彈性力學(xué)：作業(yè)4

TheoryofElasticityChapterPage61第五次作業(yè)習(xí)題六思考題6-1：為什么平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題的應(yīng)力分布是相同的？答：因?yàn)槠矫鎽?yīng)力問題和平面應(yīng)變問題的平衡方程、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程以及邊界條件式都相同，因此，只要幾何條件相同，載荷條件相同，不論其為平面應(yīng)力或平面應(yīng)變問題，它們?cè)谄矫鎯?nèi)的應(yīng)力分布規(guī)律是相同的。TheoryofElasticityChapterPage62第五次作業(yè)6-5：什么樣的問題可以簡化為平面應(yīng)力問題或平面應(yīng)變問題？答：平面應(yīng)力問題：平面應(yīng)力問題是受力體一個(gè)方向的幾何尺寸遠(yuǎn)小于其它兩個(gè)方向，而且滿足以下條件：列出條件TheoryofElasticityChapterPage63第五次作業(yè)平面應(yīng)變問題：平面應(yīng)變問題是受力體一個(gè)方向的幾何尺寸遠(yuǎn)大于其它兩個(gè)方向，而且滿足以下條件：TheoryofElasticityChapterPage64第五次作業(yè)1:設(shè)有矩形截面的長豎柱,密度為ρ,在一邊側(cè)面上受均布剪力q,如圖1,試求應(yīng)力分量.提示:可假設(shè)σx=0,或假設(shè)τxy=f(x),或假設(shè)σy如材料力學(xué)中偏心受壓公式所示.上端邊界條件如不能精確滿足,可應(yīng)用圣維南原理.xyoqbρg圖1TheoryofElasticityChapterPage65第五次作業(yè)解題步驟：1、假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。可假設(shè)，或假設(shè)，這里假設(shè)2、推求應(yīng)力函數(shù)的形式。由推求的形式，得xyoqbρg圖1（2-24），注意體力TheoryofElasticityChapterPage66第五次作業(yè)3、由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。將代入，得

[上式已省略了常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)]4、由由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量。將代入應(yīng)力分量表達(dá)式，，求得應(yīng)力分量為TheoryofElasticityChapterPage67第五次作業(yè)5、考察邊界條件：在主要邊界上的條件為（a）

（b）

（c）xyoqbρg圖1TheoryofElasticityChapterPage68第五次作業(yè)在次要邊界上，可應(yīng)用圣維南原理，三個(gè)積分邊界條件為(注意此處的邊界條件)

(d)

(e)

(f)xyoqbρg圖1TheoryofElasticityChapterPage69第五次作業(yè)6、通過上述方程求得各系數(shù)，并代入應(yīng)力分量的表達(dá)式，得應(yīng)力解答：xyoqbρg圖1TheoryofElasticityChapterPage610第五次作業(yè)yxoαρg圖22:設(shè)圖2中的三角形懸臂梁只受重力作用,而梁的密度為ρ,試用純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)求解.(純?nèi)问接袑戝e(cuò)的)TheoryofElasticityChapterPage611第五次作業(yè)解：設(shè)由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量。將代入應(yīng)力分量表達(dá)式，，求得應(yīng)力分量為

（2-24），注意體力1：檢驗(yàn)應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式滿足相容方程。yxoαρg圖2TheoryofElasticityChapterPage612第五次作業(yè)2：考察邊界條件：在上面上在下面上yxoαρg圖2TheoryofElasticityChapterPage613第五次作業(yè)3：通過上述方程求得各系數(shù)，并代入應(yīng)力分量的表達(dá)式，得應(yīng)力解答：yxoαρg圖2TheoryofElasticityChapterPage614第五次作業(yè)x圖3yoρ1gb/2b/2ρ2g3:擋水墻的密度為ρ1,厚度為b,圖3,水的密度為ρ2,試求應(yīng)力分量.(提示:可假設(shè)σy=xf(y)上端的邊界條件如不能精確滿足,可應(yīng)用圣維南原理,求出近似的解答)TheoryofElasticityChapterPage615第五次作業(yè)解題步驟：1、假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。

因?yàn)檫吔缟?，；邊界上，，所以可假設(shè)在區(qū)域內(nèi)為

x圖3yoρ1gb/2b/2ρ2gTheoryofElasticityChapterPage616第五次作業(yè)2、推求應(yīng)力函數(shù)的形式。由推測(cè)的形式，則x圖3yoρ1gb/2b/2ρ2gTheoryofElasticityChapterPage617第五次作業(yè)3、由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。將代入，得

要使上式在任意的處都成立，必須（下式易寫錯(cuò)）,得；，得。

，得，得TheoryofElasticityChapterPage618第五次作業(yè)代入，即得應(yīng)力函數(shù)的解答，其中已略去了應(yīng)力無關(guān)的一次式。4、由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量。將代入應(yīng)力分量表達(dá)式，，求得應(yīng)力分量為（2-24），注意體力TheoryofElasticityChapterPage619第五次作業(yè)5、考察邊界條件：在主要邊界上，有x圖3yoρ1gb/2b/2ρ2gTheoryofElasticityChapterPage620第五次作業(yè)在次要邊界（小邊界）上，應(yīng)用圣維南原理，列出