初中數(shù)學(xué)弧長和扇形的面積經(jīng)典題

..弧長與扇形面積一．選擇題〔共12小題1．如圖,⊙O的半徑為2,AB、CD是互相垂直的兩條直徑,點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn)〔P與A、B、C、D不重合,經(jīng)過P作PM⊥AB于點(diǎn)M,PN⊥CD于點(diǎn)N,點(diǎn)Q是MN的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P沿著圓周轉(zhuǎn)過45°時,點(diǎn)Q走過的路徑長為〔A． B． C． D．2．如圖,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,⊙O的半徑為2,∠B=135°,則的長〔A．2π B．π C． D．3．如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB,∠CDB=30°,CD=,則陰影部分圖形的面積為〔A．4π B．2π C．π D．4．如圖,菱形ABCD的邊長為2,∠A=60°,以點(diǎn)B為圓心的圓與AD、DC相切,與AB、CB的延長線分別相交于點(diǎn)E、F,則圖中陰影部分的面積為〔A．+ B．+π C．﹣ D．2+5．如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD交AB于點(diǎn)E,且E為OB的中點(diǎn),∠CDB=30°,CD=4,則陰影部分的面積為〔A．π B．4π C．π D．π6．如圖,某數(shù)學(xué)興趣小組將邊長為3的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心,AB為半徑的扇形〔忽略鐵絲的粗細(xì),則所得扇形DAB的面積為〔A．6 B．7 C．8 D．97．如圖,在矩形ABCD中,CD=1,∠DBC=30°．若將BD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后,點(diǎn)D落在DC延長線上的點(diǎn)E處,點(diǎn)D經(jīng)過的路徑,則圖中陰影部分的面積是〔A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣8．如圖,已知⊙O的一條直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E,且AC=2,AE=,CE=1,則圖中陰影部分的面積為〔A． B． C． D．89109．如圖,在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=4,將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)30°后得到△ADE,點(diǎn)B經(jīng)過的路徑為,則圖中陰影部分的面積為〔A．π B．π C．π D．π10．如圖,已知?ABCD的對角線BD=4cm,將?ABCD繞其對稱中心O旋轉(zhuǎn)180°,則點(diǎn)D所轉(zhuǎn)過的路徑長為〔A．4πcm B．3πcm C．2πcm D．πcm11．如圖,扇形AOB中,∠AOB=150°,AC=AO=6,D為AC的中點(diǎn),當(dāng)弦AC沿扇形運(yùn)動時,點(diǎn)D所經(jīng)過的路程為〔A．3π B． C． D．4π12．如圖,水平地面上有一面積為30πcm2的灰色扇形OAB,其中OA的長度為6cm,且OA與地面垂直．若在沒有滑動的情況下,將圖〔甲的扇形向右滾動至點(diǎn)A再一次接觸地面,如圖〔乙所示,則O點(diǎn)移動了〔cm．A．11π B．12π C．10π+ D．11π+二．填空題〔共8小題13．如圖,△ABC是正三角形,曲線CDEF叫做正三角形的漸開線,其中弧CD、弧DE、弧EF的圓心依次是A、B、C,如果AB=1,那么曲線CDEF的長是．14．如圖,在?ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以點(diǎn)A為圓心,AD的長為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E,連接CE,則陰影部分的面積是〔結(jié)果保留π．15．如圖,在扇形AOB中,∠AOB=90°,點(diǎn)C為OA的中點(diǎn),CE⊥OA交于點(diǎn)E,以點(diǎn)O為圓心,OC的長為半徑作交OB于點(diǎn)D．若OA=2,則陰影部分的面積為．16．為美化小區(qū)環(huán)境,決定對小區(qū)的一塊空地實(shí)施綠化,現(xiàn)有一長為20m的柵欄,要圍成一扇形綠化區(qū)域,則該扇形區(qū)域的面積的最大值為．17．如圖,某實(shí)踐小組要在廣場一角的扇形區(qū)域內(nèi)種植紅、黃兩種花,半徑OA=4米,C是OA的中點(diǎn),點(diǎn)D在上,CD∥OB,則圖中種植黃花〔即陰影部分的面積是〔結(jié)果保留π．18．如圖,在扇形紙片AOB中,OA=10,∠AOB=36°,OB在桌面內(nèi)的直線l上．現(xiàn)將此扇形沿l按順時針方向旋轉(zhuǎn)〔旋轉(zhuǎn)過程中無滑動,當(dāng)OA落在l上時,停止旋轉(zhuǎn)．則點(diǎn)O所經(jīng)過的路線長為．19．如圖,矩形ABCD中,BC=2AB=4,AE平分∠BAD交邊BC于點(diǎn)E,∠AEC的分線交AD于點(diǎn)F,以點(diǎn)D為圓心,DF為半徑畫圓弧交邊CD于點(diǎn)G,則的長為．20．〔2015?安岳縣二模如圖,在直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCD是正方形,A〔1,﹣1,B〔﹣1,﹣1,C〔﹣1,1,D〔1,1．曲線AA1A2A3…叫做"正方形的漸開線",其中弧AA1、弧A1A2、弧A2A3、弧A3A4…所在圓的圓心依次是點(diǎn)B、C、D、A循環(huán),則點(diǎn)A2015坐標(biāo)是．三．解答題〔共10小題21．已知：如圖△ABC內(nèi)接于⊙O,OH⊥AC于H,過A點(diǎn)的切線與OC的延長線交于點(diǎn)D,∠B=30°,．請求出：〔1∠AOC的度數(shù)；〔2線段AD的長〔結(jié)果保留根號；〔3求圖中陰影部分的面積．22．如圖,已知⊙O是△ABC的外接圓,AC是直徑,∠A=30°,BC=2,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),連接DO并延長交⊙O于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PF⊥AC于點(diǎn)F．〔1求劣弧PC的長；〔結(jié)果保留π〔2求陰影部分的面積．〔結(jié)果保留π．24．如圖1是一個供滑板愛好者滑行使用的U型池,圖2是該U型池的橫截面〔實(shí)線部分示意圖,其中四邊形AMND是矩形,弧AmD是半圓．〔1若半圓AmD的半徑是4米,U型池邊緣AB=CD=20米,點(diǎn)E在CD上,CE=4米,一滑板愛好者從點(diǎn)A滑到點(diǎn)E,求他滑行的最短距離〔結(jié)果可保留根號；〔2若U型池的橫截面的周長為32米,設(shè)AD為2x,U型池的強(qiáng)度為y,已知U型池的強(qiáng)度是橫截面的面積的2倍,當(dāng)x取何值時,U型池的強(qiáng)度最大？25．如圖,一只狗用皮帶系在10×10的正方形狗窩的一角上,皮帶長為14,在狗窩外面狗能活動的范圍面積是多少？26．如圖,菱形ABCD的邊長為6,∠BAD=60°,AC為對角線．將△ACD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AC′D′,連接DC′．〔1求證：△ADC≌△ADC′；〔2求在旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)C掃過路徑的長．〔結(jié)果保留π27．〔2012?義烏市模擬已知：如圖,以等邊三角形ABC一邊AB為直徑的⊙O與邊AC、BC分別交于點(diǎn)D、E,過點(diǎn)D作DF⊥BC,垂足為F〔1求證：DF為⊙O的切線；〔2若等邊三角形ABC的邊長為4,求DF的長；〔3求圖中陰影部分的面積．28．某機(jī)械廠有大量直角三角形鐵板余料,已知∠ACB=90°,AC=5cm,∠B=30°現(xiàn)將這種三角形余料進(jìn)行加工裁剪成扇形〔如圖甲和半圓形〔如圖乙、丙的零件墊片,圖甲中D為切點(diǎn),圖乙中C、D為切點(diǎn),圖丙中D、E為切點(diǎn)．〔1分別求出三種情形下零件墊片的面積；〔2哪種裁剪方式可使余料再利用最好．29．如圖1至圖5,⊙O均作無滑動滾動,⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O與線段AB或BC相切于端點(diǎn)時刻的位置,⊙O的周長為c．閱讀理解：〔1如圖1,⊙O從⊙O1的位置出發(fā),沿AB滾動到⊙O2的位置,當(dāng)AB=c時,⊙O恰好自轉(zhuǎn)1周；〔2如圖2,∠ABC相鄰的補(bǔ)角是n°,⊙O在∠ABC外部沿A﹣B﹣C滾動,在點(diǎn)B處,必須由⊙O1的位置旋轉(zhuǎn)到⊙O2的位置,⊙O繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的角∠O1BO2=n°,⊙O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)周．實(shí)踐應(yīng)用：〔1在閱讀理解的〔1中,若AB=2c,則⊙O自轉(zhuǎn)周；若AB=l,則⊙O自轉(zhuǎn)周．在閱讀理解的〔2中,若∠ABC=120°,則⊙O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)周；若∠ABC=60°,則⊙O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)周；〔2如圖3,∠ABC=90°,AB=BC=c．⊙O從⊙O1的位置出發(fā),在∠ABC外部沿A﹣B﹣C滾動到⊙O4的位置,⊙O自轉(zhuǎn)周．拓展聯(lián)想：〔1如圖4,△ABC的周長為l,⊙O從與AB相切于點(diǎn)D的位置出發(fā),在△ABC外部,按順時針方向沿三角形滾動,又回到與AB相切于點(diǎn)D的位置,⊙O自轉(zhuǎn)了多少周？請說明理由；〔2如圖5,多邊形的周長為l,⊙O從與某邊相切于點(diǎn)D的位置出發(fā),在多邊形外部,按順時針方向沿多邊形滾動,又回到與該邊相切于點(diǎn)D的位置,直接寫出⊙O自轉(zhuǎn)的周數(shù)．30．某課題小組對課本的習(xí)題進(jìn)行了如下探索,請逐步思考并解答：〔1如圖1,兩個大小一樣的傳送輪連接著一條傳送帶,兩個傳動輪中心的距離是10m,求這條傳送帶的長．〔2改變圖形的數(shù)量；如圖2、將傳動輪增加到3個,每個傳動輪的直徑是3m,每兩個傳動輪中心的距離是10m,求這條傳送帶的長．〔3改變動態(tài)關(guān)系,將靜態(tài)問題升華為動態(tài)問題：如圖3,一個半徑為1cm的⊙P沿邊長為2πcm的等邊三角形△ABC的外沿作無滑動滾動一周,求圓心P經(jīng)過的路徑長？⊙P自轉(zhuǎn)了多少周？〔4拓展與應(yīng)用如圖4,一個半徑為1cm的⊙P沿半徑為3cm的⊙O外沿作無滑動滾動一周,則⊙P自轉(zhuǎn)了多少周？參考答案與試題解析一．選擇題〔共12小題1．〔2015?XX如圖,⊙O的半徑為2,AB、CD是互相垂直的兩條直徑,點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn)〔P與A、B、C、D不重合,經(jīng)過P作PM⊥AB于點(diǎn)M,PN⊥CD于點(diǎn)N,點(diǎn)Q是MN的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P沿著圓周轉(zhuǎn)過45°時,點(diǎn)Q走過的路徑長為〔A． B． C． D．考點(diǎn)：弧長的計算；矩形的判定與性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：OP的長度不變,始終等于半徑,則根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OQ=1,再由走過的角度代入弧長公式即可．解答：解：∵PM⊥y軸于點(diǎn)M,PN⊥x軸于點(diǎn)N,∴四邊形ONPM是矩形,又∵點(diǎn)Q為MN的中點(diǎn),∴點(diǎn)Q為OP的中點(diǎn),則OQ=1,點(diǎn)Q走過的路徑長==．故選A．點(diǎn)評：本題考查了弧長的計算及矩形的性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)得出點(diǎn)Q運(yùn)動軌跡的半徑,要求同學(xué)們熟練掌握弧長的計算公式．2．〔2015?義烏市如圖,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,⊙O的半徑為2,∠B=135°,則的長〔A．2π B．π C． D．考點(diǎn)：弧長的計算；圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．分析：連接OA、OC,然后根據(jù)圓周角定理求得∠AOC的度數(shù),最后根據(jù)弧長公式求解．解答：解：連接OA、OC,∵∠B=135°,∴∠D=180°﹣135°=45°,∴∠AOC=90°,則的長==π．故選B．點(diǎn)評：本題考查了弧長的計算以及圓周角定理,解答本題的關(guān)鍵是掌握弧長公式L=．3．〔2015?XX如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB,∠CDB=30°,CD=,則陰影部分圖形的面積為〔A．4π B．2π C．π D．考點(diǎn)：扇形面積的計算；垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形．專題：數(shù)形結(jié)合．分析：連接OD,則根據(jù)垂徑定理可得出CE=DE,繼而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OBD的面積,代入扇形的面積公式求解即可．解答：解：連接OD．∵CD⊥AB,∴CE=DE=CD=〔垂徑定理,故S△OCE=S△ODE,即可得陰影部分的面積等于扇形OBD的面積,又∵∠CDB=30°,∴∠COB=60°〔圓周角定理,∴OC=2,故S扇形OBD==,即陰影部分的面積為．故選：D．點(diǎn)評：此題考查了扇形的面積計算、垂徑定理及圓周角定理,解答本題關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出陰影部分的面積等于扇形OBD的面積,另外要熟記扇形的面積公式．4．〔2015?XX如圖,菱形ABCD的邊長為2,∠A=60°,以點(diǎn)B為圓心的圓與AD、DC相切,與AB、CB的延長線分別相交于點(diǎn)E、F,則圖中陰影部分的面積為〔A．+ B．+π C．﹣ D．2+考點(diǎn)：扇形面積的計算；菱形的性質(zhì)；切線的性質(zhì)．分析：設(shè)AD與圓的切點(diǎn)為G,連接BG,通過解直角三角形求得圓的半徑,然后根據(jù)扇形的面積公式求得三個扇形的面積,進(jìn)而就可求得陰影的面積．解答：解：設(shè)AD與圓的切點(diǎn)為G,連接BG,∴BG⊥AD,∵∠A=60°,BG⊥AD,∴∠ABG=30°,在直角△ABG中,BG=AB=×2=,AG=1,∴圓B的半徑為,∴S△ABG=×1×=在菱形ABCD中,∠A=60°,則∠ABC=120°,∴∠EBF=120°,∴S陰影=2〔S△ABG﹣S扇形ABG+S扇形FBE=2〔﹣+=+．故選A．點(diǎn)評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)以及扇形面積等知識,正確利用菱形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)求出圓的半徑是解題關(guān)鍵．5．〔2015?XX州如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD交AB于點(diǎn)E,且E為OB的中點(diǎn),∠CDB=30°,CD=4,則陰影部分的面積為〔A．π B．4π C．π D．π考點(diǎn)：扇形面積的計算．分析：首先證明OE=OC=OB,則可以證得△OEC≌△BED,則S陰影=半圓﹣S扇形OCB,利用扇形的面積公式即可求解．解答：解：∵∠COB=2∠CDB=60°,又∵CD⊥AB,∴∠OCE=30°,CE=DE,∴OE=OC=OB=2,OC=4.1S陰影==．故選D．點(diǎn)評：本題考查了扇形的面積公式,證明△OEC≌△BED,得到S陰影=半圓﹣S扇形OCB是本題的關(guān)鍵．6．〔2015?XX如圖,某數(shù)學(xué)興趣小組將邊長為3的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心,AB為半徑的扇形〔忽略鐵絲的粗細(xì),則所得扇形DAB的面積為〔A．6 B．7 C．8 D．9考點(diǎn)：扇形面積的計算．分析：由正方形的邊長為3,可得弧BD的弧長為6,然后利用扇形的面積公式：S扇形DAB=,計算即可．解答：解：∵正方形的邊長為3,∴弧BD的弧長=6,∴S扇形DAB==×6×3=9．故選D．點(diǎn)評：此題考查了扇形的面積公式,解題的關(guān)鍵是：熟記扇形的面積公式S扇形DAB=．7．〔2015?新疆如圖,在矩形ABCD中,CD=1,∠DBC=30°．若將BD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后,點(diǎn)D落在DC延長線上的點(diǎn)E處,點(diǎn)D經(jīng)過的路徑,則圖中陰影部分的面積是〔A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣考點(diǎn)：扇形面積的計算．專題：壓軸題．分析：先由矩形的性質(zhì)可得：∠BCD=90°,然后根據(jù)CD=1,∠DBC=30°,可得BD=2CD=2,然后根據(jù)勾股定理可求BC=,然后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：BE=BD=2,然后再根據(jù)扇形的面積公式及三角形的面積公式計算扇形DBE的面積和三角形BCD的面積,然后相減即可得到圖中陰影部分的面積．解答：解：∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BCD=90°,∵CD=1,∠DBC=30°,∴BD=2CD=2,由勾股定理得BC==,∵將BD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后,點(diǎn)D落在DC延長線上的點(diǎn)E處,∴BE=BD=2,∵S扇形DBE===,S△BCD=?BC?CD==,∴陰影部分的面積=S扇形DBE﹣S△BCD=﹣．故選B．點(diǎn)評：此題主要考查了矩形的性質(zhì),扇形的面積和三角形的面積計算,關(guān)鍵是掌握扇形的面積公式：S=．8．〔2015?XX如圖,已知⊙O的一條直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E,且AC=2,AE=,CE=1,則圖中陰影部分的面積為〔A． B． C． D．考點(diǎn)：扇形面積的計算；勾股定理的逆定理；圓周角定理；解直角三角形．分析：由AC=2,AE=,CE=1,根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷△ACE為直角三角形,然后由sinA=,可得∠A=30°,然后根據(jù)圓周角定理可得：∠COB=60°,然后由∠AEC=90°,可得AE⊥CD,然后根據(jù)垂徑定理可得：,進(jìn)而可得：∠BOD=∠COB=60°,進(jìn)而可得∠COD=120°,然后在Rt△OCE中,根據(jù)sin∠COE=,計算出OC的值,然后根據(jù)扇形的面積公式：S扇形DAB=,計算即可．解答：解：∵AE2+CE2=4=AC2,∴△ACE為直角三角形,且∠AEC=90°,∴AE⊥CD,∴,∴∠BOD=∠COB,∵sinA==,∴∠A=30°,∴∠COB=2∠A=60°,∴∠BOD=∠COB=60°,∴∠COD=120°,在Rt△OCE中,∵sin∠COE=,即sin60°=,解得：OC=,∴S扇形DAB===．故選D．點(diǎn)評：此題考查了扇形的面積公式,勾股定理的逆定理,圓周角定理及解直角三角形等知識,解題的關(guān)鍵是：據(jù)勾股定理的逆定理判斷△ACE為直角三角形．9．〔2015?XX如圖,在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=4,將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)30°后得到△ADE,點(diǎn)B經(jīng)過的路徑為,則圖中陰影部分的面積為〔A．π B．π C．π D．π考點(diǎn)：扇形面積的計算；勾股定理的逆定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．分析：根據(jù)AB=5,AC=3,BC=4和勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△AED的面積=△ABC的面積,得到陰影部分的面積=扇形ADB的面積,根據(jù)扇形面積公式計算即可．解答：解：∵AB=5,AC=3,BC=4,∴△ABC為直角三角形,由題意得,△AED的面積=△ABC的面積,由圖形可知,陰影部分的面積=△AED的面積+扇形ADB的面積﹣△ABC的面積,∴陰影部分的面積=扇形ADB的面積==,故選：A．點(diǎn)評：本題考查的是扇形面積的計算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理的逆定理,根據(jù)圖形得到陰影部分的面積=扇形ADB的面積是解題的關(guān)鍵．10．〔2015?XX模擬如圖,已知?ABCD的對角線BD=4cm,將?ABCD繞其對稱中心O旋轉(zhuǎn)180°,則點(diǎn)D所轉(zhuǎn)過的路徑長為〔A．4πcm B．3πcm C．2πcm D．πcm考點(diǎn)：弧長的計算；平行四邊形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．分析：將平行四邊形旋轉(zhuǎn)180°后,點(diǎn)D所轉(zhuǎn)過的路徑是以線段BD為直徑的半圓,已知直徑的長利用弧長公式求得即可．解答：解：將?ABCD繞其對稱中心O旋轉(zhuǎn)180°,點(diǎn)D所轉(zhuǎn)過的路徑為以BD為直徑的半圓,∴其長度為==2πcm．故選：C．點(diǎn)評：本題考查了利用弧長公式求弧長,本題中所涉及的圓弧恰好是半圓,所以其長度可以是圓周長的一半．11．〔2015?XX模擬如圖,扇形AOB中,∠AOB=150°,AC=AO=6,D為AC的中點(diǎn),當(dāng)弦AC沿扇形運(yùn)動時,點(diǎn)D所經(jīng)過的路程為〔A．3π B． C． D．4π考點(diǎn)：弧長的計算；勾股定理；垂徑定理．專題：計算題．分析：由垂徑定理求得線段OD的長也就是點(diǎn)D所經(jīng)過圓弧路徑的半徑,然后求得路徑的圓心角,利用弧長的計算公式計算即可．解答：解：∵D為AC的中點(diǎn),AC=AO=6,∴OD⊥AC,∴AD=AO,∴∠AOD=30°,OD=3,同理可得：∠BOE=30°,∴∠DOE=150°﹣60°=90°∴點(diǎn)D所經(jīng)過路徑長為：==．故選C．點(diǎn)評：本題考查了垂徑定理、解直角三角形、弧長的計算等知識,解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意確定點(diǎn)運(yùn)動的路徑是什么．12．〔2015?余姚市模擬如圖,水平地面上有一面積為30πcm2的灰色扇形OAB,其中OA的長度為6cm,且OA與地面垂直．若在沒有滑動的情況下,將圖〔甲的扇形向右滾動至點(diǎn)A再一次接觸地面,如圖〔乙所示,則O點(diǎn)移動了〔cm．A．11π B．12π C．10π+ D．11π+考點(diǎn)：弧長的計算；扇形面積的計算．分析：根據(jù)題意可知點(diǎn)O移動的距離正好是灰色扇形的弧長,所以先根據(jù)扇形的面積求得扇形的圓心角的度數(shù),再根據(jù)弧長公式求得弧長,即點(diǎn)O從開始到移動到OB與直線垂直移動的距,然后通過一次旋轉(zhuǎn),點(diǎn)A再一次接觸地面,利用弧長公式即可求得移動的距離．解答：解：設(shè)扇形的圓心角為n,則=30π∴n=300°∵扇形的弧長為=10π∴點(diǎn)O從開始到移動到OB與直線垂直,移動的距離10πcm．∵∠AOB=360﹣300=60°,則△AOB是等邊三角形,∴AB=OA=6cm,則A在圖乙中最后一個圖形的位置旋轉(zhuǎn)到A與直線接觸,O移動的距離是：=π,則OO點(diǎn)移動了11π．故選A．點(diǎn)評：本題考查了扇形的面積公式和弧長公式,解決本題要牢記扇形的面積公式和弧長公式．要會從題意中分析得到點(diǎn)O移動的路線是關(guān)鍵．二．填空題〔共8小題13．〔2015?XX如圖,△ABC是正三角形,曲線CDEF叫做正三角形的漸開線,其中弧CD、弧DE、弧EF的圓心依次是A、B、C,如果AB=1,那么曲線CDEF的長是4π．考點(diǎn)：弧長的計算；等邊三角形的性質(zhì)．分析：弧CD,弧DE,弧EF的圓心角都是120度,半徑分別是1,2,3,利用弧長的計算公式可以求得三條弧長,三條弧的和就是所求曲線的長．解答：解：弧CD的長是=,弧DE的長是：=,弧EF的長是：=2π,則曲線CDEF的長是：++2π=4π．故答案為：4π．點(diǎn)評：本題考查了弧長的計算公式,理解弧CD,弧DE,弧EF的圓心角都是120度,半徑分別是1,2,3是解題的關(guān)鍵．14．〔2015?XX如圖,在?ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以點(diǎn)A為圓心,AD的長為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E,連接CE,則陰影部分的面積是3﹣π〔結(jié)果保留π．考點(diǎn)：扇形面積的計算；平行四邊形的性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：過D點(diǎn)作DF⊥AB于點(diǎn)F．可求?ABCD和△BCE的高,觀察圖形可知陰影部分的面積=?ABCD的面積﹣扇形ADE的面積﹣△BCE的面積,計算即可求解．解答：解：過D點(diǎn)作DF⊥AB于點(diǎn)F．∵AD=2,AB=4,∠A=30°,∴DF=AD?sin30°=1,EB=AB﹣AE=2,∴陰影部分的面積：4×1﹣﹣2×1÷2=4﹣π﹣1=3﹣π．故答案為：3﹣π．點(diǎn)評：考查了平行四邊形的性質(zhì),扇形面積的計算,本題的關(guān)鍵是理解陰影部分的面積=?ABCD的面積﹣扇形ADE的面積﹣△BCE的面積．15．〔2015?XX如圖,在扇形AOB中,∠AOB=90°,點(diǎn)C為OA的中點(diǎn),CE⊥OA交于點(diǎn)E,以點(diǎn)O為圓心,OC的長為半徑作交OB于點(diǎn)D．若OA=2,則陰影部分的面積為+．考點(diǎn)：扇形面積的計算．專題：壓軸題．分析：連接OE、AE,根據(jù)點(diǎn)C為OC的中點(diǎn)可得∠CEO=30°,繼而可得△AEO為等邊三角形,求出扇形AOE的面積,最后用扇形AOB的面積減去扇形COD的面積,再減去S空白AEC即可求出陰影部分的面積．解答：解：連接OE、AE,∵點(diǎn)C為OA的中點(diǎn),∴∠CEO=30°,∠EOC=60°,∴△AEO為等邊三角形,∴S扇形AOE==π,∴S陰影=S扇形AOB﹣S扇形COD﹣〔S扇形AOE﹣S△COE=﹣﹣〔π﹣×1×=π﹣π+=+．故答案為：+．點(diǎn)評：本題考查了扇形的面積計算,解答本題的關(guān)鍵是掌握扇形的面積公式：S=．16．〔2015?XX為美化小區(qū)環(huán)境,決定對小區(qū)的一塊空地實(shí)施綠化,現(xiàn)有一長為20m的柵欄,要圍成一扇形綠化區(qū)域,則該扇形區(qū)域的面積的最大值為25m2．考點(diǎn)：扇形面積的計算．分析：首先設(shè)扇形區(qū)域的半徑為xm,則扇形的弧長為〔20﹣2xcm,該扇形區(qū)域的面積為ycm2,則可得函數(shù)：y=x〔20﹣2x=﹣x2+10x=﹣〔x﹣52+25,繼而求得答案．解答：解：設(shè)扇形區(qū)域的半徑為xm,則扇形的弧長為〔20﹣2xcm,該扇形區(qū)域的面積為ycm2,則y=x〔20﹣2x=﹣x2+10x=﹣〔x﹣52+25,∴該扇形區(qū)域的面積的最大值為25m2．故答案為：25m2．點(diǎn)評：此題考查了扇形的面積計算以及二次函數(shù)最值問題．注意根據(jù)題意得到函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．17．〔2015?鄂爾多斯如圖,某實(shí)踐小組要在廣場一角的扇形區(qū)域內(nèi)種植紅、黃兩種花,半徑OA=4米,C是OA的中點(diǎn),點(diǎn)D在上,CD∥OB,則圖中種植黃花〔即陰影部分的面積是π﹣2〔結(jié)果保留π．考點(diǎn)：扇形面積的計算．分析：連接OD,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ODC的度數(shù),根據(jù)扇形面積公式和三角形面積公式得到答案．解答：解：連接OD,∵C是OA的中點(diǎn),OA=OD,∴OC=OD=2,CD=2,∴∠ODC=30°,則∠DOA=60°,種植黃花〔即陰影部分的面積=扇形AOD的面積﹣△DOC的面積=﹣×2×2=π﹣2,故答案為：π﹣2．點(diǎn)評：本題考查的是扇形面積的計算,掌握扇形的面積公式S=是解題的關(guān)鍵．18．〔2015?XX二模如圖,在扇形紙片AOB中,OA=10,∠AOB=36°,OB在桌面內(nèi)的直線l上．現(xiàn)將此扇形沿l按順時針方向旋轉(zhuǎn)〔旋轉(zhuǎn)過程中無滑動,當(dāng)OA落在l上時,停止旋轉(zhuǎn)．則點(diǎn)O所經(jīng)過的路線長為12π．考點(diǎn)：弧長的計算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：O點(diǎn)運(yùn)動的路徑是：旋轉(zhuǎn)的路程=以BO為半徑的半圓的弧長+平移的路線是的長,計算即可．解答：解：的長是：=2π；以BO為半徑的半圓的弧長是：10π．則點(diǎn)O所經(jīng)過的路線長為10π+2π=12π．故答案是：12π．點(diǎn)評：本題考查了弧長的計算公式,理解O運(yùn)動的路線是關(guān)鍵．19．〔2015?張家港市模擬如圖,矩形ABCD中,BC=2AB=4,AE平分∠BAD交邊BC于點(diǎn)E,∠AEC的分線交AD于點(diǎn)F,以點(diǎn)D為圓心,DF為半徑畫圓弧交邊CD于點(diǎn)G,則的長為〔2﹣π．考點(diǎn)：弧長的計算；等腰直角三角形；矩形的性質(zhì)．分析：先由矩形的性質(zhì)得出,∠BAD=∠B=∠D=90°,AD=BC=4,AD∥BC,根據(jù)AE平分∠BAD得到∠BAE=∠EAD=45°,那么△ABE是等腰直角三角形,于是AB=BE=2,AE=AB=2．再由∠AEC的分線交AD于點(diǎn)F,∠AEF=∠CEF,由AD∥BC,得出∠CEF=∠AFE,等量代換得到∠AEF=∠AFE,那么AF=AE=2,DF=AD﹣AF=4﹣2,然后根據(jù)弧長的計算公式即可求出的長．解答：解：∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠B=∠D=90°,AD=BC=4,AD∥BC,∵AE平分∠BAD交邊BC于點(diǎn)E,∴∠BAE=∠EAD=45°,∴△ABE是等腰直角三角形,∴AB=BE=2,AE=AB=2．∵∠AEC的分線交AD于點(diǎn)F,∴∠AEF=∠CEF,∵AD∥BC,∴∠CEF=∠AFE,∴∠AEF=∠AFE,∴AF=AE=2,∴DF=AD﹣AF=4﹣2,∴的長為：=〔2﹣π．故答案為〔2﹣π．點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì),角平分線定義,等腰直角三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定,平行線的性質(zhì),弧長的計算,求出DF=4﹣2是解題的關(guān)鍵．20．〔2015?安岳縣二模如圖,在直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCD是正方形,A〔1,﹣1,B〔﹣1,﹣1,C〔﹣1,1,D〔1,1．曲線AA1A2A3…叫做"正方形的漸開線",其中弧AA1、弧A1A2、弧A2A3、弧A3A4…所在圓的圓心依次是點(diǎn)B、C、D、A循環(huán),則點(diǎn)A2015坐標(biāo)是〔1,4031．考點(diǎn)：弧長的計算．專題：規(guī)律型．分析：先分別求出A1的坐標(biāo)是〔﹣1,﹣3,A2的坐標(biāo)是〔﹣5,1,A3的坐標(biāo)是〔1,7,A4的坐標(biāo)是〔9,﹣1,從中找出規(guī)律,依規(guī)律計算即可．解答：解：從圖中可以看出A1的坐標(biāo)是〔﹣1,﹣3A2的坐標(biāo)是〔﹣5,1A3的坐標(biāo)是〔1,7A4的坐標(biāo)是〔9,﹣12015÷4=503…3∴點(diǎn)A2015的坐標(biāo)是A3的坐標(biāo)循環(huán)后的點(diǎn)．依次循環(huán)則A2015的坐標(biāo)在x軸上的是1,y軸上的坐標(biāo)是可以用n=〔1+2n〔n為自然數(shù)表示．那么A2015實(shí)際上是當(dāng)n=2015時的數(shù),所以〔1+2×2015=4031．A2015的坐標(biāo)是〔1,4031,故答案為：〔1,4031．點(diǎn)評：本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律和對"正方形的漸開線"的理解,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,理解"正方形的漸開線"是解答此題的關(guān)鍵．三．解答題〔共10小題21．〔2015?XX模擬已知：如圖△ABC內(nèi)接于⊙O,OH⊥AC于H,過A點(diǎn)的切線與OC的延長線交于點(diǎn)D,∠B=30°,．請求出：〔1∠AOC的度數(shù)；〔2線段AD的長〔結(jié)果保留根號；〔3求圖中陰影部分的面積．考點(diǎn)：扇形面積的計算；圓周角定理；切線的性質(zhì)．分析：〔1∠AOC與∠B是同弧所對的圓心角與圓周角,因而∠AOC=2∠B；〔2在Rt△OAD中,根據(jù)三角函數(shù)就可以求出AD的值；〔3陰影部分的面積是△OAD與扇形OAC的面積差,可據(jù)此來求陰影部分的面積．解答：解：〔1∵∠B=30°,∴∠AOC=2∠B=60°；〔2∵∠AOC=60°,AO=CO,∴△AOC是等邊三角形；∵OH=,∴AO=4；∵AD與⊙O相切,∴AD=；〔3∵S扇形OAC==π,S△AOD=×4×4=8；∴．點(diǎn)評：本題主要考查了圓心角與同弧所對的圓周角的關(guān)系．不規(guī)則圖形的面積,可以轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則圖形的面積的和或差來求．22．〔2015?XX模擬如圖,已知⊙O是△ABC的外接圓,AC是直徑,∠A=30°,BC=2,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),連接DO并延長交⊙O于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PF⊥AC于點(diǎn)F．〔1求劣弧PC的長；〔結(jié)果保留π〔2求陰影部分的面積．〔結(jié)果保留π．考點(diǎn)：扇形面積的計算；弧長的計算．分析：〔1根據(jù)垂徑定理求得PD⊥AB,然后根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)求得OA=2OD,進(jìn)而求得OF=OP,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)求得OD=BC,從而求得OA=2,然后根據(jù)弧長公式即可求得劣弧PC的長；〔2求得OF和PF,然后根據(jù)S陰影=S扇形﹣S△OPF即可求得．解答：解：〔1∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),PD經(jīng)過圓心,∴PD⊥AB,∵∠A=30°,∴∠POC=∠AOD=60°,OA=2OD,∵PF⊥AC,∴∠OPF=30°,∴OF=OP,∵OA=OC,AD=BD,∴BC=2OD,∴OA=BC=2,∴⊙O的半徑為2,∴劣弧PC的長===π；〔2∵OF=OP,∴OF=1,∴PF==,∴S陰影=S扇形﹣S△OPF=﹣×1×=π﹣．點(diǎn)評：本題考查了垂徑定理的應(yīng)用,30°角的直角三角形的性質(zhì),三角形的中位線的性質(zhì),弧長公式以及扇形的面積公式等,求得圓的半徑和扇形的圓心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．23．〔2014?滕州市校級模擬如圖,半圓O的直徑AB=20,將半圓O繞點(diǎn)B順針旋轉(zhuǎn)45°得到半圓O′,與AB交于點(diǎn)P．〔1求AP的長．〔2求圖中陰影部分的面積〔結(jié)果保留π．考點(diǎn)：扇形面積的計算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．專題：壓軸題；探究型．分析：〔1先根據(jù)題意判斷出△O′PB是等腰直角三角形,由銳角三角函數(shù)的定義求出PB的長,進(jìn)而可得出AP的長；〔2根據(jù)S陰影=S扇形O′A′P′+S△O′PB直接進(jìn)行計算即可．解答：解：〔1∵∠OBA′=45°,O′P=O′B,∴△O′PB是等腰直角三角形,∴PB=BO,∴AP=AB﹣BP=20﹣10；〔2陰影部分面積為：S陰影=S扇形O′A′P′+S△O′PB=×π×100+10×10×=25π+50．點(diǎn)評：本題考查的是扇形面積的計算及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出S陰影=S扇形O′A′P′+S△O′PB．24．〔2013秋?大悟縣期末如圖1是一個供滑板愛好者滑行使用的U型池,圖2是該U型池的橫截面〔實(shí)線部分示意圖,其中四邊形AMND是矩形,弧AmD是半圓．〔1若半圓AmD的半徑是4米,U型池邊緣AB=CD=20米,點(diǎn)E在CD上,CE=4米,一滑板愛好者從點(diǎn)A滑到點(diǎn)E,求他滑行的最短距離〔結(jié)果可保留根號；〔2若U型池的橫截面的周長為32米,設(shè)AD為2x,U型池的強(qiáng)度為y,已知U型池的強(qiáng)度是橫截面的面積的2倍,當(dāng)x取何值時,U型池的強(qiáng)度最大？考點(diǎn)：弧長的計算；勾股定理．專題：應(yīng)用題．分析：〔1將U型池滑道的平面展開圖為長方形,根據(jù)弧長的公式和勾股定理可以求出滑行的最短距離．〔2根據(jù)等量關(guān)系"U型池的強(qiáng)度是橫截面的面積的2倍",列出函數(shù)關(guān)系式,求出U型池的強(qiáng)度最大時的x值．解答：解：〔1如圖是滑道的平面展開圖在Rt△EDA中,半圓AmD的弧長=4π,ED=20﹣4=16〔2分滑行的最短距離〔3分〔2∵AD為2x∴半圓AmD的半徑為x,則半圓AmD的弧長為πx∴32=2x+2AM+πx∴〔〔4分∴y=〔5分∴當(dāng)時,U型池強(qiáng)度最大所以當(dāng)時,U型池強(qiáng)度最大〔6分注：〔中無自變量范圍不扣分．點(diǎn)評：求滑行的最短距離,把曲面的問題轉(zhuǎn)化為平面的問題是解題的關(guān)鍵．同時考查了二次函數(shù)的最值問題．25．〔2014秋?興化市校級月考如圖,一只狗用皮帶系在10×10的正方形狗窩的一角上,皮帶長為14,在狗窩外面狗能活動的范圍面積是多少？考點(diǎn)：扇形面積的計算．分析：根據(jù)題干可知,狗能活動的范圍面積是以半徑為14的圓面積的和以半徑為4的圓的面積的,據(jù)此求解．解答：解：狗能活動的范圍面積=π×142+π×42=147π+8π=155π．答：在狗窩外面狗能活動的范圍面積是155π．點(diǎn)評：本題考查了扇形的面積計算,解答本題的關(guān)鍵是找出狗的活動范圍,找準(zhǔn)對應(yīng)量,根據(jù)相應(yīng)公式求解．26．〔2012?常熟市校級二模如圖,菱形ABCD的邊長為6,∠BAD=60°,AC為對角線．將△ACD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AC′D′,連接DC′．〔1求證：△ADC≌△ADC′；〔2求在旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)C掃過路徑的長．〔結(jié)果保留π考點(diǎn)：弧長的計算；全等三角形的判定；菱形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．專題：計算題；證明題．分析：〔1可利用菱形的性質(zhì)以及邊角邊公式進(jìn)行證明；〔2求出AC的長后,因為AC轉(zhuǎn)到AC′旋轉(zhuǎn)角為60°,即可知圓心角為60°,利用弧長公式l=即可解答．解答：解：〔1在菱形ABCD中,∵∠BAD=60°∴∠CAD=30°,∵旋轉(zhuǎn)角為60°,∴∠DAD′=60°．又∵∠D′AC′=∠CAD=30°,∴∠C′AD=30°．在△ACD和△AC′D中∵AC=AC′,∠CAD=∠C′AD,AD=AD,∴△ADC≌△ADC′．〔2連接BD交AC與O,在三角形ABO中,∵∠BAO=30°,AB=6,∴AO=AB×cos30°=3,∴．又∠CAC′=60°,∴弧CC′==2．點(diǎn)評：本題主要考查了三角形全等的判定以及弧長公式的應(yīng)用．27．〔2012?義烏市模擬已知：如圖,以等邊三角形ABC一邊AB為直徑的⊙O與邊AC、BC分別交于點(diǎn)D、E,過點(diǎn)D作DF⊥BC,垂足為F〔1求證：DF為⊙O的切線；〔2若等邊三角形ABC的邊長為4,求DF的長；〔3求圖中陰影部分的面積．考點(diǎn)：扇形面積的計算；切線的判定．專題：計算題；證明題．分析：〔1連接DO,要證明DF為⊙O的切線只要證明∠FDP=90°即可；〔2由已知可得到CD,CF的長,從而利用勾股定理可求得DF的長；〔3連接OE,求得CF,EF的長,從而利用S直角梯形FDOE﹣S扇形OED求得陰影部分的面積．解答：證明：〔1連接DO．∵△ABC是等邊三角形,∴∠A=∠C=60°．∵OA=OD,∴△OAD是等邊三角形．∴∠ADO=60°,∵DF⊥BC,∴∠CDF=90°﹣∠C=30°,〔2分∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°,∴DF為⊙O的切線；〔3分〔2∵△OAD是等邊三角形,∴AD=AO=AB=2．∴CD=AC﹣AD=2．Rt△CDF中,∵∠CDF=30°,∴CF=CD=1．∴DF=；〔5分〔3連接OE,由〔2同理可知CE=2．∴CF=1,∴EF=1．∴S直角梯形FDOE=〔EF+OD?DF=,∴S扇形OED==,∴S陰影=S直角梯形FDOE﹣S扇形OED=﹣．〔7分點(diǎn)評：此題考查學(xué)生對切線的判定及扇形的面積等知識點(diǎn)的掌握情況．28．〔2008秋?黃梅縣校級期中某機(jī)械廠有大量直角三角形鐵板余料,已知∠ACB=90°,AC=5cm,∠B=30°現(xiàn)將這種三角形余料進(jìn)行加工裁剪成扇形〔如圖甲和半圓形〔如圖乙、丙的零件墊片,圖甲中D為切點(diǎn),圖乙中C、D為切點(diǎn),圖丙中D、E為切點(diǎn)．〔1分別求出三種情形下零件墊片的面積；〔2哪種裁剪方式可使余料再利用最好．考點(diǎn)：扇形面積的計算；勾股定理；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：方案型．分析：〔1先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得直角邊BC、AC的長,然后分別計算甲、乙、丙三種裁剪方式所得扇形的面積．①甲：連接CD,利用直角三角形的面積作為相等關(guān)系求得扇形的半徑后可求得扇形的面積；②乙：連接OD,利用△BOD∽△BAC得到OD：AC=OB：AB,列關(guān)于半徑的方程r：5=〔5﹣r：10,即可求得半徑,從而求得扇半圓的面積；③丙：連接OD,OE,利用△AOD∽△ABC可得AD：AC=OD：BC,列出關(guān)于半徑的方程〔5﹣r：5=r：5,解方程求得半徑,再求出半圓的面積即可．〔2通過比較〔1中所求三種扇形的面積大小,可知丙所裁得的扇形的面積最大,所以丙的裁剪方式可使余料再利用最好．解答：解：〔1∵∠ACB=90°,AC=5cm,∠B=30°∴AB=10,BC=5；①甲：連接CD,∵D為切點(diǎn)∴扇形的半徑r=CD∴10CD=5×5即CD=∴S=CD2π=π≈4.69πcm2；②乙：連接OD,∵C、D為切點(diǎn)∴扇形的半徑r=OD=OC,且OD⊥AB∴△BOD∽△BAC∴OD：AC=OB：AB即r：5=〔5﹣r：10解得r=∴S=×π=π≈4.17πcm2；③丙：連接OD,OE,∵D、E為切點(diǎn)∴扇形的半徑r=OD=OE∴△AOD∽△ABC∴AD：AC=OD：BC即〔5﹣r：5=r：5解得r=∴S=πr2=π≈5.02πcm2；〔2由〔1可知,這三種裁剪方式中,丙所裁得的扇形的面積最大,從材料的利用率方面來看丙的裁剪方式可使余料再利用最好．點(diǎn)評：主要考查了直角三角形