2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ) 第2講 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件教案

12第2講命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件r最新考綱考向預(yù)測(cè)1黑榊命題的貳急一riff“若力則*”形式的陸題及貝:逆命題*仰命題與連杏命題，會(huì)分析四種命題的相互爻靈-理樓血麻東什.充什東們耳充聽(tīng)東件的3*曲J5侖題陽(yáng)貞假判斷和充井必餐能件的判定浪甘譽(yù)酌主5?形式.聲廿理售，函敢、不零式、立休幾何中的線面艾菇相交兀，等笛學(xué)主的推昱能丿」，昭埜為選擇題，繪空題"低Fi離度一植心素養(yǎng)一、知識(shí)梳理1．命題用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.其中判斷為真的語(yǔ)句叫做真命題，判斷為假的語(yǔ)句叫做假命題.四種命題及其關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系四種命題的真假關(guān)系兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系.3.充分條件、必要條件與充要條件的概念若pnq,則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件pnq且qnpp是q的必要不充分條件pnq且qnpp是q的充要條件poqp是q的既不充分也不必要條件pnq且qnp［注意］不能將“若P，則q”與“pnq”混為一談，只有“若p,則q”為真命題時(shí),才有“pnq”，即“pnq”o“若p,則q”為真命題.常用結(jié)論充要條件的兩個(gè)結(jié)論若p是q的充分不必要條件，q是r的充分不必要條件，則p是r的充分不必要條件.若p是q的充分不必要條件，則綈q是綈p的充分不必要條件.2．一些常見(jiàn)詞語(yǔ)及其否定詞語(yǔ)是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一個(gè)是不等于不大于二、習(xí)題改編(選修11P8A組T2改編)命題“若X2〉y2，則x〉y”的逆否命題是()“若x〈y,則X2〈y2”B.“若x〉y,則X2〉y2”C.“若xWy,則X2Wy2“D.“若x±y,則X2±y2”解析：選C.根據(jù)原命題和逆否命題的條件和結(jié)論的關(guān)系得命題“若X2>y2，則x〉y”的逆否命題是“若xWy,則x2Wy2”.故選C.(選修11P10練習(xí)T3⑵改編)“(x—1)(x+2)=0”是“x=1”的()充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選B.若x=1,則(x—1)(x+2)=0顯然成立，但反之不成立，即若(x—1)(x+2)=0,則x的值也可能為一2.故選B.走出誤區(qū)一、思考辨析判斷正誤(正確的打“廠，錯(cuò)誤的打“X”)TOC\o"1-5"\h\z(1)“X2+2x—3〈0”是命題.()⑵命題“若P，則q”的否命題是“若P，則綈q”.()若原命題為真,則這個(gè)命題的否命題、逆命題、逆否命題中至少有一個(gè)為真．()當(dāng)q是p的必要條件時(shí)，p是q的充分條件.()q不是p的必要條件時(shí)，“p/q”成立.()答案：(1)X(2)X(3)V(4)V(5)V二、易錯(cuò)糾偏常見(jiàn)誤區(qū)不明確命題的條件與結(jié)論；對(duì)充分必要條件判斷錯(cuò)誤；含有大前提的命題的否命題易出錯(cuò)．命題“若△ABC有一內(nèi)角為才，貝^ABC的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列”的逆命題()與原命題同為假命題與原命題的否命題同為假命題與原命題的逆否命題同為假命題與原命題同為真命題

解析：選D.原命題顯然為真，原命題的逆命題為“若厶ABC的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列，則n△ABC有一內(nèi)角為"3”，它是真命題.條件（填：充分不必要、必要不充已知p：a〈0,q：a2>a，則綈p是綈q的.條件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）.解析：綈p：a±0；綈q：a2<a,即0WaWl,故綈p是綈q的必要不充分條件.答案：必要不充分已知命題“對(duì)任意a,bwR，若ab>0，則a〉0”，則它的否命題是答案：存在a,bG答案：存在a,bGR，若abW0,貝aW0.考點(diǎn)四種命題的相互關(guān)系及其真假判斷（師生共研）例］（2020?長(zhǎng)春質(zhì)量檢測(cè)（二））命題“若X2<1，則一1〈x〈1"的逆否命題是（）A.若X2±1,則x±1或A.若X2±1,則x±1或xW—lB.若一1〈X〈1,則X2〈1C.若X>1或X〈一1,則X2〉1D.若x±1或xW—1,則X2±1【解析】命題的形式是“若p,則q”，由逆否命題的知識(shí)，可知其逆否命題為“若綈q,則綈p”的形式，所以“若X2<1,貝一1〈x〈1”的逆否命題是“若x±1或xW—l,則X221".故選D.【答案】D（1）判斷命題真假的兩種方法判斷1個(gè)時(shí)題為莫命題?要給出嚴(yán)格的推理證明；說(shuō)明一個(gè)諭題是假命題?冗需舉出一個(gè)反例即可判斷所給命題的逆否命題的真假，若逆否命翅.為莫’則所需判斷均命題為真*若逮否命趣為假t則所需判朗的命噩為假（2）由原命題寫(xiě)出其他三種命題的方法由原命題寫(xiě)出其他三種命題,關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論,將原命題的條件與結(jié)論互換即得逆命題,將原命題的條件與結(jié)論同時(shí)否定即得否命題,將原命題的條件與結(jié)論互換的同時(shí)進(jìn)行否定即得逆否命題命題“若a2+b2=0,貝ya=0且b=0”的逆否命題是()若a2+b2工0,則aM0且bM0若a2+b2工0,則aM0或bM0若a=0且b=0,則a^+b2工0若aM0或bM0,則a2+b2工0解析：選D.“若a2+b2=0,則a=0且b=0”的逆否命題是“若aM0或bM0,則a2+b2工0”,故選D.(2020?甘肅酒泉敦煌中學(xué)一診)有下列四個(gè)命題，其中真命題是()“若xy=1,則lgx+lgy=0”的逆命題；“若a?b=a?c,則a丄(b—c)”的否命題；“若bW0,則方程x2—2bx+b2+b=0有實(shí)根”的逆否命題；“等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角均為60°”的逆命題.①②B.①②③④C.②③④D.①③④解析：選B.①“若xy=1,則lgx+lgy=0”的逆命題為“若lgx+lgy=0,則xy=1”，該命題為真命題；“若a?b=a?c,則a丄(b—c)”的否命題為“若a?bMa?c,則a不垂直(b—c)”，由a?bMa?c可得a(b—c)工0,據(jù)此可知a不垂直(b—c)，該命題為真命題；若bW0,則方程X2—2bx+b2+b=0的判別式A=(—2b)2—4(b2+b)=—4b三0,方程有實(shí)根，為真命題，則其逆否命題為真命題；“等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角均為60°”的逆命題為“三個(gè)內(nèi)角均為60。的三角形為等邊三角形”，該命題為真命題.綜上可得，真命題是①②③④.故選B.充分條件、必要條件的判斷(師生共研)例2(1)(2019?高考天津卷)設(shè)xWR,則“X2—5x〈0”是“|x—1|〈1”的()充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(2)(2019?高考北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)=cosx+bsinx(b為常數(shù))，則“b=0”是“f(x)為偶函數(shù)”的()充分而不必要條件必要而不充分條件充分必要條件既不充分也不必要條件【解析】(1)由X2—5x〈0可得0〈x〈5,由|x—1|〈1可得0〈x〈2.由于區(qū)間(0,2)是(0,5)的真子集，故*—5x〈0”是“|x—1|〈1”的必要而不充分條件.(2)b=0時(shí)，f(x)=cosx,顯然f(x)是偶函數(shù)，故“b=0”是“f(x)是偶函數(shù)”的充分條件；f(x)是偶函數(shù)，則有f(—x)=f(x)，即cos(—x)+bsin(—x)=cosx+bsinx,又cos(—x)=cosx,sin(—x)=—sinx，所以cosx—bsinx=cosx+bsinx，貝2bsinx=0對(duì)任意xWR恒成立，得b=0,因此“b=0”是“f(x)是偶函數(shù)”的必要條件.因此“b=0”是“f(x)是偶函數(shù)”的充分必要條件，故選C.【答案】(1)B(2)C充分條件、必要條件的三種判斷方法定義法：根據(jù)pnq,qnp進(jìn)行判斷.集合法：根據(jù)p,q成立的對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷.這個(gè)方法特別適合以否定形式給出的問(wèn)題.設(shè)U為全集，A,B是集合，則“存在集合C使得AcC,BeJC”是“AnB=0”的()充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選A.由AeC,BeJC，易知AnB=0，但AnB=0時(shí)未必有AeC,Be[Q如圖充分不必要條件必要不充分條件充要條件既不充分也不必要條件解析：選B.2—X20,則xW2,(x—1)2W1,則一1Wx—1W1,即0WxW2,據(jù)此可知,“2—x20”是“(x—1)2W1”的必要不充分條件.已知p：x+yH—2,q：x,y不都是一1,則p是口的()充分不必要條件必要不充分條件

c.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選A.因?yàn)镻：x+yf—2,q：x豐一1或y主一1,所以綈P：x+y=—2,綈q：乂=一1且丫=一1,因?yàn)榻恞綈P但綈P/綈q,所以綈q是綈P的充分不必要條件，即P是q的充分不必要條件?故選A.31充分條件、必要條件的應(yīng)用（典例遷移）例呂已知條件P：集合P={x|x2—8x—20<0}，條件q：非空集合S={x|1—m<x<1+m}.若p是q的必要條件，求m的取值范圍.【解】由X2—8x—20<0,得—2<x<10,所IXP={x|-2<x<10},由P是q的必要條件，知SP.1—m<1+m,貝U1—m>-2,所以0<m<3.1+m<10,所以當(dāng)0<m<3時(shí)，P是q的必要條件，即所求m的取值范圍是[0,3].【遷移探究1】（變結(jié)論）若本例條件不變，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m,使p是q的充要條件.解：若p是q的充要條件，則p=s,所以1-m=-2,所以1-m=-2,1+m=10,所以m=3,m=9,即不存在實(shí)數(shù)m,使p是q的充要條件.【遷移探究2】（變結(jié)論）本例條件不變，若綈p是綈q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：由例題知卩=儀一2<乂<10},因?yàn)榻恜是綈q的必要不充分條件,所以pq且qp.所以[-2,10][1-m,1+m].1—m<—2,1—m<—2,所以I“或I、“1+m>101+m>10.所以m>9，即m的取值范圍是[9,+s).餌豳豳岡

已知充分、必要條件求參數(shù)取值范圍的解題策略(1)解決此類問(wèn)題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含、相等關(guān)系，然后列出有關(guān)參數(shù)的不等式(組)求解．(2)涉及參數(shù)問(wèn)題，直接解決較為困難時(shí)，可用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜、生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、熟悉的問(wèn)題來(lái)解決，如將綈P，綈q之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成P，q之間的關(guān)系來(lái)求解.［注意］(1)注意對(duì)區(qū)間端點(diǎn)值的處理；(2)注意條件的等價(jià)變形．設(shè)P：〈專^(m〉0)；q：x〈2或X〉l,若p是設(shè)P：件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為解析：因?yàn)镻是q的充分不必要條件，又解析：因?yàn)镻是q的充分不必要條件，又m>0,所以?m—1~T~<2，所以o〈mW2.答案：(0，2］思想方法系列1等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在充要條件中的應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想就是對(duì)原問(wèn)題換一個(gè)方式、換一個(gè)角度、換一個(gè)觀點(diǎn)加以考慮，把要解決的問(wèn)題通過(guò)某種轉(zhuǎn)化，再轉(zhuǎn)化，化歸為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問(wèn)題，從而使問(wèn)題得到圓滿解決的思維方式.倒已知條件p：|x—4|W6；條件q：(x—l)2—m2<0(m〉0).若綈p是綈q的充分不必要條件，則m的取值范圍為.【解析】條件P：—2WxW10，條件q：1—mWxWl+m,又綈p是綈q的充分不必要"m〉0,條件，則q是p的充分不必要條件.故有］l—m±—2，所以0<m<3.、l+m<10,【答案】(o，3］本例涉及參數(shù)問(wèn)題，直接解決較為困難，先用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜、生疏的問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單、熟悉的問(wèn)題來(lái)解決．一般地，在涉及字母參數(shù)的取值范圍的充分、必要條件問(wèn)題中常常要利用集合的包含、相等關(guān)系來(lái)考慮，這是解此類問(wèn)題的關(guān)鍵．拓展憑習(xí)1.如果x,y是實(shí)數(shù)，那么“xMy”是“cosxMcos丫”的()充要條件充分不必要條件必要不充分條件既不充分也不必要條件解析：選C.法一：設(shè)集合A=｛（x,y）|xMy｝,B=｛（x,y）|cosxMcosy｝，則A的補(bǔ)集C=｛（x，y）|x=y｝，B的補(bǔ)集D=｛（x，y）|cosx=cosy｝，顯然CD,所以BA,于是“xMy”是“cosxMcosy”的必要不充分條件.法二（等價(jià)轉(zhuǎn)化法）：因?yàn)閤=yncosx=cosy,而cosx=cosy^/x=y,所以“cosx=cosy”是“x=y”的必要不充分條件，故“xMy”是“cosxMcosy”的必要不充分條件.（2020?寧夏銀川一中模擬）王昌齡的《從軍行》中兩句詩(shī)為“黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，其中后一句中“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（）充分條件B.必要條件充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選B.“攻破樓蘭”不一定“返回家鄉(xiāng)”，但“返回家鄉(xiāng)”一定是“攻破樓蘭”，故“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的必要非充分條件.故選B.>倉(cāng)型演練'劭倉(cāng)突碾［基礎(chǔ)題組練］已知命題P：若x±a2+b2，貝yx±2ab,則下列說(shuō)法正確的是（）命題p的逆命題是“若xVa汁b2，則xV2ab”命題p的逆命題是“若xV2ab,則xVa2+b2”命題p的否命題是“若xVa汁b2，貝則xV2ab”命題p的否命題是“若x±a汁b2，貝則xV2ab”解析：選C.命題p的逆命題是“若x±2ab,貝x三比+匕2”，故A,B都錯(cuò)誤；命題p的否命題是“若xVa2+b2，貝xV2ab”，故C正確，D錯(cuò)誤.已知p：aM0,q：abM0,則p是口的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選B.aM0^/abM0,但abM0naM0,因此p是q的必要不充分條件.已知a,b,c是實(shí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）“a2〉b2”是“a〉b”的充分條件“a2〉b2”是“a〉b”的必要條件“ac2〉bc2”是“a〉b”的充分條件“|a|〉|b|”是“a〉b”的充要條件解析：選C.對(duì)于A,當(dāng)a=—5,b=1時(shí)，滿足a2〉b2，但是a<b,所以充分性不成立；對(duì)于B,當(dāng)a=1,b=—2時(shí)，滿足a〉b,但是a2<b2,所以必要性不成立；對(duì)于C,由ac2〉bc2得cHO,則有a〉b成立，即充分性成立，故正確；對(duì)于D,當(dāng)a=—5,b=l時(shí)，|a|〉|b|成立，但是a<b,所以充分性不成立，當(dāng)a=l,b=—2時(shí)，滿足a>b,但是|a|〈|b|,所以必要性也不成立，故“|a|〉|b|”是“a〉b”的既不充分也不必要條件.故選C.已知命題a：如果x〈3，那么x<5；命題B：如果x±3,那么x±5；命題Y：如果x±5，那么x±3?關(guān)于這三個(gè)命題之間的關(guān)系中，下列說(shuō)法正確的是()命題a是命題B的否命題，且命題Y是命題B的逆命題；②命題a是命題B的逆命題，且命題Y是命題B的否命題；③命題B是命題a的否命題，且命題Y是命題a的逆否命題.A.①③B.②C.②③D.①②③解析：選A.本題考查命題的四種形式，逆命題是把原命題中的條件和結(jié)論互換，否命題是把原命題中的條件和結(jié)論都加以否定，逆否命題是把原命題中的條件與結(jié)論先都否定然后互換所得，故①正確，②錯(cuò)誤，③正確.“(x+l)(y—2)=0”是“x=—1且y=2”的條件.解析：因?yàn)?x+1)(y—2)=0,所以x=—1或y=2,所以(x+1)(y—2)=0^/x=—1且y=2,x=—1且y=2n(x+1)(y—2)=0,所以是必要不充分條件.答案：必要不充分已知命題p：xW1,命題q：-<1,則綈p是q的.x解析：由題意，得綈P：x>1,q：x<0或x〉1,故綈p是q的充分不必要條件.答案：充分不必要條件若命題“ax2—2ax—3〉0不成立”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析：由題意知ax2—2ax—3W0恒成立，但〈0,當(dāng)a=0時(shí)，一3W0成立；當(dāng)aHO時(shí)，得｛A=4a2+12aW0,解得一3Wa〈0,故一3WaW0.答案：[—3，0]已知命題p：(x+3)(x—1)〉0；命題q：x〉a2—2a—2.若綈P是綈q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：已知p：(x+3)(x—1)〉0，可知p：x>1或x〈一3,因?yàn)榻恜是綈q的充分不必要條件，所以q是p的充分不必要條件，得a2—2a—221,解得aW—1或a三3，即aw(—g,—1]U[3,+^).[綜合題組練]1.(創(chuàng)新型)(2020?撫州七校聯(lián)考)A,B,C三個(gè)學(xué)生參加了一次考試，A,B的得分均

為70分，C的得分為65分.已知命題p：若及格分低于70分，則A,B,C都沒(méi)有及格.則下列四個(gè)命題中為p的逆否命題的是()若及格分不低于70分，則A,B,C都及格若A,B,C都及格，則及格分不低于70分若A,B,C至少有一人及格，則及格分不低于70分若A,B,C至少有一人及格，則及格分高于70分解析：選C.根據(jù)原命題與它的逆否命題之間的關(guān)系知，命題p的逆否命題是若A,B,C至少有一人及格，則及