中考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)21《圖形的變化》知識(shí)講解+鞏固練習(xí)（提高版）（含答案）

PAGE中考總復(fù)習(xí)：圖形的變換--知識(shí)講解（提高）【考綱要求】1.通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)，探索它們的基本性質(zhì)；2.能夠按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)后的圖形，能作出簡(jiǎn)單平面圖形經(jīng)過(guò)一次或兩次軸對(duì)稱后的圖形；3.探索基本圖形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓）的軸對(duì)稱性質(zhì)及其相關(guān)性質(zhì).4.探索圖形之間的變換關(guān)系（軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合）；5.利用軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)；認(rèn)識(shí)和欣賞軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、平移變換1.平移的概念：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移，平移不改變圖形的形狀和大小．【要點(diǎn)詮釋】（1）平移是運(yùn)動(dòng)的一種形式，是圖形變換的一種，本講的平移是指平面圖形在同一平面內(nèi)的變換；（2）圖形的平移有兩個(gè)要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離，這兩個(gè)要素是圖形平移的依據(jù)；（3）圖形的平移是指圖形整體的平移，經(jīng)過(guò)平移后的圖形，與原圖形相比，只改變了位置，而不改變圖形的大小，這個(gè)特征是得出圖形平移的基本性質(zhì)的依據(jù)．2．平移的基本性質(zhì)：由平移的概念知，經(jīng)過(guò)平移，圖形上的每一個(gè)點(diǎn)都沿同一個(gè)方向移動(dòng)相同的距離，平移不改變圖形的形狀和大小，因此平移具有下列性質(zhì)：經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等．【要點(diǎn)詮釋】（1）要注意正確找出“對(duì)應(yīng)線段，對(duì)應(yīng)角”，從而正確表達(dá)基本性質(zhì)的特征；（2）“對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等”，這個(gè)基本性質(zhì)既可作為平移圖形之間的性質(zhì)，又可作為平移作圖的依據(jù)．考點(diǎn)二、軸對(duì)稱變換1．軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形

軸對(duì)稱：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，也叫做這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).

軸對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形.

2．軸對(duì)稱變換的性質(zhì)

①關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形.

②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線.

③兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.

④如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱.

3．軸對(duì)稱作圖步驟

①找出已知圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，過(guò)關(guān)鍵點(diǎn)作對(duì)稱軸的垂線，并延長(zhǎng)至2倍，得到各點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)．

②按原圖形的連結(jié)方式順次連結(jié)對(duì)稱點(diǎn)即得所作圖形.

４．翻折變換：圖形翻折問(wèn)題是近年來(lái)中考的一個(gè)熱點(diǎn)，其實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱問(wèn)題，折疊重合部分必全等，折痕所在直線就是這兩個(gè)全等形的對(duì)稱軸，互相重合的兩點(diǎn)（對(duì)稱點(diǎn)）連線必被折痕垂直平分.【要點(diǎn)詮釋】翻折的規(guī)律是，折疊部分的圖形，折疊前后，關(guān)于折痕成軸對(duì)稱，兩圖形全等，折疊圖形中有相似三角形，常用勾股定理.考點(diǎn)三、旋轉(zhuǎn)變換

1．旋轉(zhuǎn)概念：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn).點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角.

２．旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)

圖形通過(guò)旋轉(zhuǎn)，圖形中每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線都是旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，圖形的形狀、大小都沒(méi)有發(fā)生變化.

３．旋轉(zhuǎn)作圖步驟

①分析題目要求，找出旋轉(zhuǎn)中心，確定旋轉(zhuǎn)角.

②分析所作圖形，找出構(gòu)成圖形的關(guān)鍵點(diǎn).

③沿一定的方向，按一定的角度、旋轉(zhuǎn)各頂點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心所連線段,從而作出圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

④按原圖形連結(jié)方式順次連結(jié)各對(duì)應(yīng)點(diǎn).【要點(diǎn)詮釋】１．圖形變換與圖案設(shè)計(jì)的基本步驟

①確定圖案的設(shè)計(jì)主題及要求；

②分析設(shè)計(jì)圖案所給定的基本圖案；

③利用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱對(duì)基本圖案進(jìn)行變換，實(shí)現(xiàn)由基本圖案到各部分圖案的有機(jī)組合；

④對(duì)圖案進(jìn)行修飾，完成圖案.2．平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱之間的聯(lián)系

一個(gè)圖形沿兩條平行直線翻折（軸對(duì)稱）兩次相當(dāng)于一次平移，沿不平行的兩條直線翻折兩次相當(dāng)于一次旋轉(zhuǎn)，其旋轉(zhuǎn)角等于兩直線交角的2倍.【典型例題】類型一、平移變換1.如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′．

（1）證明△A′AD′≌△CC′B；

（2）若∠ACB=30°，試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)C′在線段AC上的什么位置時(shí)，四邊形ABC′D′是菱形，并請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)已知利用SAS判定△A′AD′≌△CC′B；

（2）由已知可推出四邊形ABC′D′是平行四邊形，只要再證明一組鄰邊相等即可確定四邊形ABC′D′是菱形，由已知可得到BC′=AC，AB=AC，從而得到AB=BC′，所以四邊形ABC′D′是菱形．【答案與解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到，

∴A′D′=AD=CB，AA′=CC′，A′D′∥AD∥BC．

∴∠D′A′C′=∠BCA．

∴△A′AD′≌△CC′B．

（2）解：當(dāng)點(diǎn)C′是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABC′D′是菱形．

理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到，

∴C′D′=CD=AB．

由（1）知AD′=C′B．

∴四邊形ABC′D′是平行四邊形．

在Rt△ABC中，點(diǎn)C′是線段AC的中點(diǎn)，

∴BC′=AC．

而∠ACB=30°，

∴AB=AC．

∴AB=BC′．

∴四邊形ABC′D′是菱形．【總結(jié)升華】本題考查了平移的性質(zhì)特點(diǎn)以及全等的判定和菱形的判定，注意對(duì)這兩個(gè)判定定理的準(zhǔn)確掌握，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力．2．操作與探究：

（1）對(duì)數(shù)軸上的點(diǎn)P進(jìn)行如下操作：先把點(diǎn)P表示的數(shù)乘以，再把所得數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向右平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′．點(diǎn)A，B在數(shù)軸上，對(duì)線段AB上的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行上述操作后得到線段A′B′，其中點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′，B′．如圖1，若點(diǎn)A表示的數(shù)是-3，則點(diǎn)A′表示的數(shù)是________；若點(diǎn)B′表示的數(shù)是2，則點(diǎn)B表示的數(shù)是_____；已知線段AB上的點(diǎn)E經(jīng)過(guò)上述操作后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E′與點(diǎn)E重合，則點(diǎn)E表示的數(shù)是__________．

（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)正方形ABCD及其內(nèi)部的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行如下操作：把每個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都乘以同一個(gè)實(shí)數(shù)a，將得到的點(diǎn)先向右平移m個(gè)單位，再向上平移n個(gè)單位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其內(nèi)部的點(diǎn)，其中點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′，B′．已知正方形ABCD內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)F經(jīng)過(guò)上述操作后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F′與點(diǎn)F重合，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題目規(guī)定，以及數(shù)軸上的數(shù)向右平移用加計(jì)算即可求出點(diǎn)A′，設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)為a，根據(jù)題意列出方程求解即可得到點(diǎn)B表示的數(shù)，設(shè)點(diǎn)E表示的數(shù)為b，根據(jù)題意列出方程計(jì)算即可得解；

（2）先根據(jù)向上平移橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)加，向右平移橫坐標(biāo)加，縱坐標(biāo)不變求出平移規(guī)律，然后設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)平移規(guī)律列出方程組求解即可．【答案與解析】（1）點(diǎn)A′：-3×+1=-1+1=0，

設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)為a，則a+1=2，解得a=3，

設(shè)點(diǎn)E表示的數(shù)為b，則b+1=b，解得b=；

故答案為：0；3；.

（2）根據(jù)題意得，，解得，

設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，y），

∵對(duì)應(yīng)點(diǎn)F′與點(diǎn)F重合，

∴x+=x，y+2=y，解得x=1，y=4，所以，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，4）．【總結(jié)升華】耐心細(xì)致的讀懂題目信息是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，若將邊長(zhǎng)為的兩個(gè)互相重合的正方形紙片沿對(duì)角線翻折成等腰直角三角形后，再抽出一個(gè)等腰直角三角形沿移動(dòng)，若重疊部分的面積是，則移動(dòng)的距離等于.【答案】根據(jù)題意得：AB∥A′B′，BC∥B′C′，

∴∠A′PC=∠B=90°，

∵∠A=∠CA′P=∠ACP=45°，

∴△A′PC是等腰直角三角形，

∵△A′PC的面積是1cm2，

∴S△A′PC=A′P?PC=1（cm2），

∴A′P=PC=cm，

∴A′C=2cm，

由于原等腰直角三角形的斜邊是2cm，

所以平移的距離是：2-2（cm）．類型二、軸對(duì)稱變換3．（2016?貴陽(yáng)模擬）如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E是射線CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△DCE沿DE折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′．（1）若點(diǎn)C′剛好落在對(duì)角線BD上時(shí)，BC′=；（2）若點(diǎn)C′剛好落在線段AB的垂直平分線上時(shí)，求CE的長(zhǎng)；（3）若點(diǎn)C′剛好落在線段AD的垂直平分線上時(shí)，求CE的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)點(diǎn)B，C′，D在同一直線上得出BC′=BD﹣DC′=BD﹣DC求出即可；（2）利用垂直平分線的性質(zhì)得出CC′=DC′=DC，則△DC′C是等邊三角形，進(jìn)而利用勾股定理得出答案；（3）利用①當(dāng)點(diǎn)C′在矩形內(nèi)部時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)C′在矩形外部時(shí)，分別求出即可．【答案與解析】解：（1）如圖1，∵點(diǎn)B，C′，D在同一直線上，∴BC′=BD﹣DC′=BD﹣DC=10﹣6=4；故答案為：4；（2）如圖2，連接CC′，∵點(diǎn)C′在AB的垂直平分線上，∴點(diǎn)C′在DC的垂直平分線上，∴CC′=DC′=DC，則△DC′C是等邊三角形，設(shè)CE=x，易得DE=2x，由勾股定理得：（2x）2﹣x2=62，解得：x=2，即CE的長(zhǎng)為2；（3）作AD的垂直平分線，交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)C′在矩形內(nèi)部時(shí)，如圖3，∵點(diǎn)C′在AD的垂直平分線上，∴DM=4，∵DC′=6，由勾股定理得：MC′=2，∴NC′=6﹣2，設(shè)EC=y，則C′E=y，NE=4﹣y，故NC′2+NE2=C′E2，即（6﹣2）2+（4﹣y）2=y2，解得：y=9﹣3，即CE=9﹣3；②當(dāng)點(diǎn)C′在矩形外部時(shí)，如圖4，∵點(diǎn)C′在AD的垂直平分線上，∴DM=4，∵DC′=6，由勾股定理得：MC′=2，∴NC′=6+2，設(shè)EC=z，則C′E=a，NE=z﹣4故NC′2+NE2=C′E2，即（6+2）2+（z﹣4）2=z2，解得：z=9+3，即CE=9+3，綜上所述：CE的長(zhǎng)為9±3．【總結(jié)升華】此題主要考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖所示，有一塊面積為1的正方形紙片ABCD，M、N分別為AD、BC的邊上中點(diǎn)，將C點(diǎn)折至MN上，落在P點(diǎn)的位置，折痕為BQ，連接PQ．

（1）求MP的長(zhǎng)；

（2）求證：以PQ為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于.【答案】（1）解：連接BP、PC，由折法知點(diǎn)P是點(diǎn)C關(guān)于折痕BQ的對(duì)稱點(diǎn)．

∴BQ垂直平分PC，BC=BP．

又∵M(jìn)、N分別為AD、BC邊上的中點(diǎn)，且四邊形ABCD是正方形，

∴BP=PC．

∴BC=BP=PC．

∴△PBC是等邊三角形．

∵PN⊥BC于N，BN=NC=BC=，∠BPN=×∠BPC=30°，

∴PN=，MP=MN-PN=．

（2）證明：由折法知PQ=QC，∠PBQ=∠QBC=30°．

在Rt△BCQ中，QC=BC?tan30°=1×=，

∴PQ=．

∴以PQ為邊的正方形的面積為．4.已知：矩形紙片中，AB=26厘米，厘米，點(diǎn)E在AD上，且厘米，點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，按如下操作：步驟一，折疊紙片，使點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，展開紙片得折痕（如圖（1）所示）；步驟二，過(guò)點(diǎn)P作交所在的直線于點(diǎn)Q，連結(jié)QE（如圖（2）所示）；（1）無(wú)論點(diǎn)P在AB邊上任何位置，都有PQQE（填“＞”、“=”、“＜”號(hào)）（2）如圖（3）所示，將矩形紙片放在直角坐標(biāo)系中，按上述步驟一、二進(jìn)行操作：①當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)時(shí)，與交于點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)是（，）；②當(dāng)厘米時(shí)，與交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（，）；③當(dāng)厘米時(shí)，在圖（3）中畫出，（不要求寫畫法）并求出與的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P在在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，與形成一系列的交點(diǎn)，…觀察，猜想：眾多的交點(diǎn)形成的圖象是什么？并直接寫出該圖象的函數(shù)表達(dá)式.（A）BCDEN（A）BCDENO612182461218ABCDPEMNBC（P） （1） （2） （3）【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)折疊的特點(diǎn)可知△NQE≌△NQP，所以PQ=QE．

（2）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥Q3P，垂足為G，則四邊形APGE是矩形．設(shè)Q3G=x，則Q3E=Q3P=x+6．利用Rt△Q3EG中的勾股定理可知x=9，Q3P=15．即Q3（12，15）．

（3）根據(jù)上述的點(diǎn)的軌跡可猜測(cè)這些點(diǎn)形成的圖象是一段拋物線，利用待定系數(shù)法可解得函數(shù)關(guān)系式：y=x2+3（0≤x≤26）．

【答案與解析】（1）由折疊的特點(diǎn)可知△NQE≌△NQP，所以PQ=QE．

（2）①（0，3）；②（6，6）．

③畫圖，如圖所示．

過(guò)點(diǎn)E作EG⊥Q3P，垂足為G，則四邊形APGE是矩形．

∴GP=6，EG=12．

設(shè)Q3G=x，則Q3E=Q3P=x+6．

在Rt△Q3EG中，∵EQ32=EG2+Q3G2

∴x=9．

∴Q3P=15．

∴Q3（12，15）（3）這些點(diǎn)形成的圖象是一段拋物線．

函數(shù)關(guān)系式：y=x2+3（0≤x≤26）．【總結(jié)升華】本題是一道幾何與函數(shù)綜合題，它以“問(wèn)題情境--建立模型--解釋、應(yīng)用與拓展”的模式，通過(guò)動(dòng)點(diǎn)P在AB上的移動(dòng)構(gòu)造探究性問(wèn)題，讓學(xué)生在“操作、觀察、猜想、建模、驗(yàn)證”活動(dòng)過(guò)程中，提高動(dòng)手能力，培養(yǎng)探究精神，發(fā)展創(chuàng)新思維．類型三、旋轉(zhuǎn)變換5.（2016?本溪）已知，△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，點(diǎn)P是射線CB上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ，連接QB交射線AC于點(diǎn)M.（1）如圖①，當(dāng)AC=BC，點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，線段PB、CM的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖②，當(dāng)AC=BC，點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖③，若，點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上，CM=2，AP=13，求△ABP的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）作出△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，和等腰三角形的性質(zhì)再用中位線即可；（2）作出△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，和等腰三角形的性質(zhì)，再用中位線即可；（3）同（1）（2）的方法作出輔助線，利用平行線中的基本圖形“A”得出比例式，用勾股定理求出x，最后用三角形的面積公式即可．【答案與解析】解：（1）如圖1，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AB'C'，∴B'Q=BP，AB'=AB，連接BB'，∵AC⊥BC，∴點(diǎn)C在BB'上，且CB'=CB，依題意得，∠C'B'B=90°，∴CM∥B'C'，而CB'=CB，∴2CM=B'Q，∵BP=B'Q，∴BP=2CM，故答案為：BP=2CM；（2）BP=2CM仍然成立，理由：如圖2，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AB'C'，連接B'Q，∴B'Q=BP，AB'=AB，連接BB'，∵AC⊥BC，∴點(diǎn)C在BB'上，且CB'=CB，依題意得，∠C'B'B=90°，∴CM∥B'C'，而CB'=CB，∴2CM=B'Q，∵BP=B'Q，∴BP=2CM，（3）如圖3，設(shè)BC=2x，則AC=5x，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AB'C'，連接B'Q，∴BC=B'C'，B'Q=BP，AC=AC'延長(zhǎng)BC交C'Q于N，∴四邊形ACNC'是正方形，∴C'N=CN=AC=5x，∴BN=CN+BC=7x∵CM∥QN，∴∵CM=2，∴∴QN=7，∴BP=B'Q=C'N+QN﹣B'C'=5x+7﹣2x=3x+7，∴PC=BC+BP=2x+3x+7=5x+7，在Rt△ACP中，AC=5x，PC=5x+7，AP=13，根據(jù)勾股定理得，（5x）2+（5x+7）2=132∴x=1或x=﹣（舍），∴BP=3x+7=10，AC=5x=5，∴S△ABP=BP×AC=×10×5=25．【總結(jié)升華】此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形和直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線，也是本題的難點(diǎn)．6.如圖①，小慧同學(xué)把一個(gè)正三角形紙片（即△OAB）放在直線l1上，OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1繞點(diǎn)B1按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°，此時(shí)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)A1處，點(diǎn)O1運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O2處（即頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)上述兩次旋轉(zhuǎn)到達(dá)O2處）．小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是兩段圓弧，即和，頂點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路程是這兩段圓弧的長(zhǎng)度之和，并且這兩段圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形AOO1的面積、△AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和．小慧進(jìn)行類比研究：如圖②，她把邊長(zhǎng)為1的正方形紙片OABC放在直線l2上，OA邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點(diǎn)^按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處（即點(diǎn)B處），點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)C1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B1處；小慧又將正方形紙片AO1C1B1繞頂點(diǎn)B1按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，……，按上述方法經(jīng)過(guò)若干次旋轉(zhuǎn)后．她提出了如下問(wèn)題：?jiǎn)栴}①：若正方形紙片OABC接上述方法經(jīng)過(guò)3次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路程，并求頂點(diǎn)O在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過(guò)5次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路程；問(wèn)題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過(guò)多少次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路程是_______________?請(qǐng)你解答上述兩個(gè)問(wèn)題．【思路點(diǎn)撥】求出正方形OABC翻轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)O的軌跡弧長(zhǎng),再求面積即可.要理解的是第4次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O沒(méi)有移動(dòng).【答案與解析】解：?jiǎn)栴}①：如圖，正方形紙片經(jīng)過(guò)3次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是三段圓弧，所以頂點(diǎn)O在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路程為.頂點(diǎn)O在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所形成的圖形與直線圍成圖形的面積為.正方形紙片經(jīng)過(guò)5次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)的路程為：.問(wèn)題②：∵正方形紙片每經(jīng)過(guò)4次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)的路程均為：.又，而是正方形紙片第4+1次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)的路程.∴正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過(guò)81次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路程是.【總結(jié)升華】本題涉及到分類歸納，圖形的翻轉(zhuǎn)，扇形弧長(zhǎng)和面積.舉一反三：【變式】如圖，等腰梯形MNPQ的上底長(zhǎng)為2，腰長(zhǎng)為3，一個(gè)底角為60°．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，它的一邊AD在MN上，且頂點(diǎn)A與M重合．現(xiàn)將正方形ABCD在梯形的外面沿邊MN、NP、PQ進(jìn)行翻滾，翻滾到有一個(gè)頂點(diǎn)與Q重合即停止?jié)L動(dòng)．(1)請(qǐng)?jiān)谒o的圖中，用尺規(guī)畫出點(diǎn)A在正方形整個(gè)翻滾過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路線圖；(2)求正方形在整個(gè)翻滾過(guò)程中點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S．【答案】(1)點(diǎn)A在正方形整個(gè)翻滾過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路線圖如圖：(2)弧AA1與AD，A1D圍成圖形的面積為：圓的面積（半徑為1）=；弧A1A2與A1D，DN，A2N圍成圖形的面積為：圓的面積（半徑為）＋正方形的面積（邊長(zhǎng)為1）=；弧A2A3與A2N，NA3圍成圖形的面積為：圓的面積（半徑為1）=；其他三塊小面積分別與以上三塊相同.∴點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S為：.中考總復(fù)習(xí)：圖形的變換--鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1．有下列四個(gè)說(shuō)法，其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（）

①圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)，位置保持不變的點(diǎn)只有旋轉(zhuǎn)中心；

②圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形上的每一個(gè)點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了相同的角度；

③圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；

④圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，圖形的形狀和大小都沒(méi)有發(fā)生變化．A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)2.在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，確定一個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)的位置所需的條件是（）.①三角形原來(lái)的位置；②旋轉(zhuǎn)中心；③三角形的形狀；④旋轉(zhuǎn)角．A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④3.（2017?大連模擬）如圖，折疊直角三角形ABC紙片，使兩銳角頂點(diǎn)A、C重合，設(shè)折痕為DE.若AB=4，BC=3，則BD的值是（）A． B．1 C． D．4.如圖是一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，要使它旋轉(zhuǎn)后與自身重合，至少應(yīng)將它繞中心逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的度數(shù)為（）.

A、30°B、60°C、120°D、180°5.如圖,把矩形紙條沿同時(shí)折疊，兩點(diǎn)恰好落在邊的點(diǎn)處，若，，，則矩形的邊長(zhǎng)為（）.A.20B.22C.24D.30第4題第5題6．如圖,正方形硬紙片ABCD的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，若沿左圖中的虛線剪開，拼成如下圖的一座“小別墅”，則圖中陰影部分的面積是（）.A．2B．4C．8D．10二、填空題7.（2017·鄭州一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=5，AC=3，點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD，將△ADC沿AD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)，連結(jié)C’D交AB于點(diǎn)E，連結(jié)BC’.當(dāng)△BC’D是直角三角形時(shí)，DE的長(zhǎng)為．8.在RtABC中，∠A<∠B，CM是斜邊AB上的中線，將ACM沿直線CM折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，如果CD恰好與AB垂直，那么∠A等于度.第7題第8題9.在中，為邊上的點(diǎn)，連結(jié)（如圖所示）．如果將沿直線翻折后，點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處，那么點(diǎn)到的距離是．10.如圖，在ABC中，MN//AC，直線MN將ABC分割成面積相等的兩部分，將BMN沿直線MN翻折，點(diǎn)B恰好落在點(diǎn)E處，聯(lián)結(jié)AE，若AE//CN，則AE:NC=.第9題第10題11.（2016?閘北區(qū)一模）如圖，將一張矩形紙片ABCD沿著過(guò)點(diǎn)A的折痕翻折，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F，折痕交BC于點(diǎn)E，將折疊后的紙片再次沿著另一條過(guò)點(diǎn)A的折痕翻折，點(diǎn)E恰好與點(diǎn)D重合，此時(shí)折痕交DC于點(diǎn)G，則CG：GD的值為．12.如圖,在計(jì)算機(jī)屏幕上有一個(gè)矩形畫刷ABCD，它的邊AB＝l，．把ABCD以點(diǎn)B為中心按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，則被這個(gè)畫刷著色的面積為________.

三、解答題13.如圖（1）所示，一張三角形紙片，.沿斜邊AB的中線CD把這線紙片剪成和兩個(gè)三角形如圖（2）所示.將紙片沿直線（AB）方向平移（點(diǎn)始終在同一條直線上），當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移，在平移的過(guò)程中，與交于點(diǎn)E，與分別交于點(diǎn)F，P.（1）當(dāng)平移到如圖（3）所示的位置時(shí)，猜想圖中與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.（2）設(shè)平移距離為，與重疊部分的面積為，請(qǐng)寫出與的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；（3）對(duì)于（2）中的結(jié)論是否存在這樣的，使得重疊部分面積等于原紙片面積的？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.14.（2015?河南）如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，連接DE，將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)α=0°時(shí)，=；②當(dāng)α=180°時(shí)，=．（2）拓展探究試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明．（3）問(wèn)題解決當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段BD的長(zhǎng)．15.如圖所示，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，1），點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)B、C不重合），過(guò)點(diǎn)D作直線＝－＋交折線OAB于點(diǎn)E．

（1）記△ODE的面積為S，求S與的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對(duì)稱圖形為四邊形O1A1B1C1，試探究O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由.

16．已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，4)、B(1，4)、C(3，2)，與x軸正半軸交于點(diǎn)D．

(1)求此拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)在x軸上求一點(diǎn)E，使得△BCE是以BC為底邊的等腰三角形；

(3)在(2)的條件下，過(guò)線段ED上動(dòng)點(diǎn)P作直線PF//BC，與BE、CE分別交于點(diǎn)F、G，將△EFG沿FG翻折得到△E′FG．設(shè)P(x，0)，△E′FG與四邊形FGCB重疊部分的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍．

【答案與解析】一．選擇題1．【答案】C．2．【答案】A.3．【答案】A.【解析】連接DC，AD=DC，設(shè)DB=x，則AD=DC=4-x，由勾股定理可得，解得.4．【答案】B.【解析】正六邊形被平分成六部分，因而每部分被分成的圓心角是60°，因而旋轉(zhuǎn)60度的整數(shù)倍，就可以與自身重合．則α最小值為60度．故選B．5．【答案】C.【解析】Rt△PHF中，有FH=10，則矩形ABCD的邊BC長(zhǎng)為PF+FH+HC=8+10+6=24，故選C．6．【答案】B.二．填空題7．【答案】或.【解析】當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C’重合時(shí)，BC=4，由翻折性質(zhì)：AE=AC=3，DC=DE，則EB=2.設(shè)CD=ED=x，則BD=4-x，，解得，則；當(dāng)∠EDB=90°，由翻折性質(zhì)：AC=AC’，∠C=∠C’=90°=∠CDC’，∴四邊形ACDC’是正方形，∴CD=AC=3，DB=1，由AC∥DE，△BDE∽△BCA，∴，解得DE=，點(diǎn)D在CB上運(yùn)動(dòng)，∠DBC’＜90°，故∠DBC’不可能為直角.8．【答案】30°.9．【答案】2.10．【答案】:1.【解析】利用翻折變換的性質(zhì)得出BE⊥MN，BE⊥AC，進(jìn)而利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊之間的比值與高之間關(guān)系，即可得出答案．11.【答案】．【解析】如圖所示：連接GE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠C=ADC=∠B=90°，AB=CD，AD=BC，由折疊的性質(zhì)得：∠DAE=∠BAE=45°，∠DAG=∠EAG=22.5°，AG⊥DE，∴GD=GE，∴∠GDE=∠GED=∠DAG=22.5°，∴∠CGE=∠GDE+∠GED=45°，∴△CEG是等腰直角三角形，∴GD=GE=CG，∴CG：GD=．故答案為：．12．【答案】.【解析】首先理解題干條件可知這個(gè)畫刷所著色的面積=2S△ABD+S扇形，扇形的圓心角為60°，半徑為2，求出扇形面積和三角形的面積即可．三.綜合題13．【解析】(1)D1E=D2F．

∵C1D1∥C2D2，∴∠C1=∠AFD2．

又∵∠ACB=90°，CD是斜邊上的中線，

∴DC=DA=DB，即C1D1=C2D2=BD2=AD1∴∠C1=∠A，∴∠AFD2=∠A

∴AD2=D2F．同理：BD1=D1E．

又∵AD1=BD2，∴AD2=BD1．∴D1E=D2F．

（2）∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，

∴由勾股定理，得AB=10．即AD1=BD2=C1D1=C2D2=5

又∵D2D1=x，∴D1E=BD1=D2F=AD2=5-x．∴C2F=C1E=x

在△BC2D2中，C2到BD2的距離就是△ABC的AB邊上的高，為．

設(shè)△BED1的BD1邊上的高為h，由探究，得△BC2D2∽△BED1，

∴．∴h=．S△BED1=×BD1×h=（5-x）2

又∵∠C1+∠C2=90°，∴∠FPC2=90°．

又∵∠C2=∠B，sinB=，cosB=．

∴PC2=x，PF=x，S△FC2P=PC2×PF=x2

而y=S△BC2D2-S△BED1-S△FC2P=S△ABC-（5-x）2-x2

∴y=-x2+x（0≤x≤5）．

（3）存在．

當(dāng)y=S△ABC時(shí)，即-x2+x=6，

整理得3x2-20x+25=0．解得，x1=，x2=5．

即當(dāng)x=或x=5時(shí)，重疊部分的面積等于原△ABC面積的．14．【解析】解：（1）①當(dāng)α=0°時(shí)，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC=，∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，∴，∴．②如圖1，，當(dāng)α=180°時(shí)，可得AB∥DE，∵，∴=．故答案為：．（2）如圖2，，當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小沒(méi)有變化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴．（3）①如圖3，，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD==，∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴．②如圖4，連接BD，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)P，，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD==，∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，∴DE==2，∴AE=AD﹣DE=8﹣2=6，由（2），可得，∴BD==．綜上所述，BD的長(zhǎng)為4或．15．【解析】（1）∵四邊形