中考專題訓(xùn)練05：函數(shù)與幾何圖形的綜合【含答案】

中考專題訓(xùn)練05：函數(shù)與幾何圖形的綜合1.已知函數(shù)y=mx2-(2m-5)x+m-2的圖象與x軸有兩個公共點.(1)求m的取值范圍,并寫出當(dāng)m取范圍內(nèi)最大整數(shù)時函數(shù)的解析式;(2)題(1)中求得的函數(shù)記為C1.①當(dāng)n≤x≤-1時,y的取值范圍是1≤y≤-3n,求n的值;②函數(shù)C2:y=m(x-h)2+k的圖象由函數(shù)C1的圖象平移得到,其頂點P落在以原點為圓心,半徑為5的圓內(nèi)或圓上.設(shè)函數(shù)C1的圖象頂點為M,求點P與點M距離最大時函數(shù)C2的解析式.2.如圖ZT5-1,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點,B點坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點C(0,3).圖ZT5-1(1)求拋物線的解析式;(2)點P在x軸下方的拋物線上,過點P的直線y=x+m與直線BC交于點E,與y軸交于點F,求PE+EF的最大值.(3)點D為拋物線對稱軸上一點.當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時,求點D的坐標(biāo).3.如圖ZT5-2,以原點O為圓心,3為半徑的圓與x軸分別交于A,B兩點(點B在點A的右邊),P是半徑OB上一點,過點P且垂直于AB的直線與☉O分別交于C,D兩點(點C在點D的上方),直線AC,DB交于點E.若AC∶CE=1∶2.圖ZT5-2(1)求點P的坐標(biāo);(2)求過點A和點E,且頂點在直線CD上的拋物線的函數(shù)表達(dá)式.4.如圖ZT5-3,拋物線y=a(x-2)2-1過點C(4,3),交x軸于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)).圖ZT5-3(1)求拋物線的解析式,并寫出頂點M的坐標(biāo);(2)連接OC,CM,求tan∠OCM的值;(3)若點P在拋物線的對稱軸上,連接BP,CP,BM,當(dāng)∠CPB=∠PMB時,求點P的坐標(biāo).5.如圖ZT5-4①,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=34x+m與x軸,y軸分別交于點A和點B(0,-1),拋物線y=12x2+bx+c經(jīng)過點B,且與直線l的另一個交點為C(4,n圖ZT5-4(1)求n的值和拋物線的解析式.(2)點D在拋物線上,且點D的橫坐標(biāo)為t(0<t<4),DE∥y軸交直線l于點E,點F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖②).若矩形DFEG的周長為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式及p的最大值.(3)M是平面內(nèi)一點,將△AOB繞點M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后,得到△A1O1B1,點A,O,B的對應(yīng)點分別是點A1,O1,B1.若△A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上,請直接寫出點A1的橫坐標(biāo).6.如圖ZT5-5,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=33x2-233x-3與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,對稱軸與x軸交于點D,點E(4,n圖ZT5-5(1)求直線AE的解析式.(2)點P為直線CE下方拋物線上的一點,連接PC,PE.當(dāng)△PCE的面積最大時,連接CD,CB,點K是線段CB的中點,點M是線段CP上的一點,點N是線段CD上的一點,求KM+MN+NK的最小值.(3)點G是線段CE的中點,將拋物線y=33x2-233x-3沿x軸正方向平移得到新拋物線y',y'經(jīng)過點D,y'的頂點為點F.在新拋物線y'的對稱軸上,是否存在點Q,使得△FGQ為等腰三角形?若存在,直接寫出點Q的坐標(biāo);若不存在參考答案1.解:(1)由題意可得:m解得:m<2512,且m≠0當(dāng)m=2時,函數(shù)解析式為y=2x2+x.(2)①函數(shù)y=2x2+x圖象開口向上,對稱軸為直線x=-14∴當(dāng)x<-14時,y隨x的增大而減小.∵當(dāng)n≤x≤-1時,y的取值范圍是1≤y≤-3n,∴2n2+n=-3n.∴n=-2或n=0(舍去).∴n=-2.②∵y=2x2+x=2x+142-18,∴函數(shù)C1的圖象頂點M的坐標(biāo)為-14,-18.由圖形可知當(dāng)P為射線MO與圓的交點時,距離最大.∵點P在直線OM上,由O(0,0),M-14,-18可求得直線的解析式為y=12設(shè)P(a,b),則有a=2b.根據(jù)勾股定理可得PO2=(2b)2+b2=(5)2,解得b=1(負(fù)值已舍).∴a=2.∴PM最大時函數(shù)C2的解析式為y=2(x-2)2+1.2.解:(1)由題意得32+3∴拋物線的解析式為y=x2-4x+3.(2)方法1(代數(shù)法):如圖①,過點P作PG∥CF交CB于點G,由題意知∠BCO=∠CFE=45°,F(0,m),C(0,3),∴△CFE和△GPE均為等腰直角三角形,∴EF=22CF=22(3-m),PE=又易知直線BC的解析式為y=-x+3.設(shè)xP=t(1<t<3),則PE=22PG=22(-t+3-t-m)=22(-m-2又∵t2-4t+3=t+m,∴m=t2-5t+3.∴PE+EF=22(3-m)+22(-m-2t+3)=22(-2t-2m+6)=-2(t+m-3)=-2(t2-4t)=-2(t-2)2+∴當(dāng)t=2時,PE+EF取最大值42.方法2:(幾何法)如圖②,由題易知直線BC的解析式為y=-x+3,OC=OB=3,∴∠OCB=45°.同理可知∠OFE=45°,∴△CEF為等腰直角三角形.以BC為對稱軸將△FCE對稱得到△F'CE,作PH⊥CF'于點H則PE+EF=PF'=2PH.又PH=yC-yP=3-yP.∴當(dāng)yP最小時,PE+EF取最大值.∵拋物線的頂點坐標(biāo)為(2,-1),∴當(dāng)yP=-1時,(PE+EF)max=2×(3+1)=42.(3)由(1)知對稱軸為直線x=2,設(shè)D(2,n),如圖③.當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形,且D在BC上方D1位置時,由勾股定理得CD12+BC2=B即(2-0)2+(n-3)2+(32)2=(3-2)2+(0-n)2,解得n=5;當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形,且D在BC下方D2位置時,由勾股定理得BD22+BC2=C即(2-3)2+(n-0)2+(32)2=(2-0)2+(n-3)2,解得n=-1.∴當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時,D點坐標(biāo)為(2,5)或(2,-1).3.解:(1)過點E作EF⊥x軸于點F,∵CD⊥AB,∴CD∥EF,PC=PD.∴△ACP∽△AEF,△BPD∽△BFE.∵AC∶CE=1∶2,∴AC∶AE=1∶3.∴APAF=CPEF=13,DPEF=PBBF=13.∴AF=3∴3AP-3PB=AB.又∵☉O的半徑為3,設(shè)P(m,0),∴3(3+m)-3(3-m)=6,∴m=1.∴P(1,0).(2)∵P(1,0),∴OP=1,∵A(-3,0).∴OA=3,∴AP=4,BP=2.∴AF=12.連接BC.∵AB是直徑,∴∠ACB=90°.∵CD⊥AB,∴△ACP∽△CBP,∴APCP=CP∴CP2=AP·BP=4×2=8.∴CP=22(負(fù)值已舍).∴EF=3CP=62.∴E(9,62).∵拋物線的頂點在直線CD上,∴CD是拋物線的對稱軸,∴拋物線過點(5,0).設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx+c.根據(jù)題意得0=9解得a∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=28x2-24x-4.解:(1)由拋物線y=a(x-2)2-1過點C(4,3),得3=a(4-2)2-1,解得a=1,∴拋物線的解析式為y=(x-2)2-1,頂點M的坐標(biāo)為(2,-1).(2)如圖,連接OM,∵OC2=32+42=25,OM2=22+12=5,CM2=22+42=20,∴CM2+OM2=OC2,∴∠OMC=90°.OM=5,CM=25,tan∠OCM=OMCM=525(3)如圖,過C作CN垂直于對稱軸,垂足N在對稱軸上,取一點E,使EN=CN=2,連接CE,EM=6.當(dāng)y=0時,(x-2)2-1=0,解得x1=1,x2=3,∴A(1,0),B(3,0).∵CN=EN,∴∠CEP=∠PMB=∠CPB=45°,∵∠EPB=∠EPC+∠CPB=∠PMB+∠PBM,∴∠EPC=∠PBM,∴△CEP∽△PMB,∴EPMB=CEPM,易知MB=2,CE=2∴6-PM2=22PM,解得∴P點坐標(biāo)為(2,2+5)或(2,2-5).5.解:(1)∵直線l:y=34x+m經(jīng)過點B(0,-1),∴m=-1,∴直線l的解析式為y=34x-1∵直線l:y=34x-1經(jīng)過點C(4,n∴n=34×4-1=2∵拋物線y=12x2+bx+c經(jīng)過點C(4,2)和點B(0,-∴1解得b∴拋物線的解析式為y=12x2-54x-(2)令y=0,則34x-1=解得x=43∴點A的坐標(biāo)為43,0,∴OA=43在Rt△OAB中,OB=1,∴AB=OA2+OB∵DE∥y軸,∴∠ABO=∠DEF,在矩形DFEG中,EF=DE·cos∠DEF=DE·OBAB=35DF=DE·sin∠DEF=DE·OAAB=45∴p=2(DF+EF)=2×45+35DE=145DE∵點D的橫坐標(biāo)為t(0<t<4),∴Dt,12t2-54t-1,Et,34t-1,∴DE=34t-1-12t2-54t-1=-12t2+2t,∴p=145×-12t2+2t=-75t2+285∴p=-75(t-2)2+285,且-7∴當(dāng)t=2時,p有最大值285(3)∵△AOB繞點M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,∴A1O1∥y軸,B1O1∥x軸.設(shè)點A1的橫坐標(biāo)為x,如圖①,點O1,B1在拋物線上時,點O1的橫坐標(biāo)為x,點B1的橫坐標(biāo)為x+1,∴12x2-54x-1=12(x+1)2-54(解得x=34如圖②,點A1,B1在拋物線上時,點B1的橫坐標(biāo)為x+1,點A1的縱坐標(biāo)比點B1的縱坐標(biāo)大43∴12x2-54x-1=12(x+1)2-54(x+1)-解得x=-712綜上所述,點A1的橫坐標(biāo)為34或-76.解:(1)令y=0,得33x2-233x-解得x1=-1,x2=3,∴點A(-1,0),B(3,0).∵點E(4,n)在拋物線上,∴n=33×42-233×4-3即點E4,設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b,則-k+b∴直線AE的解析式為y=33x+3(2)令y=33x2-233x-3中x=0,得∴C(0,-3).由(1)得點E4,∴直線CE的解析式為y=233x-過點P作PH∥y軸,交CE于點H,如圖①,設(shè)點Pt,33t2-233t-3,則Ht,233t-3∴PH=233t-3-33t2-23∴S△PCE=S△PHC+S△PHE=12·PH·=12×-3=-233t2+=-233(t2-4=-233(t-2)2+∵-233∴當(dāng)t=2時,S△PCE最大,此時點P(2,-3).∵C(0,-3),∴PC∥x軸.∵B(3,0),K為BC的中點,∴K32,-32.如圖②,作點K關(guān)于CP,C