2022年秋高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)列5.5數(shù)學(xué)歸納法課件新人教B版選擇性必修第三冊(cè)

5.5數(shù)學(xué)歸納法第五章內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)課標(biāo)要求1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理;2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)

數(shù)學(xué)歸納法的定義一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題,如果(1)當(dāng)n=n0時(shí),命題成立;(2)在假設(shè)n=k(其中k≥n0)時(shí)命題成立的前提下,能夠推出n=k+1時(shí)命題也成立.那么,這個(gè)命題對(duì)大于等于n0的所有自然數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.名師點(diǎn)睛用數(shù)學(xué)歸納法論證問題的步驟(1)驗(yàn)證當(dāng)n=n0(n0∈N+)時(shí),命題p(n0)成立.(2)假設(shè)n=k(k∈N+,k≥n0)時(shí),命題p(k)成立,并由此假設(shè)出發(fā),推出命題p(k+1)也成立.由(1)(2)斷定命題對(duì)于從n0開始的一切正整數(shù)n都成立.過關(guān)自診1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:.假設(shè)n=k時(shí),不等式成立,則當(dāng)n=k+1時(shí),應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是

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2.數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值是否一定為1?提示

不一定.如證明n邊形的內(nèi)角和為(n-2)×180°,第一個(gè)值n0=3.重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式【例1】

用數(shù)學(xué)歸納法證明:規(guī)律方法

用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí),應(yīng)關(guān)注以下三點(diǎn):(1)弄清n取第一個(gè)值n0時(shí)等式兩端項(xiàng)的情況.(2)弄清從n=k到n=k+1等式兩端增加了哪些項(xiàng),減少了哪些項(xiàng).(3)證明n=k+1時(shí)結(jié)論也成立,要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系,并朝n=k+1證明目標(biāo)的表達(dá)式變形.變式訓(xùn)練1探究點(diǎn)二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式規(guī)律方法

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問題(1)先湊假設(shè),作等價(jià)變換.(2)瞄準(zhǔn)當(dāng)n=k+1時(shí)的遞推目標(biāo),有目的地放縮、分析直到湊出結(jié)論.變式探究

探究點(diǎn)三歸納—猜想—證明規(guī)律方法

1.“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié)

2.“歸納—猜想—證明”的主要題型(1)已知數(shù)列的遞推公式,求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和.(2)由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題,求使命題成立的參數(shù)值是否存在.(3)給出一些簡(jiǎn)單的命題(n=1,2,3,…),猜想并證明對(duì)任意正整數(shù)n都成立的一般性命題.變式訓(xùn)練2數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an(Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和),先計(jì)算數(shù)列的前4項(xiàng),再猜想an,并證明.下面證明猜想:(1)當(dāng)n=1時(shí),由上面的計(jì)算可知猜想成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立,

素養(yǎng)培優(yōu)數(shù)學(xué)歸納法在比較大小中的應(yīng)用【典例】

設(shè)Pn=(1+x)n,Qn=1+nx+x2,n∈N+,x∈(-1,+∞),試比較Pn與Qn的大小,并加以證明.解

(1)當(dāng)n=1,2時(shí),Pn=Qn.(2)當(dāng)n≥3時(shí)(以下再對(duì)x進(jìn)行分類),①若x∈(0,+∞),顯然有Pn>Qn;②若x=0,則Pn=Qn;③若x∈(-1,0),則P3-Q3=x3<0,所以P3<Q3.P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)<0,所以P4<Q4.假設(shè)Pk<Qk(k≥3),即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.所以當(dāng)n≥3,且x∈(-1,0)時(shí),Pn<Qn.規(guī)律方法

1.利用數(shù)學(xué)歸納法比較大小,關(guān)鍵是先用不完全歸納法歸納出兩個(gè)量的大小關(guān)系,猜測(cè)出證明的方向,再用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立.2.本題除n的不同取值會(huì)影響Pn與Qn之間的大小變化外,變量x也影響Pn與Qn的大小關(guān)系,這就要求我們?cè)谔剿鞔笮￡P(guān)系時(shí),不能只顧“n”,而忽視其他變量(參數(shù))的作用.學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N+),在驗(yàn)證n=1成立時(shí),左邊計(jì)算所得的項(xiàng)是(

)A.1 B.1+aC.1+a+a2

D.1+a+a2+a3答案

C解析

當(dāng)n=1時(shí),左邊=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正確.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),xn+yn能被x+y整除”,第二步歸納假設(shè)應(yīng)該寫成(

)A.假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí),xk+yk能被x+y整除B.假設(shè)當(dāng)n=2k(k∈N+)時(shí),xk+yk能被x+y整除C.假設(shè)當(dāng)n=2k+1(k∈N+)時(shí),xk+yk能被x+y整除D.假設(shè)當(dāng)n=2k-1(k∈N+)時(shí),x2k-1+y2k-1能被x+y整除答案

D解析

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟,注意n為奇數(shù),所以第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成“假設(shè)n=2k-1(k∈N+)正確”,再推n=2k+1正確.故選D.3.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)(n∈N+)時(shí),從n=k到n=k+1,等式左邊需增添的項(xiàng)是(

)A.2k+2 B.[2(k+1)+1]C.[(2k+2)+(2k+3)] D.[(k+1)+1][2(k+1)+1]答案

C解析

當(dāng)n=k時(shí),左邊=1+2+3+…+(2