概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)市公開課一等獎省賽課獲獎?wù)n件

§10.2點(diǎn)預(yù)計(jì)評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)對于同一個(gè)未知參數(shù),不一樣方法得到預(yù)計(jì)量可能不一樣,于是提出問題應(yīng)該選取哪一個(gè)預(yù)計(jì)量?用何標(biāo)準(zhǔn)來評價(jià)一個(gè)預(yù)計(jì)量好壞?慣用標(biāo)準(zhǔn)(1)無偏性(3)一致性(2)有效性§10.2概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第1頁若則稱是無偏預(yù)計(jì)量.

無偏性無偏定義我們不可能要求每一次由樣本得到預(yù)計(jì)值與真值都相等，但能夠要求這些估計(jì)值期望與真值相等.定義合理性概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第2頁是總體X樣本,證實(shí):不論X服從什么分布(但期望存在),是無偏預(yù)計(jì)量.證例1設(shè)總體Xk階矩存在因而因?yàn)槔?則概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第3頁尤其地樣本二階原點(diǎn)矩是總體是總體期望E(X)樣本均值無偏預(yù)計(jì)量無偏二階原點(diǎn)矩預(yù)計(jì)量概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第4頁例2設(shè)總體X

期望與方差存在,X樣本為(n>1).(1)不是D(X)無偏估量;(2)是D(X)無偏預(yù)計(jì)量.證前已證證實(shí)例2概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第5頁因而故證畢.概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第6頁例3設(shè)是總體X一個(gè)樣本,X~B(n

,p)n>1,求p2

無偏預(yù)計(jì)量.解因?yàn)闃颖揪厥强傮w矩?zé)o偏預(yù)計(jì)量以及數(shù)學(xué)期望線性性質(zhì),只要將未知參數(shù)表示成總體矩線性函數(shù),然后用樣本矩作為總體矩預(yù)計(jì)量,這么得到未知參數(shù)預(yù)計(jì)量即為無偏預(yù)計(jì)量.令例3概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第7頁所以,p2無偏預(yù)計(jì)量為故概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第8頁例4設(shè)總體X

密度函數(shù)為為常數(shù)為X

一個(gè)樣本證實(shí)與都是無偏預(yù)計(jì)量證

故是無偏預(yù)計(jì)量.例4概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第9頁令即故nZ是無偏預(yù)計(jì)量.概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第10頁都是總體參數(shù)無偏預(yù)計(jì)量,且則稱比更有效.定義設(shè)有效性有效概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第11頁所以,比更有效.是無偏預(yù)計(jì)量,問哪個(gè)預(yù)計(jì)量更有效？由例4可知,與都為常數(shù)例5設(shè)總體X

密度函數(shù)為解

，例5概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第12頁例6設(shè)總體X，且

E(X)=,

D(X)=

2

為總體X

一個(gè)樣本證實(shí)是無偏預(yù)計(jì)量(2)證實(shí)比更有效證

(1)

例6(1)設(shè)常數(shù)概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第13頁(2)

而結(jié)論算術(shù)均值比加權(quán)均值更有效.概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第14頁比如

X~N(,2

),(X1

,X2)是一樣本.都是無偏預(yù)計(jì)量由例6(2)知最有效.概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第15頁羅—克拉美（Rao–Cramer）不等式若是參數(shù)

無偏預(yù)計(jì)量,則其中p(x,)是總體X概率分布或密度函數(shù)，稱為方差下界.當(dāng)時(shí),稱為到達(dá)方差下界無偏預(yù)計(jì)量,此時(shí)稱為最有效預(yù)計(jì)量,簡稱有效預(yù)計(jì)量.概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第16頁例7設(shè)總體X

密度函數(shù)為為X

一個(gè)樣本值.求

極大似然預(yù)計(jì)量,并判斷它是否到達(dá)方差下界無偏預(yù)計(jì)量.為常數(shù)解由似然函數(shù)例7概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第17頁極大似然預(yù)計(jì)量為它是無偏預(yù)計(jì)量.概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第18頁而故是到達(dá)方差下界無偏預(yù)計(jì)量.概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第19頁定義

設(shè)是總體參數(shù)則稱是總體參數(shù)一致(或相合)預(yù)計(jì)量.預(yù)計(jì)量.若對于任意,

當(dāng)n時(shí),一致性依概率收斂于,即一致性預(yù)計(jì)量僅在樣本容量

n足夠大時(shí),才顯示其優(yōu)越性.一致概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第20頁關(guān)于一致性兩個(gè)慣用結(jié)論1.樣本k階矩是總體k

階矩一致性預(yù)計(jì)量.是一致預(yù)計(jì)量.由大數(shù)定律證實(shí)用切貝雪夫不等式證實(shí)矩法得到預(yù)計(jì)量普通為一致預(yù)計(jì)量在一定條件下,極大似然預(yù)計(jì)含有一致性2.設(shè)是

無偏預(yù)計(jì)量,且,則概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第21頁例8為常數(shù)則是無偏、有效、一致預(yù)計(jì)量.證

由例7知是無偏、有效預(yù)計(jì)量.所以是

一致預(yù)計(jì)量,證畢.例8概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第22頁作業(yè)P120911習(xí)題補(bǔ)充題設(shè)總體X~N(,2),為X

一個(gè)樣本,常數(shù)k取何值可使為無偏預(yù)計(jì)量概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第23頁問題母親嗜酒是否影響下一代健康

美國Jones醫(yī)生于1974年觀察了母親在妊娠時(shí)曾患慢性酒精中毒6名七歲兒童（稱為甲組）.以母親年紀(jì)，文化程度及婚姻情況與前6名兒童母親相同或相近，但不飲酒46名七歲兒童為對照租(稱為乙組).測定兩組兒童智商，結(jié)果以下：概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第24頁甲組67819乙組469916人數(shù)智商平均數(shù)樣本標(biāo)準(zhǔn)差智商組別由此結(jié)果推斷母親嗜酒是否影響下一代智力？若有影響，推斷其影響程度有多大?提醒前一問題屬假設(shè)檢驗(yàn)問題后一問題屬區(qū)間預(yù)計(jì)問題概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第25頁智商普通受很多原因影響.從而能夠本問題實(shí)際是檢驗(yàn)甲組總體均值是否比乙組總體均值偏小?若是，這個(gè)差異范圍有多大?前一問題屬假設(shè)檢驗(yàn)，后一問題屬區(qū)間預(yù)計(jì).解假定兩組兒童智商服從正態(tài)分布.概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第26頁因?yàn)閮蓚€(gè)總體方差未知，而甲組樣本容量較小，所以采取大樣本下兩總體均值比較U—檢驗(yàn)法似乎不妥.故當(dāng)為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量采取方差相等(但未知)時(shí)，兩正態(tài)總體均值比較t—檢驗(yàn)法對第一個(gè)問題作出回答.為此,利用樣本先檢驗(yàn)兩總體方差是否相等，即檢驗(yàn)假設(shè)概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第27頁拒絕域?yàn)?/p>

概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第28頁未落在拒絕域內(nèi)，故接收.即可認(rèn)為兩總體方差相等.下面用t—檢驗(yàn)法檢驗(yàn)是否比顯著偏?。考礄z驗(yàn)假設(shè)當(dāng)為真時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第29頁其中

嗜酒會對兒童智力發(fā)育產(chǎn)生不良影響.落在拒絕域內(nèi)，故拒絕.即認(rèn)為母親概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第30頁下面繼續(xù)考查這種不良影響程度.為此要對兩總體均值差進(jìn)行區(qū)間預(yù)計(jì).取

于是置信度為99%置信區(qū)間為

概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第31頁由此可斷言：在99%置信度下，嗜酒母親所生孩子在七歲時(shí)智商比不飲酒母親所生孩子在七歲時(shí)智商平均要低2.09到39.91.概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第32頁故限制顯著性水平標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)了“保護(hù)零假設(shè)”標(biāo)準(zhǔn).[注]大家是否注意到，在處理問題時(shí)，兩次假設(shè)檢驗(yàn)所取顯著性水平不一樣.前者遠(yuǎn)在檢驗(yàn)方差相等時(shí)，取;在檢驗(yàn)均值是否相等時(shí)取.比后者大.為何這么取呢?因?yàn)闄z驗(yàn)結(jié)果與檢驗(yàn)顯著性水平相關(guān).小，則拒絕域也會小，產(chǎn)生后果使零假設(shè)難以被拒絕.概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第33頁在較大時(shí),若能接收,說明為真依據(jù)很充分;一樣，在很小時(shí)，我們依然拒絕.說明不真理由就更充分.說明在所給數(shù)據(jù)下，得出對應(yīng)本例中,對,仍得出可被接收,及對,可被拒絕結(jié)論.結(jié)論有很充分理由.概統(tǒng)節(jié)參數(shù)估計(jì)第34頁另外在區(qū)間預(yù)計(jì)中，取較小置信若反之,取較大置信水平，則可水平(即較大置信度),從而使得區(qū)間預(yù)計(jì)范圍較大.降低預(yù)計(jì)區(qū)間長度，使區(qū)間