上海市復(fù)旦附中2019-2020學(xué)年度高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試(詳解版)

8111當(dāng)xw(—2,1〕時(shí)，f(x)=—x2+x+k——(x—2)2+k+4W4+kk+-<—-nkg(—8,—3]TOC\o"1-5"\h\z424二、選擇題(本大題共有4題，滿分20分，每題5分)13.若命題甲：x—1—0，命題乙：lg2x—lgx—0，則命題甲是命題乙的()A、充分非必要條件B、必要非充分條件C、充要條件D、既非充分也非必要條件【答案】A下列函數(shù)中既是偶函數(shù)，又在(0,+8上單調(diào)遞增的是()12A、y=B、y—x-2c、y—IlogxID、y—x3|x|2【答案】D設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，有下列三個(gè)命題：若存在常數(shù)M，使得對(duì)任意xgR,有f(x)<M，則M是函數(shù)f(x)的最大值；若存在xgR,使得對(duì)任意xgR,且x豐x,有f(x)<f(x)，則f(x)是函數(shù)f(x)的最大0000值；若存在xgR,使得對(duì)任意xgR,有f(x)<f(x)，則f(x)是函數(shù)f(x)的最大值.000這些命題中，真命題的個(gè)數(shù)是()A、0個(gè)B、1個(gè)C、2個(gè)D、3個(gè)【答案】C【解析】(1)正確；若存在常數(shù)M，使得對(duì)任意xgR,有f(x)<M，則M是函數(shù)f(x)的最大值值保證了是函數(shù)值且是最大值；不正確；因?yàn)樽畲笾当厥呛瘮?shù)值，此命題的條件不能保證f(x)是函數(shù)值；0正確；因?yàn)榇嬖趚gR，使得對(duì)任意xgR,有f(x)<f(x)，保證了f(x)是函數(shù)值且是函000數(shù)值中的最大值。所以選C16、已知函數(shù)f(x)—m-2x+x2+nx,記集合A={x1f(x)=0,xgr}，集合B={x1f[f(x)]=0,xgr}，若A—B，且都不是空集，則m+n的取值范圍是()A、[0,4)B、[—1,4)C、[—3,5]D、[0,7)【答案】A【解析】xgA—B.f(x)—f(f(x))—0,.f(0)—0.m—0.f(x)—x2+nxf(f(x))=(x2+nx)(x2+nx+n)=0,n=0成立n豐0時(shí)，Q0,-n是方程x2+nx+n=0的根/.A=n2一4n<0n0<n<4綜上，ne[0,4)，故選A三、解答題(本大題共有5題，滿分76分)(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)已知函數(shù)f(x)二4x一a-2x+1+1.(1)若a=1，解方程：f(x)二4；(2)若f(x)在[-1,1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)x二log3；(2)aG[1,5-].24【解析】(1)f(x)=4x一2-2x+1=4，2x=3或2x=-1(舍)方程的解為x=log32⑵令t二2xg[2,2]，則12-2at+1二0，2a嚀=t+1，因?yàn)閰[+J在[2,1]上遞減,[1，2]上遞增，所以2ag[2,2]nag(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)1一ax已知函數(shù)f(x)二log的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其中a為常數(shù).2x一1求a的值；4設(shè)集合A={xI>1}，B={xIf(x)+log(x—1)<m}，若AIBH0，求實(shí)數(shù)m的取7一x2值范圍.【答案】(1)a=—1；(2)m>2.【解析】(1)f(x)為奇函數(shù)，匕牛>0的解集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以a=一1x一1x+1—x+1x—1此時(shí)f(x)二log一-,(x>1或x<—1)，f(—x)二log二log一二一f(x)成立，2x—12—x—12x+1所以a=一1(2)解法1：A二[3,7)，f(x)+log(x—1)二log(x+1)<m在[3,7)上有解，22Qlog(x+1)G[2,3)/m>22解法2：log(x+1)<m,0<x+1<2m，B=(—1,2m—1)2QAIB工0/2m一1>3,m>2

(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)近年來(lái)，霧霾日趨嚴(yán)重，我們的工作、生活受到了嚴(yán)重的影響，如何改善空氣質(zhì)量已成為當(dāng)今的熱點(diǎn)問(wèn)題．某空氣凈化器制造廠，決定投入生產(chǎn)某型號(hào)的空氣凈化器，根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)該型號(hào)空氣凈化器x(百臺(tái)?，其總成本為P(x)(萬(wàn)元,，其中固定成本為12萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為10萬(wàn)元［總成本二固定成本-生產(chǎn)成本■銷?、0.5x2+22x,(0<x<16)售收入Q(x)-萬(wàn)元満足Q(x)=〔224,(x>⑹’假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉,，根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律，請(qǐng)完成下列問(wèn)題:(1)求利潤(rùn)函數(shù)y=f(x)的解析式［利潤(rùn)=銷售收入-總成本■；(2)工廠生產(chǎn)多少百臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使利潤(rùn)最多？“、［—0.5x2+12x—12,0<x<16【答案】(1)f(x)；(2)當(dāng)工廠生產(chǎn)12百臺(tái)時(shí)，可使利潤(rùn)最大［212—10x,x>16為60萬(wàn)元.【解析】(1)由題意得P(x)=12+10x則f(x)二Q(x)—P(x)二—0.5x2+12x則f(x)二Q(x)—P(x)二212—10x,x>16(2)當(dāng)x>16時(shí)，函數(shù)f(x)遞減，即有f(x)<212一10x16=52當(dāng)0<x<16時(shí)，函數(shù)f(x)=—0.5(x—12)2+60當(dāng)x=12時(shí)，f(x)有最大值60〉52綜上可知，當(dāng)工廠生產(chǎn)12百臺(tái)時(shí)，可使利潤(rùn)最大為60萬(wàn)元.(本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分)若函數(shù)f(v)滿足：對(duì)于其定義域D內(nèi)的任何一個(gè)自變量X，都有函數(shù)值f(x)D，則稱函00數(shù)f(x)在D上封閉.若下列函數(shù)的定義域?yàn)镈二(0,1)試判斷其中哪些在D上封閉，并說(shuō)明理由。f(X)=2X-1,1f(x)=2x-1；2若函數(shù)g(X)=5X_a的定義域?yàn)?1,2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得g(X)在其定義域(1,2上封閉？X+2若存在，求出所有a的值，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)已知函數(shù)f(X)在其定義域D上封閉，且單調(diào)遞增。若xgD且f(f(x))二x,求證：000f(x)二x.00【答案】(1)見解析；(2)a=2；(3)見解析【解析】(1)當(dāng)xg(0,1)時(shí)，f(x)二2x-1g(-1,1)，Af(x)在D上不封閉；11f(x)二2x-1g(0,1)，f(x)在D上封閉；22x-a5x-a設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得g(x)二在(1,2)上封閉，即對(duì)一切xg(1,2)，1<<2恒成x+2x+2立，Qx+2>0ax+2<5x-a<2x+4，即3x一4<a<4x一2恒成立，Q3x-4g(-1,2)aa>2；Q4x-2g(2,6)aa<2；綜上，滿足條件的a=2.假設(shè)f(x)豐x，00若f(x)>x，Qf(x),xgD，f(x)在D上單調(diào)遞增，0000Af(f(x))>f(x)，即x>f(x)，矛盾；0000若f(x)<x，Qf(x),xgD，f(x)在D上單調(diào)遞增，0000Af(f(x))<f(x)，即x<f(x)，矛盾.0000所以，假設(shè)不成立，f(x)二x.00

(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分)其中agR.1若a=—1，解不等式f(x)>；4設(shè)a>0,g(x)=logf(-)，若對(duì)任意的tg［］,2］，函數(shù)g(x)在區(qū)間［t,t+2］上的最大值2x2和最小值的差不超過(guò)1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)已知函數(shù)y=f(x)存在反函數(shù)，其反函數(shù)記為y=f-1(x)。若關(guān)于x的不等式:f-1(4一a)<f(x)+I2x一a21在xg[0,+w)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】⑴xg[-2,-]U[-,+s)；(2)a>-；(3)ag[\'17―3,2]U(3,4)TOC\o"1-5"\h\z445「Ix-1I,x>0【解析】(l)a=-1時(shí)，f(x)=<cC2xx<015335當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=Ix-1I>,x>或x<xg[0,—]U[—,+s)44444當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=2x>丄，x>-2.xg[-2,0)。綜上，xg[-2,-]U[-,+Q；444(2)Qa>0,xg[t,t+2]g(x)=logf(丄)=log(丄+a)單調(diào)遞減,2x2xg(g(x)-g(x)maxmin=g(t)-g(t+2)=log(-+a)-log(+a)<1，2t2t+21+a<2(厶+a)，a>1--二=在tg[2,2]上恒成立,tt+2tt+2t(t+2)2令m=2-1g令m=2-1g[0,-],2=h()==

t(t+2)(2一m)(4一m)m2一6m+8當(dāng)m=0時(shí)，h(m)=0，3當(dāng)3當(dāng)mg(0,-]時(shí),h(m)=QQQQ1GQm+——6在(0,—]上遞減，.?m+——6>+—6=—,h(m)g(0,—],m2m23-5綜上，a>—。

11(3)若a<0，則f(0)=f(~2a)=1a1；若a=0，則f(一1)=f斤)-—；若0<a<1則f(0)=f(loga)=aa</r/