高考數(shù)學導數(shù)題型歸納(文科)

文科導數(shù)題型歸納請同學們高度重視：首先，關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立的主要解法：1、別離變量；2變更主元；3根分布；4判別式法5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法：〔1〕對稱軸〔重視單調(diào)區(qū)間〕與定義域的關(guān)系〔2〕端點處和頂點是最值所在其次，分析每種題型的本質(zhì)，你會發(fā)現(xiàn)大局部都在解決“不等式恒成立問題〞以及“充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想〞，創(chuàng)立不等關(guān)系求出取值范圍。最后，同學們在看例題時，請注意尋找關(guān)鍵的等價變形和回歸的根底一、根底題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立；1、此類問題提倡按以下三個步驟進行解決：第一步：令得到兩個根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中不等式恒成立問題的實質(zhì)是函數(shù)的最值問題，2、常見處理方法有三種：第一種：別離變量求最值-----用別離變量時要特別注意是否需分類討論〔>0,=0,<0〕第二種：變更主元〔即關(guān)于某字母的一次函數(shù)〕-----〔誰的范圍就把誰作為主元〕；〔請同學們參看2021省統(tǒng)測2〕例1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上的導數(shù)為，在區(qū)間D上的導數(shù)為，假設(shè)在區(qū)間D上，恒成立，那么稱函數(shù)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)〞，實數(shù)m是常數(shù)，〔1〕假設(shè)在區(qū)間上為“凸函數(shù)〞，求m的取值范圍；〔2〕假設(shè)對滿足的任何一個實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)〞，求的最大值.解:由函數(shù)得〔1〕在區(qū)間上為“凸函數(shù)〞，那么在區(qū)間[0,3]上恒成立解法一：從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等價于解法二：別離變量法：∵當時,恒成立,當時,恒成立等價于的最大值〔〕恒成立，而〔〕是增函數(shù)，那么(2)∵當時在區(qū)間上都為“凸函數(shù)〞那么等價于當時恒成立變更主元法再等價于在恒成立〔視為關(guān)于m的一次函數(shù)最值問題〕-22-22請同學們參看2021第三次周考：例2：設(shè)函數(shù)〔Ⅰ〕求函數(shù)f〔x〕的單調(diào)區(qū)間和極值；〔Ⅱ〕假設(shè)對任意的不等式恒成立，求a的取值范圍.〔二次函數(shù)區(qū)間最值的例子〕解：〔Ⅰ〕3aa3aaa3aa3a令得的單調(diào)遞增區(qū)間為〔a,3a〕令得的單調(diào)遞減區(qū)間為〔－，a〕和〔3a，+〕 ∴當x=a時，極小值=當x=3a時，極大值=b. 〔Ⅱ〕由||≤a，得：對任意的恒成立①那么等價于這個二次函數(shù)的對稱軸〔放縮法〕即定義域在對稱軸的右邊，這個二次函數(shù)的最值問題：單調(diào)增函數(shù)的最值問題。上是增函數(shù). 〔9分〕∴于是，對任意，不等式①恒成立，等價于又∴點評：重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法：對稱軸〔重視單調(diào)區(qū)間〕與定義域的關(guān)系第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值題型特征：恒成立恒成立；從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型例3；函數(shù)圖象上一點處的切線斜率為，〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕當時，求的值域；〔Ⅲ〕當時，不等式恒成立，求實數(shù)t的取值范圍。解：〔Ⅰ〕∴，解得〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減又∴的值域是〔Ⅲ〕令思路1：要使恒成立，只需，即別離變量思路2：二次函數(shù)區(qū)間最值二、題型一：函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍解法1：轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間上恒成立，回歸根底題型解法2：利用子區(qū)間〔即子集思想〕；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集；做題時一定要看清楚“在〔m,n〕上是減函數(shù)〞與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是〔a,b〕〞，要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集例4：，函數(shù)．〔Ⅰ〕如果函數(shù)是偶函數(shù)，求的極大值和極小值；〔Ⅱ〕如果函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍．解：.〔Ⅰ〕∵是偶函數(shù)，∴.此時，，令，解得：.列表如下：(－∞,－2)－2(－2,2)2(2,+∞)+0－0+遞增極大值遞減極小值遞增可知：的極大值為，的極小值為.〔Ⅱ〕∵函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，∴，在給定區(qū)間R上恒成立判別式法那么解得：.綜上，的取值范圍是.例5、函數(shù)〔I〕求的單調(diào)區(qū)間；〔II〕假設(shè)在[0，1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。子集思想〔I〕1、當且僅當時取“=〞號，單調(diào)遞增。2、a-1-1單調(diào)增區(qū)間：a-1-1單調(diào)增區(qū)間：〔II〕當那么是上述增區(qū)間的子集：1、時，單調(diào)遞增符合題意2、，綜上，a的取值范圍是[0，1]。三、題型二：根的個數(shù)問題題1函數(shù)f(x)與g(x)〔或與x軸〕的交點======即方程根的個數(shù)問題解題步驟第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖〞〔即解導數(shù)不等式〕和“趨勢圖〞即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增〞還是“先減后增再減〞；第二步：由趨勢圖結(jié)合交點個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式〔組〕；主要看極大值和極小值與0的關(guān)系；第三步：解不等式〔組〕即可；例6、函數(shù)，，且在區(qū)間上為增函數(shù)．求實數(shù)的取值范圍；假設(shè)函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍．解：〔1〕由題意∵在區(qū)間上為增函數(shù)，∴在區(qū)間上恒成立〔別離變量法〕即恒成立，又，∴，故∴的取值范圍為〔2〕設(shè)，令得或由〔1〕知，①當時，，在R上遞增，顯然不合題意…②當時，，隨的變化情況如下表：—↗極大值↘極小值↗由于，欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需，即∴，解得綜上，所求的取值范圍為根的個數(shù)知道，局部根可求或。例7、函數(shù)〔1〕假設(shè)是的極值點且的圖像過原點，求的極值；〔2〕假設(shè)，在〔1〕的條件下，是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒有含的三個不同交點？假設(shè)存在，求出實數(shù)的取值范圍；否那么說明理由。解：〔1〕∵的圖像過原點，那么，又∵是的極值點，那么-1-1〔2〕設(shè)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒存在含的三個不同交點，等價于有含的三個根，即：整理得：即：恒有含的三個不等實根〔計算難點來了：〕有含的根，那么必可分解為，故用添項配湊法因式分解，十字相乘法分解：恒有含的三個不等實根等價于有兩個不等于-1的不等實根。題2：切線的條數(shù)問題====以切點為未知數(shù)的方程的根的個數(shù)例7、函數(shù)在點處取得極小值－4，使其導數(shù)的的取值范圍為，求：〔1〕的解析式；〔2〕假設(shè)過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍．〔1〕由題意得：∴在上；在上；在上因此在處取得極小值∴①，②，③由①②③聯(lián)立得：，∴ 〔2〕設(shè)切點Q，過令，求得：，方程有三個根。需：故：；因此所求實數(shù)的范圍為：題3：在給定區(qū)間上的極值點個數(shù)那么有導函數(shù)=0的根的個數(shù)解法：根分布或判別式法例8、解：函數(shù)的定義域為〔Ⅰ〕當m＝4時，f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(7,2)x2＋10x，＝x2－7x＋10，令，解得或.令，解得可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和〔5，＋∞〕，單調(diào)遞減區(qū)間為．〔Ⅱ〕＝x2－(m＋3)x＋m＋6,1要使函數(shù)y＝f(x)在〔1，＋∞〕有兩個極值點,＝x2－(m＋3)x＋m＋6=0的根在〔1，＋∞〕1根分布問題：那么，解得m＞3例9、函數(shù)，〔1〕求的單調(diào)區(qū)間；〔2〕令＝x4＋f〔x〕〔x∈R〕有且僅有3個極值點，求a的取值范圍．解：〔1〕當時，令解得，令解得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.當時，同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.〔2〕有且僅有3個極值點=0有3個根，那么或，方程有兩個非零實根，所以或而當或時可證函數(shù)有且僅有3個極值點其它例題：1、〔最值問題與主元變更法的例子〕.定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，最小值是－11.〔Ⅰ〕求函數(shù)的解析式；〔Ⅱ〕假設(shè)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：〔Ⅰ〕令=0,得因為，所以可得下表：0+0-↗極大↘因此必為最大值,∴因此，，即，∴，∴〔Ⅱ〕∵，∴等價于，令，那么問題就是在上恒成立時，求實數(shù)的取值范圍，為此只需，即，解得，所以所求實數(shù)的取值范圍是[0，1].2、〔根分布與線性規(guī)劃例子〕〔1〕函數(shù)(Ⅰ)假設(shè)函數(shù)在時有極值且在函數(shù)圖象上的點處的切線與直線平行,求的解析式；(Ⅱ)當在取得極大值且在取得極小值時,設(shè)點所在平面區(qū)域為S,經(jīng)過原點的直線L將S分為面積比為1:3的兩局部,求直線L的方程.解：(Ⅰ).由,函數(shù)在時有極值,∴∵∴又∵在處的切線與直線平行,∴故∴…….7分(Ⅱ)解法一:由及在取得極大值且在取得極小值,∴即令,那么∴∴故點所在平面區(qū)域S為如圖△ABC,易得,,,,,同時DE為△ABC的中位線,∴所求一條直線L的方程為:另一種情況設(shè)不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩局部,設(shè)直線L方程為,它與AC,BC分別交于F、G,那么,由得點F的橫坐標為:由得點G的橫坐標為:∴即解得:或(舍去)故這時直線方程為:綜上,所求直線方程為:或.…………….………….12分(Ⅱ)解法二:由及在取得極大值且在取得極小值,∴即令,那么∴∴故點所在平面區(qū)域S為如圖△ABC,易得,,,,,同時DE為△ABC的中位線,∴所求一條直線L的方程為:另一種情況由于直線BO方程為:,設(shè)直線BO與AC交于H,由得直線L與AC交點為:∵,,∴所求直線方程為:或3、〔根的個數(shù)問題〕函數(shù)的圖象如下圖。 〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕假設(shè)函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，求函數(shù)f(x)的解析式；〔Ⅲ〕假設(shè)方程有三個不同的根，求實數(shù)a的取值范圍。解：由題知：〔Ⅰ〕由圖可知 函數(shù)f(x)的圖像過點(0,3)，且=0 得〔Ⅱ〕依題意 =–3且f(2)=5 解得a=1,b=–6 所以f(x)=x3–6x2+9x+3 〔Ⅲ〕依題意 f(x)=ax3+bx2–(3a+2b)x+3(a＞ =3ax2+2bx–3a–2b 由=0b=–9a ① 假設(shè)方程f(x)=8a有三個不同的根，當且僅當 滿足/