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2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若,則“”的一個(gè)充分不必要條件是A. B.C.且 D.或2.在直角中,,,,若,則()A. B. C. D.3.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件4.若為過(guò)橢圓中心的弦,為橢圓的焦點(diǎn),則△面積的最大值為()A.20 B.30 C.50 D.605.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.6.設(shè),是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,記().下列兩個(gè)命題()①數(shù)列的任意一項(xiàng)都是正整數(shù);②數(shù)列存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù).A.①正確,②錯(cuò)誤 B.①錯(cuò)誤,②正確C.①②都正確 D.①②都錯(cuò)誤7.兩圓和相外切,且,則的最大值為()A. B.9 C. D.18.已知集合,,若AB,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.9.已知集合,則元素個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.410.劉徽(約公元225年-295年),魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家,中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一他在割圓術(shù)中提出的,“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無(wú)所失矣”,這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作,割圓術(shù)的核心思想是將一個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形等分成n個(gè)等腰三角形(如圖所示),當(dāng)n變得很大時(shí),這n個(gè)等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,運(yùn)用割圓術(shù)的思想,得到的近似值為()A. B. C. D.11.中國(guó)的國(guó)旗和國(guó)徽上都有五角星,正五角星與黃金分割有著密切的聯(lián)系,在如圖所示的正五角星中,以、、、、為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形,且,則()A. B. C. D.12.為雙曲線的左焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn),(在、之間)與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為,為坐標(biāo)原點(diǎn),若,且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知是夾角為的兩個(gè)單位向量,若,,則與的夾角為_(kāi)_____.14.“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管,以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容,立足全體黨員、面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái),現(xiàn)已日益成為老百姓了解國(guó)家動(dòng)態(tài),緊跟時(shí)代脈搏的熱門(mén)app.該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”和“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”兩個(gè)學(xué)習(xí)板塊和“每日答題”、“每周答題”、“專項(xiàng)答題”、“挑戰(zhàn)答題”四個(gè)答題板塊.某人在學(xué)習(xí)過(guò)程中,將六大板塊依次各完成一次,則“閱讀文章”與“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊之間最多間隔一個(gè)答題板塊的學(xué)習(xí)方法有________種.15.已知均為非負(fù)實(shí)數(shù),且,則的取值范圍為_(kāi)_____.16.某中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)班共有10人,分為甲、乙兩個(gè)小組,在一次階段測(cè)試中兩個(gè)小組成績(jī)的莖葉圖如圖所示,若甲組5名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為81,乙組5名同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為73,則x-y的值為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列和滿足,,,,.(Ⅰ)求與;(Ⅱ)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,若對(duì),恒成立,求正整數(shù)的值.18.(12分)已知函數(shù)(),是的導(dǎo)數(shù).(1)當(dāng)時(shí),令,為的導(dǎo)數(shù).證明:在區(qū)間存在唯一的極小值點(diǎn);(2)已知函數(shù)在上單調(diào)遞減,求的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個(gè)直角三角形,求的值.20.(12分)已知函數(shù),將的圖象向左移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象.(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;(2)若,的一條對(duì)稱軸是,求在的值域.21.(12分)如圖,四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的菱形,,點(diǎn)分別是的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)已知函數(shù)(,),.(Ⅰ)討論的單調(diào)性;(Ⅱ)若對(duì)任意的,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故“且”是“”的充分不必要條件.選C.2.C【解析】
在直角三角形ABC中,求得,再由向量的加減運(yùn)算,運(yùn)用平面向量基本定理,結(jié)合向量數(shù)量積的定義和性質(zhì):向量的平方即為模的平方,化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到所求值.【詳解】在直角中,,,,,
,
若,則故選C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的定義和性質(zhì),主要是向量的平方即為模的平方,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.3.A【解析】
首先利用二倍角正切公式由,求出,再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可;【詳解】解:∵,∴可解得或,∴“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,二倍角正切公式的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.4.D【解析】
先設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)對(duì)稱性可得,在表示出面積,由圖象遏制,當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的頂點(diǎn)時(shí),此時(shí)面積最大,再結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可求解.【詳解】由題意,設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)對(duì)稱性可得,則的面積為,當(dāng)最大時(shí),的面積最大,由圖象可知,當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí),此時(shí)的面積最大,又由,可得橢圓的上下頂點(diǎn)坐標(biāo)為,所以的面積的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì),以及三角形面積公式的應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.5.C【解析】
由題可知,曲線與有公共點(diǎn),即方程有解,可得有解,令,則,對(duì)分類討論,得出時(shí),取得極大值,也即為最大值,進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】解:由題可知,曲線與有公共點(diǎn),即方程有解,即有解,令,則,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故時(shí),取得極大值,也即為最大值,當(dāng)趨近于時(shí),趨近于,所以滿足條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想,考查抽象概括、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)能力,屬于難題.6.A【解析】
利用韋達(dá)定理可得,,結(jié)合可推出,再計(jì)算出,,從而推出①正確;再利用遞推公式依次計(jì)算數(shù)列中的各項(xiàng),以此判斷②的正誤.【詳解】因?yàn)?是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,所以,,因?yàn)?所以,即當(dāng)時(shí),數(shù)列中的任一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)之和,又,,所以,,,以此類推,即可知數(shù)列的任意一項(xiàng)都是正整數(shù),故①正確;若數(shù)列存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù),則此項(xiàng)個(gè)位數(shù)字應(yīng)當(dāng)為0或5,由,,依次計(jì)算可知,數(shù)列中各項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2為周期,故數(shù)列中不存在個(gè)位數(shù)字為0或5的項(xiàng),故②錯(cuò)誤;故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列遞推公式的推導(dǎo),考查數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,考查學(xué)生的綜合分析以及計(jì)算能力.7.A【解析】
由兩圓相外切,得出,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),即可得出答案.【詳解】因?yàn)閮蓤A和相外切所以,即當(dāng)時(shí),取最大值故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù),屬于中檔題.8.D【解析】
先化簡(jiǎn),再根據(jù),且AB求解.【詳解】因?yàn)椋忠驗(yàn)?,且AB,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.9.B【解析】
作出兩集合所表示的點(diǎn)的圖象,可得選項(xiàng).【詳解】由題意得,集合A表示以原點(diǎn)為圓心,以2為半徑的圓,集合B表示函數(shù)的圖象上的點(diǎn),作出兩集合所表示的點(diǎn)的示意圖如下圖所示,得出兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn):點(diǎn)A和點(diǎn)B,所以兩個(gè)集合有兩個(gè)公共元素,所以元素個(gè)數(shù)為2,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,關(guān)鍵在于作出集合所表示的點(diǎn)的圖象,再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想,屬于基礎(chǔ)題.10.A【解析】
設(shè)圓的半徑為,每個(gè)等腰三角形的頂角為,則每個(gè)等腰三角形的面積為,由割圓術(shù)可得圓的面積為,整理可得,當(dāng)時(shí)即可為所求.【詳解】由割圓術(shù)可知當(dāng)n變得很大時(shí),這n個(gè)等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,設(shè)圓的半徑為,每個(gè)等腰三角形的頂角為,所以每個(gè)等腰三角形的面積為,所以圓的面積為,即,所以當(dāng)時(shí),可得,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式的應(yīng)用,考查閱讀分析能力.11.A【解析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義,便可解決問(wèn)題.【詳解】解:.故選:A【點(diǎn)睛】本題以正五角星為載體,考查平面向量的概念及運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】
過(guò)點(diǎn)作,可得出點(diǎn)為的中點(diǎn),由可求得的值,可計(jì)算出的值,進(jìn)而可得出,結(jié)合可知點(diǎn)為的中點(diǎn),可得出,利用勾股定理求得(為雙曲線的右焦點(diǎn)),再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示,過(guò)點(diǎn)作,設(shè)該雙曲線的右焦點(diǎn)為,連接.,.,,,為的中點(diǎn),,,,,由雙曲線的定義得,即,因此,該雙曲線的離心率為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解,解題時(shí)要充分分析圖形的形狀,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
依題意可得,再根據(jù)求模,求數(shù)量積,最后根據(jù)夾角公式計(jì)算可得;【詳解】解:因?yàn)槭菉A角為的兩個(gè)單位向量所以,又,所以,,所以,因?yàn)樗裕还蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律,以及夾角的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
先分間隔一個(gè)與不間隔分類計(jì)數(shù),再根據(jù)捆綁法求排列數(shù),最后求和得結(jié)果.【詳解】若“閱讀文章”與“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊相鄰,則學(xué)習(xí)方法有種;若“閱讀文章”與“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊之間間隔一個(gè)答題板塊的學(xué)習(xí)方法有種;因此共有種.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查排列組合實(shí)際問(wèn)題,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.15.【解析】
設(shè),可得的取值范圍,分別利用基本不等式和,把用代換,結(jié)合的取值范圍求關(guān)于的二次函數(shù)的最值即可求解.【詳解】因?yàn)?,令,則,因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,,即,令則函數(shù)的對(duì)稱軸為,所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有最大值為,即.當(dāng)且,即,或,時(shí)取等號(hào);因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,令,則函數(shù)的對(duì)稱軸為,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值為,即,當(dāng),且時(shí)取等號(hào),所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式與二次函數(shù)求最值相結(jié)合求代數(shù)式的取值范圍;考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;基本不等式:和的靈活運(yùn)用是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型、難度大型試題.16.【解析】
根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),結(jié)合平均數(shù)與中位數(shù)的概念,求出x、y的值.【詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),得:甲班5名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為,解得;又乙班5名同學(xué)的中位數(shù)為73,則;.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖及根據(jù)莖葉圖計(jì)算中位數(shù)、平均數(shù),考查數(shù)據(jù)分析能力,屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(Ⅰ),;(Ⅱ)1【解析】
(Ⅰ)易得為等比數(shù)列,再利用前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求解的通項(xiàng)公式即可.(Ⅱ)由題可知要求的最小值,再分析的正負(fù)即可得隨的增大而增大再判定可知即可.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)?故是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,故.又當(dāng)時(shí),,解得.當(dāng)時(shí),…①…②①-②有,即.當(dāng)時(shí)也滿足.故為常數(shù)列,所以.即.故,(Ⅱ)因?yàn)閷?duì),恒成立.故只需求的最小值即可.設(shè),則,又,又當(dāng)時(shí),時(shí).當(dāng)時(shí),因?yàn)?故.綜上可知.故隨著的增大而增大,故,故【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解通項(xiàng)公式的方法,同時(shí)也考查了根據(jù)數(shù)列的增減性判斷最值的問(wèn)題,需要根據(jù)題意求解的通項(xiàng),并根據(jù)二項(xiàng)式定理分析其正負(fù),從而得到最小項(xiàng).屬于難題.18.(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)設(shè),,注意到在上單增,再利用零點(diǎn)存在性定理即可解決;(2)函數(shù)在上單調(diào)遞減,則在恒成立,即在上恒成立,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)討論的最值即可.【詳解】(1)由已知,,所以,設(shè),,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,而,,且在上圖象連續(xù)不斷.所以在上有唯一零點(diǎn),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;∴在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故在區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn),即在區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn);(2)設(shè),,,∴在單調(diào)遞增,,即,從而,因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減,∴在上恒成立,令,∵,∴,在上單調(diào)遞減,,當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞減,,符合題意.當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,所以一定存在,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,與題意不符,舍去.綜上,的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)、不等式恒成立問(wèn)題,在處理恒成立問(wèn)題時(shí),通常是構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值來(lái)處理,本題是一道較難的題.19.(1)(2)【解析】
(1)當(dāng)時(shí),,由可得,(所以,解得,所以不等式的解集為.(2)由題可得,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸恰好圍成一個(gè)直角三角形,所以,解得,當(dāng)時(shí),,函數(shù)的圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn),不符合題意;當(dāng)時(shí),,函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個(gè)直角三角形,符合題意.綜上,可得.20.(1)增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2).【解析】
(1)由題意利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求得的解析式,然后利用余弦函數(shù)的單調(diào)性,得出結(jié)論;(2)由題意利用余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性求得,再根據(jù)余弦函數(shù)的定義域和值域
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