不定方程與不定方程組

第二十七講不定方程、方程組不定方程（組）是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)的方程（組），其特點(diǎn)是解往往有無(wú)窮多個(gè)，不能惟一確定.對(duì)于不定方程（組），我們往往限定只求整數(shù)解，甚至只求正整數(shù)解，加上條件限制后，解就可確定.二元一次不定方程是最簡(jiǎn)單的不定方程，一些復(fù)雜的不定方程（組）常常轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程問(wèn)題加以解決，與之相關(guān)的性質(zhì)有：設(shè)a、b、c、d為整數(shù)，那么不定方程ax+by=c有如下兩個(gè)重要命題：（1）假設(shè)（a,b）=d，且d卜。，那么不定方程ax+by=c沒(méi)有整數(shù)解；（2）假設(shè)x,y是方程ax+by=c且（a,b）=1的一組整數(shù)解（稱特解），那么]x—x。 （t為整數(shù)）是方0 0 [y=y-at程的全部整數(shù)解（稱通解）.解不定方程（組），沒(méi)有現(xiàn)成的模式、固定的方法可循，需要依據(jù)方程（組）的特點(diǎn)進(jìn)展恰當(dāng)?shù)淖冃?，并靈活運(yùn)用以下知識(shí)與方法；奇數(shù)偶數(shù)，整數(shù)的整除性、別離整系數(shù)、因數(shù)分解。配方利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)、窮舉，乘法公式，不等式分析等.舉例【例1】正整數(shù)m、n滿足8m+9n=mn+6,那么m的最大值為.（新加坡數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）思路點(diǎn)拔把m用含n的代數(shù)式表示，并別離其整數(shù)局部（簡(jiǎn)稱別離整系數(shù)法）.再結(jié)合整除的知識(shí)，求出m的最大值.注：求整系數(shù)不定方程ax+by=c的整數(shù)解。通常有以下幾個(gè)步驟：〔1〕判斷有無(wú)整數(shù)解；（2）求一個(gè)特解；（3）寫(xiě)出通解；（4）由整數(shù)t同時(shí)要滿足的條件（不等式組），代入⑵中的表達(dá)式，寫(xiě)出不定方程的正整數(shù)解.別離整系數(shù)法解題的關(guān)鍵是把其中一個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)敷式表示，結(jié)合整除的知識(shí)討論.【例2】如圖，在高速公路上從3千米處開(kāi)場(chǎng)，每隔4千米設(shè)一個(gè)速度限制標(biāo)志，而且從10千米處開(kāi)場(chǎng)，每隔9千米設(shè)一個(gè)測(cè)速照相標(biāo)志，那么剛好在19千米處同時(shí)設(shè)置這兩種標(biāo)志.問(wèn)下一個(gè)同時(shí)設(shè)置這兩種標(biāo)志的地點(diǎn)的千米數(shù)是（）.A.32千米B.37千米C.55千米D.90千米（省競(jìng)賽題） , 口 [TII? 3 71011 15 19 23思路點(diǎn)撥設(shè)置限速標(biāo)志、照相標(biāo)志千米數(shù)分別表示為3+4x、10十9y（x,y為自然數(shù)），問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求不定方程3+4x=0+9y的正整數(shù)解.【例3】（1）求方程15x+52y=6的所有整數(shù)解.（2）求方程x+y=x2—xy+y2的整數(shù)解.（莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克試題）一1115（3）求方程一+—+—=—的正整數(shù)解.xyz6（“希望杯〃邀請(qǐng)賽試題）思路點(diǎn)撥對(duì)于（1）通過(guò)觀察或輾轉(zhuǎn)相除法，先求出特解.對(duì)于⑵易想到完全平方公式，從配方人手，對(duì)

于⑵易知x、y、z都大于1,不妨設(shè)l<xWyWz,那么1>1>1,將復(fù)雜的三元不定方程轉(zhuǎn)化為一元不1yz等式，通過(guò)解不等式對(duì)某個(gè)未知數(shù)的取值作出估計(jì)，逐步縮小其取值圍，求出其結(jié)果.注：方程和不等式的相關(guān)性質(zhì)，尋求井縮小某個(gè)字母的取值圍，通過(guò)驗(yàn)算獲得全部解答.【例4】一個(gè)盒子里裝有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4?；?粒地取出，最終粒盒都剩1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子？〔2002年市競(jìng)賽題〕思路點(diǎn)撥無(wú)論怎么取，盒子里的棋子數(shù)不變，恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求不定方程的正整數(shù)解.【例5】中國(guó)百雞問(wèn)題：一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一.百錢買百雞，問(wèn)雞翁、雞母、雞雛各幾何？(出自中國(guó)數(shù)學(xué)家丘建的著作《算經(jīng)》)1+y+z=100思路點(diǎn)撥設(shè)雞翁、雞母、雞雛分別為1、y、z，那么有L,'z[八八51+3y+=100

[ 3通過(guò)消元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二元一次不定方程的非負(fù)整數(shù)解.【例6】 甲組同學(xué)每人有28個(gè)核桃，乙組同學(xué)每人有30個(gè)核桃，丙組同學(xué)每人有31個(gè)核桃，三組的核桃總數(shù)是365個(gè)，問(wèn)三個(gè)小組共有多少名同學(xué)？(2001年海峽兩岸友誼賽試題)思路點(diǎn)撥設(shè)甲組學(xué)生a人，乙組學(xué)生b人，丙組學(xué)生c人，由題意得28a+30b+31c=365,怎樣解三元一次不定方程?運(yùn)用放縮法，從求出a+b+c的取值圍入手.注：解不定方程組根本方法有：(1)視某個(gè)未知數(shù)為常數(shù)，將其他未知數(shù)用這個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示；(2)通過(guò)消元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不定方程求解；(3)運(yùn)用整體思想方法求解.【例7】不定方程4x+7y=2001有組正整數(shù)解.思路點(diǎn)撥49十7y=3義667 易知[1—f是其一組特解，，其通解為[1—丫+J',t￡Z，;[y=667 [y=667—411—667+71>1V ，解之得96WtW166[667—41>1，t可取整數(shù)值共71個(gè).,4x+7y=2001有71組正整數(shù)解.學(xué)力訓(xùn)練1.1、y、Z滿足x+y=5及z2=xy+y—9,那么x+2y+3z=.(2002年省競(jìng)賽題)2.4x—2.4x—3y—6z=0,x+2y—7c=0(xyzW0),的值為.3.用一元錢買面值4分、8分、1角的3種郵票共18,每種郵票至少買一，共有種不同的買法.4.購(gòu)置5種數(shù)學(xué)用品A「A「A3、A4、A5的件數(shù)和用錢總數(shù)列成下表:品名^件數(shù)A1A2A3A4A5總錢數(shù)第一次購(gòu)件數(shù)l34561992（元）第二次購(gòu)件數(shù)1579112984（元）那么5種數(shù)學(xué)用品各買一件共需元.（市競(jìng)賽題）.希望中學(xué)收到王教師捐贈(zèng)的足球、籃球、排球共20個(gè)，其總價(jià)值為330元，這三種球的價(jià)格分別是足球每個(gè)60元，籃球每個(gè)30元，排球每個(gè)10元，那么其中排球有個(gè).（市中考題）.方程8+1）2+&-2）2=1的整數(shù)解有（ ）.A.1組B.2組C.4組D.無(wú)數(shù)組.二元方程乂+丫+%=1999的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)有（）.A.20001999個(gè)B.19992000個(gè)C.2001000個(gè)D.2001999個(gè)（“希望杯〃邀請(qǐng)賽試題）.以下是一個(gè)六位數(shù)乘上一個(gè)一位數(shù)的豎式，各代表一個(gè)數(shù)（不一定一樣），那么a+b+c+d+e+f=（）.A.27B.24C.30D.無(wú)法確定（“五羊杯〃邀請(qǐng)賽試題）.求以下方程的整數(shù)解：（1）1lx+5y=7；（2）4x+y=3xy..在車站開(kāi)場(chǎng)檢票時(shí)，有@（@>0）名旅客在候車室排隊(duì)等候檢票進(jìn)站.檢票開(kāi)場(chǎng)后，仍有旅客繼續(xù)前來(lái)排隊(duì)檢票進(jìn)站，設(shè)旅客按固定的速度增加，檢票口檢票的速度也是固定的，假設(shè)開(kāi)放一個(gè)檢票口，那么需30分鐘才可將排隊(duì)等候檢票的旅客全部檢票完畢；假設(shè)開(kāi)放兩個(gè)檢票口，那么只需10分鐘便可將排隊(duì)等候檢票的旅客全部檢票完畢；如果要在5分鐘將排隊(duì)等侯檢票的旅客全部檢票完畢，以便后來(lái)到站的旅客能隨到隨檢，至少要同時(shí)開(kāi)放幾個(gè)檢票口？（市中考題）.下面是同學(xué)們玩過(guò)的“錘子、剪子、布〃的游戲規(guī)那么：游戲在兩位同學(xué)之間進(jìn)展，用伸出手掌表示

“布〃，兩人同時(shí)口念“錘子、剪子、布〃，一念到“布〃時(shí)，同時(shí)出手，”布〃贏”錘子〃，”錘子〃贏”剪子〃，”剪子〃贏”布〃.現(xiàn)在我們約定：”布〃贏”錘子〃得9分，“錘子〃贏”剪子〃得5分，“剪子〃贏”布〃得2分.（1）小明和某同學(xué)玩此游戲過(guò)程中，小明贏了21次，得108分，其中“剪子〃贏”布〃7次.聰明的同學(xué)，請(qǐng)你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)求出小明”布〃贏”錘子〃、”錘子〃贏”剪子〃各多少次？（2）如果小明與某同學(xué)玩了假設(shè)干次，得了30分，請(qǐng)你探究一下小明各種可能的贏法，并選擇其中的三種贏法填人下表.贏法一:“布〃贏”錘子〃“錘子〃贏”剪子〃“剪子〃贏”布〃贏的次數(shù)??贏法二:“布〃贏”錘子〃“錘子〃贏”剪子〃“剪子〃贏”布〃贏的次數(shù)贏法三:“布〃贏”錘子〃“錘子〃贏”剪子〃“剪子〃贏”布〃贏的次數(shù)??12.滿足19982十m2=19972+n2(0<rn<n<1998)的整數(shù)對(duì)(m,0共有對(duì).Ix=6一3y13.有理數(shù)x,y,2滿足< 。 ?！敲?2y+z的值為.Ix+3y—2xy+2z2=014.1998年某人的年齡恰等于他出生的公元年數(shù)的數(shù)字之和，那么他的年齡是歲..江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，如果用2臺(tái)抽水機(jī)抽水，40分鐘可抽完；如果用4臺(tái)抽水機(jī)抽水，16分鐘可抽完.如果要在10分鐘抽完水，那么，至少需要抽水機(jī)臺(tái)..有甲、乙、丙3種商品，某人假設(shè)購(gòu)甲3件、乙7件、丙1件共需24元，假設(shè)購(gòu)甲4件、乙10件、丙1件共需33元，那么此人購(gòu)甲、乙、丙各1件共需元..一個(gè)布袋中裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的大小一樣的小球，紅球上標(biāo)有數(shù)字1,黃球上標(biāo)有數(shù)字2,藍(lán)球上標(biāo)有數(shù)字3,小明從布袋中摸出10個(gè)球，它們上面所標(biāo)數(shù)字的和等于21,那么小明摸出的球中紅球的個(gè)數(shù)最多不超過(guò)個(gè)..（1）求滿足y4+2x4+1=4x2y的所有整數(shù)對(duì)（x,y）；（2）求出所有滿足5（xy+yz+zx）=4xyz的正整數(shù)解.（新加坡奧林匹克試題）.兄弟二人養(yǎng)了一群羊，當(dāng)每只羊的價(jià)錢（以元為單位）的數(shù)值恰等于這群羊的只數(shù)時(shí)，將這群羊全部賣出，兄弟二人平分賣羊得來(lái)的錢：哥哥先取10元，弟弟再取10元；這樣依次反復(fù)進(jìn)展，最后，哥哥先取10元，弟弟再取缺乏10元，這時(shí)哥哥將自己的一頂草帽給了弟弟，兄弟二人所得的錢數(shù)相等.問(wèn)這頂草帽值多少錢？（市競(jìng)賽題）.某人家的是八位數(shù)，將前四位數(shù)組成的數(shù)與后四位數(shù)組成的數(shù)相加得14405,將前三位數(shù)組成的數(shù)與后五位數(shù)組成的數(shù)相加得16970,求此人家的.（市選拔賽試題）21.某布店的一頁(yè)賬簿上沾了墨水，如下表所示:月日摘要數(shù)量（米）單價(jià)（元/米）金額（元）113全毛花呢XX49.36XXX7.28所賣呢料米數(shù)看不清楚了，但記得是賣了整數(shù)米；金額項(xiàng)目只看到后面3個(gè)數(shù)碼7.28,但前面的3個(gè)數(shù)碼看不清楚了，請(qǐng)你幫助查清這筆賬.（市〃金橋杯〃數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽試題）22.一支科學(xué)考察隊(duì)前往某條河流上的上游去考察一個(gè)生態(tài)區(qū).他們出發(fā)后以每天17km的速度前進(jìn)，沿河岸向上游行進(jìn)假設(shè)干天后到達(dá)目的地，然后在生態(tài)區(qū)考察了假設(shè)干天，完成任務(wù)后以每天25km的速度返回，在出發(fā)后的第60天，考察隊(duì)行進(jìn)了24km后回到出發(fā)點(diǎn)，試問(wèn)：科學(xué)考察隊(duì)在生態(tài)區(qū)考察了多少天？ （省競(jìng)賽題）參考答案口不定方程,方程組【例題束解】例]75提不e= 卜=3時(shí)川般大值為？山Jf—<5 1T'B選c提示小=%％5+】十甘九5+九廣二:為所求的解-[4=42—52f口)胡察易得?個(gè)粉解工一心。=一1￡,原方程所百整數(shù)解為 仃為整貌：.I、=—1Z+15才解法“L一4十喈'?務(wù)甯=4得L附一寧,專審=3用》=即一晨北演得產(chǎn)口口W 仕口 1?==]2+1口，11為餐效》(2)原方程化為C工一2*+“一：》十￡尸一1?工》由此得方程的密為63口由卜8/九強(qiáng)，1"]]浮)⑶提示+U+；—+近事即■王去由此得工7或3.當(dāng)工=占照:<9十>|■一手工々4+3-2,即由此得產(chǎn)三或5尊6,同理當(dāng)￡=3時(shí)卬=3或4+由此可得當(dāng)]￡±：￡》￡±時(shí).匕.6￡)共點(diǎn)二,J,12).CS.e.fi),(3,3.6).C3HMJ4租.由于7「任方社中地位平算，可符原方程的解拈石15蛆rf￡,$,IE)X九1343F.苫，1苫3{4JJ￡),：LE>￡+4h(]￡r4r幻，峰內(nèi)，由ML，由,f"E?￡》/L3,的J36.3)“6”3?3》，{3,&,4)/4rd.3>r<4.S,4)攥示?設(shè)總干里*有丁救糧于，則上疑趴肌4忑的餐小公能為1t除時(shí),余數(shù)為1,即l=1幼+15為自然數(shù)).工/=1】小取為自然更人帶1的I】=1舊/-^^=&+嗎」，1〕a-\園。七才本知久改口<1而41W即。,用0<4<16^>d'上」 11 」啟i。,所以,工=】2父1。+，一鹿]?即窟子里共有1H粒橘子,消去方程里中的*，德『上+制』10①顯然，E,及J是方程的一今■特解.所設(shè)方程的通K為!’一"「::(r/整數(shù)h于是有l(wèi)y=2,5-,r7i

?1皿一才一字=1加上打一4玷+m=T5—箝.由上bh沁M(jìn)t為整數(shù)得(—秒+?由N=3—1+一九一3.將j的值代人詞搟,再四鴕解|抬一“2"+?口=■(露甑『跖避(4,1距履1(dJ].3D^(12,4^4)M6設(shè)型ifl.乙鄴、兩擔(dān)分別行學(xué)生a人/人w人.期asfl-t-sofr+sit-jfj國(guó)瑞S+&十￡)<￡&|+3削+3]。=翔5.得1-+b4-0困31仃十白十門》￡的一3岫"Hlr="3,皆1一占十八二答％1],T所以4 ■#】2國(guó)此㈤+6+-]2或13當(dāng)，4#+工=13時(shí).陽(yáng)溫斗立=1,此方程無(wú)正程天正.故。+占十壯#】3,出+占*￡=12t學(xué)力訓(xùn)練】1,I3建通：法買4分,8分、I南的郵票分別為學(xué)東，"張.’秣，則h十爐十罌=18】得"+具=14串解得?44te>410a-"100G,"3J㈤4.1000軋15足C提示足C提示?國(guó)0+】)'4b-a/Hi.旦X,,均方正整Btt只牖(f-1>==?JfTT產(chǎn)=i｛工十1尸=1(j-2)*-010提示?當(dāng).r-c時(shí)寸一h=i白g,y分別取mi.w…」g版時(shí),：取"明有己舊。中快教解〉當(dāng)了「】時(shí)士/睛翻，有，犯?jìng)€(gè)推數(shù)解?學(xué)才=2時(shí)。+*=需股.有k期個(gè)整數(shù)牌手…當(dāng)f-1593時(shí),了+*=。,只有I班整數(shù)解一故非負(fù)常題解共有20004-19994-1998+-1=￡WI?>at-M&A提示[設(shè)礪=3；7-打男4門盹->1|的電￥+』即/9工="加設(shè)i=47品d=1暴，可或得上=34,5.期而豆7-142457+IS0i7&,2380Jj工=￡-1協(xié)k一一""整存I4--11凡提示a設(shè)檢票開(kāi)始每分即新增加的旅客為工人+檢票的速度為每個(gè)檢察口鼻分鐘樓y人.5分鐘內(nèi)惶票完畢同時(shí)開(kāi)放n個(gè)庖察口，明伊+9=9口了…①*3+1Dx=2*10y<+a0Li十5H<及*5#■■③點(diǎn)乂3—0)1得俐-a吐，毒尸號(hào)忙團(tuán)代八中.亂工工治”⑤*JV杷④點(diǎn)代人⑤?將&+■!■專打■號(hào)解得通孔H最學(xué)的整數(shù).4網(wǎng)至少需同時(shí)開(kāi)放4T檢票口一m設(shè)小明*布F-tf產(chǎn)密上在「俅子F”的子飛次，財(cái)產(chǎn)+KA幻 將H■心產(chǎn)8^j+5jH-7X2=lflA,

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