2023年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學試卷及解析

11頁共28頁◎2頁共28頁2023年全國高考Ⅰ卷數(shù)學試卷

→7.??是邊長為2的正六邊形????????????內(nèi)的一點，則????

·??的取值范圍( )一、選擇題1.設集合??={??|1≤??≤3}，??={??|2<??<4}，則??∪??=( )

A.(2,6)

B.(6,2) C.(2,4) D.(4,6)A.{??|2<??≤3}

B.{??|2≤??≤3} C.{??|1≤??<4} D.{??|1<??<4}

8.假設定義在R上的奇函數(shù)??(??)在(∞, 0)上單調(diào)遞減，且??(2)=0，則滿足????(?? 1)≥0的??的取值范圍是( )A.[1,1] [3,∞) B.[3, 1] ∪[0,1] C.[1,0] [1,∞) D.[1,0] ∪[1,3]2.2??12??A.1

=( )

B.1 C.?? D.??

二、多項選擇題9.曲線??：????2 ????2=1.( )A.假設??>??>0，則??是橢圓，其焦點在??軸上6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去一個場館，甲場館安1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有( )

B.假設??=??>0，則??是圓，其半徑為√??0種0種 C.60種 D.30種假設????<0，則??是雙曲線，其漸近線方程為??=±√D.假設??=0，??>0，則??是兩條直線

??????日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球〔球心記??，地球上一??的緯度是??與地球赤道所在平面所成角，??處的水平面是指過??且與????垂直的平面，在點??處放置一個日晷，假設晷面與赤道所在平面平行，點??處的緯度為北緯40°，則晷針與點??處的水平面所成角為( )

10.如圖是函數(shù)??=sin(???? ??)，則sin(???? ??)=( )0°

B.40° C.50° D.90° (??

??)3sin(??3

2??) (2??

??)6

D.cos(5??6

2??)或游泳，60%的學生寵愛足球，82%的學生寵愛游泳，則該中學既寵愛足球又寵愛游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例是( )

11.??>0，??>0，且?? ??=1，則( )2%

B.56% C.46% D.42%

A.??2 ??2≥1 B.2???? >1根本再生數(shù)??0與世代間隔??是冠肺炎的流行病學根本參數(shù)．根本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：??(??)=??????描述累計感染病例數(shù)??(??)隨時間??〔單位：天〕的變化規(guī)律，指數(shù)增長率??與??0，??近似滿足??0=1 ????，有學者

C.log2

2?? log2

2??≥2 D.√?? √??≤2

=3.28，??=6．據(jù)此，在冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時

12.信息熵是信息論中的一個重要概念，設隨機變量??全部可能的取值為1，2，?，??，且??(??=??)=????>0( 2≈0.69)

0(??=1,2,?,??)，∑?? ??=1，定義??的信息熵??(??)=

??log??，則( )間約為ln ( )

??=1??

??=1?? 2??A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天

A.假設??=1，則??(??)=0B.假設??=2，則??(??)隨著????的增大而增大33頁共28頁◎4頁共28頁C.假設

=1(??=1,2??)，則??(??)隨著??的增大而增大??

19.100天空氣中的????2.5和????2濃度(單位：????/??3)，得下表：D.假設??=2??，隨機變量??全部可能的取值為1，2，?，??，且??(??=??)=????+??2??+1?? (??=1,2,?,??)，則??(??)≤??(??)三、填空題13.斜率為√3的直線過拋物線??:??2=4??的焦點，且與??交于??，??兩點，則|????|= .14.將數(shù)列{2?? 1}與{3?? 2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{????}，則{????}的前??項和為 .15. 某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如以下圖．??為圓孔及輪廓圓弧????所在圓的圓心，??是圓弧????與直線????的切點，??是圓弧????與直線????的切點，四邊形????????????⊥????，垂足為??，tan∠??????=3????//????，????=12????，????=2????，??到直線????和????的距離均為7????，圓孔半徑為1，則圖5中陰影局部的面積為 ????2.

????2.5濃度不超過75，且????2濃度不超過150”的概率；(2)依據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的22列聯(lián)表：(3)依據(jù)(2)中的列聯(lián)表，推斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中????2.5濃度與????2濃度有關？附：??2=

??(????????)2 ，??(??2??(??2≥??)0.0500.0100.001??3.8416.63510.82816.直四棱柱???????? ??1??1??1??1的棱長均為2，∠??????=60°，以??1為球心，√5為半徑的球面與側面??????1??1的交線長為 .四、解答題在①????=√3，②??sin??=3，③??=√3??這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，假設問題中的三角形存在，求??的值；假設問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在△??????，它的內(nèi)角??，??，??的對邊分別為??，??，??，且sin??=√3sin??，??=??， ？6

20.如圖，四棱錐?? ????????的底面為正方形，????⊥底面????????．設平面??????與平面??????的交線為??．18公比大于1的等比數(shù)列{????}滿足??2??4=20，??3=8.(1)求{????}的通項公式；∈{????}的前100項和??100.

(1)證明：??⊥平面??????；(2)????=????=1，??為??上的點，求????與平面??????所成角的正弦值的最大值．21.函數(shù)??(??)=??????1 ln??+ln??.55頁共28頁◎6頁共28頁(1)當??=??時，求曲線??=??(??)在點(1??(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；(2)假設??(??)≥1，求??的取值范圍.22.橢圓????2+??2=1(??>??>0)的離心率為√2，且過點??(2,1).??2 ??2 2(1)求??的方程；(2)點??，??在??上，且????⊥????，????⊥????，??為垂足.證明：存在定點??，使得|????|為定值.77頁共28頁◎8頁共28頁參考答案與試題解析2023一、選擇題1.【答案】C【考點】并集及其運算【解析】.【解答】解：集合??={??|1≤??≤3}，??={??|2<??<4}，則????={??|1≤??<4}.應選??.2.【答案】D【考點】復數(shù)代數(shù)形式的混合運算【解析】.【解答】2??12??

=(2??)(12??)(12??)(12??)=24????214應選??.3.C

=5??5

=?? .空間點、線、面的位置【解析】空間點、線、面的位置【解析】??處的水平面所成角.【解答】解：如以下圖，????為日晷晷針，∠??????=40°，由題意知，∠?????? ∠??????=90°，∠?????? ∠??????=90°，∴∠?????? =∠??????=40°，??處的水平面所成角為40°.應選??.5.【答案】C【考點】概率的應用互斥大事的概率加法公式【解析】.【解答】該中學學生寵愛游泳””為大事??，則””該中學學生寵愛足球或游泳””為大事????，””該中學學生既寵愛足球又寵愛游泳””為大事????.由題意知，??(??)=60%，??(??)=82%，??(??∪??)=96%，所以??(??∩??)=??(??) ??(??)應選??.6.??(??∪??)=60%82% 96%=46%.【答案】B【考點】函數(shù)模型的選擇與應用指數(shù)式與對數(shù)式的互化【解析】??，最終求得感染病例數(shù)增加1倍所需的時間.【解析】.【解答】解：由題意可得，不同的安排方法共有??1???2=60〔種〕.6 5應選??.4.【答案】B【考點】直線與平面所成的角99頁共28頁◎10頁共28頁【解答】解：3.28=1???6得??=0.38，??(??)=??0.38??，

先依據(jù)函數(shù)的奇偶性確定函數(shù)的大致圖像，然后推斷函數(shù)的單調(diào)性，最終利用分類爭論思想爭論不等式成立時??的取值范圍.【解答】??0.38(??+??)=2???0.38??得??=ln20.38

≈1.8.

解：依據(jù)題意，函數(shù)圖象大致如圖：應選??.7.【答案】A【考點】平面對量數(shù)量積求線性目標函數(shù)的最值【解析】????先畫出圖形，并用坐標表示→?????圍.【解答】解：如圖：設??(?1√3)，??(????)，??(?2,0)，

，然后向量問題轉化為求線性目標函數(shù)的最值，最終得→?

的取值范

①當??=0時，????(??1)=0成立；②當??>0時，要使????(??1)≥0，即??(??1)≥0，可得0≤??1≤2或??1≤?2，解得1≤??≤3；③當??<0時，要使????(??1)≥0，即??(??1)≤0，可得??1≥2或?2≤??1≤0，解得?1≤??<0.綜上，??的取值范圍為[?1,0[1,3].應選??.二、多項選擇題9.【答案】A,C,D【考點】雙曲線的漸近線??=??+,???√)，??=,?√)，????→???√3??+2.????令??=???√3??+2，該問題可轉化為求該目標函數(shù)在可行域中的最值問題，由圖可知，??=???√3??+2經(jīng)過點??時，??取得最大值；經(jīng)過點??時，??取得最小值，故最優(yōu)解為??(?1,?√3)和??(1,√3)，

橢圓的標準方程圓的標準方程直線的一般式方程【解析】.【解答】??max→?

=6或??min

=?2，

解：??，????2+????2=1，即??21

1

=1.故????應選??.

∵?? >??>0，

?? ??∴ 1<1，?? ??????【答案】????D【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)【解析】

∴此時??是橢圓，且其焦點在??軸上，??選項正確；??，??=??>0時，??2+??2=1，??∴?? =√??，??1111頁共28頁◎12頁共28頁??選項錯誤；??，????<0時，可推斷出??是雙曲線，1

=?sin(2?????)3)=sin(???2??)，且其漸近線方程為??=±√???1????選項正確；

??=±√?????，??

3故??選項正確；??，sin(2??+2??)=sin(2??+??+??)??，??=0時，??????2=1，∴?? =±√1代表兩條直線，????選項正確.應選??????.10.【答案】B,C【考點】誘導公式的局部圖象確定其解析式正弦函數(shù)的圖象【解析】??，而后利用五點對應法求得??，進而求得圖像的解析式.【解答】解：由函數(shù)??=sin(????+??)的局部圖像，可知，??=2?????=??，2 3 6 2∴?? =??，∴?? =2??=2，??∴?? =sin(2??+??).將點(??0)代入得，0=sin(??+??)，

3 6 2=cos(2??+??)，6故??選項正確；??，cos(5???2??)=cos(2???5??)6 6)=cos(2????????)2 3=sin)(2???=sin)3=?sin(2??+2??)，3故??選項錯誤.應選????.11.【答案】A,B,D【考點】不等式性質(zhì)的應用根本不等式在最值問題中的應用【解析】選項??左邊是代數(shù)式形式，右邊是數(shù)字形式，且??+??=1，故可考慮通過根本不等式和重要不等式建立??2+??2與??+??的關系；選項??先利用指數(shù)函數(shù)的增減性將原不等式簡化為二元一次不等式，然后利用不等式的性質(zhì)及條件推斷；6 3 選項??需要利用對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的增減性將不等式轉化為關于??,??的關系式，然后利用根本不等式建立∴ ??+??=(??+1)??(??∈Z).3??，當??=??時，sin(??+??)=sin??=1，6 3 2不符合題意，故??選項錯誤；??，當??=0時，??=2??，3)??=sin(2??+2??)3=sin=sin(2???3+3+3)

與條件??+??的關系；選項??根本不等式的變形應用.【解答】解：??，∵?? +??=1，則??2+??2+2????=1，2????≤??2+??2，當且僅當??=??時取等號，∴1 =??2+??2+2????≤2(??2+??2)，可得??2+??2≥1，故??正確；2??，∵?? ???=???(1???)=2???1>?1，1=sin(2???

??+??)

∴ 2?????>2?1=

，故??正確；23 ??，∵???? ≤(??+??)2=1，當且僅當??=??時取等號，2 41313頁共28頁◎14頁共28頁∴ log2

??+log2

??=log2

????≤log1=?2，故??錯誤；24

??(??=1)=??1+??2??；??(??=2)=??2+??2???1；??，∵?? +??≥2√????，當且僅當??=??時取等號，∴ (√??+√??)2=??+??+2√????=12√????≤2，即√??+√??≤√2，則√??+√??≤2，故??正確.應選??????.

??(??=3)=??3+??2???2；????(??=??)=????+????+1;2??(??)=?(??1+??2??)log(??1+??2??)222??2???1)+?+(????+????+1)log22

12.

??(??)=??? log12212

??1+??2log

??2??22【答案】22

=?(?? log121

??2???1)+?log

)，22A,C22

∵ (?? 2

2)log(

)???

?????

?? >0，122【考點】概率的應用122

1+??2????

2??1+??2??

log121

2??log

2??概率與函數(shù)的綜合利用導數(shù)爭論函數(shù)的單調(diào)性【解析】選項??依據(jù)題目給出信息熵的定義可直接推斷；選項??依據(jù)題意先得到??1，??2的關系，然后構造關于??1的函數(shù)，最終利用導數(shù)推斷函數(shù)的增減性；選項??依據(jù)題目給定信息化簡??(??)后可推斷；選項??分別求出??(??)，??(??)，利用作差法結合對數(shù)的運算即可推斷.【解答】解：??，假設??=1，則??1=1，

22所以??(??)>??(??)，故??錯誤．應選????.22三、填空題13.【答案】163【考點】拋物線的性質(zhì)

????+1>0，??(??)=?1×log2

1=0，故??正確；

【解析】??，假設??=2，則??1??2=1，

先依據(jù)題目給定信息求出直線方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，再利用韋達定理和拋物線的性質(zhì)轉化求出弦長12則??(??)=??? log122

??1+(1???1)log

(1???1).

|????|.設??(??)=???log2

??+(1???)log2

(1???)，

【解答】解：設

,

)，??(??

,??)，則??′(??)=?log?????1

(1???)+(1???) ?1

1 1 2 22=?log ?? =log

??ln2 21???，

(1???)ln2

則直線方程為??=√3(???1)，2

2??

代入拋物線方程得3??2?10??+3=0，當0??<1時，??′(??>0；2

∴ ??1

+??2

=10，3當1<??<1時，??′(??<0，2∴ ??(??)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(11)上單調(diào)遞減，

依據(jù)拋物線方程的定義可知|????|=??11??2+1=16.3故答案為：16.32 2 3

=1時，??(??)取最大值，故??錯誤；2

14.【答案】??，假設

=1(??=1,2，?，??)，??

3??2?2??【考點】??=1 則??(??)=?∑?? ??????=1

??=????1log1=log???? 2?? ??

??，

等差數(shù)列的前n項和等差關系確實定所以??(??)隨著??的增大而增大，故??正確；??，假設??=2??，隨機變量??全部可能的取值為1，2，?，??，

【解析】由??(??=??)=

+

(??=1,2，?，??〕知：

與{3???2}公共項所組成的數(shù)列{????}的公差、首項，再利用等差數(shù)列的前??項和的公式得出結論.1515頁共28頁◎16頁共28頁【解答】解：數(shù)列{2??1}各項為：1，3，5，7，9，?數(shù)列{3??2}各項為：1，4，7，10，13，?所以數(shù)列{????}的前??項和為3??22??.故答案為：3??2?2??.15.【答案】5??+42【考點】同角三角函數(shù)根本關系的運用扇形面積公式【解析】.【解答】解：由得??到????的距離與??到????的距離相等，均為5.作????⊥????延長線于??，????⊥????于??，

=5??+4.2故答案為：5??+4.216.【答案】√2??2空間直角坐標系圓的標準方程兩點間的距離公式【解析】??????1??1上是以√2為半徑的90°的弧，最終依據(jù)弧長公式求解.【解答】解：以??為原點，????，

→??所在直線分別為??軸、??軸建立如圖1所示的空間直角坐標系????????，1 11

??1則∠??????=45°.∵????//????，∴∠?????? =45°.∵∠?????? =90°，∴∠?????? =45°.設??到????的距離為3??，由tan∠??????=3，可知??到????的距離為5??，5∴ ?????cos45°+5??=∴ ?????sin45°+3??=5,??=1,解得{????=2√2.半圓之外陰影局部面積為：??=2√2×2√2×1?45×??×(2√2)21 2 360=4???，陰影局部面積為：

??1??1相互垂直的直線，即??1(1√30)，(??0??)，依據(jù)題意可得(???1)2+3??2=5，化簡得(???1)2+??2=2，的交線平面如圖2所示，即交線長??=1?2√2??=√2??.1??=2[???(2√2)2????12]+??1

4 2故答案為：√2??.21717頁共28頁◎18頁共28頁四、解答題17.【答案】解：選①：∵ sin??=√3sin??，??=??，????=√3，6∴ sin(5?????)=√3sin??，6∴ 1cos??+√3sin??=√3sin??，

正弦定理【解析】條件①先依據(jù)題意，結合正弦定理用一邊去表示另外兩條邊，然后用余弦定理求出三角形的三邊的長；條件②先用正弦定理結合求出??，??的長，然后用余弦定理求出??的長；條件③先利用正弦定理結合用??表示??，??，然后利用余弦定理求得∠??與給定值不同，從而判定三角形不存在.【解答】解：選①：∵ sin??=√3sin??，??=??，????=√3，2 2 6∴ sin(?????)=0，∴ ??=??.

∴ sin(5?????)=√3sin??，6 6∵ ??=??，∴ ??=??.6由正弦定理可得：??=√3??，

6∴ 1cos??+2

√3sin??=√3sin??，2又????=√3，解得??=√3，??=1，∴ ??=1，故存在△??????滿足條件；選②：sin??=√3sin??，??=??，??sin??=3.6∵ ??sin??=3，∴ ??sin??=3，∴ ??=6.由正弦定理可得：??=√3??，∴ ??=2√3，∴ ??2=??2+??2?2????cos??=36+12?24√3×√3=12，2∴ ??=2√3，∴ ??=??，??=2??，6 3故存在△??????滿足條件；

∴ sin(?????)=0，∴ ??=??.6 6∵ ??=??，∴ ??=??.6由正弦定理可得：??=√3??，又????=√3，解得??=√3，??=1，∴ ??=1，故存在△??????滿足條件；選②：sin??=√3sin??，??=??，??sin??=3.6∵ ??sin??=3，∴ ??sin??=3，∴ ??=6.由正弦定理可得：??=√3??，∴ ??=2√3，∴ ??2=??2+??2?2????cos??=36+12?24√3×√3=12，2選③：??=√3??，sin??=√3sin??，??=??，6∴ sin(5?????)=√3sin??，6∴ 1cos??+√3sin??=√3sin??，

∴ ??=2√3，∴ ??=??，??=2??，6 3故存在△??????滿足條件；選③：??=√3??，sin??=√3sin??，??=??，2 2 6∴ sin(?????)=0，∴ ??=??.6 6

∴ sin(5?????)=√3sin??，6∵ ??=??，∴ ??=??.6又??=√3??，沖突.

∴ 1cos??+2

√3sin??=√3sin??，2故不存在△??????滿足條件．【考點】兩角和與差的正弦公式余弦定理

∴ sin(?????)=0，∴ ??=??.6 6∵ ??=??，∴ ??=??.61919頁共28頁◎20頁共28頁又??=√3??，沖突.故不存在△??????滿足條件．18.【答案】解：(1)由題意可知

+??4

=20，??3

=8，(2)∵ ????為{????}在(0,??](??(2)∵ ????為{????}在(0,??](??N?)中的項的個數(shù)，當??=2??時，????=??/r/