2022-2023學(xué)年浙江省寧波市第七中學(xué)數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊期末檢測試題含解析

2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是，的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，則的值為（）A． B． C． D．2．如圖，已知的周長等于，則它的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的面積是（）A． B． C． D．3．若(、均不為0)，則下列等式成立的是()A． B． C． D．4．一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)是（）A． B． C． D．5．如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以邊AB的中點(diǎn)O為圓心，作半圓與AC相切，點(diǎn)P、Q分別是邊BC和半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，則PQ長的最大值與最小值的和是（）A． B． C． D．6．下列事件中，是隨機(jī)事件的是（）A．三角形任意兩邊之和大于第三邊B．任意選擇某一電視頻道，它正在播放新聞聯(lián)播C．a(chǎn)是實(shí)數(shù)，|a|≥0D．在一個(gè)裝著白球和黑球的袋中摸球，摸出紅球7．一元二次方程的根為（）A． B． C． D．8．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A．＜2 B．＜3 C．＜2且≠0 D．＜3且≠29．已知2x=3y，則下列比例式成立的是（）A． B． C． D．10．在RtABC中，∠C=90°，如果，那么的值是（）A．90° B．60° C．45° D．30°11．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax﹣2b（a≠0）與反比例函數(shù)y＝（c≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）A． B．C． D．12．去年某果園隨機(jī)從甲、乙、丙、丁四個(gè)品種的葡萄樹中各采摘了10棵，每棵產(chǎn)量的平均數(shù)（單位：千克）及方差（單位：千克）如下表所示：甲乙丙丁242423202.11.921.9今年準(zhǔn)備從四個(gè)品種中選出一種產(chǎn)量既高又穩(wěn)定的葡萄樹進(jìn)行種植，應(yīng)選的品種是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、填空題（每題4分，共24分）13．一個(gè)圓錐的母線長為10，高為6，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是_______．14．已知△ABC，D、E分別在AC、BC邊上，且DE∥AB，CD＝2，DA＝3，△CDE面積是4，則△ABC的面積是______15．若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的值等于__________________．16．如圖，面積為6的矩形的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，則__________．17．?dāng)?shù)據(jù)2，3，5，5，4的眾數(shù)是____．18．已知圓錐的底面半徑為2cm，側(cè)面積為10πcm2，則該圓錐的母線長為_____cm．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖1.正方形的邊長為，點(diǎn)在上，且.如圖2.將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，并以為邊作正方形，連接試問隨著線段的旋轉(zhuǎn)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由；如圖3，在的條件下，若點(diǎn)恰好落在線段上，求點(diǎn)走過的路徑長(保留).20．（8分）如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，且與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，連接，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、）重合.（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，求面積的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.21．（8分）如圖，在梯形中，，，是延長線上的點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．（1）求證：∽（2）如果，，，求的長．22．（10分）有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有196個(gè)人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？23．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D為邊CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合），過D作DO⊥AB，垂足為O，點(diǎn)B′在邊AB上，且與點(diǎn)B關(guān)于直線DO對稱，連接DB′，AD．（1）求證：△DOB∽△ACB；（2）若AD平分∠CAB，求線段BD的長；（3）當(dāng)△AB′D為等腰三角形時(shí)，求線段BD的長．24．（10分）我們不妨約定：如圖①，若點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，且滿足∠ACD=∠B（或∠BCD=∠A），則稱滿足這樣條件的點(diǎn)為△ABC邊AB上的“理想點(diǎn)”．（1）如圖①，若點(diǎn)D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，AC=，AB=4.試判斷點(diǎn)D是不是△ABC邊AB上的“理想點(diǎn)”，并說明理由．（2）如圖②，在⊙O中，AB為直徑，且AB=5，AC=4.若點(diǎn)D是△ABC邊AB上的“理想點(diǎn)”，求CD的長．（3）如圖③，已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,2),B(0,-3),C為x軸正半軸上一點(diǎn)，且滿足∠ACB=45°，在y軸上是否存在一點(diǎn)D，使點(diǎn)A是B，C，D三點(diǎn)圍成的三角形的“理想點(diǎn)”，若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．25．（12分）指出“垃圾分類工作就是新時(shí)尚”．某小區(qū)為響應(yīng)垃圾分類處理，改善生態(tài)環(huán)境，將生活垃圾分成三類：廚余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分別記為a，b，c，并且設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱：“廚余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分別記為A，B，C．（1）若小明將一袋分好類的生活垃圾隨機(jī)投入一類垃圾箱，畫樹狀圖求垃圾投放正確的概率；（2）為了了解居民生活垃圾分類投放的情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了小區(qū)某天三類垃圾箱中總共10噸的生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下（單位：噸）：ABCa30.81.2b0.262.440.3c0.320.281.4該小區(qū)所在的城市每天大約產(chǎn)生500噸生活垃圾，根據(jù)以上信息，試估算該城市生活垃圾中的“廚余垃圾”每月（按30天）有多少噸沒有按要求投放．26．先化簡，再求值：(1+)，其中，x＝﹣1．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【分析】過作于，首先根據(jù)勾股定理求出，然后在中即可求出的值．【詳解】如圖，過作于，則，AC＝＝1．．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2、C【分析】過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，連接OA，OB，由⊙O的周長等于6πcm，可得⊙O的半徑，又由圓的內(nèi)接多邊形的性質(zhì)可得∠AOB=60°，即可證明△AOB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求出OH的長，根據(jù)S正六邊形ABCDEF=6S△OAB即可得出答案．【詳解】過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，連接OA，OB，設(shè)⊙O的半徑為r，∵⊙O的周長等于6πcm，∴2πr=6π，解得：r=3，∴⊙O的半徑為3cm，即OA=3cm，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AOB=×360°=60°，OA=OB，∴△OAB是等邊三角形，∴AB=OA=3cm，∵OH⊥AB，∴AH=AB，∴AB=OA=3cm，∴AH=cm，OH==cm，∴S正六邊形ABCDEF=6S△OAB=6××3×=（cm2）．故選C.【點(diǎn)睛】此題考查了正多邊形與圓的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3、D【分析】直接利用比例的性質(zhì)分別判斷得出答案．【詳解】解：A、，則xy=21，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、，則xy=21，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、，則3y=7x，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、，則3x=7y，故此選項(xiàng)正確．

故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確將比例式變形是解題關(guān)鍵．4、A【分析】在一元二次方程的一般形式下，可得出一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)．【詳解】解：由，所以方程的常數(shù)項(xiàng)是故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的一般形式及各項(xiàng)系數(shù)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5、C【解析】如圖，設(shè)⊙O與AC相切于點(diǎn)E，連接OE，作OP1⊥BC垂足為P1交⊙O于Q1，此時(shí)垂線段OP1最短，P1Q1最小值為OP1﹣OQ1，求出OP1，如圖當(dāng)Q2在AB邊上時(shí)，P2與B重合時(shí)，P2Q2最大值＝5+3＝8，由此不難解決問題．【詳解】如圖，設(shè)⊙O與AC相切于點(diǎn)E，連接OE，作OP1⊥BC垂足為P1，交⊙O于Q1，此時(shí)垂線段OP1最短，P1Q1最小值為OP1﹣OQ1．∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠C＝20°．∵∠OP1B＝20°，∴OP1∥AC．∵AO＝OB，∴P1C＝P1B，∴OP1AC＝4，∴P1Q1最小值為OP1﹣OQ1＝1，如圖，當(dāng)Q2在AB邊上時(shí)，P2與B重合時(shí)，P2Q2經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長，P2Q2最大值＝5+3＝8，∴PQ長的最大值與最小值的和是2．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確找到點(diǎn)PQ取得最大值、最小值時(shí)的位置，屬于中考?？碱}型．6、B【分析】隨機(jī)事件就是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，根據(jù)定義即可判斷．【詳解】A、三角形任意兩邊之和大于第三邊是必然事件，故選項(xiàng)不合題意；B、任意選擇某一電視頻道，它正在播放新聞聯(lián)播，是隨機(jī)事件，故選項(xiàng)符合題意；C、a是實(shí)數(shù)，|a|≥0，是必然事件，故選項(xiàng)不合題意；D、在一個(gè)裝著白球和黑球的袋中摸球，摸出紅球，是不可能事件，故選項(xiàng)不合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．7、A【解析】提公因式，用因式分解法解方程即可．【詳解】一元二次方程，提公因式得：，∴或，解得：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程－因式分解法，熟練掌握因式分解法是解題的關(guān)鍵．8、D【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)非0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解不等式組即可得出結(jié)論．【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程(k?2)x2?2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：k<3且k≠2.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查根的判別式，解題突破口是得出關(guān)于k的一元一次不等式組.9、C【分析】把各個(gè)選項(xiàng)依據(jù)比例的基本性質(zhì)，兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，已知的比例式可以轉(zhuǎn)化為等積式2x=3y，即可判斷．【詳解】A．變成等積式是：xy=6，故錯(cuò)誤；B．變成等積式是：3x+3y=4y，即3x=y，故錯(cuò)誤；C．變成等積式是：2x=3y，故正確；D．變成等積式是：5x+5y=3x，即2x+5y=0，故錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了判斷兩個(gè)比例式是否能夠互化的方法，即轉(zhuǎn)化為等積式，判斷是否相同即可．10、C【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解得即可．【詳解】解：由已知，，∵∴∵∠C=90°∴=45°故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解答關(guān)鍵是根據(jù)定義和已知條件構(gòu)造等式求解．11、D【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的圖象開口向上可知a＞0，對稱軸在y軸的左側(cè)可知b＞0，再由函數(shù)圖象交y軸的負(fù)半軸可知c＜0，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出正確答案．【詳解】∵二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸在y軸的左側(cè)，函數(shù)圖象交于y軸的負(fù)半軸∴a＞0，b＞0，c＜0，∴反比例函數(shù)y＝的圖象必在二、四象限；一次函數(shù)y＝ax﹣2b一定經(jīng)過一三四象限，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)各系數(shù)與圖像的關(guān)系.12、B【分析】先比較平均數(shù)得到甲組和乙組產(chǎn)量較好，然后比較方差得到乙組的狀態(tài)穩(wěn)定．【詳解】因?yàn)榧捉M、乙組的平均數(shù)丙組比丁組大，而乙組的方差比甲組的小，所以乙組的產(chǎn)量比較穩(wěn)定，所以乙組的產(chǎn)量既高又穩(wěn)定，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了方差：一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差．方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的一個(gè)量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越?。环粗?，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．也考查了平均數(shù)的意義．二、填空題（每題4分，共24分）13、80π【分析】首先根據(jù)勾股定理求得圓錐的底面半徑，從而得到底面周長，然后利用扇形的面積公式即可求解．【詳解】解：圓錐的底面半徑是：=8，圓錐的底面周長是：2×8π=16π，

則×16π×10=80π．故答案為：80π.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．14、25【分析】根據(jù)DE∥AB得到△CDE∽△CAB，再由CD和DA的長度得到相似比，從而確定△ABC的面積.【詳解】解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∵CD＝2，DA＝3，∴，又∵△CDE面積是4，∴，即，∴△ABC的面積為25.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的面積之比等于相似比的平方.15、1【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根解得a的取值范圍，進(jìn)而去掉中的絕對值和根號(hào)，化簡即可.【詳解】根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得解得a＜∴∴===3-2=1故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式和整式的化簡求值，當(dāng)△＞0，方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.16、-1【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得|k|=1，再根據(jù)函數(shù)所在的象限確定k的值．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過面積為1的矩形OABC的頂點(diǎn)B，

∴|k|=1，k=±1，

∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二象限，

∴k=-1．

故答案為：-1．【點(diǎn)睛】主要考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|．17、1【分析】由于眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個(gè)，由此即可確定這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．【詳解】解：∵1是這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)題，考查了確定一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的能力，解題關(guān)鍵是要明確定義，讀懂題意．18、5【解析】根據(jù)圓的周長公式求出圓錐的底面周長，根據(jù)圓錐的側(cè)面積的計(jì)算公式計(jì)算即可．【詳解】設(shè)圓錐的母線長為Rcm，圓錐的底面周長＝2π×2＝4π，則×4π×R＝10π，解得，R＝5（cm）故答案為5【點(diǎn)睛】本題考查的是圓錐的計(jì)算，理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．三、解答題（共78分）19、（1）；（2）【分析】(1)利用已知條件得出，從而可得出結(jié)論(2)連接，交于連接，可得出CG=AG，接著可證明是等邊三角形.，再找出，最后利用弧長公式求解即可.【詳解】解：.理由如下：由題意，可知.又，..如圖，連接，交于連接.四邊形是正方形，與互相垂直平分.點(diǎn)在線段上，垂直平分..由題意，知，.又正方形的邊長為，.，即是等邊三角形...則點(diǎn)走過的路徑長就是以為圓心，長為半徑，且圓心角為105°的一段弧的弧長.即所以點(diǎn)走過的路徑長是.【點(diǎn)睛】本題是一道利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)來求解的題目，考查到的知識(shí)點(diǎn)有全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及求弧長的公式.綜合性較強(qiáng).20、（1），D的坐標(biāo)為（1，4）；（2）當(dāng)m=時(shí)△BPE的面積取得最大值為，P的坐標(biāo)是（，3）；（3）存在，M點(diǎn)的坐標(biāo)為；；；；；【分析】（1）先根據(jù)拋物線經(jīng)過A（-1，0）B（3，0）兩點(diǎn)，分別求出a、b的值，再代入拋物線即可求出二次函數(shù)的解析式并得出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）先設(shè)出BD解析式y(tǒng)=kx+b，再把B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根據(jù)面積公式即可求出最大值以及點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）根據(jù)題意利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行分析求值，注意分類討論.【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）∴所以二次函數(shù)的解析式為：D的坐標(biāo)為（1，4）（2）設(shè)BD的解析式為y=kx+b∵過點(diǎn)B（3，0），D（1，4）∴解得BD的解析式為y=-2x+6設(shè)P（m，）PE⊥y軸于點(diǎn)E∴△BPE的PE邊上的高h(yuǎn)=S△BPE=×PE×h=m()==∵a=-1<0當(dāng)m=時(shí)△BPE的面積取得最大值為當(dāng)m=時(shí)，y=-2×+6=3P的坐標(biāo)是（，3）（3）存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，當(dāng)點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，可得BM平行于PN，則有N點(diǎn)縱坐標(biāo)等于P點(diǎn)縱坐標(biāo)，把y=3代入求出N的坐標(biāo)（0，3）或（2，3），當(dāng)N的坐標(biāo)（0，3）或（2，3）時(shí)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求得M點(diǎn)的坐標(biāo)為；，；當(dāng)BP平行于MN時(shí)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求得M點(diǎn)的坐標(biāo)為；；.M點(diǎn)的坐標(biāo)為：；；；；.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的解析式求得函數(shù)的最值，平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，注意數(shù)形結(jié)合的思想．21、（1）詳見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)三角形相似的判定定理，即可得到結(jié)論；（2）由∽，得，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）∵，∴，，∴∽；（2）解：∵，，，，∴．由（1）知，∽，∴，即∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)定理，掌握相似三角形對應(yīng)邊成比例，是解題的關(guān)鍵．22、每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了13個(gè)人．【分析】設(shè)平均一人傳染了x人，根據(jù)有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有196人患了流感，列方程求解．【詳解】設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了個(gè)人，則，即：則，解得：(不合題意，舍去)答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了13個(gè)人．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意，準(zhǔn)確找到等量關(guān)系列出方程是解決問題的關(guān)鍵．此題要注意判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．23、（1）證明見試題解析；（2）1；（3）．【解析】試題分析：（1）公共角和直角兩個(gè)角相等，所以相似.(2)由（1）可得三角形相似比，設(shè)BD＝x，CD，BD，BO用x表示出來，所以可得BD長.(3)同（2）原理，BD＝B′D＝x,AB′，B′O，BO用x表示,利用等腰三角形求BD長.試題解析：（1）證明:∵DO⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴∠ACB＝∠DOB＝90°,又∵∠B＝∠B．∴△DOB∽△ACB．（2）∵AD平分∠CAB，DC⊥AC,DO⊥AB,∴DO＝DC,在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝,8，∴AB＝10,∵△DOB∽△ACB,∴DO∶BO∶BD＝AC∶BC∶AB＝3∶4∶1,設(shè)BD＝x，則DO＝DC＝x，BO＝x,∵CD＋BD＝8，∴x＋x＝8，解得x＝,1，即：BD＝1．（3）∵點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于直線DO對稱，∴∠B＝∠OB′D，BO＝B′O＝x，BD＝B′D＝x,∵∠B為銳角，∴∠OB′D也為銳角，∴∠AB′D為鈍角,∴當(dāng)△AB′D是等腰三角形時(shí)，AB′＝DB′,∵AB′＋B′O＋BO＝10，∴x＋x＋x＝10，解得x＝，即BD＝，∴當(dāng)△AB′D為等腰三角形時(shí)，BD＝.點(diǎn)睛：角平分線問題的輔助線添加及其解題模型.①垂兩邊：如圖（1），已知平分，過點(diǎn)作，，則.②截兩邊：如圖（2），已知平分，點(diǎn)上，在上截取，則≌.③角平分線+平行線→等腰三角形：如圖（3），已知平分，，則；如圖（4），已知平分，，則.(1)(2)(3)(4)④三線合一（利用角平分線+垂線→等腰三角形）：如圖（1），已知平分，且，則，.(1)24、（1）是，理由見解析；（2）；（3）D（0,42）或D（0,6）【分析】（1）依據(jù)邊長AC=，AB=4，D是邊AB的中點(diǎn)，得到AC2=，可得到兩個(gè)三角形相似，從而得到∠ACD=∠B；(2)由點(diǎn)D是△ABC的“理想點(diǎn)”，得到∠ACD=∠B或∠BCD=∠A，分兩種情況證明均得到CD⊥AB，再根據(jù)面積法求出CD的長；(3)使點(diǎn)A是B，C，D三點(diǎn)圍成的三角形的“理想點(diǎn)”，應(yīng)分兩種情況討論，利用三角形相似分別求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可.【詳解】（1）D是△ABC邊AB上的“理想點(diǎn)”，理由：∵AB=4，點(diǎn)D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，∴AD=2，∵AC2=8，，∴AC2=，又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴∠ACD=∠B，∴D是△ABC邊AB上的“理想點(diǎn)”.（2）如圖②，∵點(diǎn)D是△ABC的“理想點(diǎn)”，∴∠ACD=∠B或∠BCD=∠A,當(dāng)∠ACD=∠B時(shí)，∵∠ACD+∠BCD=90，∴∠BCD+∠B=90，∴∠CDB=90，當(dāng)∠BCD=∠A時(shí)，同理可得CD⊥AB，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90,AB=5，AC=4，∴BC==3，∵,∴,∴.（3）如圖③，存在.過點(diǎn)A作MA⊥AC交CB的延長線于點(diǎn)M，∵∠MAC=∠A