(完整版)復(fù)變函數(shù)與積分變換習(xí)題答案

(完整版)復(fù)變函數(shù)與積分變換習(xí)題答案

一、將下列復(fù)數(shù)用代數(shù)式、三角式、指數(shù)式表示出來。(1)解：(2)-1解：(3)解：(4)解：(5)解：(6)解：(7)解：二、計算下列數(shù)值(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：由于：，而：所以：(6)解：由于：，所以：(7)解：(8)解：1.2復(fù)變函數(shù)1、試證明函數(shù)f(z)=Arg(z)(-null<Arg(z)≤null)，在負(fù)實軸上(包括原點)不連續(xù)。證明：(1)在負(fù)實軸上，任取一點，則分別由水平方向和垂直方向趨近z點有：顯然函數(shù)在負(fù)實軸上不連續(xù)。(2)在零點，沿方向趨近于零點則：顯然，其極限結(jié)果與路徑相關(guān)，則該函數(shù)在0點無極限。2、復(fù)平面上，圓周可以寫成，這里A，C為實數(shù)，null為復(fù)數(shù)。證明：在平面上圓的一般方程表示為：則在復(fù)平面上：，所以圓方程變形為：若令：則：2.1解析函數(shù)1、試證明下列函數(shù)處處不可微：(1)

(2)證明：(1)在處，有：若沿方向趨近于z點，則：顯然，函數(shù)不可微。(2)在處，有：若沿方向趨近于0點，則：顯然，函數(shù)不可微。2、設(shè)：試證明f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在原點滿足C-R條件，但不可微。證明：首先：顯然：，在原點f(z)滿足C-R條件。而在(0,0)點，f(z)的導(dǎo)數(shù)定義為：若沿方向趨近于0點，則：顯然，函數(shù)在原點的導(dǎo)數(shù)不存在，所以函數(shù)雖然在原點滿足C-R條件，但不可微。C-R條件只是函數(shù)可微的必要條件。1.2復(fù)變函數(shù)1、試證明函數(shù)f(z)=Arg(z)(-null<Arg(z)≤null)，在負(fù)實軸上(包括原點)不連續(xù)。證明：(1)在負(fù)實軸上，任取一點，則分別由水平方向和垂直方向趨近z點有：顯然函數(shù)在負(fù)實軸上不連續(xù)。(2)在零點，沿方向趨近于零點則：顯然，其極限結(jié)果與路徑相關(guān)，則該函數(shù)在0點無極限。2、復(fù)平面上，圓周可以寫成，這里A，C為實數(shù)，null為復(fù)數(shù)。證明：在平面上圓的一般方程表示為：則在復(fù)平面上：，所以圓方程變形為：若令：則：2.1解析函數(shù)1、試證明下列函數(shù)處處不可微：(1)

(2)證明：(1)在處，有：若沿方向趨近于z點，則：顯然，函數(shù)不可微。(2)在處，有：若沿方向趨近于0點，則：顯然，函數(shù)不可微。2、設(shè)：試證明f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在原點滿足C-R條件，但不可微。證明：首先：顯然：，在原點f(z)滿足C-R條件。而在(0,0)點，f(z)的導(dǎo)數(shù)定義為：若沿方向趨近于0點，則：顯然，函數(shù)在原點的導(dǎo)數(shù)不存在，所以函數(shù)雖然在原點滿足C-R條件，但不可微。C-R條件只是函數(shù)可微的必要條件。2.2解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)1、已知復(fù)變函數(shù)的實部或虛部，寫出解析函數(shù)：解：(1)則：…………….I……………II由I得：帶入(II)得：所以：(2)則：…………….I……………II由I得：帶入(II)得：所以：(3)顯然：并非調(diào)和函數(shù)，所以，此題無解。(4)則：…………….I……………II由I得：帶入(II)得：所以：2、試證明三個單值分支在割破的z平面上任意區(qū)域上都是解析的，并求其導(dǎo)數(shù)。證明：，令：則：，這里：所以：則：所以：2.1-2Cauchy積分1、計算積分，積分路徑(1)直線段；(2)右半單位圓周；(3)左半單位圓周。解：(1)若沿直線從-i積分到i，則：(2)若沿右半圓從-i積分到i，則：(3)若沿左半圓從-i積分到i，則：2、當(dāng)C為單位圓周時，不用計算，試證明：證明：(1)因為兩個非解析點都不在積分圓周內(nèi)，根據(jù)Cauchy積分定理：(1)因為兩個非解析點都不在積分圓周內(nèi)，根據(jù)Cauchy積分定理：2.3-4Cauchy積分定理1、已知函數(shù)，將x作為參數(shù)，把t認(rèn)為是復(fù)變數(shù)，試應(yīng)用Cauchy公式表為回路積分，對回路積分進行變量代換，并借以證明：解：(1)首先，令：，則：根據(jù)解析函數(shù)的無限可微性有：所以：(2)做變量替換：，則對于積分公式來說：，所以：4.2利用留數(shù)定理計算實積分1、確定下列函數(shù)的奇點，并計算留數(shù)，(5)；(6)解：(5)令：，則：顯然，存在兩個一階極點：，只有：處于單位圓內(nèi)，所以：則：(6)令：，則：：顯然，存在三個一階極點：，只有：處于單位圓內(nèi)，所以：所以：2、計算下列實函數(shù)積分(5)解：(5)根據(jù)定理有：而函數(shù)存在四個一階極點：，很顯然處于上半平面內(nèi)的孤立奇點只有：，所以：所以：3計算下列實函數(shù)積分(3)解：根據(jù)定理：顯然，存在兩個一階極點：，只有：上半平面內(nèi)，所以：所以：3.2冪級數(shù)3、求下列冪級數(shù)的收斂圓(1)，(2)解：(1)所以，其收斂圓為以i為圓心的單位圓。(2)由于：所以，其收斂圓為以2為圓心的單位圓。3.3冪級數(shù)展開在指定的點的鄰域上把下列函數(shù)展開為Taylor級數(shù)(8)和在解：4.1留數(shù)定理1、確定下列函數(shù)的奇點，并計算留數(shù)，(1)；(2)，(3)，(4)解：(1)顯然為其一階極點，則：(2)顯然為其一階極點，為其二階極點，則：(3)顯然為其一階極點，則：(4)顯然為其一階極點，則：2、計算回路積分，(1)，l為(3)解：(1)首先l的圍線方程為：而被積函數(shù)存在三個孤立奇點，在圍線內(nèi)有兩個孤立奇點：所以：(2)可以看出來，被積函數(shù)存在唯一孤立奇點，且為本性奇點，對被積函數(shù)做Laurant展開：可以看出：，顯然：4.2利用留數(shù)定理計算實積分1、確定下列函數(shù)的奇點，并計算留數(shù)，(5)；(6)解：(5)令：，則：顯然，存在兩個一階極點：，只有：處于單位圓內(nèi)，所以：則：(6)令：，則：：顯然，存在三個一階極點：，只有：處于單