2018年上中自主招生數(shù)學(xué)試卷及答案

913解答連AF,依題意，AFr=FC,設(shè)AF=xt則在育角三甫形-4HF中，由勾股定理，得AF2=AB-+BF2,即昭=（12—r）34-93,解得h—辛；記AC.EF交點(diǎn)対Ot則AC=v"123+92=15,A0=y;在直角三第形AOF中「由勾膽罡理得：AP2=尸少+AOit艮卩分析：作圖.連衛(wèi)尺依題意"一AFuFG設(shè)取則Bay巧在直角三角形ABF中，易求護(hù)二普；在直角三角形且OF中，可解得FO=^-,從而可得折殖低.n&任給一個正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)，就將它減半（即二），如果n是奇數(shù)，則將它乘以23加1（即3n1），不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，現(xiàn)在請你研究：如果對正整數(shù)n（首項）按照上述規(guī)則施行變換（注：1可以多次出現(xiàn)）后的第八項為1,則n所有可能取值為【答案】128、2、16、20、3、21【解析】題目洛薩科拉茨（Lath^rCoUais,1910-1990.9.2ft｝是德國數(shù)學(xué)家，他在193了年提出了一個著名的常想：任紿一亍正整數(shù)5如果兀是偶數(shù)，就將它減半（即#）;如果槍是奇數(shù):，則將它乘3in1（即3n+1）R不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過有眼歩后*一定可以得到1?如初始正整數(shù)為&?按照上述變換規(guī)則.我們得到一亍數(shù)列：6.3P10,5，1趴頭4h2,L對科拉茨（LoihurCMz）猜想，目前誰也不能證明，更不能否定?，F(xiàn)在請你硏究：如果對正樂數(shù)叫首項）按瞪上述規(guī)則施行變換（注：1可氐多次出現(xiàn)）后的第八項濘1,則淞的所有可能的取值再.如果正整數(shù)門按隅上述規(guī)則施行變換后的第八項為］，則變換中的第7項一定是2,孌換中的第（5項—定是4；變換中的第5項可能是1,也可能是8；孌換中的第4項可能是2*也可是1G,變換中的第孑項是2時’孌換中的第3項是43變換中的第2項是1或務(wù)變換中的第1項是2或丄6孌換中的第牟項是“時，孌換中的第咅項是32或5,變換中的第2項是陰或訶8*孌換中的第1項是123,21或旬，3則口的所有可能的取值為禹3,16,20.21,128.故答案為：｛2t3,1G,20:21b12S｝分析：利甬免八項為】出岌，按照規(guī)則*逆向逐項即可求出仇的所有可能的取11.9.正六邊形ABCDEF的面積是6平方厘米，聯(lián)結(jié)AC、CE、EA、BD、DF、FB,求陰影部分小正六邊形的面積為答案】2cm2解析】

B分析△ALM的面積+AO//的面積+AEK.f的面積—：;AACE的面積一B分析△ALM的面積+AO//的面積+AEK.f的面積—：;AACE的面積一1平方厘米,厘米;故答案為：￡由正六邊形的性質(zhì)得出厶ACE的面積=［正六邊形的面積，△一百匕對的面積+^CH!的面積+/\EKJ的面積='AAGE的面積，即可得8*出絡(luò)果Q由正六邊形的性質(zhì)得：AACE的面積二:正六邊形拘面積=.；乂6=3平方厘米’二正六邊1IUKML的面積=3-1=2平方已知y=2x2+(4-m)x+(4-m)與y?=mx在x取任意實(shí)數(shù)時，至少有一個是正數(shù),則m的取值范圍為【答案】m<4解析】分3分3類討論①m=Q時，對于任意尿=。而/詞②=2(i+I)2十2值申亙正滿足題意mcO時，對于±<0時，旦閔>0成立：只需考慮.陸0時的情況，由于函數(shù)f(x)=2x'2+(4—m)i+4—nt,當(dāng)?-4<m<4時’A<0.故4<?1<05^足，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)m=-4^滿足條件，Q時，由干對稱軸在卽軸左側(cè)，故只需滿足f(0)>0即可，上式在m<-4時恒成立，故玳C—4時條件也満足③當(dāng)m>0時，>0在土>0時成立』故只需考慮凸冬〔)時兀時即可，類似②中討論，0<4時凡e)>0恒成立,當(dāng)m^4時對稱軸恒在右惻。但是/(0)0不満足條件°綜上所述冋取值范圍為m<4.故答案為：(-oo,4)分析：不論皿為伺值，莊于任一宴數(shù)叭f厲)與9厲)的值至少有一個曲正數(shù)，所嘆對刑分類討論r即7H-0.7FX<0,TFL>0討論/(JC)與9厲)的值的正負(fù)，求出満足題意的呎的值.已知a、b、c是互不相等的實(shí)數(shù)，x是任意實(shí)數(shù)，化簡:（X一b）2（x一a）2*（x一b）2*（（X一b）2（a一b）（a一c）（c一b）（a一b）（c一a）（c一b）答案】1解析】證明:設(shè)(f-C)fl)G-fl}仗一?+厲-勸(&一誹十卜一即山-町如果該式是關(guān)于?的二次幽證明:設(shè)(f-C)fl)G-fl}仗一?+厲-勸(&一誹十卜一即山-町如果該式是關(guān)于?的二次幽數(shù),則圖象與記軸最多只能有商個交點(diǎn)?但星，當(dāng)x=a,x=b,x=c時啟的值均為0,所以該密數(shù)與a：軸有三個不同的公共點(diǎn)山期,(氏嘰血0)2、嘰亡互不相等所以M亙等于0，故(jT-ft)?—切(JSY)(P■砒(fl-fr)(n-€)(J-c)(fr-a}"I""(c—t)~分析:本題杲對恒等式的證明的考察.對恒等式的證明作相近聯(lián)想，將恒等注的證明轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)有三個不等實(shí)根的判定』運(yùn)算和雄理過稈大大簡化，這就要求社們在解答時要思蹈清晰.方法合理、簡捷.隱一墟方法外，還可從不同的角度.利用不同的證法去證明.如該惡令口―吐琳4也m|4啲1)y—恤悴"十(帚艸型+任a)(c口丄將證明轉(zhuǎn)化九討論二次函數(shù)與乞軸交點(diǎn)個數(shù)的問題.這是解題的突破口.1、觀察所繪等武，直接展開比較復(fù)雜"恩考根據(jù)左邊式子特點(diǎn)，像能想到什么？2、椅左邊看成工的函數(shù)，令m)Utr-m(r-alix-町LjjiM-y-v—mi+m〉+{0-珂(》力"理聒一朋畫數(shù)與竄軸的交點(diǎn)個數(shù)不能茅于N倔有什么思路；負(fù)分別令H—b、匚均^^=0±于是惋能想到*的取値特點(diǎn)嗎？試試看！備注：此題類比于這上面的做法，可以將x=a,備注：此題類比于這上面的做法，可以將x=a,代入進(jìn)行驗(yàn)證和計算；已知實(shí)數(shù)a、b滿足a2+ab+b2=1,t=ab—a2-b2,則t的取值范圍是1【答案】1【答案】—3<t—3【解析】…Ja2+afr+=1It=o-6—a2lr二解得：ah=-■■■2+研=豐3a—假設(shè)◎b是關(guān)于讀的一元二次方程的兩個根’.-.x2+[tf+巧工+a&=Q(1)求邊長為1的正五邊形對角線長.^-a'-2(i+1)>欣：y則f的取值范圍是：-3L冷.故答案為：-沁皿丄苜先將兩式進(jìn)行相加再相減，得出Q+X必育關(guān)右的關(guān)系式，再構(gòu)進(jìn)一元二次方程.利用根的判別式大于等于0解決，(2)求sinl8°.【答案】（【答案】（1）臂1;（2）W2124【解析】證明：1止五邊形中tABAC-108%Z1Z2=Z4=訓(xùn)\Z1=^3=36°,■/ZAEB=ZDEA.-.三角形ABE-三角形DAE設(shè)0'JDE=1-a播—1h=2對角蛭BC=1+分折：先抿據(jù)Z1=Z3,可知三角形啟BE-三角形D4E,設(shè)BD=x,則刀E=1-卷根據(jù)兩三角曲相似，對應(yīng)邊之比相等可待￥=1：蘭逬而可解得站進(jìn)而根據(jù)AC^BD+CE+CD^l+x,逬而求出AC,原式1^：柞等曜三角形ABG頂ftA=36度，腥朋二1：作克分線交S貝L二弟形<TD相似二賂乩CB.-'CA=CD-'CE：設(shè)BC=x?剛啓匸(ln).￡三點(diǎn)A作AE垂負(fù)BCF點(diǎn)E“故sinlS°=BE^k/-(-i-75)/4>:主二：tJsinlB*=3inaj因?yàn)間inSb-=osD4af所以zdn(2a)-sos{3a)所以2siJiajca脅4C0S1r.-3cos「..所lil2sinarcos14(1-.i：.-aj~3所以4sin.2a-Ssi：.=T=0所以mina=1+□)■i=ai:iLB==(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,0<f(-1)=f(—2)=f(—3)<3，求c的取值范圍；(2)f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d,f⑴=10,f⑵=20,f⑶=30,求f(10)+f(—6).【答案】(1)6<c<9；(2)8104【解析】(1)由于0<f(—1)=f(—2)=f(—3)<3得，—1+a—b+c=—8+4a—2b+c=—27+9a—3b+c解得tl=6,11JBI1/(a)=+缸24-llx+Cj由0Vf(—1)3,iW0<—1+6—11+亡冬3即6<9.故乃的取值范圍為(6,9].故答案為：(6劇.分析：由f(-1)=/(-2)=f(-3)列出方程組求出4b代入gjF(_1)宅3求出匸的范圍(2)r\F(l)=F(2)=F(3)=0L'.F(￡)=(a:-1)(a;-2)(T-3)(x+ft)/(10j=F(10)+lQO=9x8x7x(10+fc)+lQO/(ar)=J*l(a:)+l€x/(-6)=F(-6)-60=-7x8x9(-6+h)-60/(10)+/[-6)=10x9x8x7+9x8x7/1+100+6x7x8x9-7x8x9A-60=5040+3024+100-60=8104我們學(xué)過直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)材料完成問題(1)(2)類似給出背景知識：平面a:Ax+By+Cz+d=0；球：(x—a)2+(y—b)2+(z—c)2=R2；IAa+Bb+Cc+DI點(diǎn)(a,b,c)到平面a:Ax+By+Cz+d=0的距離公式：d=A2+B2+C2球心到平面的距離為d,當(dāng)d<R時，球與平面相交，當(dāng)d=R時，球與平面相切，當(dāng)d>R時，球與平面相離；問題(1):若實(shí)數(shù)m、n、k滿足m+n+k=1，求m2+n2+k2的最小值;問題(2):解方程Px+丫y—1+z—2=—(x+y+z).x=11【答案】(1)3；(2)<y=2、z-3【解析】(1)代入消元來完成；(2)北+期+帛蘭2廠時2廠仞_1)+2廠(—2)[北-2廠①+1]+[(射—1)—1)+1]+L(z—2｝十2廠(s2)+l]=0(廠宦一1尸+[廠他-1｝一1]2+[廠(總一2)-1]2二0所以(廠—1尸7[廠(皆廠"2)-1]2=心一1二0,廠(殲1)-1二匕廠匕-刀-1二0廠?二1用二1丿仞—1)=1站—1=1,勿=?廠出所以(工-殲)?(1-6)1-125附：因式分解：6x3-11x2+x+4=設(shè)a>b>0,a2+b2=4ab，貝y"+b=a一b若x2+x—1=0，貝9x3+2x2+3=1b+c已知一(b—c)2=(a—b)(c—a)，且a豐0，貝V=4a一個袋子里裝有兩個紅球和一個白球(僅顏色不同)，第一次從中取出一個球，記下顏色后放回，搖勻，第二次從中取出一個球，則兩次都是紅球的概率直線l:y=-/3x+打與x、y軸交于點(diǎn)A、B，AAOB關(guān)于直線AB對稱得到AACB，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是一張矩形紙片ABCD，AD=9，AB=12，將紙片折疊，使A、C兩點(diǎn)重合，折痕長是

n8-任給一個正整數(shù)“，如果n是偶數(shù)’就將它減半（即2）'如果n是奇數(shù)’則將它乘以加1（即3n+1），不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，現(xiàn)在請你研究：如果對正整數(shù)n（首項）按照上述規(guī)則施行變換（注：1可以多次出現(xiàn)）后的第八項為1,則n所有可能取值為正六邊形ABCDEF的面積是6平方厘米，聯(lián)結(jié)AC、CE、EA、BD、DF、FB，求陰影部分小正六邊形的面積為已矢口y=2x2+（4-m）x+（4-m）與y=mx在x取12任意實(shí)數(shù)時，至少有一個是正數(shù)，則m的取值范圍為化簡：(x-a)2(x-b)2(x化簡：(x-a)2(x-b)2(x-c)2(a-b)(a-c)(c-b)(a-b)(c-a)(c-b)已知實(shí)數(shù)a、b滿足a2+ab+b2=1，t=ab-a2-b2,則t的取值范圍是（1）求邊長為1的正五邊形對角線長；（2）求sin18。.(1)f(x)=x3+ax2+bx+c，0<f(-1)=f(-2)=f(-3)<3，求c的取值范圍；(2)f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d，f(1)=10，f(2)=20，f(3)=30，求f(10)+f(-6).

我們學(xué)過直線與圓的