第24章圖形的全等 章節(jié)專題培優(yōu)訓(xùn)練

第24章圖形的全等§24.1圖形的全等勵(lì)志名言：見識(shí)得多，經(jīng)歷得多，研究得多是學(xué)問的三大支柱.------迪斯雷利目標(biāo)導(dǎo)航：1.知道全等形、全等多邊形、全等三角形的概念和性質(zhì).2.能辨別全等多邊形、全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素.經(jīng)典分析：例在△ABC中，若AC＞BC＞AB，且△DEF≌△ABC，則△DEF三邊的關(guān)系為＜＜．分析：本題實(shí)質(zhì)是考查辨別全等三角形中對(duì)應(yīng)元素的能力.解：∵△DEF≌△ABC，∴DE=AB，EF=BC，DF=AC，∵AC＞BC＞AB，∴DF＞EF＞DE∴DE＜EF＜DF.點(diǎn)評(píng)：本題表面上看好像是考查圖形不等式的有關(guān)內(nèi)容，而實(shí)質(zhì)是考查辨別全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素的能力，因此我們?cè)诮忸}時(shí)往往要善于抓住試題考查的本質(zhì)內(nèi)容，這樣許多問題就迎刃而解了.圖24.1.1基礎(chǔ)感悟：圖24.1.11.如圖24.1.1，△ABC≌△DFE，則對(duì)應(yīng)邊相等是，對(duì)應(yīng)角相等的有_______________.2.已知△AOC≌△BOD，∠A和∠B，∠C和∠D是對(duì)應(yīng)角，AO與BO是對(duì)應(yīng)邊，其余的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角分別為.3.請(qǐng)畫出F在平面鏡中所成的圖形.4.請(qǐng)你舉出在日常生活中我們見到全等圖形的例子，和同學(xué)比一比，看誰(shuí)舉出的例子最多.拓展思維：1.請(qǐng)?jiān)谙铝蟹礁駡D中任意畫出三組全等的圖形.2.下列說法正確的個(gè)數(shù)為（）①所有的等邊三角形都全等②兩個(gè)三角形全等，它們的最大邊是對(duì)應(yīng)邊圖24.1.2③兩個(gè)三角形全等，它們的對(duì)應(yīng)角相等圖24.1.2④對(duì)應(yīng)角相等的三角形是全等三角形A.1B.2C.3D.43.下列說法中錯(cuò)誤的是（）A.全等三角形的面積相等B.全等三角形的面積周長(zhǎng)相等C.面積相等的三角形全等D.面積不相等的三角形不全等4.如圖24.1.2，△ACB≌△AED，則對(duì)應(yīng)邊是，如果∠B=250，∠C=350，則∠EAD=圖24.1.35.如圖24.1.3,ACBD是圓O的內(nèi)接四邊形,AC、BD是直徑且AC⊥BD，則圖中全等的圖形有(至少寫出三組,但全等的三角形最多只能寫出兩組)圖24.1.3知識(shí)探究：任意畫一個(gè)正方形，試著用多種方法將它分成四個(gè)全等的圖形.§24.2全等三角形的識(shí)別第1課時(shí)勵(lì)志名言：理想是成功的翅膀，有了它就能騰飛；事業(yè)心是前進(jìn)的航標(biāo)，它把我們引向勝利.------陳國(guó)達(dá)院士目標(biāo)導(dǎo)航：S.S.S.S.S.S.）識(shí)別全等三角形.2.培養(yǎng)學(xué)生的畫圖、實(shí)驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的能力，讓他們體驗(yàn)到發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的樂趣.經(jīng)典分析：圖24.2.1例如圖24.2.1，AC=BD，AB=DC，試說明∠B=∠C圖24.2.1分析1：要說明∠B=∠C，可以觀察∠B=∠C所在的△ABE≌△DCE是否全等，由已知判定條件不足，如果將∠B與∠C及AC、BD，放在同一對(duì)三角形中，問題可獲得解決.解析1：連結(jié)AD，在△ABD與△DCA中，AB=DC，DB=AC，AD=DA∴△ABD≌△DS.S.S.S.S.S.）∴∠B=∠C分析2：本題條件AC、AB在△ABC中，DC、BD在△DCB中，而AC=BD，AB=DC，故可連結(jié)BC，先說明△ABC≌△DCB，再說明∠B=∠C.解析2：連結(jié)BC，在△ABC與△DCB中，AB=DC，AC=DB，BC=CB∴△ABC≌△DS.S.S.S.S.S.）∴∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC∵∠ABD=∠ABC－∠DBC，∠ACD=∠DCB－∠ACB，∴∠ABD=∠ACD，即∠B=∠C.點(diǎn)評(píng)：第1種方法是從結(jié)論出發(fā)結(jié)合已知得到應(yīng)構(gòu)造△ABD≌△DCA，輔助線是AD；第2種方法是從已知條件入手，發(fā)現(xiàn)條件集中在兩個(gè)三角形△ABC及△DCB，連結(jié)BC，再說明△ABC≌△DCB，這兩種方法在今后的解題中要經(jīng)常運(yùn)用．基礎(chǔ)感悟：1．如果△ABC≌△DEF，那么AB的對(duì)應(yīng)邊是，∠DFE的對(duì)應(yīng)角是．2．把△ABC以BC為軸翻折1800，得到△DBC，說明△______≌△________，對(duì)應(yīng)邊是___________________對(duì)應(yīng)角是_____________________.3.△ABC以點(diǎn)A為中心旋轉(zhuǎn)1800到達(dá)△AED的位置,則△_________≌△________4.如果△ABC≌△DCB≌△DCE．寫出全等三角形中對(duì)應(yīng)邊相等的式子并畫出草圖．拓展思維圖24.2.4圖24.2.3圖24.2.21．如圖24.2.2，AD⊥BC，D為BC的中點(diǎn)，則△ABD≌，△ABC是圖24.2.4圖24.2.3圖24.2.22．如S.S.S.S.S.S.DES.S.S.S.S.S.＿＿＿＿就可以根據(jù)（S.S.S.）得△ABF≌△DEC.3．如圖24.2.4，四邊形ABCD的對(duì)角線相交于O點(diǎn)，且有AB∥DC，AD∥S.S.S.S.S.S.）可得圖中有對(duì)全等三角形.4．下列說法正確的個(gè)數(shù)為（）①周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等②周長(zhǎng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等③有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形全等，④有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等圖24.2.5A.1B.2C.3D.4圖24.2.55．如圖24.2.5，AB=AD，BC=DC，試說明∠B=∠D.圖24.2.6圖24.2.66．如圖24.2.6，AC=BD，BA=CD，試說明∠B=∠C.7.如圖24.2.7，△ABC是一個(gè)鋼架，AB=AC，AD是連接點(diǎn)A與BC中點(diǎn)D的支架，圖24.2.7①這個(gè)圖形有哪些性質(zhì)？圖24.2.7②由∠ADB=∠ADC可知圖形還有什么性質(zhì)？知識(shí)探究：圖24.2.8如圖24.2.8，已知CA=CB,AD=BD,M、N分別是CB、CA的中點(diǎn)，圖24.2.8試說明DN=DM.第2課時(shí)勵(lì)志名言：就我自身治學(xué)和工作而言,僅僅是“理想、勤奮與持之以恒”，這就是我的一點(diǎn)體會(huì).------路甬祥院士目標(biāo)導(dǎo)航：S.A.S.S.A.S.A.S.A.A.S.A.A.A.S.A.A.S.）識(shí)別全等三角形.2.培養(yǎng)學(xué)生的畫圖、實(shí)驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的能力，讓他們體驗(yàn)到發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的樂趣.經(jīng)典分析：例如圖24.2.9，在△ABC中，∠B=600，∠A與∠C的角平分線AE、CF相交于O，試說明OE=OF.圖24.2.9分析：由于O為三角形角平分線的的交點(diǎn)，則O到各邊的距離相等，因此過點(diǎn)O圖24.2.9向BA、B作垂線，余下只需說明△ONF≌△OME就可以了.解：過點(diǎn)O分別作AB、AC的垂線，N、M為垂足，連結(jié)OB，因?yàn)镺是∠A與∠C的角平分線，所以O(shè)M=ON，故O也在∠B的平分線上，∠OBN=∠OBM=300；又∠NFO=∠B＋∠C=600＋∠C，∠OEM=∠C＋∠A=(∠A＋∠C)＋∠C=600＋∠C．而由作法知∠ONF=∠OME=900,∴△ONF≌△OME,∴OE=OF點(diǎn)評(píng)：遇到角平分線的問題時(shí),常用自角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線的這種輔助線,本例還有一個(gè)副產(chǎn)品:三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)”這一結(jié)論；因此要善于挖掘圖形中的隱含條件．只有這樣才能真正將數(shù)學(xué)學(xué)好，才能靈活的駕馭它.基礎(chǔ)感悟：判斷題1.有兩邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（）2.有一條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等.（）3.有一條邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.（）4.全等三角形對(duì)應(yīng)角的平分線相等.（）圖24.2.105.如圖24.2.10，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線EF分別交AB、CD于E、F.找出圖中有幾對(duì)全等的三角形，請(qǐng)任選一對(duì)加以說明..圖24.2.10拓展思維：1．如圖24.2.11，C、F在BE上，∠ACB=∠DFE，BC=EF，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件：，使△ABC≌△DFE.圖24.2.11圖24.2.11圖24.2.12圖24.2.122.（福州市中考題）如圖24.2.12，若AB＝DE，BE＝CF，∠B=∠DEC，試說明：AF＝DC.3.（北京市中考調(diào)研題）如圖24.2.13，線段AD、BC、EF相交于點(diǎn)O，OE=OF，AB∥CD，求證AB=CD.圖24.2.13圖24.2.144.（宜昌市中考題）如圖24.2.14，AB與CD相交于E，EA=EC，EB=ED，試說明AD=CB.圖24.2.14圖24.2.15圖24.2.155.如圖24.2.15，已知BE=CD，∠BDC=∠BEC，試說明BD=CE.圖24.2.16圖24.2.166．如圖24.2.16，已知AD∥BC，AD=BC，試說明△ABC≌△CDA.圖24.2.17圖24.2.177．如圖24.2.17，AC=AB，AE=AD，∠EAB=∠CAD，試說明∠ABD=∠ACE.圖24.2.188.如圖24.2.18,在△ABC中,分別延長(zhǎng)中線BE、CD至F、H，使EF=BE，DH=CD，連結(jié)AF、AH；試說明（1）AF=AH，（2）點(diǎn)A、F、H三點(diǎn)在同一直線上.圖24.2.18圖知識(shí)探究：圖圖24.2.19如圖24.2.19,P是△ABC的外角∠MAC的角平分線上的一點(diǎn),試說明圖圖24.2.19PB＋PC＞AB＋AC第3課時(shí)勵(lì)志名言：讀一本書,就像對(duì)生活打開了一扇窗戶.-----高爾基目標(biāo)導(dǎo)航：1.會(huì)用（H.L.）說明兩個(gè)直角三角形全等.2.能靈活運(yùn)用所學(xué)的識(shí)別方法識(shí)別三角形全等,從而解決線段或角相等的問題.3、通過全等三角形識(shí)別方法的探求，讓他們體驗(yàn)到發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的樂趣.經(jīng)典分析：例已知：如圖24.2.20，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠A的平分線．試說明：AB＋BD=AC．分析一：如圖（a），要證明AB＋BD=AC，可延長(zhǎng)AB到C′，使BC′=BD，然后證明AC′=AC．而要證明AC′=AC，則要連結(jié)C′D，再想法證明△AC′D≌△ACD．要證明這兩個(gè)三角形全等，只需證明∠C′=∠C．這只要應(yīng)用已知條件∠B=2∠C就解決了．圖24.2.20圖24.2.20證法一：如圖（a），延長(zhǎng)AB到C′，使BC′=BD，連結(jié)C′D．在△AC′D和△ACD中，AD=AD，∠C′AD=∠CAD．又由于BC′=BD，所以∠C′=∠BDC′，所以∠B=∠C′＋∠BDC′=2∠C′，而∠B=2∠C，所以∠C′=∠C．從而△AC′D≌△ACD．所以AB＋BD=AB＋BC′=AC′=AC．分析二：以上的分析和證明用的是“延長(zhǎng)”的方法．證明本例也可以用“截取”的方法．如圖（b），先在AC上取點(diǎn)B′，使AB=AB′．然后證明BD=B′C．而要證明BD=B′C，只要借助B′D就可以了．證法二：如圖（b），在AC上取點(diǎn)B′，使AB=AB′，連結(jié)B′D．顯然△ABD≌△AB′D，所以∠ABD=∠AB'D．而∠ABD=2∠C，所以∠AB′D=2∠C．而∠AB′D=∠C＋∠B′DC，所以∠C=∠B′DC，所以BD=B′D=B′C．從而AB＋BD=AB′＋B′C=AC．點(diǎn)評(píng)：要證明線段AB＋CD=EF，可用“延長(zhǎng)”的方法：延長(zhǎng)AB到G，使BG=CD，然后證明AG=EF．也可用“截取”的方法：在EF上取點(diǎn)H，使EH=AB，然后證明HF=CD．在具體問題中要考慮哪種方法可行．用“延長(zhǎng)”的方法時(shí)，要考慮延長(zhǎng)哪條線段，向什么方向延長(zhǎng)．用“截取”的方法時(shí)，要考慮如何截?。A(chǔ)感悟：判斷題圖24.2.211.兩個(gè)三角形中，有兩條邊對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形全等（）圖24.2.212.有一條直角邊和一個(gè)銳角分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（）3.有兩條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（）4.兩銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（）5.如圖24.2.21，BA⊥AC，DC⊥AC，要使使△ABC≌△CDA，現(xiàn)已有和條件，還需要添加什么條件（最直接的）圖24.2.22才能保證結(jié)論成立？圖24.2.22①AB=AC（SAS）②（）③（）④()6.如圖24.2.22，AE⊥BD，CF⊥BD，AE=CF，則圖中全等三角形有（）對(duì).A.1B.2C.3D.4拓展思維：1.在△ABC中，∠B＝∠C，與△ABC全等的三角形有一個(gè)角是100°，那么在△ABC中與這個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的角是（）A.∠AB.∠BC.∠CD.∠B或∠C2.下列條件中，能判定△ABC≌△DEF的是（）A.AB＝DE，BC＝ED，∠A＝∠DB.∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EFC.∠B＝∠E，∠A＝∠D，AC＝EFD.∠B＝∠E，∠A＝∠D，AB＝DE3.（河南省中考題）下列條件中，不一定能判定三角形全等的是（）A.底邊和頂角分別相等的兩個(gè)等腰三角形B.有一邊相等的兩個(gè)等邊三角形圖24.2.23C.有兩條邊和其中一邊對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形圖24.2.23D.有一條斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形4．如圖24.2.23，AC與BD相交于O，AD=BC，AD⊥BD，AC⊥BC，試說明AO=B0.圖24.2.24圖24.2.245．如圖24.2.24,已知AD⊥BE，垂足C是BE的中點(diǎn)，AB=DE，試說明AB∥DE.圖24.2.256.如圖24.2.25，∠ABC＝90°，AB＝BC，D為AC上一點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、C作BD的垂線，垂足分別為E、F；試說明EF＝CF－AE.圖24.2.25圖24.2.26圖24.2.267．如圖24.2.26，A、E、F、B四點(diǎn)在同一直線上，AC⊥CE，BD⊥DF，AE=BF，AC=BD，試說明CF=DE.知識(shí)探究：在△ABC中，AD是BC邊上的中線，試說明2AD＜AB＋AC.§24.3命題與證明第1課時(shí)勵(lì)志名言:自學(xué)，不怕起點(diǎn)低，就怕不到底.-----華羅庚目標(biāo)導(dǎo)航:1.能正確理解定義、命題、公理和定理的含義,以及它們之間的相互聯(lián)系與區(qū)別.2.能初步透過特例,發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)屬性,從而給事物下定義.3.會(huì)區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論,把一個(gè)命題寫成“如果……那么……”的形式.4.能根據(jù)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn),判斷一個(gè)命題的真假性.經(jīng)典分析例1下列命題中錯(cuò)誤的是()A.三角形的內(nèi)心到這個(gè)三角形三邊的距離相等B.三角形的外心到這個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等C.三角形的重心到這個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等D.正三角形的垂心到這個(gè)三角形三邊中點(diǎn)的距離相等分析:本題屬于簡(jiǎn)單題,主要考查掌握三角形的“四心”的有關(guān)性質(zhì)的情況,根據(jù)性質(zhì),逐項(xiàng)分析,找出錯(cuò)誤的選擇即可,A、B顯然正確,由于正三角形“三線合一”所以“四心”重心,即D也是正確的.故只有C是錯(cuò)誤的.解：答案:C點(diǎn)評(píng):選擇題可用排除法.例2把命題“有兩條邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”改寫成“如果……那么……”的形式.分析:該命題的題設(shè)是“有兩條邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形”,結(jié)論是“這兩個(gè)三角形全等”.解:如果兩個(gè)三角形有兩條邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形全等.點(diǎn)評(píng):把命題改寫成“如果……那么……”的形式必須分清題意,確定題設(shè)和結(jié)論.基礎(chǔ)感悟:1.把下列命題改寫成“如果……那么……”的形式,并指出它的題設(shè)和結(jié)論.同位角相等,兩條直線平行.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等.兩條邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.2.下列命題中是假命題的()A.圓是中心對(duì)稱圖形B.矩形的對(duì)邊相等C.三點(diǎn)確定一個(gè)圓D.從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等3.下列語(yǔ)句中是命題的是()（1）全等三角形的面積相等,(2)對(duì)頂角不相等,(3)求線段CD的長(zhǎng)度,(4)今天的天氣真好.A.(4)B.(1)(2)C.(1)(3)D.(1)(2)(4)拓展思維:1．寫出兩個(gè)真命題和兩個(gè)假命題.2．填空:(1)把“同角的余角相等”改寫成“如果……那么……”的形式.它是命題.(2)命題“有兩條邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”的題設(shè)是,結(jié)論是,它是命題.3.如圖24.3.1找出下列圖形中的圓周角,并試著給圓周角下定義.圖24.3.1圖24.3.1知識(shí)探究:1.對(duì)于同一平面內(nèi)的三條直線a、b、c，給出下列五個(gè)論斷:(1)a∥b,(2)b∥c，(3)a⊥b，(4)a∥c，(5)a⊥c以其中兩個(gè)論斷為條件,一個(gè)論斷為結(jié)論,組成一個(gè)你認(rèn)為正確的.2.把“對(duì)頂角相等”改寫成“如果……那么……”的形式.圖24.3.23.請(qǐng)?jiān)跈M線上填上適當(dāng)?shù)臈l件或結(jié)論，使所得的命題是真命題.圖24.3.2（1）如圖24.3.2，如果∠B=∠C，_那么△ABD≌△ACE.（2）如果⊙O的半徑R=5cm,⊙O的半徑r=3cm，當(dāng)OO=cm時(shí)，⊙O與⊙O相交.（3）在同一個(gè)圓中，相等的弧所對(duì)的相等.4.判斷“同位角相等”這個(gè)命題的真假性，說明理由.第2課時(shí)勵(lì)志名言:青春啊，永遠(yuǎn)是美好的，可是真正的青春，只屬于這些力爭(zhēng)上游的人，永遠(yuǎn)忘我勞動(dòng)的人，永遠(yuǎn)謙虛的人.-----雷鋒目標(biāo)導(dǎo)航:1.體會(huì)命題證明的必要性,證明的步驟及格式,會(huì)根據(jù)一些簡(jiǎn)單的命題畫出圖形,并結(jié)合圖形寫出已知求證,進(jìn)行推理論證,并且會(huì)注明每一步推理的理由.2.掌握命題證明的書寫過程,提高自己的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力和邏輯推理能力.3.懂得如何證明或判斷一個(gè)命題是假命題.經(jīng)典分析:例證明:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.分析：要證明兩條線段相等、兩個(gè)角相等，通常采用的方法是證明它們所在的兩個(gè)三角形全等.已知:如圖24.3.3，P是⊙O外的一點(diǎn)，PA、PB分別與⊙O切與A、B.圖24.3.3求證:(1)PA=PB；(2)∠APO=∠BPO.圖24.3.3證明:∵PA、PB與⊙O相切（已知）∴OA⊥PAOB⊥PB（圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑）∴∠PAO=∠PBO=Rt∠∴△PAO、△PBO都是Rt△又∵OA=OB（同圓的半徑相等），PO=PO（公共邊）∴△PAO≌△H.L.H.L.）∴PA=PB，∠APO=∠BPO.（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）點(diǎn)評(píng)：要證明用語(yǔ)言敘述的命題的正確性，一般要有以下三個(gè)步驟：（1）根據(jù)題意，畫出圖形；（2）根據(jù)題設(shè)、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證；（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出結(jié)論的途徑，寫出證明過程，并注明依據(jù).基礎(chǔ)感悟：1.根據(jù)下列命題，作出圖形并寫出“已知”、“求證”（不必證明）：（1）兩個(gè)角及第三個(gè)角的平分線分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（2）經(jīng)過圓心，垂直于弦的直徑，平分弦并且平分弦所對(duì)的弧.圖24.3.32.完成以下證明，并在括號(hào)里填寫理由：圖24.3.3（1）已知：如圖24.3.3，AB∥DE，∠BAE=∠CDE.求證：AE∥DC.證明：∵AB∥DE（）∴∠BAE=∠AED（）∵∠BAE=∠CDE（）圖24.3.4∴∠=∠（）圖24.3.4∴AE∥DC（）（2）已知：如圖24.3.4，∠ABE=∠BEC，∠A=∠CED，求證：AC∥DE.證明：∵∠ABE=∠BEC（）∴AB∥（）∴∠A=∠ACE（）又∵為∠A=∠CED（）圖24.3.5∴∠CED=∠（）圖24.3.5∴AC∥DE（）3.如圖24.3.5，AD=AE,BE=CD,∠ADB=∠AEC,求證：△ABE≌△ACD.拓展思維：1.證明：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等.圖24.3.6圖24.3.62.已知：如圖24.3.6，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E為梯形內(nèi)一點(diǎn)，且EA=ED.求證：EB=EC.3.如圖24.3.7，B、E、F、D四點(diǎn)在同一直線上，AB=CD，DE=BF，∠B=∠D，求證:△AFE≌△CEF.圖24.3.7知識(shí)探究：1.小華在鉆研數(shù)學(xué)問題時(shí)發(fā)現(xiàn)：1＜2，2＜3，3＜4……于是他得出結(jié)論：對(duì)于任意自然數(shù)a、b，若a＜b，則a＜b.你認(rèn)為小華的結(jié)論正確嗎？請(qǐng)說明理由.圖24.3.82.有一位同學(xué)在鉆研三角形的全等問題時(shí)發(fā)現(xiàn)：如圖24.3.8，在△ABC和△ABC中，如果AB=AB，BC=BC，AD和AD分別是這兩個(gè)三角形的高，且AD=AD，那么△ABC≌△ABC.于是他得出結(jié)論：有兩條邊和其中一條邊上得高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.這個(gè)結(jié)論正確嗎？若不正確，請(qǐng)說明理由，并指出添加什么條件后可使這個(gè)命題變?yōu)檎婷}；若正確，請(qǐng)給出證明.圖24.3.8第3課時(shí)勵(lì)志名言:勤勉而頑強(qiáng)地鉆研，永遠(yuǎn)可以使你百尺竿頭更進(jìn)一步.-----舒曼目標(biāo)導(dǎo)航:1.進(jìn)一步掌握命題證明的書寫過程,提高自己的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力和邏輯推理能力.2.在證明的過程中，學(xué)會(huì)與同伴合作交流.經(jīng)典分析：例等腰三角形兩底角的平分線長(zhǎng)相等.已知：如圖24.3.9,△ABC中，AB=AC，BD、CE分別是∠ABC、∠ACB的角平分線.求證：BD=CE.分析：欲證明BD=CE，把它們分別放到△ABD和△ACE中，找出這兩個(gè)三角形相等的邊或角，∠A是公共角，從已知條件看，AB=AC，還需找出一組角對(duì)應(yīng)相等或AE=AD這個(gè)條件，根據(jù)已知條件得到∠ABD=∠ACE很容易.證明：∵AB=AC（已知），∴∠ABC=∠ACB（等邊對(duì)等角），又∵∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB（已知）∴∠ABD=∠ACE（等式的性質(zhì)）圖24.3.9在△ABD和△ACE中，∠A=∠A（公共角），AB=AC（已知），∠ABD=∠ACE（已證）∴△ABD≌△A.S.A.A.S.A.）∴BD=CE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.點(diǎn)評(píng)：證明兩個(gè)三角形全等是證明兩條線段相等常常采用的方法.基礎(chǔ)感悟：完成以下證明，并在括號(hào)內(nèi)填寫理由：如圖24.3.10，已知AB∥CD，MN與AB、CD分別相交于E、F，PQ與AB、CD分別相交于E、G，∠PEM=27o，∠DGQ=63o.求證：MN⊥CD.證明：∵AB∥CD（），圖24.3.10∴==63o（）又∵∠GEF=∠PEM=27o（）∠BEF=∠BEG+∠GEF=63o+27o=90o，圖24.3.11∴⊥CD（）.圖24.3.112.已知：如圖24.3.11，AD=BC，CE∥DF，DF=CE.求證：∠E=∠F.證明：∵CE∥DF（），∴∠ADF=∠BCE（）.在△AFD和△BEC中，DF=CE（），∠ADF=∠BCE（），AD=BC（），∴△AFD≌△BEC（），∴∠E=∠F（）.3.如圖24.3.12，AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD，求證AD=BC.圖24.3.12圖24.3.12拓展思維：1.已知：如圖24.3.13，直線AB、CD被EF、GH所截，且∠APM=∠GMD.求證：∠EQB=∠END.圖24.3.14圖24.3.13圖24.3.142.已知：如圖24.3.14，AB=AC，∠BAO=∠CAO.求證：OB=OC.圖24.3.153.如圖24.3.15，已知：DC=AB，AD=BC，點(diǎn)E、F在AC上，AE=CF.試找出圖中所有的全等三角形，任選一組加以證明.圖24.3.154.判斷“有兩條邊及其中一條邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”這個(gè)命題的真假性.并加以證明.知識(shí)探究：圖24.3.16如圖24.3.16(a)，在△ABC中，∠BAC=900，AB=AC，AE是過點(diǎn)A的一條直線，且B、C在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求證（1）BD=DE+CE.圖24.3.16(a)(b)(c)(2)如果直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖(b)的位置時(shí)（BD＜CE），其余條件不變，問DB與DE、CE的關(guān)系如何.(3)如果直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖(c)的位置時(shí)（BD＞CE），其余條件不變，問DB與DE、CE的關(guān)系怎樣?請(qǐng)直接寫出結(jié)果,不需證明.§24.4尺規(guī)作圖第1課時(shí)勵(lì)志名言：毫無(wú)理想而又優(yōu)柔寡斷是一種可悲的心理.------培根目標(biāo)導(dǎo)航：1.了解什么是尺規(guī)作圖。2.學(xué)會(huì)用尺規(guī)作圖法完成：①畫一條線段等于已知線段；②畫一個(gè)角等于已知角。3.學(xué)會(huì)用精煉、準(zhǔn)確的作圖語(yǔ)言敘述畫圖過程。經(jīng)典分析：例已知兩邊及夾角,求作三角形.圖24.4.1如圖24.4.1,已知：∠O，線段a、b，求作：△ABC，使∠A=∠O，AB=a，AC=b.圖24.4.1分析：本例是綜合運(yùn)用:畫一條線段等于已知線段與畫一個(gè)角等于已知角這兩種畫法,可先畫角再在射線上畫線段.解（作法）：①作∠MAN=∠O.②在射線AN、AM上分別截取線段AB=a，AC=b.③連結(jié)BC.△ABC即為所求的三角形.點(diǎn)評(píng)：注意一般幾何作圖應(yīng)有以下幾個(gè)步驟:已知、求作、作法，比較復(fù)雜的作圖題，可根據(jù)需要作一些分析.基礎(chǔ)感悟：1.限定用和來(lái)畫圖稱為尺規(guī)作圖2.已知線段MN，畫一條線段AC=MN的步驟是：第一步：；第二步：；AC就是所要畫的線段.3.已知∠AOB，畫一個(gè)角∠AOB=∠AOB的步驟是：第一步：；第二步：；第三步：；第四步：，；第五步：；∠AOB就是所要畫的角.拓展思維：1.任意畫出線段AB線段CD（2AB＞CD），求作一條線段使它的長(zhǎng)度等于2AB－CD.2.任意畫一個(gè)△ABC，求作直線MN，使MN過點(diǎn)A且MN∥BC.3.（湖北省宜昌市中考題）已知直線AB及直線外一點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD∥AB.圖24.4.24.已知，如圖24.4.2,∠A、∠B，求作一個(gè)角使它等于∠A－∠B.圖24.4.2圖24.4.35.已知，如圖24.4.3,線段a、b、c，求作△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c.圖24.4.3知識(shí)探究：已知，如圖24.4.1，線段AB，現(xiàn)在只有圓規(guī)和直尺這兩種工具，你如何找到線段AB的中點(diǎn).圖24.4.4圖24.4.4第2課時(shí)勵(lì)志名言：人生太短，要干的事太多，我要爭(zhēng)分奪秒.------愛迪生目標(biāo)導(dǎo)航：1.學(xué)會(huì)用尺規(guī)作圖法完成：①畫線段的垂直平分線；②過已知點(diǎn)畫已知直線的垂線.2.學(xué)會(huì)用精煉、準(zhǔn)確的作圖語(yǔ)言敘述畫圖過程.經(jīng)典分析：例已知線段a，求作：菱形ABCD，使其周長(zhǎng)為2a，兩鄰角之比為1:2.分析：因?yàn)榱庑嗡倪呄嗟?其周長(zhǎng)為2a，就是菱形的邊長(zhǎng)為,故先將線段a等分,又由菱形的性質(zhì)可知,菱形較小的內(nèi)角為600，則菱形較短的對(duì)角線將菱形分成兩個(gè)全等的等邊三角形，所以作圖時(shí)只要作出兩個(gè)有公共邊的等邊三角形即可.解（作法）：①作線段a的垂直平分線，等分線段a.②作線段AC,使AC=.③分別以A、C為圓心，為半徑，在AC的兩側(cè)畫弧，兩弧分別交于B、D.④分別連結(jié)AB、BC、CD、DA得四邊形ABCD.四邊形ABCD就是所求作的菱形.點(diǎn)評(píng)：注意通過先畫三角形，然后再畫出全部圖形的方法即為“三角形奠基法”.基礎(chǔ)感悟：1.畫線段AB的垂直平分線的步驟是：第一步：；第二步：，MN就是線段AB的垂直平分線.2.過點(diǎn)C畫直線l的垂線的思想方法是：把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為畫的方法來(lái)解決.3.作線段垂直平分線的理論依據(jù)是：.圖24.4.5拓展思維：圖24.4.51.如圖24.4.5，已知∠AOB內(nèi)有一點(diǎn)P，過點(diǎn)P畫出∠AOB兩邊的垂線（保留作圖痕跡）.2.請(qǐng)你任意畫一條線段，并將它四等份（保留作圖痕跡）.3.已知，如圖24.4.6，線段AB，求作等腰直角三角形，使它的底邊等于線段AB.圖24.4.84.已知：如圖24.4.7，是三個(gè)自然村A、B、C的位置，現(xiàn)在計(jì)劃建一所小學(xué)，使其到A、B、C三個(gè)自然村的距離相等，請(qǐng)你設(shè)計(jì)學(xué)校所在的位置O（保留作圖痕跡）圖24.4.85．如圖24.4.8，已知∠AOB及OA邊上任意一點(diǎn)P，求作