臨界問題(3 動力學)

在動力學中臨界極值問題的處理解決臨界問題，關(guān)鍵是找出臨界條件。一般有兩種基本方法：①以定理、定律為依據(jù)，首先求出所研究問題的一般規(guī)律和一般解，然后分析、討論其特殊規(guī)律和特殊解②直接分析、討論臨界狀態(tài)和相應(yīng)的臨界值，求解出研究問題的規(guī)律和解。物理量處于臨界值時：①物理現(xiàn)象的變化面臨突變性。②對于連續(xù)變化問題，物理量的變化出現(xiàn)拐點，呈現(xiàn)出兩性，即能同時反映出兩種過程和兩種現(xiàn)象的特點。物理學中的臨界和極值問題牽涉到一定條件下尋求最佳結(jié)果或討論其物理過程范圍的問題，此類問題通常難度較大技巧性強，所涉及的內(nèi)容往往與動力學、電磁學密切相關(guān)，綜合性強。在高考命題中經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)，一、解決動力學中臨界極值問題的基本思路所謂臨界問題是指當某種物理現(xiàn)象（或物理狀態(tài)）變?yōu)榱硪环N物理現(xiàn)象（或另一物理狀態(tài)）的轉(zhuǎn)折狀態(tài)叫臨界狀態(tài)．可理解成“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”．某種物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為另一種物理現(xiàn)象的轉(zhuǎn)折狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)。至于是“出現(xiàn)”還是“不出現(xiàn)”，需視具體問題而定。極值問題則是在滿足一定的條件下，某物理量出現(xiàn)極大值或極小值的情況。臨界問題往往是和極值問題聯(lián)系在一起的。解決此類問題重在形成清晰的物理圖景，分析清楚物理過程，從而找出臨界條件或達到極值的條件，要特別注意可能出現(xiàn)的多種情況。動力學中的臨界和極值是物理中的常見題型，同學們在剛剛學過的必修1中勻變速運動規(guī)律、共點力平衡、牛頓運動定律中都涉及到臨界和極值問題。在解決臨辦極值問題注意以下幾點：臨界點是一個特殊的轉(zhuǎn)換狀態(tài)，是物理過程發(fā)生變化的轉(zhuǎn)折點，在這個轉(zhuǎn)折點上，系統(tǒng)的一些物理量達到極值。臨界點的兩側(cè)，物體的受力情況、變化規(guī)律、運動狀態(tài)一般要發(fā)生改變，能否用變化的觀點正確分析其運動規(guī)律是求解這類題目的關(guān)鍵，而臨界點的確定是基礎(chǔ)。許多臨界問題常在題目的敘述中出現(xiàn)“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脫離”……等詞句對臨界問題給出了明確的暗示，審題是只要抓住這些特定詞語其內(nèi)含規(guī)律就能找到臨界條件。有時，某些臨界問題中并不包含常見的臨界術(shù)語，但審題時發(fā)現(xiàn)某個物理量在變化過程中會發(fā)生突變，如運動中汽車做勻減速運動類問題，則該物理量突變時物體所處的狀態(tài)即為臨界狀態(tài)。臨界問題通常具有一定的隱蔽性，解題靈活性較大，審題時應(yīng)力圖還原習題的物理情景，抓住臨界狀態(tài)的特征，找到正確的解題方向。確定臨界點一般用極端分析法，即把問題（物理過程）推到極端，分析在極端情況下可能出現(xiàn)的狀態(tài)和滿足的條件。解題常用的思路用矢量法、三角函數(shù)法、一元二次方程判別式法或根據(jù)物理過程的特點求極值法等。二、動力學中的臨界極值問題的解讀在應(yīng)用牛頓運動定律解決動力學問題中，當物體運動的加速度不同時，物體有可能處于不同的狀態(tài)，特別是題目中出現(xiàn)“最大”、“最小”、“剛好”等詞句時，往往會有臨界現(xiàn)象。此時要用極限分析法，看物體不同加速度時，會有哪些現(xiàn)象發(fā)生，找出臨界點，求出臨界條件。【例7】如圖5所示，一質(zhì)量為0.2kg的小球系著靜止在光滑的傾角為53°的斜面上，斜面靜止時，球緊靠在斜面上，繩與斜面平行，當斜面以10m/s2加速度水平向右作勻加速直線運動時，求線對小球的拉力和斜面對小球的彈力。（g=10m/s2）【靈犀一點】要考慮到小球可能離開斜面的情況，用極限法把加速度推到兩個極端進行分析?！窘馕觥慨敃r，小球受到三個力（重力、繩的拉力、斜面的支持力）作用，此時繩平行于斜面；當a較大時，小球?qū)ⅰ帮w離”斜面，此時繩與斜面的夾角未知。設(shè)小球處在剛要離開斜面的臨界狀態(tài)時加速度值為a0，此時斜面對小球的支持力為零，斜面加速向右運動，對小球有：因為a=10m/s2>7.5m/s2，則小球離開斜面向右加速運動，如圖6所示。則繩對小球的拉力和斜面對小球的支持力分別為：【思維總結(jié)】此題中的臨界狀態(tài)就是小球仍與斜面接觸但與斜面間無彈力，在用極限法（分別設(shè)加速度為無窮大和零）分析出小球的兩種可能。找出兩種狀態(tài)的分界點是解決本題的切入點。【例8】一根勁度系數(shù)為k、質(zhì)量不計的輕彈簧，上端固定，下端系一質(zhì)量為m的物體，有一水平的板將物體托住，并使彈簧處于自然長度，如圖7所示，現(xiàn)讓木板由靜止開始以加速度a(a<g)勻加速向下移動，求經(jīng)過多長時間木板與物體分離?！眷`犀一點】當木板與物體之間作用力為零時，是兩者分開的臨界點?！窘馕觥磕景迮c物體分離的臨界條件是它們之間的作用力為零。對于m物體由牛頓運動定律得：，當F=0以后，隨著x的增大，物體m的加速度減小，二者開始分離。物體與木板分離的臨界點為F=0時，此時由上式可得：由木板一直作加速度為a的勻加速運動，則由運動學規(guī)律得：【思維總結(jié)】分清物體運動過程受力情況的變化情況是本題的切入點，找到F=0時的是兩物體分離臨界點是解題的關(guān)鍵。如圖3，質(zhì)量的小球掛在傾角的光滑斜面的固定鐵桿上；。(1)當斜面和小球以的加速度向右勻加速運動時，小球?qū)K的拉力和對斜面的壓力分別為多大？()(2)當斜面和小球以a=4g/3的加速度向右勻加速運動時，小球?qū)K的拉力和對斜面的壓力分別為多大？(圖3g)分組做，兩個問題提出以后學生用以前的知識，受力分析計算，主要的一類學生用的是正交分解的方法，建立起如下關(guān)系式：分別計算出兩個力的大小，找學生了解答案，從學生的答案中提示學生第2問解出來壓力是零，第1問不是零，為什么呢？學生分析得到因為第2種情況加速度大，那么可以發(fā)現(xiàn)如果加速度很大，壓力會是零。那么這種類型的題目和前面的例1一樣不能直接做，要先算出加速度是多大時，壓力恰好是零，讓學生算一下。學生計算發(fā)現(xiàn)此時，，（1）式比（2）式，，。(3)當斜面和小球以的加速度向右勻加速運動時，小球?qū)K的拉力和對斜面的壓力分別為多大？()這時學生就知道了，根據(jù)前面計算出的最大的加速度，此時壓力已經(jīng)是零，提醒學生想，現(xiàn)在球還在斜面上嗎，學生會說已經(jīng)飛起來了，那么角度就不是斜面的傾角了。教師總結(jié)：通過前面的幾道題目，發(fā)現(xiàn)當已知條件變化時，物體間的摩擦力會不一樣，壓力可能是零，會存在著一個臨界狀態(tài)，這類問題，我們叫做臨界問題，具體定義：物體由某種物理狀態(tài)變化為另一種物理狀態(tài)時，中間發(fā)生質(zhì)的飛躍的轉(zhuǎn)折狀態(tài)，通常稱之為臨界狀態(tài)。三類臨界問題的臨界條件：（1）相互接觸的兩個物體將要脫離的臨界條件是：相互作用的彈力為零；（2）繩子松弛的臨界條件是：繩中拉力為零；（3）存在靜摩擦的連接系統(tǒng)，當系統(tǒng)外力大于最大靜摩擦力時，物體間不一定有相對滑動，相對滑動與相對靜止的臨界條件是：靜摩擦力達最大值；解決臨界問題的基本思路：（1）認真審題，仔細分析研究對象所經(jīng)歷的變化的物理過程，找出臨界狀態(tài)；（2）尋找變化過程中相應(yīng)物理量的變化規(guī)律，找出臨界條件；（3）以臨界條件為突破口，列臨界方程，求解問題。三、教學鞏固課堂練習2：A、B兩個滑塊靠在一起放在光滑水平面上，其質(zhì)量分別為2m和m，從t=0時刻起，水平力F1和F2同時分別作用在滑塊A和B上，如圖所示。已知F1=（10+4t）N，F(xiàn)2=(40-4t)N，兩力作用在同一直線上，求滑塊開始滑動后，經(jīng)過多長時間A、B發(fā)生分離？課堂練習3：如圖所示，質(zhì)量均為M的兩個木塊A、B在水平力F的作用下，一起沿光滑的水平面運動，A與B的接觸面光滑，且與水平面的夾角為60°，求使A與B一起運動時的水平力F的范圍。三、動力學中的臨界問題例1、如圖4所示，斜面體的質(zhì)量為面與物體間的動摩擦因數(shù)為不動，力應(yīng)為多大？（取，質(zhì)量為的物體放在傾角為0的斜面上，，斜，地面光滑?，F(xiàn)對斜面體施加一水平推力，要使物體相對斜面靜止，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）分析：采用極限分析方法，把推向兩個極端來分析，當很小時，物體將相對斜面下滑；當很大時，物體將相對斜面上滑，因此不能太小也不能太大，的取值是一個范圍。解：設(shè)物體處于相對斜面下滑的臨界狀態(tài)。推力為，此時物體的受力情況如圖5所示，則對：對（）：聯(lián)立以上三式代入數(shù)據(jù)得：2，。歸納：求解此類問題的關(guān)鍵點是正確進行受力分析，找出臨臨界條件，列出動學方程和平衡方程。建立坐標系時，要注意以加速度方向為正方向。設(shè)物體處于相對斜面向上滑的臨界狀態(tài)，推力為，此時物體的受力如圖6所示，則對：對（）：聯(lián)立三式并代入數(shù)據(jù)得：2，。所以推力的范圍是：。例2、一物體沿動摩擦因數(shù)一定的斜面加速下滑，圖7中哪個比較準確地表述了加速度與斜面傾角的關(guān)系？（）分析：題設(shè)中沒有明顯的臨界條件。設(shè)動摩擦因數(shù)為，當物體在斜面上滑動時有：，可作如下的假設(shè)：（1）當時，物體靜止在水平面上，；（2）當時，物體沿斜面勻速下滑；（3）當時，物體加速下滑，（4）當0時，，物體做自由落體運動。綜合以上幾種假設(shè)易知D正確。歸納：進行合理假設(shè)是找出問題的臨介條件的重要手段。例3、一物體由靜止開始沿不同長度的光滑斜面滑到水平面上的點，這些斜面的起點都在豎直墻壁處，如圖8所示，已知點距墻角的距離為，要使小物體從斜面的起點滑到點所用的時間最短，求斜面的起點距地面的高度是多少？最短時間是多少？分析：用數(shù)學分析方法。設(shè)小物體從點沿傾角為的斜面滑下到點，則長為：，加速度為：，則有，解得：.由以上結(jié)果分析可知：當,即時，下滑的時間最短，最短時間為：.歸納：數(shù)學法是解題的重要工具。在動力學問題中，常常會出現(xiàn)臨界狀態(tài)，對于此類問題的解法一般有以下三種方法：1．極限法：在題目中如果出現(xiàn)“最大”、“最小”、“剛好”等關(guān)鍵詞時，一般隱藏著臨界問題，處理這類問題時，常常把物理問題或過程推向極端，從而將臨界狀態(tài)及臨界條件顯露出來，達到盡快求解的目的。[例1]如圖1—1所示，質(zhì)量為的物體放在水平地面上，物體與地面間的動摩擦因數(shù)為，對物體施加一個與水平方向成角的力F，試求：（1）物體在水平面上運動時力F的值；（2）物體在水平面上運動所獲得的最大加速度。解析：要使物體能夠運動，水平方向的力必須要大于最大靜摩擦力（近似等于此時的滑動摩擦力），當力F有極小值時，物體恰好在水平面上做勻速直線運動，對物體的受力如圖1—2所示，由圖示得：①②解得：③當力F有最大值時，物體將脫離水平面，此時地面對物體的支持力恰好為零，根據(jù)受力分析得：FX④⑤解得：⑥∴物體在水平面上運動所獲得的最大加速度圖1—2：⑦則物體在水平面上運動時F的范圍應(yīng)滿足：≤F≤[例2]如圖甲，質(zhì)量為m=1Kg的物塊放在傾角為θ的斜面上，斜面體質(zhì)量為M=2Kg，斜面與物塊間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，地面光滑，θ=370，現(xiàn)對斜面體施一水平推力F，要使物體m相對斜面靜止，力F應(yīng)為多大？（設(shè)物體與斜面間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10m/s2）[解析]：現(xiàn)采用極限法把F推向兩個極端來分析：當F較大時（足夠大），物塊將相對斜面上滑；當F較小時（趨于零），物塊將沿斜面加速下滑；因此F不能太小，也不能太大，F(xiàn)的取值是一個范圍（1）設(shè)物塊處于相對斜面向下滑的臨界狀態(tài)時，推力為F1，此時物塊受力如圖乙，取加速度a的方向為x軸正方向。對m：x方向：NSinθ-μNCosθ=ma1y方向：NCosθ+μNSinθ-mg=0對整體：F1=（M+m）a1把已知條件代入，解得：a1=4.78m/s2，F(xiàn)1=14.34N（2）設(shè)物塊處于相對斜面向上滑的臨界狀態(tài)時，推力為F2，此時物塊受力如圖丙，對m：x方向：NSinθ+μNCosθ=ma2y方向：NCosθ-μNSinθ-mg=0對整體：F2=（M+m）a2把已知條件代入，解得：a2=11.2m/s2，F(xiàn)2=33.6N則力F的范圍：14.34N≤F≤33.6N[例3]如圖2—1所示，質(zhì)量均為M的兩個木塊A、B在水平力F的作用下，一起沿光滑的水平面運動，A與B的接觸面光滑，且與水平面的夾角為60°，求使A與B一起運動時的水平力F的范圍。解析：當水平推力F很小時，A與B一起作勻加速運動，當F較大時，B對A的彈力豎直向上的分力等于A的重力時，地面對A的支持力為零，此后，物體A將會相對B滑動。顯而易見，本題的臨界條件就是水平力F為某一值時，恰好使A沿AB面向上滑動，即物體A對地面的壓力恰好為零，受力分析如圖2—2。對整體：①隔離A：②③④聯(lián)立上式解得：∴水平力F的范圍是：2、如圖21所示，輕繩，當小車以速度勻速運動時，、兩段繩的張力分別是和，那么當小車的加速度分別是：（1）2，（2）2，（3）2時兩繩的張力各是多少？（圖示方向為加速度方向）。答案：；[例6]一個物體沿摩擦因數(shù)一定的斜面加速下滑，下列圖象，哪個比較準確地描述了加速度a與斜面傾角θ的關(guān)系？[解析]：設(shè)摩擦因數(shù)為μ，則a=gSinθ-μgCosθ做如下幾種假設(shè)：（1）當θ=00時，物體靜止在水平面上，a=0（2）當θ=arctgμ時，物體開始勻速下滑，a=0（3）當θ>arctgμ時，物體加速下滑，a>0（4）當θ=900時，F(xiàn)=μmgCos900=0，加速度達到極限值，a=g即物體做自由落體運動。綜上假設(shè)，不難判斷出“D”答案是合理的。[例7]如圖3所示，質(zhì)量為m=1kg的物塊放在傾角為的斜面體上，斜面質(zhì)量為，斜面與物塊間的動摩擦因數(shù)為，地面光滑，現(xiàn)對斜面體施一水平推力F，要使物體m相對斜面靜止，試確定推力F的取值范圍。（）圖3圖4解析：：此題有兩個臨界條件，當推力F較小時，物塊有相對斜面向下運動的可能性，此時物體受到的摩擦力沿斜面向上；當推力F較大時，物塊有相對斜面向上運動的可能性，此時物體受到的摩擦力沿斜面向下。找準臨界狀態(tài)，是求解此題的關(guān)鍵。（1）設(shè)物塊處于相對斜面向下滑動的臨界狀態(tài)時的推力為F1，此時物塊受力如圖4所示，取加速度的方向為x軸正方向。對物塊分析，在水平方向有，豎直方向有對整體有，代入數(shù)值得（2）設(shè)物塊處于相對斜面向上