高中數(shù)學 必修1 集合與函數(shù) 2.1 函數(shù)定值域 知識點+例題+練習題(含答案)

高中數(shù)學必修1集合與函數(shù)2.1函數(shù)定值域知識點+例題+練習題1.函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)。記作：。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的。注意：（1）“y=f(x)”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函數(shù)符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應(yīng)的函數(shù)值，一個數(shù)，而不是f乘x。2.構(gòu)成函數(shù)的三要素：、和:（1）解決一切函數(shù)問題必須認真確定該函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域包含三種形式：①自然型：指函數(shù)的解析式有意義的自變量x的取值范圍（如：分式函數(shù)的分母不為零，偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負數(shù)，對數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，等等）；②限制型：指命題的條件或人為對自變量x的限制，這是函數(shù)學習中重點，往往也是難點，因為有時這種限制比較隱蔽，容易犯錯誤；③實際型：解決函數(shù)的綜合問題與應(yīng)用問題時，應(yīng)認真考察自變量x的實際意義。（2）求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學問題，中學數(shù)學要求能用初等方法求一些簡單函數(shù)的值域問題。①配方法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)）；②判別式法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程）；③不等式法（運用不等式的各種性質(zhì)）。3.兩個函數(shù)的相等：當函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定。因此，定義域和對應(yīng)法則為函數(shù)的兩個基本條件，當且僅當兩個函數(shù)的和都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)。4.區(qū)間： （1）區(qū)間的分類：開區(qū)間：、閉區(qū)間：、半開半閉區(qū)間：； （2）無窮區(qū)間：； （3）區(qū)間的數(shù)軸表示。5.映射的概念:一般地，設(shè)A、B是兩個，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：A→B”。函數(shù)是建立在兩個的一種對應(yīng)，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應(yīng)關(guān)系，這種的對應(yīng)就叫映射。注意：（1）這兩個集合有先后順序，A到B的映射與B到A的映射是截然不同的.其中f表示具體的對應(yīng)法則，可以用漢字敘述。（2）“都有唯一”什么意思？包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思?！纠?】求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2)；(3).【例2】判斷下列函數(shù)是否表示同一個函數(shù)，說明理由？(1)f(x)=(x－1)0；g(x)=1(2)f(x)=x；g(x)=(3)f(x)=x2；f(x)=(x+1)2(4)f(x)=|x|；g(x)=(5)f(x)=x2,g(x-2)=(x-2)2,g(t)=t2【例3】給出四個命題：①函數(shù)是其定義域到值域的映射;②是函數(shù);③函數(shù)y=2x(x∈N)的圖象是一條直線;④與g(x)=x是同一函數(shù).其中正確的有_______個.【例4】設(shè)集合A和集合B都是實數(shù)集R，映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素x3－x＋1，則在映射f下，象1的原象所組成的集合是()A.{1}B.{0,1，－1}C.{0}D.{0，－1，－2}【例5】若f(x)滿足f(a?b)=f(a)+f(b)，且f(2)=p，f(3)=q，則f(72)等于()A.p+qB.3p+2qC.2p+3qD.p3+q2【例6】已知函數(shù)f(x)=.(1)求f(2)與f()，f(3)與f()；(2)由(1)中求得的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)f(x)與f()有什么關(guān)系？證明你的發(fā)現(xiàn).【例7】已知函數(shù)的定義域為集合A、B={x|x<a}.(1)求集合A；(2)若A?B，求實數(shù)a的取值范圍.【例8】根據(jù)下列條件，求下列各函數(shù)的定義域：(1)已知函數(shù)y=f(x＋2)的定義域為[1,4]，求函數(shù)y=f(x)的定義域；(2)已知函數(shù)y=f(2x)的定義域為[0,1]，求函數(shù)y=f(x＋1)的定義域；(3)已知函數(shù)y=f(x)的定義域為[0,1]，求g(x)=f(x＋a)＋f(x－a)的定義域.【例9】求下列函數(shù)的值域：(1)y=2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y=＋1；(3)y=x2－4x＋6，x∈[1,5]；(4)y=x＋；(5)y=.【例10】求的值域.1.設(shè)集合M={x|－2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，給出下列四個圖形，其中能表示以集合M為定義域，N為值域的函數(shù)關(guān)系的是()2.已知映射f：A→B，即對任意a∈A，f：a→|a|.其中，集合A={－3，－2，－1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的對應(yīng)元素，則集合B中元素的個數(shù)是()A.4B.5C.6D.73.已知函數(shù)f(x＋1)的定義域為(－2，－1)，則函數(shù)f(x)的定義域為()A.(-1.5，-1)B.(－1,0)C.(－3，－2)D.(-2，-1.5)4.函數(shù)f(x)=－5，則f(3)=()A.－3B.4C.－1D.65.設(shè)，則=()A.1B.－1C.0.6D.－0.66.已知f(x)=x2＋1，則f[f(－1)]=()A.2B.3C.4D.57.已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(f(3))等于()A.1B.2C.3D.48.為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密規(guī)則為：明文a，b，c，d對應(yīng)密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d，例如，明文1,2,3,4對應(yīng)密文5,7,18,16.當接收方收到密文14,9,23,28時，則解密得到的明文為()A.4,6,1,7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1,6,4,79.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=f(x)的解析式為()A.f(x)=(x－a)2(b－x) B.f(x)=(x－a)2(x＋b)C.f(x)=－(x－a)2(x＋b) D.f(x)=(x－a)2(x－b)10.函數(shù)的定義域是11.函數(shù)的定義域是12.函數(shù)的定義域是13.已知元素(x，y)在映射f下的原象是(x+y，x-y)，則(1，2)在f下的象是____________.14.函數(shù)y=x2－2x的定義域為{0,1,2,3}，那么其值域為____________.15.設(shè)，則f[f(x)]=________.16.函數(shù)f(x)=x2－2x＋5定義域為A，值域為B，則集合A與B的關(guān)系是.17.如圖，函數(shù)f(x)的圖象是曲線OAB，其中點O，A，B的坐標分別為(0,0)，(1,2)，(3,1)，則的值等于________.18.已知函數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f(－1),f(12)的值.19.已知函數(shù).(1)求f(2)與f(0.5)，f(3)與f().(2)由(1)中求得結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)f(x)與f()有什么關(guān)系？并證明你的發(fā)現(xiàn).(3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)＋f()＋f()＋…＋f().20.求函數(shù)的值域；1.函數(shù)符號y=f(x)表示()A.y等于f與x的乘積B.f(x)一定是一個式子C.y是x的函數(shù)D.對于不同的x，y也不同2.下列各組中，集合P與M不能建立映射的是()A.P={0}，M=?B.P={1,2,3,4,5}，M={2,4,6,8}C.P={有理數(shù)}，M={數(shù)軸上的點}D.P={平面上的點}，M={有序?qū)崝?shù)對}解析:選項A中，M=?，故集合P中的元素在集合M中無元素與之對應(yīng)，故不能建立映射.3.已知集合A={1,2，m}，B={4,7,13}，若f：x→y=3x＋1是從集合A到集合B的映射，則m的值為()A.22B.8C.7D.44.設(shè)集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，在圖中能表示從集合A到集合B的映射的是()5.已知函數(shù)f(x)=－1，則f(2)的值為()A.－2B.－1C.0D.不確定6.下列圖形可作為函數(shù)y=f(x)的圖象的是()7.函數(shù)y=的定義域是()A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1) D.{-1,1}8.若函數(shù)g(x＋2)=2x＋3，則g(3)的值是()A.9B.7C.5D.39.函數(shù)的定義域是()A.[-3,1.5]B.[-3,-1.5)∪(-1.5,1.5)C.[-3,1.5)D.[-3,-1.5)∪(-1.5,1.5]10.已知f(x－1)的定義域為[－3,3]，則f(x)的定義域為____________.11.已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.(1)求f(0),f(1)的值;(2)若f(2)=p,f(3)=q(p,q為常數(shù)),求f(36)的值.12.在體育測試時，初三的一名高個男同學推鉛球，已知鉛球所經(jīng)過的路徑是某個二次函數(shù)圖象的一部分（如圖所示）.如果這個男同學出手處A點的坐標是（0，2），鉛球路線的最高處B點的坐標是（6，5）.（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）該同學把鉛球推出去多遠？（精確到0.01米，15=3.873）知識點參考答案1.答案為：對應(yīng)關(guān)系f，唯一確定；y=f(x)，x∈A；定義域；值域；2.答案為：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域；3.答案為：定義域，對應(yīng)法則；4.答案為：();[];(],[)；(-∞,+∞);5.答案為：非空的集合；唯一確定；非空數(shù)集間；例題參考答案例1.(1)x≠±2;(2)x<1且x≠-1;(3)1.5≤x≤7.例2.(1)×;(2)×;(3)×;(4)√;(5)√.例3.答案為：①；例4.答案為：B；例5.答案為:B；例6.解：(1)f(2)=0.8，f(0.5)=0.2，f(3)=0.9，f(3-1)=0.1;(2)f(x)＋f()=1.例7.解:(1)要使函數(shù)f(x)有意義，應(yīng)滿足3-x≥0,x+2>0，∴－2<x≤3，故A={x|－2<x≤3}.(2)∵A?B，∴把集合A、B分別表示在數(shù)軸上，如圖所示，由如圖可得，a>3.故實數(shù)a的取值范圍為a>3.例8.解：(1)∵y=f(x＋2)中，1≤x≤4，∴3≤x＋2≤6，∴函數(shù)y=f(x)中，3≤x≤6，故函數(shù)y=f(x)的定義域為[3,6].(2)∵y=f(2x)中，0≤x≤1，∴0≤2x≤2，∴函數(shù)y=f(x＋1)中，0≤x＋1≤2，∴－1≤x≤1，∴函數(shù)y=f(x＋1)的定義域為[－1,1].(3)由題意得0≤x+a≤1,0≤x-a≤1，∴-a≤x≤1-a,a≤x≤1+a，以下按a的取值情況討論：①當a=0時，函數(shù)的定義域為[0,1].②a>0時，須1－a≥a.才能符合函數(shù)定義(定義域不能為空集).∴0<a≤0.5.此時函數(shù)的定義域為{x|a≤x≤1－a}.③a<0時，須1＋a≥－a，即－0.5≤a<0，此時函數(shù)的定義域為{x|－a≤x≤1＋a}.綜上可得：－0.5≤a<0時，定義域為{x|－a≤x≤1＋a},0≤a≤0.5時，定義域為{x|a≤x≤1－a}.例9.解：(1)∵y=2x＋1，且x∈{1,2,3,4,5}，∴y∈{3,5,7,9,11}.∴函數(shù)的值域為{3,5,7,9,11}.(2)∵eq\r(x)≥0，∴eq\r(x)＋1≥1.∴函數(shù)的值域為[1，＋∞).(3)配方得y=(x－2)2＋2，∵x∈[1,5]，由圖知2≤y≤11.即函數(shù)的值域為[2,11].(4)令u=eq\r(2x－1)，則u≥0，x=eq\f(u2＋1,2)，∴y=eq\f(1＋u2,2)＋u=eq\f(1,2)(u＋1)2≥eq\f(1,2).∴函數(shù)的值域為[eq\f(1,2)，＋∞).(5)y=eq\f(3x＋2,x－1)=eq\f(3x－1＋5,x－1)=3＋eq\f(5,x－1)≠3.∴函數(shù)的值域為{y|y≠3}.例10.解：=1-，而x2-x+1=(x-0.5)2+0.75≥0.75，即0<≤，∴-13≤y<1.即的值域為[-,1].課堂練習題參考答案1.答案為：B;2.答案為：A;3.答案為：B;解析:∵函數(shù)f(x＋1)的定義域為(－2，－1)，∴－1<x＋1<0，∴函數(shù)f(x)的定義域為(－1,0).4.答案為：A;5.答案為：B;6.答案為：D;7.答案為：A8.答案為：C；解析：由題目的條件可以得到a＋2b=14,2b＋c=9,2c＋3d=23,4d=28.解得a=6，b=4，c=1，d=7，故選C.9.答案為：A;10.答案為：x≥1；11.答案為：x≥1且x≠2.12.答案為：x≥1且x≠2且x≠3；13.答案為：（3，-1）；14.答案為：{－1,0,3}；15.答案為.16.答案為B?A;17.答案為：2；18.解：(1)根據(jù)題意知x－1≠0且x＋4≥0，∴x≥－4且x≠1，即函數(shù)f(x)的定義域為[－4,1)∪(1，＋∞).(2)f(－1)＝－3－eq\r(3).f(12)＝－eq\f(38,11).19.解：(1)∵f(x)=eq\f(x2,1＋x2)，∴f(2)=0.8，f(0.5)=0.2，f(3)=0.9;f()=0.1.(2)由(1)發(fā)現(xiàn)f(x)＋f()=1.證明如下：f(x)＋f()=1.(3)f(1)=0.5.由(2)知f(2)＋f(0.5)=1，f(3)＋f()=1，…，f(2017)＋f()=1，∴原式=eq\f(1,2)＋1+1+...+1=2016＋0.5=2016.5.20.解：已知函數(shù)式可變形為yx2+2yx+3y=2x2+4x-7，即[2(y-2)]2-4(y-2)(3y+7)=0.當y/r