(xiàng)；0ccm1mLLLL

fzcc(zz)c(zz)

m010m0(zz)(zz)00（十四）孤立奇點(diǎn)的鑒別方法1．可去奇點(diǎn)：limzz0fzc常數(shù)；02．極點(diǎn)：limzz0fz3．天性奇點(diǎn)：limzz0fz不存在且不為。4．零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系1）零點(diǎn)的見解：不恒為零的分析函數(shù)fz，假如能表示成mfz(zz)z，0此中z在z0分析，z00,m為正整數(shù)，稱z0為fz的m級(jí)零點(diǎn)；2）零點(diǎn)級(jí)數(shù)判其他充要條件11z是fz的m級(jí)零點(diǎn)0nfz0,(n1,2,Lm1)0mfz003）零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系：z是fz的m級(jí)零點(diǎn)z0是01fz的m級(jí)極點(diǎn)；4）重要結(jié)論若za分別是z與z的m級(jí)與n級(jí)零點(diǎn)，則za是zgz的mn級(jí)零點(diǎn)；當(dāng)mn時(shí)，za是zz的mn級(jí)零點(diǎn)；當(dāng)mn時(shí)，za是zz的nm級(jí)極點(diǎn)；當(dāng)mn時(shí)，za是zz的可去奇點(diǎn)；當(dāng)mn時(shí)，za是zz的l級(jí)零點(diǎn)，lmin(m,n)當(dāng)mn時(shí)，za是zz的l級(jí)零點(diǎn)，此中l(wèi)m(n)（十五）留數(shù)的見解1．留數(shù)的定義：設(shè)z為fz的孤立奇點(diǎn)，fz在z0的去心鄰域00zz內(nèi)分析，c為該域內(nèi)包含z0的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線，則稱0積分1i?為fz在fzdz2cz的留數(shù)（或殘留），記作0Res[fz,z]01i?2cfzdz2．留數(shù)的計(jì)算方法若z0是fz的孤立奇點(diǎn)，則Res[fz,z]c1，此中c1為fz在0z的去心鄰域內(nèi)洛朗張開式中01(zz)的系數(shù)。01）可去奇點(diǎn)處的留數(shù)：若z是fz的可去奇點(diǎn)，則0Res[fz,z]00122）m級(jí)極點(diǎn)處的留數(shù)法例I若z是fz的m級(jí)極點(diǎn)，則0Res[fz,z]0m11dmlim[(zz)fz]0m1(m1)!dzzz0特別地，若z0是fz的一級(jí)極點(diǎn)，則Res[fz,z]0lim(zz)fz0zz0注：假如極點(diǎn)的實(shí)質(zhì)級(jí)數(shù)比m低，上述規(guī)則仍舊有效。法例II設(shè)fzPzQz，Pz,Qz在z0分析，Pz00,QzQz，則00,00PzPz0Res[,z]QzQz00（十六）留數(shù)基本定理設(shè)fz在地區(qū)D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1,z2L,zn外各處分析，c為D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，則?cfzdz2iRes[fz,zn]n1說明：留數(shù)定理把求沿簡(jiǎn)單閉曲線積分的整體問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蟊环e函數(shù)fz在c內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處留數(shù)的局部問題。積分變換復(fù)習(xí)綱領(lǐng)一、傅里葉變換的見解13jwtF[f(t)]f(t)edtF(w)11jtF[F( )]F( )edf(t)2二、幾個(gè)常用函數(shù)的傅里葉變換1F[e(t)]j1F[u(t)]( )jF[(t)]1F[1]2( )三、傅里葉變換的性質(zhì)位移性（時(shí)域）：jwtF[f(tt)]eF[f(t)]00位移性（頻域）：jwtF[ef(t)]F(w)F(ww)0www001位移性推論：000F[sinwtf(t)][F(ww)F(ww)]2j位移性推論：1F[coswtf(t)][F(ww)F(ww)]0002微分性（時(shí)域）：F[f(t)](jw)F(w)（t,f(t)0），F(xiàn)f(n)tjwnFw，[( )]( )( )Ff(n)tjwnFw，(n1)t,f(t)0微分性（頻域）：n(n)F[(jt)ft]Fw,F[(jt)f(t)]F(w)相像性：1wF[f(at)]F( )aa(a0)四、拉普拉斯變換的見解stL[f