工程力學(xué)全套課件 第12章 彎曲變形

工程力學(xué)全套課件單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué))工程力學(xué)全套課件單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué))單輝祖:工程力學(xué)2第

12

章彎曲變形

彎曲變形基本方程

計算梁位移的方法

簡單靜不定梁分析

梁的剛度條件與設(shè)計本章主要研究：單輝祖:工程力學(xué)2第12章彎曲變形彎曲變形單輝祖:工程力學(xué)3§1

引言

§2

梁變形基本方程

§3

計算梁位移的積分法

§4

計算梁位移的疊加法

§5

簡單靜不定梁§6

梁的剛度條件與合理設(shè)計單輝祖:工程力學(xué)3§1引言

§2梁變形基本方程

§單輝祖:工程力學(xué)4§1引言

彎曲變形及其特點

撓度與轉(zhuǎn)角單輝祖:工程力學(xué)4§1引言彎曲變形及其特點單輝祖:工程力學(xué)5彎曲變形及其特點

撓曲軸是一條連續(xù)、光滑曲線對稱彎曲時，撓曲軸為位于縱向?qū)ΨQ面的平面曲線

對于細(xì)長梁，剪力對彎曲變形影響一般可忽略不計,

因而橫截面仍保持平面，并與撓曲軸正交撓曲軸

變彎后的梁軸，稱為撓曲軸

研究彎曲變形的目的，進(jìn)行梁的剛度計算，分析靜不定梁，為研究壓桿穩(wěn)定問題提供有關(guān)基礎(chǔ)單輝祖:工程力學(xué)5彎曲變形及其特點撓單輝祖:工程力學(xué)6撓度與轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角－撓度撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系（小變形）撓度－橫截面形心在垂直于梁軸方向的位移－撓曲軸方程轉(zhuǎn)角－橫截面的角位移－轉(zhuǎn)角方程（忽略剪力影響）（rad）單輝祖:工程力學(xué)6撓度與轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角－撓度撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系單輝祖:工程力學(xué)7§2

梁變形基本方程

撓曲軸微分方程

撓曲軸近似微分方程單輝祖:工程力學(xué)7§2梁變形基本方程撓曲軸微分方程單輝祖:工程力學(xué)8撓曲軸微分方程（純彎）（推廣到非純彎）

w－彎矩引起的撓度

smax<sp－撓曲軸微分方程單輝祖:工程力學(xué)8撓曲軸微分方程（純彎）（推廣到非純彎單輝祖:工程力學(xué)9撓曲軸近似微分方程小變形時：－撓曲軸近似微分方程

小變形

坐標(biāo)軸

w

向上應(yīng)用條件：坐標(biāo)軸

w

向下時：單輝祖:工程力學(xué)9撓曲軸近似微分方程小變形時：－撓曲軸單輝祖:工程力學(xué)10§3

計算梁位移的積分法撓曲軸微分方程與邊界條件積分法求梁位移

撓曲軸的繪制例題單輝祖:工程力學(xué)10§3計算梁位移的積分法撓曲軸微分方單輝祖:工程力學(xué)11撓曲軸微分方程與邊界條件約束處位移應(yīng)滿足的條件梁段交接處位移應(yīng)滿足的條件－位移邊界條件－位移連續(xù)條件利用位移邊界條件與連續(xù)條件確定積分常數(shù)單輝祖:工程力學(xué)11撓曲軸微分方程與邊界條件約束處位移單輝祖:工程力學(xué)12積分法求梁位移qA

=?EI=

常數(shù)建立撓曲軸近似微分方程并積分利用邊界條件確定積分常數(shù)由條件

(1),(2)

與式

(b)

，得計算轉(zhuǎn)角（）單輝祖:工程力學(xué)12積分法求梁位移qA=?單輝祖:工程力學(xué)13撓曲軸的繪制繪制依據(jù)

滿足基本方程

滿足位移邊界條件與連續(xù)條件繪制方法與步驟

畫

M圖

由位移邊界條件確定撓曲軸的空間位置

由M圖的正、負(fù)、零點或零值區(qū)，確定撓曲軸的

凹、凸、拐點或直線區(qū)，即確定撓曲軸的形狀單輝祖:工程力學(xué)13撓曲軸的繪制繪制依據(jù)滿足基本單輝祖:工程力學(xué)14例題例

3-1用積分法求梁的最大撓度，EI為常數(shù)解：1.建立撓曲軸近似微分方程并積分AC段CB段單輝祖:工程力學(xué)14例題例3-1用積分法求梁單輝祖:工程力學(xué)153.最大撓度分析（）當(dāng)a>b

時位移邊界條件：位移連續(xù)條件：2.確定積分常數(shù)發(fā)生在AC段單輝祖:工程力學(xué)153.最大撓度分析（）當(dāng)a>b單輝祖:工程力學(xué)16例

3-2

建立撓曲軸微分方程，寫出邊界條件，EI

為常數(shù)解：1.建立撓曲軸近似微分方程AB段:CB段:2.邊界條件與連續(xù)條件位移邊界條件：位移連續(xù)條件：單輝祖:工程力學(xué)16例3-2建立撓曲軸微分方程，單輝祖:工程力學(xué)17F=qa例

3-3繪制撓曲軸的大致形狀F=qa單輝祖:工程力學(xué)17F=qa例3-3繪制撓曲軸的大致單輝祖:工程力學(xué)18§4

計算梁位移的疊加法

疊加法

逐段分析求和法例題單輝祖:工程力學(xué)18§4計算梁位移的疊加法疊加法單輝祖:工程力學(xué)19疊加法方法分解載荷分別計算位移求位移之和當(dāng)梁上作用幾個載荷時，任一橫截面的總位移，等于各載荷單獨(dú)作用時在該截面引起的位移的代數(shù)和或矢量和單輝祖:工程力學(xué)19疊加法方法分解載荷分別計算位移求單輝祖:工程力學(xué)20理論依據(jù)上述微分方程的解，為下列微分方程解的組合（小變形,比例極限內(nèi)）（小變形）疊加法適用條件：小變形，比例極限內(nèi)單輝祖:工程力學(xué)20理論依據(jù)上述微分方程的解，為下列微分方程單輝祖:工程力學(xué)21逐段分析求和法分解梁分別計算各梁段的變形在需求位移處引起的位移求總位移在分析某梁段的變形在需求位移處引起的位移時，其余梁段視為剛體單輝祖:工程力學(xué)21逐段分析求和法分解梁分別單輝祖:工程力學(xué)22例題例

4-2圖示階梯形梁，WC=?解：()()()單輝祖:工程力學(xué)22例題例4-2圖示階梯形梁，單輝祖:工程力學(xué)23例

4-2圖示組合梁，EI=常數(shù)，求

wB與qA()()解：單輝祖:工程力學(xué)23例4-2圖示組合梁，EI=常數(shù)，求單輝祖:工程力學(xué)24例

4-3求自由端位移d撓曲軸與外力作用面不重合一般情況下解：單輝祖:工程力學(xué)24例4-3求自由端位移d撓曲軸與外單輝祖:工程力學(xué)25§5

簡單靜不定梁

靜不定度與多余約束簡單靜不定梁分析方法例題單輝祖:工程力學(xué)25§5簡單靜不定梁靜不定度與多余約束單輝祖:工程力學(xué)26靜不定度與多余約束多余約束

凡是多于維持平衡所必須的約束多余反力

與多余約束相應(yīng)的支反力或支反力偶矩靜不定度

＝未知支反力（力偶）數(shù)－有效平衡方程數(shù)靜不定度＝多余約束數(shù)4-3

=

1度靜不定5-3

=

2度靜不定靜不定梁

支反力（含力偶）數(shù)超過平衡方程數(shù)的梁單輝祖:工程力學(xué)26靜不定度與多余約束多余約束凡單輝祖:工程力學(xué)27簡單靜不定梁分析方法選

FBy

為多余力－變形協(xié)調(diào)條件－物理方程－補(bǔ)充方程－平衡方程1度靜不定算例綜合考慮三方面求梁的支反力,EI=常數(shù)單輝祖:工程力學(xué)27簡單靜不定梁分析方法選FBy單輝祖:工程力學(xué)28判斷梁的靜不定度用多余力

代替多余約束的作用，得受力與原靜不定梁相同的靜定梁－相當(dāng)系統(tǒng)計算相當(dāng)系統(tǒng)在多余約束處的位移，并根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程由補(bǔ)充方程確定多余力，由平衡方程求其余支反力通過相當(dāng)系統(tǒng)計算內(nèi)力、位移與應(yīng)力等依據(jù)－綜合考慮三方面關(guān)鍵－確定多余支反力分析方法與步驟相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)注意:相當(dāng)系統(tǒng)有多種選擇單輝祖:工程力學(xué)28判斷梁的靜不定度用多余力代單輝祖:工程力學(xué)29例題例5-1求支反力解：1.

問題分析2.

解靜不定水平反力忽略不計,2多余未知力單輝祖:工程力學(xué)29例題例5-1求支反力解：1單輝祖:工程力學(xué)30例

5-2懸臂梁

AB，用短梁

DG

加固，試分析加固效果解：1.靜不定分析單輝祖:工程力學(xué)30例5-2懸臂梁AB，用短梁D單輝祖:工程力學(xué)312.加固效果分析（剛度）減少

50%減少39.9%3.加固效果分析（強(qiáng)度）單輝祖:工程力學(xué)312.加固效果分析（剛度）減少50%單輝祖:工程力學(xué)32例5-3圖示桿梁結(jié)構(gòu)，試求桿

BC

的軸力解：一度靜不定單輝祖:工程力學(xué)32例5-3圖示桿梁結(jié)構(gòu)，試求桿BC單輝祖:工程力學(xué)33§6

梁的剛度條件與合理設(shè)計

梁的剛度條件

梁的合理剛度設(shè)計

例題單輝祖:工程力學(xué)33§6梁的剛度條件與合理設(shè)計梁的剛度單輝祖:工程力學(xué)34梁的剛度條件最大位移控制指定截面的位移控制例如滑動軸承處:單輝祖:工程力學(xué)34梁的剛度條件最大位移控制指定截面的單輝祖:工程力學(xué)35梁的合理剛度設(shè)計橫截面形狀的合理選擇材料的合理選擇使用較小的截面面積

A，獲得較大慣性矩

I

的截面形狀，例如工字形與盒形等薄壁截面影響梁剛度的力學(xué)性能是

E

，為提高剛度，宜選用E

較高的材料注意：各種鋼材（或各種鋁合金）的

E

基本相同單輝祖:工程力學(xué)35梁的合理剛度設(shè)計橫截面形狀的合單輝祖:工程力學(xué)36

梁跨度的合理選取跨度微小改變，將導(dǎo)致?lián)隙蕊@著改變例如

l

縮短

20％，dmax

將減少

48.8%單輝祖:工程力學(xué)36梁跨度的合理選取跨度微小改變，將導(dǎo)致單輝祖:工程力學(xué)37合理安排約束與加載方式q=F/l增加約束，制作成靜不定梁單輝祖:工程力學(xué)37合理安排約束與加載方式q=F/l增加單輝祖:工程力學(xué)38例題例

6-1已知

F

=

35

kN，l

=

4

m，[s

]=

160

MPa，[d

]=l/500，E

=

200

GPa，試選擇工字鋼型號。解：選№22a單輝祖:工程力學(xué)38例題例6-1已知F=單輝祖:工程力學(xué)39本章結(jié)束！單輝祖:工程力學(xué)39本章結(jié)束！ENDEND工程力學(xué)全套課件單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué))工程力學(xué)全套課件單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué))單輝祖:工程力學(xué)42第

12

章彎曲變形

彎曲變形基本方程

計算梁位移的方法

簡單靜不定梁分析

梁的剛度條件與設(shè)計本章主要研究：單輝祖:工程力學(xué)2第12章彎曲變形彎曲變形單輝祖:工程力學(xué)43§1

引言

§2

梁變形基本方程

§3

計算梁位移的積分法

§4

計算梁位移的疊加法

§5

簡單靜不定梁§6

梁的剛度條件與合理設(shè)計單輝祖:工程力學(xué)3§1引言

§2梁變形基本方程

§單輝祖:工程力學(xué)44§1引言

彎曲變形及其特點

撓度與轉(zhuǎn)角單輝祖:工程力學(xué)4§1引言彎曲變形及其特點單輝祖:工程力學(xué)45彎曲變形及其特點

撓曲軸是一條連續(xù)、光滑曲線對稱彎曲時，撓曲軸為位于縱向?qū)ΨQ面的平面曲線

對于細(xì)長梁，剪力對彎曲變形影響一般可忽略不計,

因而橫截面仍保持平面，并與撓曲軸正交撓曲軸

變彎后的梁軸，稱為撓曲軸

研究彎曲變形的目的，進(jìn)行梁的剛度計算，分析靜不定梁，為研究壓桿穩(wěn)定問題提供有關(guān)基礎(chǔ)單輝祖:工程力學(xué)5彎曲變形及其特點撓單輝祖:工程力學(xué)46撓度與轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角－撓度撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系（小變形）撓度－橫截面形心在垂直于梁軸方向的位移－撓曲軸方程轉(zhuǎn)角－橫截面的角位移－轉(zhuǎn)角方程（忽略剪力影響）（rad）單輝祖:工程力學(xué)6撓度與轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角－撓度撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系單輝祖:工程力學(xué)47§2

梁變形基本方程

撓曲軸微分方程

撓曲軸近似微分方程單輝祖:工程力學(xué)7§2梁變形基本方程撓曲軸微分方程單輝祖:工程力學(xué)48撓曲軸微分方程（純彎）（推廣到非純彎）

w－彎矩引起的撓度

smax<sp－撓曲軸微分方程單輝祖:工程力學(xué)8撓曲軸微分方程（純彎）（推廣到非純彎單輝祖:工程力學(xué)49撓曲軸近似微分方程小變形時：－撓曲軸近似微分方程

小變形

坐標(biāo)軸

w

向上應(yīng)用條件：坐標(biāo)軸

w

向下時：單輝祖:工程力學(xué)9撓曲軸近似微分方程小變形時：－撓曲軸單輝祖:工程力學(xué)50§3

計算梁位移的積分法撓曲軸微分方程與邊界條件積分法求梁位移

撓曲軸的繪制例題單輝祖:工程力學(xué)10§3計算梁位移的積分法撓曲軸微分方單輝祖:工程力學(xué)51撓曲軸微分方程與邊界條件約束處位移應(yīng)滿足的條件梁段交接處位移應(yīng)滿足的條件－位移邊界條件－位移連續(xù)條件利用位移邊界條件與連續(xù)條件確定積分常數(shù)單輝祖:工程力學(xué)11撓曲軸微分方程與邊界條件約束處位移單輝祖:工程力學(xué)52積分法求梁位移qA

=?EI=

常數(shù)建立撓曲軸近似微分方程并積分利用邊界條件確定積分常數(shù)由條件

(1),(2)

與式

(b)

，得計算轉(zhuǎn)角（）單輝祖:工程力學(xué)12積分法求梁位移qA=?單輝祖:工程力學(xué)53撓曲軸的繪制繪制依據(jù)

滿足基本方程

滿足位移邊界條件與連續(xù)條件繪制方法與步驟

畫

M圖

由位移邊界條件確定撓曲軸的空間位置

由M圖的正、負(fù)、零點或零值區(qū)，確定撓曲軸的

凹、凸、拐點或直線區(qū)，即確定撓曲軸的形狀單輝祖:工程力學(xué)13撓曲軸的繪制繪制依據(jù)滿足基本單輝祖:工程力學(xué)54例題例

3-1用積分法求梁的最大撓度，EI為常數(shù)解：1.建立撓曲軸近似微分方程并積分AC段CB段單輝祖:工程力學(xué)14例題例3-1用積分法求梁單輝祖:工程力學(xué)553.最大撓度分析（）當(dāng)a>b

時位移邊界條件：位移連續(xù)條件：2.確定積分常數(shù)發(fā)生在AC段單輝祖:工程力學(xué)153.最大撓度分析（）當(dāng)a>b單輝祖:工程力學(xué)56例

3-2

建立撓曲軸微分方程，寫出邊界條件，EI

為常數(shù)解：1.建立撓曲軸近似微分方程AB段:CB段:2.邊界條件與連續(xù)條件位移邊界條件：位移連續(xù)條件：單輝祖:工程力學(xué)16例3-2建立撓曲軸微分方程，單輝祖:工程力學(xué)57F=qa例

3-3繪制撓曲軸的大致形狀F=qa單輝祖:工程力學(xué)17F=qa例3-3繪制撓曲軸的大致單輝祖:工程力學(xué)58§4

計算梁位移的疊加法

疊加法

逐段分析求和法例題單輝祖:工程力學(xué)18§4計算梁位移的疊加法疊加法單輝祖:工程力學(xué)59疊加法方法分解載荷分別計算位移求位移之和當(dāng)梁上作用幾個載荷時，任一橫截面的總位移，等于各載荷單獨(dú)作用時在該截面引起的位移的代數(shù)和或矢量和單輝祖:工程力學(xué)19疊加法方法分解載荷分別計算位移求單輝祖:工程力學(xué)60理論依據(jù)上述微分方程的解，為下列微分方程解的組合（小變形,比例極限內(nèi)）（小變形）疊加法適用條件：小變形，比例極限內(nèi)單輝祖:工程力學(xué)20理論依據(jù)上述微分方程的解，為下列微分方程單輝祖:工程力學(xué)61逐段分析求和法分解梁分別計算各梁段的變形在需求位移處引起的位移求總位移在分析某梁段的變形在需求位移處引起的位移時，其余梁段視為剛體單輝祖:工程力學(xué)21逐段分析求和法分解梁分別單輝祖:工程力學(xué)62例題例

4-2圖示階梯形梁，WC=?解：()()()單輝祖:工程力學(xué)22例題例4-2圖示階梯形梁，單輝祖:工程力學(xué)63例

4-2圖示組合梁，EI=常數(shù)，求

wB與qA()()解：單輝祖:工程力學(xué)23例4-2圖示組合梁，EI=常數(shù)，求單輝祖:工程力學(xué)64例

4-3求自由端位移d撓曲軸與外力作用面不重合一般情況下解：單輝祖:工程力學(xué)24例4-3求自由端位移d撓曲軸與外單輝祖:工程力學(xué)65§5

簡單靜不定梁

靜不定度與多余約束簡單靜不定梁分析方法例題單輝祖:工程力學(xué)25§5簡單靜不定梁靜不定度與多余約束單輝祖:工程力學(xué)66靜不定度與多余約束多余約束

凡是多于維持平衡所必須的約束多余反力

與多余約束相應(yīng)的支反力或支反力偶矩靜不定度

＝未知支反力（力偶）數(shù)－有效平衡方程數(shù)靜不定度＝多余約束數(shù)4-3

=

1度靜不定5-3

=

2度靜不定靜不定梁

支反力（含力偶）數(shù)超過平衡方程數(shù)的梁單輝祖:工程力學(xué)26靜不定度與多余約束多余約束凡單輝祖:工程力學(xué)67簡單靜不定梁分析方法選

FBy

為多余力－變形協(xié)調(diào)條件－物理方程－補(bǔ)充方程－平衡方程1度靜不定算例綜合考慮三方面求梁的支反力,EI=常數(shù)單輝祖:工程力學(xué)27簡單靜不定梁分析方法選FBy單輝祖:工程力學(xué)68判斷梁的靜不定度用多余力

代替多余約束的作用，得受力與原靜不定梁相同的靜定梁－相當(dāng)系統(tǒng)計算相當(dāng)系統(tǒng)在多余約束處的位移，并根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程由補(bǔ)充方程確定多余力，由平衡方程求其余支反力通過相當(dāng)系統(tǒng)計算內(nèi)力、位移與應(yīng)力等依據(jù)－綜合考慮三方面關(guān)鍵－確定多余支反力分析方法與步驟相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)注意:相當(dāng)系統(tǒng)有多種選擇單輝祖:工程力學(xué)28判斷梁的靜不定度用多余力代單輝祖:工程力學(xué)69例題例5-1求支反力解：1.

問題分析2.

解靜不定水平反力忽略不計,2多余未知力單輝祖:工程力學(xué)29例題例5-1求支反力解：1單輝祖:工程力學(xué)70例

5-2懸臂梁

AB，用短梁

DG

加固，試分析加固效果解：1.靜不定分析單輝祖:工程力學(xué)30例5-2懸臂梁AB，用短梁D單輝祖:工程力學(xué)712.加固效果分析