小學(xué)數(shù)學(xué)講義秋季六年級(jí)A版第11講進(jìn)位制進(jìn)階

第11講第十一講進(jìn)位制進(jìn)階知識(shí)站牌

六年級(jí)春季講（二）合選講（一）六年級(jí)秋季進(jìn)位制進(jìn)階級(jí)暑期的計(jì)數(shù)級(jí)秋季的規(guī)律掌握進(jìn)位制間的相互轉(zhuǎn)化，利用n進(jìn)制解決數(shù)論相關(guān)問(wèn)題漫畫(huà)釋義第11級(jí)下優(yōu)秀A版教師版1教學(xué)目標(biāo)1. 2. 3. 課堂引入機(jī)中的運(yùn)用，人類(lèi)發(fā)明了十進(jìn)位制記數(shù)法．然而，十進(jìn)位制和電子計(jì)算機(jī)卻沒(méi)有天然的聯(lián)系，所以在計(jì)算機(jī)的理論和應(yīng)用中難以暢通無(wú)阻．究竟為什么十進(jìn)位制和計(jì)算機(jī)沒(méi)有天然的聯(lián)系？和計(jì)算機(jī)聯(lián)系最自然的計(jì)數(shù)方法又是什么呢？這要從計(jì)算機(jī)的工作原理說(shuō)起．計(jì)算機(jī)的運(yùn)行要靠電流，對(duì)于一個(gè)電路節(jié)點(diǎn)而言，電流通過(guò)的也只有兩個(gè)狀態(tài)：磁化和未磁化．近年來(lái)用光盤(pán)記錄信息的做法也越來(lái)越普遍，光盤(pán)上每一個(gè)信息點(diǎn)的物理狀態(tài)有兩個(gè)：凹和凸，分別起著聚光和散光的作用．由此可見(jiàn)，計(jì)算機(jī)所使用的各種介質(zhì)所能表現(xiàn)的都是兩種狀態(tài)，如果要記錄十進(jìn)位制的一位數(shù)，至少要有四個(gè)記錄點(diǎn)（可有十六個(gè)信息既然每種介質(zhì)都是具有兩個(gè)狀態(tài)的，最自然的進(jìn)位制當(dāng)然是二進(jìn)位制．0bit）在計(jì)算機(jī)中是怎么用二進(jìn)制表示呢？經(jīng)典精講一、進(jìn)制的認(rèn)識(shí)我們常用的進(jìn)制為十進(jìn)制，特點(diǎn)是“逢十進(jìn)一”。在實(shí)際生活中，除了十進(jìn)制計(jì)數(shù)法外，還有其他的大于1的自然數(shù)進(jìn)位制。比如二進(jìn)制，八進(jìn)制，十六進(jìn)制等。和1。二進(jìn)制的計(jì)數(shù)單位分別是20、21、22、23、……，二進(jìn)制數(shù)也可以寫(xiě)成展開(kāi)式的形式，例1001102125024023122121020。二進(jìn)制的運(yùn)算法則：“滿二進(jìn)一，借一當(dāng)二”。n進(jìn)制：n進(jìn)制的運(yùn)算法則是“逢n進(jìn)一，借一當(dāng)n”，n進(jìn)制的四則混合運(yùn)算和十進(jìn)制一樣，先乘除，后加減；同級(jí)運(yùn)算，先左后右；有括號(hào)時(shí)先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的。二、進(jìn)制間的轉(zhuǎn)化2第11級(jí)下優(yōu)秀A版教師版 3 2 1 0 1234 15253545194 5 1117， 0011， 1015， 0102，所以最后結(jié)果是 2第11講進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換我們只研究整數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，如下圖所示。⑴十進(jìn)制向其他進(jìn)制轉(zhuǎn)換。一個(gè)數(shù)從十進(jìn)制向其他進(jìn)制轉(zhuǎn)換時(shí)，方法是統(tǒng)一的，連續(xù)除以進(jìn)制，每步寫(xiě)出余數(shù)，最后把余數(shù)倒寫(xiě)即可。例如求2011 10 10 ⑵其他進(jìn)制向十進(jìn)制轉(zhuǎn)換。一個(gè)數(shù)從其他進(jìn)制向十進(jìn)制轉(zhuǎn)換，方法也是統(tǒng)一的，按照位值原理拆開(kāi)相加即可。例如求1234 ⑶二進(jìn)制與八進(jìn)制互相轉(zhuǎn)換二進(jìn)制向八進(jìn)制轉(zhuǎn)換時(shí)，從個(gè)位開(kāi)始取三位合成一位，缺位處用0填補(bǔ)，然后按位值原理分別轉(zhuǎn)換，最后合并即可。 2 2 2 八進(jìn)制向二進(jìn)制轉(zhuǎn)換時(shí)，則把每一位按照位值原理都分成三位，最后合并即可。例如求

，6

，111101110001(4)二進(jìn)制與十六進(jìn)制互相轉(zhuǎn)換二進(jìn)制向十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換時(shí)，從個(gè)位開(kāi)始取四位合成一位，缺位處用0填補(bǔ)，然后按位值原理分別轉(zhuǎn)換，最后合并即可。十六進(jìn)制向二進(jìn)制轉(zhuǎn)換時(shí)，則把每一位按照位值原理都分成四位，最后合并即可。三、進(jìn)制的判斷判斷一個(gè)式子在何種進(jìn)制下成立，一般依靠以下兩個(gè)方法：1、數(shù)字特征．在n進(jìn)制下，每個(gè)數(shù)字都不能大于(n1)，如在八進(jìn)制下，每個(gè)數(shù)字都不能大于7；反過(guò)來(lái)說(shuō)，若n進(jìn)制下出現(xiàn)7這個(gè)數(shù)字，則n必定大于7，起碼為八進(jìn)制．位進(jìn)了多少，再推斷進(jìn)制．如：等式345236在什么進(jìn)制下成立？的因數(shù)；第11級(jí)下優(yōu)秀A版教師版3 1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010 ； 2四、進(jìn)位制中的“棄(n1)法”根據(jù)位值原理，一個(gè)十進(jìn)制的數(shù)aka2a1滿足：aka2a1a1100a2101a3102ak10k

aaaaaak 21 1 2

ak

(mod9)這個(gè)數(shù)與它的各位數(shù)字之和模9同余．這就是我們常說(shuō)的“棄九法”．“”n(aaa)nk 21

an0an1an2ank11 2 3 (aaa)nk 21

aaa1 2

即在n進(jìn)制下，一個(gè)數(shù)與它的各位數(shù)字之和模(n1)同余．如：(24102)6除以5的余數(shù)與倍數(shù)的若干個(gè)數(shù)字劃去，通過(guò)剩下的數(shù)字快速求余數(shù)．知識(shí)點(diǎn)回顧1. (1)請(qǐng)用“二進(jìn)制”寫(xiě)出前10個(gè)正整數(shù)；(2)請(qǐng)用“三進(jìn)制”寫(xiě)出前10個(gè)正整數(shù)；【分析】 2 2 2 2 2 2 2 2 1,2,10,11,12,20,21,22,100,101；2. 【分析】由于所給出的數(shù)位數(shù)比較多，我們先從低位寫(xiě)起：3. 【分析】⑴

（463）4826834646832564831228813210

（5FC）5162151612161280240124第11級(jí)下優(yōu)秀A版教師版第11講 10 2422212102522

……1……1……0……15. 把9865轉(zhuǎn)化成五進(jìn)制、八進(jìn)制，看看誰(shuí)是最細(xì)心的．【分析】(9865)(303430)10

(9865)(23211) 6. 【分析】⑴列豎式： ⑵列豎式：11

10111 ⑶列豎式： ⑷列豎式：

1111111111 例題思路一、n進(jìn)制的認(rèn)識(shí)例1：n進(jìn)制的計(jì)算例2：n進(jìn)制的互化例3：n進(jìn)制的判斷二、n進(jìn)制的應(yīng)用第11級(jí)下優(yōu)秀A版教師版5例5：棄n1法例1①(101)2(1011)2(11011)2________；2 2 ③(63121)8(1247)8(16034)8(26531)8(1744)8________；

(101)(1011)(11011)(5)(11)(27) (28)(11100)；2 2 2 10 10 10 10 ②可轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制來(lái)計(jì)算：2 ③十進(jìn)制中，兩個(gè)數(shù)的和是整十整百整千的話，我們稱(chēng)為“互補(bǔ)數(shù)”，湊出“互補(bǔ)數(shù)”的這種方法叫“湊整法”，在n進(jìn)制中也有“湊整法”，要湊的就是整n．原式(63121)8[(1247)8(26531)8][(16034)8(1744)8]

(63121)(30000)(20000)(13121)8 8 8 【分析】⑴列豎式： ⑵列豎式：11101+10101101得

－1101110

110011

題⑵也可先變形為如下形式再解：我們可以看出十進(jìn)制數(shù)運(yùn)算中的加減法運(yùn)算律在二進(jìn)制中仍適用．例2【分析制數(shù)．十進(jìn)制數(shù)在其中起到了中介的作用．（125）182285

641656第11級(jí)下優(yōu)秀A版教師版20200925131第11講

【想想練練】把十進(jìn)制數(shù)2009轉(zhuǎn)化為八進(jìn)制數(shù)．【分析】采用除八倒取余數(shù)法：

3 【分析

(abc)a62b6c

36a6bc；(cba)c92b9a81c9ba．所以36a6bc81c9ba，于是35a3b80c．所以，b0或5．①若b0，則35a80c，即7a16c；由于(7,16)1，并且a、c都不為0，所以a16，c7，但是在6、9進(jìn)制下，不可以有一個(gè)數(shù)字為16．②若b5，則35a3580c，即7a316c；考慮兩邊除以7的余數(shù)，可知2c除以7那么35a15802，可得a5．于是(abc)6(552)6562562212．所以，這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為212．例3算式15342543214是幾進(jìn)制數(shù)的乘法？（學(xué)案對(duì)應(yīng)：學(xué)案3）【分析】注意到尾數(shù)，在足夠大的進(jìn)位制中有乘積的個(gè)位數(shù)字為4520，但是現(xiàn)在為4，說(shuō)明進(jìn)走20416，所以進(jìn)位制為16的約數(shù)，可能為16、8、4或2．5第11級(jí)下優(yōu)秀A版教師版7進(jìn)制與八卦Leibniz的二進(jìn)制后，他收到了曾在中國(guó)工作過(guò)的傳教士寄的《伏羲六十四卦次序圖》與《伏羲六十十分敬佩，對(duì)易經(jīng)給予了非常高的評(píng)價(jià)．0010，011，100分別代表0-4這幾個(gè)數(shù)字．而在易經(jīng)八卦中，通過(guò)陰陽(yáng)引申，就可以表示宇例41次品鋼珠每個(gè)重9克，那么，要找出這箱次品最少要稱(chēng)幾次？⑵小馬虎裝了10箱零件．但他沒(méi)有注意自己的馬虎性格，混進(jìn)了幾箱次品進(jìn)去，已知每件零件重1？（箱的零件足夠多）把裝有次品、不及格品的箱子分辨出來(lái)？⑷小馬虎怕再次出錯(cuò)，于是找來(lái)了朋友小迷糊幫忙，結(jié)果反而把零件搞得更亂了！這次6箱零件中馬虎想照搬上次的方法卻失敗了！請(qǐng)你再為他想一個(gè)好方法將箱子分辨出來(lái)！這樣共取了12345678910=55（個(gè)）鋼珠，重量是：5510=550（克），如果輕了n（1n10）克，那么第幾號(hào)箱就是次品．在這個(gè)方法中，第10號(hào)箱也可不取，這樣共取出45個(gè)鋼珠，如果重450克，那么10號(hào)箱是次品；否則，輕幾克幾號(hào)箱就是次品．總結(jié)：不同的進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即：每個(gè)十進(jìn)制數(shù)都能表示成一個(gè)是．鋼珠，從2號(hào)箱中取2個(gè)鋼珠，從3號(hào)箱中取4個(gè)鋼珠，從4號(hào)箱中取8個(gè)鋼珠……從10號(hào)箱中取512個(gè)鋼珠，即每箱分別取(1)、(10)、(100)、(1000)……

(1000000000)個(gè)8第11級(jí)下優(yōu)秀A版教師版第11講5、9箱為次品．

(100)、……(100000)，即1、3、9、……、243個(gè)．這次我們 中的哪些數(shù)字組成，即看n的三進(jìn)制表示中哪幾位為1或2即可．其中1表示比次品輕1克，即標(biāo)準(zhǔn)品；2表示比次品輕2克，即不及格品．

3580424(120201)

，即第1、6箱為標(biāo)準(zhǔn)品；第2、4箱為次品；第3、5箱為不及格品．變?yōu)椋好總€(gè)次品比標(biāo)準(zhǔn)重2克，每個(gè)不及格品比標(biāo)準(zhǔn)輕1克．現(xiàn)在零件也有3種狀態(tài)，若將標(biāo)準(zhǔn)重量看作1，那么次品、不及格品重量分別為0、3，由于有3的存在，因此我們需要構(gòu)造四進(jìn)制才可區(qū)分三種狀態(tài)．與上題類(lèi)似，每箱分別取零件

(10)、

(100)、……

(100000)，即1、4、16、……、1零件比次品輕2克，即標(biāo)準(zhǔn)品；3表示每?jī)蓚€(gè)零件比次品輕3克，即不及格品．如實(shí)際重量和為13198克，15015131981817，181723634(320302)，即第1、5例5算式14265253641215566在八進(jìn)制下是否正確？能不能快速驗(yàn)證呢？（學(xué)案對(duì)應(yīng)：學(xué)案4）【答案】我們可以用“棄七法”求各數(shù)除以7的余數(shù)，再利用余數(shù)定理驗(yàn)證．在八進(jìn)制下，14265除以7余4，2536除以7余2．根據(jù)余數(shù)定理，得數(shù)應(yīng)與428除以7的余數(shù)相等，即1，而少？第11級(jí)下優(yōu)秀A版教師版9有個(gè)吝嗇的老財(cái)主，總是不想付錢(qián)給長(zhǎng)工．這一次，拖了一個(gè)月的工錢(qián)，還是不想付．可是他當(dāng)作一種榮耀，總是分文不取，并會(huì)以命相拼也要兌現(xiàn)的．這越發(fā)讓長(zhǎng)工不敢相信，要知道，這在以往，這樣的金鏈中的一環(huán)三個(gè)月的工錢(qián)也不止．老財(cái)主越發(fā)得意，終于拿出殺手反倒爽快地答應(yīng)了，而且，從第一個(gè)月到第七個(gè)月，順利地拿到了這條金鏈，你知道怎么斷這條金鏈嗎？答案：斷開(kāi)第三環(huán)，從而得到1，2，4環(huán)的三段，第一個(gè)月拿走一環(huán)，第二個(gè)月以一換二，第三個(gè)月取一環(huán)，第四個(gè)月以三換四，第五個(gè)月再取一環(huán)，第六個(gè)月以一換二，第七個(gè)月再取一環(huán)杯賽提高在宇宙中有一個(gè)使用三進(jìn)制的星球．小招移居到這個(gè)星球后更換身份證，要把年齡從十進(jìn)制數(shù)變?yōu)椋贇q？

a0(3)

(3)

a310303a(10)以小招的年齡不可能是一位數(shù)．

(3)

因?yàn)閍b(10)10ab，ab0(3)a9b3019a3b，所以10ab9a3b，即a2b．又因?yàn)閍b0是三進(jìn)制數(shù)，a，b都小于3，所以a2，b1．所以，小招為21歲．③設(shè)小招為abc歲，由題意有，abc(10)abc0(3)，因?yàn)閍bc(10)100a10bc，(3)

a33b32c327a9b3c，所以100a10bc

27a9b3c．即73ab2c．又a、b、c都小于3，所以上述等式不成立．綜上可知小招的年齡是21歲．1第11級(jí)下優(yōu)秀A版教師版第11講附加題1. 【分析】⑴列豎式： ⑵列豎式：11

10111100 ⑶列豎式：10 11101+10101

01101

110011 題⑷也可先變形為如下形式再解： 我們可以看出十進(jìn)制數(shù)運(yùn)算中的加減法運(yùn)算律在二進(jìn)制中仍適用．

計(jì)算：

)【分析】根據(jù)位值原理可知，100a10bc51264c8ba，整理得9(11a7c)2(256b)．因此256b必是9的倍數(shù)，b4．代入得11a7c56，即11a7(c8)，因此必c8是11的倍數(shù)，c3，最后計(jì)算除a7．這個(gè)三位數(shù)是743．4. 示五個(gè)數(shù)字：1，2，3，4，5．那么●○○●○●表示的數(shù)是__________．●●●●●○●●●●○●●●●●○○●●●○●●●●●○●○

表示168226第11級(jí)下優(yōu)秀A版教師版15. hadewugens”，那么20進(jìn)制中讀音是“dewhanawugens”的數(shù)指的是十進(jìn)制中的數(shù) 20 6. 如果2n1能被31整除，那么自然數(shù)n應(yīng)滿足什么條件？【分析】要使2n除以31余1，由于20、21、22、23、24、25……除以31的余數(shù)分別為1、2、4、另解：本題也可以從二進(jìn)制進(jìn)行考慮．由于

3111111(2)，

2n100000000(n個(gè)0)，(2)2n1100000000 (2) (2) (2)(n個(gè)1)能被11111整除，也就是要使n能被5整除．(2)7. 智能文具公司用以下方式計(jì)算原子筆：12支原子筆算為1打，12打原子筆算為1籮，用記號(hào)811'6"代表6籮11打又8支原子筆。請(qǐng)問(wèn)37'10"與68'3"相差多少支原子筆？的原子筆支數(shù)是(103)1212(87)12(63)993支。知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、進(jìn)制的判斷1、數(shù)字特征：n進(jìn)制下每個(gè)數(shù)字不超過(guò)(n1)2、尾數(shù)特征：進(jìn)位部分的因數(shù)二、進(jìn)位制中的“棄(n1)法”若干個(gè)數(shù)字劃去，通過(guò)剩下的數(shù)字快速求余數(shù)．家庭作業(yè)

567(

【分析】本題是進(jìn)制的直接轉(zhuǎn)化：8 5 2. 【分析】原式1234(456322)12341000234；原式14438(31235766)(712011770)1443810000200004438．1第11級(jí)下優(yōu)秀A版教師版第11講22013 2503 2125……0 62……1231……215……127 23 21……1 4. 在幾進(jìn)制中有413100？【分析】利用尾數(shù)分析來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題： 10 所以，n只能是6．5. 茶葉店老板要求員工提高服務(wù)質(zhì)量開(kāi)展零等待活動(dòng)當(dāng)顧客要買(mǎi)茶葉的時(shí)候快滿足顧客的需要?jiǎng)t為優(yōu)秀．結(jié)果有一個(gè)員工總是第一名，而且顧客到他那兒不需要等待．原來(lái)他把茶葉先稱(chēng)出若干包來(lái)