2021年度自考線性代數(shù)經(jīng)管類講義

自考髙數(shù)線性代數(shù)課堂筆記第一章行列式線性代數(shù)學(xué)核心內(nèi)容是:研究線性方程組解存在條件、解構(gòu)造以及解求法。所用基本工具是矩陣,而行列式是研究矩陣很有效工具之一.行列式作為ー種數(shù)學(xué)工具不但在本課程中極其重要,并且在其她數(shù)學(xué)學(xué)科、乃至在其她許多學(xué)科（例如計(jì)算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)等）都是必不可少。1.I行列式定義（-）ー階、二階、三階行列式定義注意:在線性代數(shù)中,符號(hào)bl不是絕對(duì)值。（-）ー階、二階、三階行列式定義注意:在線性代數(shù)中,符號(hào)bl不是絕對(duì)值。⑵定義:符號(hào)パ叫二階行列式，它也是一種數(shù),其大小規(guī)定為：cd=ad-be因此二階行列式值等于兩個(gè)對(duì)角線上數(shù)積之差。（主對(duì)角線減次對(duì)角線乘積）=1x4—2x3=—2り3=（3）符號(hào)り3=（3）符號(hào)alめ叫三階行列式,它也是一種數(shù)，其大小規(guī)定為生bゝc\ち“與C3-a也Q+勺ムq+［あぐ2-a也ら-a也c2-［ユ句心123456例如789^]X5x9+4x8x3+7x2x6-7x5x3-4x2x9-lx6x8=o三階行列式計(jì)算比較復(fù)雜,為了協(xié)助人們掌握三階行列式計(jì)算公式，咱們可以釆用下面對(duì)角線法記憶瓦?G]b[Qb/Vg/Lレ=a也c?+的ムq+aユ瓦G-a382cl-ク也。2-a261cl辦法是:在已給行列式右邊添加已給行列式第一列、第二列。咱們把行列式左上角到右下角對(duì)角線叫主對(duì)角線,把右上角到左下角對(duì)角線叫次對(duì)角線,這時(shí),三階行列式值等于主對(duì)角線三個(gè)數(shù)積與和主對(duì)角線平行線上三個(gè)數(shù)積之和減去次對(duì)角線三個(gè)數(shù)積與次對(duì)角線平行線上數(shù)積之和.例如:=1x5x9+2x6x7+3x4x8-3x5x7-1x6x8-2x4x9=0=a1xi2xc34-2>1xc2x04-c1x0x0-c1xh2xO-^x^xO-^xOxcj二a也Q(3)=%x瓦xq+0x0xa3+0xa2xムーOx/^xg—/xOxあーOxa?xc3二a也c?（2）和（3）叫三角形行列式,其中（2）叫上三角形行列式,（3）叫下三角形行列式,由（2）（3）可見(jiàn),在三階行列式中,:向形行列式值為主対角線三個(gè)數(shù)之積,別的五項(xiàng)都是0,例如

213031=2x3x(-2)=-1200-23001-20=3x(-2)x4=-24234200030=2x3x(-l)=-600-12a=0例1a為什么值時(shí),34［答疑編號(hào)10010101:針對(duì)該題提問(wèn)I2a一=8-3a解由于34〇2a24=0因此8-3a=0, 3時(shí)$くTOC\o"1-5"\h\zx-1 4 2-2 x x >0例2當(dāng)x取何值4 2 1 時(shí),［答疑編號(hào)10010102:針對(duì)該題提問(wèn)］解:X-I42 X-I?2」34ハXX= 7、ドス:、-ノ、41? 4,21イ?2=(x-l)x1+4x4+2(-2)2-2x4-(x-1)x2-4(-2)1=x2-x+16x-8-8x-2X2+2x+8=-x2+9x=x(9-x)>0

=(スー1)ス1+4x4+2-(-2)2-2x4-(x-l)x2-4(-2)1=-え+16x-8—8x—2ズ+2x+8=-x2+9x=x(9-x)>0解得0vxv9因此當(dāng)0vxv9時(shí),所給行列式不不大于0。(二)n階行列式レL: ： :‘符號(hào): ム142 …ann它由n行、n列元素(共ね2個(gè)元素)構(gòu)成,稱之為n階行列式。其中,每ー種數(shù)稱為行列式ー種元素，它前ー種下標(biāo)i稱為行標(biāo),它表達(dá)這個(gè)數(shù).在第i行上:后ー種下標(biāo)j稱為列標(biāo),它表達(dá)這個(gè)數(shù)唱.在第j列上。因此網(wǎng);在行列式第i行和第j列交叉位置上。為論述以便起見(jiàn),咱們用(ij)表達(dá)這個(gè)位置。n階行列式如通也簡(jiǎn)記作卜n階行列式2=I。＞L也是一種數(shù),至于它值計(jì)算辦法需要引入下面兩個(gè)概念。(1)在n階行列式&中，劃去它第i行和第上列,余下數(shù)按照本來(lái)相對(duì)順序構(gòu)成一種(n-1)階行列式叫元素13V余子式,記作坊，例如，在三階行列式以］I% &ク3=a2x叼2ク23も2密中，斫珠子式必“表達(dá)將三階行列式a劃去第1行和第1列后，余下數(shù)按照相對(duì)位置構(gòu)成二階行列式,因此相似地，ク女余子式婚》表達(dá)將三階行列式ス劃去第二行和第三列后，余下數(shù)構(gòu)成二階行列式。因此ム31

1322=478例1若569,求:⑴ム［答疑編號(hào)10010103:針對(duì)該題提問(wèn)］⑵跖21［答疑編號(hào)10010104:針對(duì)該題提問(wèn)］(3)必［答疑編號(hào)10010105：針對(duì)該題提問(wèn)］(4)比32［答疑編號(hào)10010106：針對(duì)該題提問(wèn)I解⑴№45,8=36-40=-49(2)符號(hào)4項(xiàng)元素クび代數(shù)余子式定義:4=(-'1)”'招(系數(shù)其實(shí)是個(gè)正負(fù)符號(hào))例2求例】中為弋?dāng)?shù)余子式［答疑編號(hào)10010107:針對(duì)該題提問(wèn)］4ji［答疑編號(hào)10010108：針對(duì)該題提問(wèn)］&［答疑編號(hào)10010109:針對(duì)該題提問(wèn)］(4)ム2［答疑編號(hào)10010110:針對(duì)該題提問(wèn)］解：(1)マ監(jiān)2=-4二&=(-1ザ/=(-1)3M12=(-1)(-4)=4⑵=1541=(-1嚴(yán)"21=—A/21=—15⑶ゝ?焰3=T1：.&=(-1ド,必a=Afn=-11(4);/=〇&=(-1)3+2M32=_必2=0(如果符號(hào)是奇數(shù),等于相反數(shù);如果是偶數(shù),等于原數(shù))以11 a!2り3=以21叼2a23例3若01 %3計(jì)算ユ1141+。2141+%141 (以上兩組數(shù)相等)［答疑編號(hào)10010110針對(duì)該題提問(wèn)］解:的14+。2Ml+%&='】(-1產(chǎn)％】+%(-1嚴(yán)%1+%(-1嚴(yán)監(jiān)1=auMn-/r%i+勺1%1

=1（。22a33ー。23032）ー （/2%3一013%2）+。31（。12。23ー013。22）=22033+“12a23與1+，3a21a32—011023%2一%%為3一,3022a31由于G"Q>> 0，?小I，G”&i=22a33+，2a23%1+013021a32ー。!3。22a31一/1aム% 2a21生3與例3成果比較,發(fā)現(xiàn)ananaiz￡）3=以21以22423=?1141+2141+為1032ク33這一成果闡明:三階行列式鼻等于它第一列元素與相應(yīng)代數(shù)余子式積和,這ー成果可以推廣到n階行列式作為定義。定義:n階行列式anfli2ai?&=： : ：=%1ム1+。2141Hha?iAi4142…。松n=Zq14即規(guī)定n階行列式ユ值為它第一列元素與相應(yīng)代數(shù)余子式積和,上面成果中由于4=aいム=ー並シ&=%ド4=（一1嚴(yán)此12=，!監(jiān)1I囹％1+的峪1■,卜（-1嚴(yán)へ四“特別情形ユ=。1I峪1-a21M21+。幫ム1り4=。11峪1-％舷21+?31幀1一041M41例4計(jì)算下列行列式以]]0D4=0(1)TOC\o"1-5"\h\za以]]0D4=0(1)a22 a23 a24〇 與 a340 0 a44［答疑編號(hào)10010112:針對(duì)該題提問(wèn)］%ぴ!3 /4a22 a23 め40 a33 %0 0 a44-+。21413M31+4141=?］iAi+0x4］+0x4］+Ox&i=的跖a22 a2Sa24=an0 以33%4。〇而=。11旳必力。44由本例可見(jiàn)四階上三角形行列式值也等于它主對(duì)角線各數(shù)之積二為1の必犯ム4國(guó)1ai2aYi%4。150&籃。23%ちロ5=00。33為445000，4。45(2)0000a55［答疑編號(hào)10010113:針對(duì)該題提問(wèn)］a\2ai3以14ai50a22以23%%D5=00ほ33%4為5000以440000%=以1141+“2141+。31&+a4141+。5Ml=/Mu+0+0+0+0=?！逼縘]+0+0+0+0

=22a33a“知可見(jiàn)五階上三角形行列式值仍等于它主對(duì)角線各數(shù)之積即洶公生3a44aお普通地可推得即任意n階上三角形行列式值等于它主對(duì)角線各數(shù)之積斯代公"“小同理有TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"% 0 0 -- 0。21 。22 0 0.=/洶22…a；a*i a*2 %3 …ム*1.2行列式按行（列）展開(kāi)在1.1節(jié)講n階行列式展開(kāi)時(shí),是把ユ按其第一列展開(kāi)而逐漸把行列式階數(shù)減少后來(lái),再求出其值.事實(shí)上,行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開(kāi)來(lái)求出它值。當(dāng)前給出下面重要定理，共證明從略。定理.1.2.1（行列式展開(kāi)定理）n階行列式"=1%し等于它任意一行（列）各元素與其相應(yīng)代數(shù)余子式乘積之和,即D=an41+（^2-42+?,,+°?4? （i=l,2，…,n） （1.8）或。=クトム+a2,4j+…+aヤ4 （j=l,2,...,n） （1.9）其中,4是元素在d中代數(shù)余子式。定理1.2.1（行列式展開(kāi)定理）n階行列式"=1囹L等于它任意一行（列）各元素與其相應(yīng)代數(shù)余子式乘積之和,即Z)=ail4i+<2j242+"+l3?4? (i=l,2，…,n) (1.8)或D=aジム+“2j4+"-+%& (j=l,2,...,n) (1.9)其中,4是元素a溶d中代數(shù)余子式。(1.8)式稱為D按第i行展開(kāi)式,(1.9)式稱為D按第j列展開(kāi)式,這里ij=l,2,...上述展開(kāi)定理也可以表達(dá)到0=(-1),+%］此1+(-1),，財(cái)2+…+(-1)"?怒峪, (i=l,2,…,n)D=(ー嚴(yán)如g+(ー產(chǎn)%Mj+…+(-1嚴(yán)％% (j=l12>...,n)這兩個(gè)展開(kāi)式中每ー項(xiàng)都由三某些構(gòu)成:兀素內(nèi)?.和它前面符號(hào)以及它背面余子式加い三者缺ー不可!特別容易忘掉是把元素々/(特別是aが=一1)抄寫(xiě)下來(lái)。依照定理!.2J懂得,凡是含零行(行中元索全為零)或零列(列中元素全為零)行列式,其值必為尊特別情形(1)ananai3ク3=421a22a31% 的3=?11A]+72141+白3141二412エ!2+422工22+432A?二儀13413+以23423+以弘4=白114+[]2A2+4!34=42141+以2242+以2343二以a141+032ムス+a力42￠2)

=。114+出141+。3141+%i4i二白12ス12+22242+もス厶2+^42月42=413413+72343+電3馮3+ス43ム3=。14&+%4+%4&+ム4ん4=，1ム+，24+713&+ほ14ん—白ユ1421+?2242+以2343+以制4M=03141+ +a3343+“3444=44141+以4242+143ん3+ほ44ム4以］］〇 〇 〇ク_a21a22 〇 〇め］陶與〇例5計(jì)算4142443a44［答疑編號(hào)10010201:針對(duì)該題提問(wèn)］解:由于第一行或第四列所含零最多,故可按第一行展開(kāi)（解題技巧）D=+aロ4+ロ!34+%44；=。13=な］4=〇ュ。=以］］M］］+0+0+0%0〇=anロ32%3 0以42 43 %4=が33a4可見(jiàn)四階下三角形行列式值也等于它主對(duì)角線各數(shù)之積=的1も/めさ44例5成果可推廣為咱們稱這種行列式為下三角行列式（可任意取值元素在主對(duì)角線下面）。

例6計(jì)算21-1030003121［答疑編號(hào)10010202:針對(duì)該題提問(wèn)］例6計(jì)算21-1030003121［答疑編號(hào)10010202:針對(duì)該題提問(wèn)］解:由于第2行含〇最多,因此應(yīng)按第二行展開(kāi)=a2M1+旳る+a2543+a2444■■白21=。22=〇24=°；.ム=0+0+a2343+0=ー財(cái)112-1=-3203111=-3(白2141+42242+a234}=-3{—a21M2i+。ーa23M23}=-3{-2x3-3x(-1)}=9TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"0 1 0 0 0 0\o"CurrentDocument"0 0 2 0 0 00 0 0 3 0 00 0 0 0 4 00 0 0 0 0 5例7計(jì)算例7計(jì)算03：針對(duì)該題提問(wèn)］解：將&按第6行展開(kāi)得A=。614il+/242+a6343+a644+a6545+，6415=-a6MlTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 0 0 0 00 2 0 0 0=-60 0 3 0 00 0 0 4 00 0 0 0 5

=-6xlx2x3x4x5=—61例8計(jì)算（i）［答疑編號(hào)10010204：［答疑編號(hào)10010204：針對(duì)該題提問(wèn)］解:按第4行展開(kāi)D=a4141+0+0+0=一a41M4i=~d\a=~d\0c20［答疑編號(hào)?［答疑編號(hào)?10010205：針對(duì)該題提問(wèn)］解:將D按第一行展開(kāi)D= +0+〇+ムん=。11峪1ー/4”14ちち〇=生=ん厚3-3）-4ム得3-ちら）（重新分組后得出）=（%ムー44）（3-&ら）（重新分組后得出）13行列式性質(zhì)與計(jì)算由于n階行列式是n!項(xiàng)求和,并且每ー項(xiàng)都是n個(gè)數(shù)乘積,當(dāng)n比較大時(shí),計(jì)算量會(huì)非常大,例如,

10!=3628800。因此對(duì)于階數(shù)較大行列式很難直接用定義去求它值,這時(shí)運(yùn)用行列式性質(zhì)可以有效地解決行列式求值問(wèn)題。下面咱們來(lái)研究行列式性質(zhì),并運(yùn)用行列式性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化行列式計(jì)算。行列式性質(zhì)將行列式D第一行改為第一列,第二行改為第二列……第n行改為第n歹リ,仍得到ー種n階行列式,這個(gè)新行列式稱為D轉(zhuǎn)置行列式，記為D1I或D<即如果性質(zhì)1行列式和它轉(zhuǎn)置行列式相等,即D=DT或0n an ?-% an % ??\a2l fl2Ja2x an a12an2依照這個(gè)性質(zhì)可知,在任意ー種行列式中，行與列是處在平等地位。凡是對(duì)“行”成ウ性質(zhì),對(duì)“列”也成立;反之，凡是對(duì)“列”成立性質(zhì),對(duì)“行’‘也成立。因此只需研究行列式關(guān)于行性質(zhì),其所有結(jié)論對(duì)列也是自然成立。（運(yùn)用最多）性質(zhì)2用數(shù)k乘行列式D中某一行（列）所有元素所得到行列式等于kD。這也就是說(shuō)，行列式可以按某?行和某ー按列提出公因數(shù):證將左邊行列式A按其第i行展開(kāi)后來(lái)，再提出公因數(shù)k,即得右邊值:ワ1=Z/4=たZ%4=kPvL=中>1>1

注意如果行列式行多行或多列仃公因數(shù),必要:按行或按列逐次提出公因數(shù)。2556410例1計(jì)算行列式:1615［答疑編號(hào)10010206:針對(duì)該題提問(wèn)］5 210=2x3x35 210=2x3x315 125=2x3x5325 1=30(4+6+5-2-4-15)=30(-6)=-180在例1計(jì)算過(guò)程中,咱們先提出第二行公因數(shù)2和第三行公因數(shù)3,得到第一種等號(hào)右邊式子,然后提出這個(gè)行列式中第三列公因數(shù)5,把行列式中各元素絕對(duì)值化小后來(lái),再求出原行列式值。-abacaebd-cdde例2ジグーガ［答疑編號(hào)1(X)10207I針對(duì)該題提問(wèn)］-abacbd-cdkfグ由于由于=(-1)-F14-1—(―1)—(―1)—(―1)=4因此原式二4abcdef這里是把上式第一種等號(hào)左邊行列式第一、二、三行分別提出了公因子adf,第二個(gè)等號(hào)左邊行列式第一、二、三列分別提出了公因子b,c,e,化簡(jiǎn)后再求出其值。

-a例3計(jì)算行列式:—b-c0在行列式D每一行中都提出公因數(shù)（-1）并-a例3計(jì)算行列式:—b-c0［答疑編號(hào)10010208:針對(duì)該題提問(wèn)］0aD=—a0—b-cb0-ac0aD=—a0—b-c—b-c

0由于行列式D是ー種數(shù),因此山D=-D,可知行列式D=0?—b-c

0由于行列式D是ー種數(shù),因此山D=-D,可知行列式D=0?用這種辦法可以證明:上元素金為〇,而以由對(duì)角線為軸,兩邊處在對(duì)稱位置上元素異號(hào)0=1%1“反對(duì)稱行列式,則它滿足條件%/=_%，ルノ=1,2,??,機(jī)（運(yùn)用最多）性質(zhì)3互換行列式任意兩行（列）,行列式值變化符號(hào),即對(duì)于如下兩個(gè)行列式依照這個(gè)性質(zhì)可以得到下面重要推論:推論如果行列式中有兩行（列）相似,則此行列式值等于零。由于互換行列式D中兩個(gè)相似行（列）,其成果仍是D,但由性質(zhì)3可知其成果為-D,因而D二一D,因此D=0。性質(zhì)4如果行列式中某兩行（列）相應(yīng)元素成比例,則此行列式值等于零。證設(shè)行列式D第i行與第j行相應(yīng)元素成比例,不妨設(shè)第j行元素是第i行元素乘以k得到,則

由于將行列式D中第j行比例系數(shù)k提到行列式外而來(lái)后由于將行列式D中第j行比例系數(shù)k提到行列式外而來(lái)后來(lái),余下行列式仃兩行相應(yīng)元素相似,因而該行列式值為零,從而原行列式值等于零。行列式中某兩列元素相應(yīng)成比例情形可以類似地證明。12〃x）=2例4驗(yàn)算x=3與否是方程 42371x3=0345266根。［答疑編號(hào)10010209:針對(duì)該題提問(wèn)I/(3)=解:由于237133=0345266（第二行與第四行成倍數(shù)）.?.x=3是方程f（x）=0根。性質(zhì)5行列式可以按行（列）拆開(kāi),即證將左邊行列式按證將左邊行列式按其第i行展開(kāi)即得d=E(%+%)4=Z44+E44這就是右邊兩個(gè)行列式之和。

（運(yùn)用最多）性質(zhì)6把行列式D某?行（列）所仃元素都乘以同一數(shù)k后來(lái)加到另一行（列）相應(yīng)兀素?上去,所得行列式仍為D。即:例5證明:11001k10D=00k2002k充要條件是k=l或k=±2I答疑編號(hào)10010301:針對(duì)該題提問(wèn)1II②+（-i）x（D（第一行數(shù)乘與（.））加到第二行上去）k-11因此,D=0充要條件是k=l或k=+2o此題中，為了論述以便,咱們引入了新記號(hào)，將每一步行變換寫(xiě)在等號(hào)上面（若仃列變換則寫(xiě)在等號(hào)下面,本題沒(méi)有列變換）,即第一步中②+（-1）x①表達(dá)將第一行一1倍加到第二行上,第二步是第一列展開(kāi)。依照行列式展開(kāi)定理與行列式性質(zhì)，咱們有下面定理:

z）=kL定理1.3.1n階行列式 任意一行（列）各元素與另一行（列）相應(yīng)元素代數(shù)余子式乘積之和等于零,即知41+4242"1 h%ム=°（iwk）,（1.10）+ ■*aボん=°（j。凡）（11［）行列式計(jì)算行列式計(jì)算重要采用如下兩種棊本辦法。（1）運(yùn)用行列式性質(zhì),把原行列式化為容易求值行列式,慣用辦法是把原行列式化為上三角（或ド三角）行列式再求值。此時(shí)要注意是,在互換兩行或兩列時(shí)，必要在新行列式前面乘匕（-1）,在按行或按列提取公因子k時(shí),必要在新行列式前面乘上k。（2）把原行列式按選定某一行或某一列展開(kāi),把行列式階數(shù)減少,再求出它值,普通是運(yùn)用性質(zhì)6在某一行或某一列中產(chǎn)生諸各種“〇’‘元素,再按包括〇最多行或列展開(kāi)。由于上三角行列式值等于其主対角線上元素乘積,因此咱們只要設(shè)法運(yùn)用行列式性質(zhì)將行列式由于上三角行列式值等于其主対角線上元素乘積,因此咱們只要設(shè)法運(yùn)用行列式性質(zhì)將行列式化23104-2-1-1-2121例6計(jì)算行列式0110［答疑編號(hào)10010302:針對(duì)該題提問(wèn)］為上三角行列式,即可求出行列式值。TOC\o"1-5"\h\z2 3 1 01 12 3 1 04 -2 -1 -1 0 -8 -3 -1-2 1 2 1②+ (-2) X①〇 4 3 10 1 1 0|釧1、￠ |〇 ! 1 0\o"CurrentDocument"12 3 1 00110'0 4 3 1②一④ !〇 -8 -3 -123 100110③+(-4)X200-11④坨X②00 5-123 10011000-11④+5X③00 04咱們?cè)谟?jì)算例6中行列式時(shí),是運(yùn)用行列式性質(zhì)先將它化成上三角行列式后,再求出它值,并實(shí)上在計(jì)算行列式值時(shí),未必都要化成上三角或下三角行列式，若將行列式性質(zhì)與展開(kāi)定理結(jié)合起來(lái)使用，往往可以更快地求出成果。10212-110D.=4 1203例7計(jì)算行列式:［答疑編號(hào)10010303:針對(duì)該題提問(wèn)］解觀測(cè)到行列式第一行第一列位置元素au=l,運(yùn)用這個(gè)（1,1）位置元素1把行列式中第一列其她元素全都化為〇,然后按第一列展開(kāi),可將這個(gè)四階行列式降為三階行列式來(lái)計(jì)算,詳細(xì)環(huán)節(jié)如下:102-11203211003②+(-2)X①21③+(-1)X①按第一列展開(kāi),得-1-3-22=2-22321131-132132②+(-1)X①-2x0-4-1⑥+(-3)、〇0-7-5=-2x-4-1=—2610210-1-3-202-220321例8計(jì)算行列式［答疑編號(hào)10010304：23571-120徇）4232②+IX①@+(-2)X100046-5212II5按第一列!?開(kāi)~5231037310370 3125按第二行展開(kāi)375=1在本例中,記號(hào)①—②寫(xiě)在等號(hào)下面,表達(dá)互換行列式第一列和第二列,②+5x①寫(xiě)在等號(hào)下面,表達(dá)將行列式第?列乘以5后加到第二列。311113111131（例子很特殊）例9計(jì)算行列式:1110（例子很特殊）［答疑編號(hào)10010305:針對(duì)該題提問(wèn)J解這個(gè)行列式有特殊形狀，其特點(diǎn)是它每一行元素之和為6,咱們可以采用簡(jiǎn)易辦法求其值，先把后ー:列都加到第一列上去,提出第一列公因數(shù)6,再將后三行都減去第一行:31116111111111111311631113110200一=6=6=4811316131113100201113611311130002(32)a2(a+1)2(a+2)2(a+3)2b2(b+1)2(b+2)2(b+3)2c2(c+l)2(c+2)2(c+3)2例10計(jì)算行列式:d2(d+1)2(d+2)2(d+3)2a2-b2=(a+b)(a-b)［答疑編號(hào)10010306：針對(duì)該題提問(wèn)］(a+1)22a+36a+9(b+1)32b+36b+9(c+l)32c+36c+9(卅1)32d+36d+9TOC\o"1-5"\h\za2 (a+1)2 (a+2)2 (a+3)2I la2b2 (b+1)2 (b+2)2 (b+3)2 b2c2 (c+1)2 (c+2)2(c+3)2 =—pd2 (d+1)2 (d+2)2 (d+3)2| ④+(川ズ①ド(a+1)22a+33(2a+3)(b+D32b+33(2b+3)(c+l)22c+33(2c+3)(d+1)22d+33(2d+3)TOC\o"1-5"\h\z例11計(jì)算n階行列式(n>l)；a b 0 0 00 a b --- 0 0D-=： :: zz0 0 0 -? a bb 0 0 -? 0 a［答疑編號(hào)10010307:針對(duì)該題提問(wèn)］解將行列式按第一列展開(kāi),得2=%41+〇+…+°+Md（簡(jiǎn)化過(guò)程就是消階,次方也應(yīng)減少,為（№1）等ab0a0000…001…00???abb-0a1-i嚴(yán)o0…0000b0--ab,=aガ"+(-l)iび“=ax+(-1)/%"111匕=ムx2x3デ X1 ;-2例12計(jì)算范德蒙德（VanderMonde）行列式: 1 2 3［答疑編號(hào)10010308:針對(duì)該題提問(wèn)］（第一行乘（-X1）加到第二行上:第二行乘（-X1）加到第三行上）0弓0弓(X,-X1)Xj(x3-X])ろース1/Fxjxz-xj^(X3-Xi)=(x2 )(x3-Xj)=。2-再）。3一再）。3口2）=思3（ジ）aabb2a

bsa a a a a Ib b2 bs =abc Ic c2 cs Ixaaaaaxaaaaaxaaaaaxa例14計(jì)算aaaax（解題規(guī)律：每行或是每列中和是同樣,故每行或是每列都例13計(jì)算［答疑編號(hào)10010309：針對(duì)該題提問(wèn)］bb?=cピabc(b-a)(c-a)(c-b)(這是個(gè)定律)乘つ”加到第一行或是第一列上去,乘つ”加到第一行或是第一列上去,后再化簡(jiǎn)）［答疑編號(hào)10010310:針對(duì)該題提問(wèn)1xaaaax+4ax+4ax+4ax+4ax+4aaxaaaaXa a a①論aaxaa①理）aax a aaaaxa(D-H3)イaa x aaaaax①遮aaa a x1111111111axaaa0x-a0 0 0(-a)①；(x+4a)aaxaa(7①00x-a0 0aaaxa?+(-a)①000x-a0aaaaX?+(~a)①000 0x-a(x+4a)(x-a)41.4克拉默法則由定理1.2.1和定理1.3.1合并有,\Dn,i=k;知41+円242■* 加ん=1c ..1[〇,iwk;. . “巴,j=k；jん+a2}-^lk ?"%41fc=]0 ,(一)二元一次方程組(方程1、2左右同乘以ー種數(shù),上下對(duì)減);%ム+ユ內(nèi)泡①a21X1+a?x2=b2(2)由a22*①-al2*②得31戶或一,2。21）再=。2A一,2ち由an②①得31al2Iあ=也ー。214anana21 aanana21 a22=Dbl%b?a22ana2iblb0=D：ク于ユ則有］“ちー。2 A是常數(shù)項(xiàng).??當(dāng)D/）時(shí),二元一次方程組有唯一解、一"一D（二）三元一次方程組知A+、拝”づゆ1①。21，1+&22,2+&23*3ーレZに）円］4+&変ズ2+a§ズす瓦③aH a]2 a]3a2i a22 a4 =D令a31 a32 a33 叫系數(shù)行列式瓦a12Sbanb]aBalla12瓦ル^22 a23="1a2ib?a23=ク2a21 a22ヒ2=Aセ3a32 a33a31b3a33a31 a32 ^3由D中An①+A21②+A3i③得（ム1141+。2141+?3141）え1=441+ち41+ら4即Dx、=Dゝ由D中Al2①+A22②+A32③得312&+a2242+。32&）ス2=ム&+ち&+ち&即"勺="a由D中Al3①+A23②+A33③得（陽(yáng)4+%43+。33ム3）ス3=44+ち43+ち&即"芯=鼻...當(dāng)D/）時(shí),三元一次方程組有唯一解L方，"萬(wàn),ろー下普通地,有下面成果定理（克拉默法則）在n個(gè)方程n元一次方程組-auxl+a12x2+-+alj,xB=bl<221x1+a?x2+--+a2),xI=bjaslx1+aa2x2+-+aMxll=ba(|)中,若它系數(shù)行列式生1ai2alnD=%ia2z…a2nれa2 JM和則n元一次方程組有唯一解。推論:在n個(gè)方程n元一次齊次方程組■a11x1+a12x2+-+ahxa=0a21xx+a22x2+--+aailxB=0a,1x1+aa2x2+-+aJ,J,xa=0⑵中(1)若系數(shù)行列式D#),0方程組只有零解Xi=0, =0,x*=0(2)若系數(shù)行列式D=O0則方程組(2)除有零解外,尚有非零解(不證)例在三元一次齊次方程組A+x2+Xs=0<xx+2x2-3xs=02x.+3x?+ax,=0中,a為什么值時(shí)只有零解,a為什么值時(shí)有非。解。［答疑編號(hào)10010401:針對(duì)該題提問(wèn)］111D=12-323a解: =2a-6+3-4-(-9)-a=a+2A(1)aチ-2時(shí),D/),只有零解a=-2時(shí)，D=0,有非零解。本章考核內(nèi)容小結(jié)（-）懂得一階,二階,三階,n階行列式定義懂得余子式,代數(shù)余子式定義（二）懂得行列式按一行（列）展開(kāi)公式D*= +424TF”4D*=%4j+丿羯+…+9&（三）熟記行列式性質(zhì),會(huì)用展開(kāi)公式或?qū)⑿辛惺交癁槿切无k法計(jì)算行列式重點(diǎn)是三階行列式計(jì)算和各行（列）元素之和相似行列式計(jì)算（四）懂得克拉默法則條件和結(jié)論第二章 矩陣矩陣是線性代