直線與平面的位置關(guān)系講義-高一下學期數(shù)學蘇教版（2019）必修第二冊

PAGEPAGE10直線與平面的位置關(guān)系【要點梳理】要點一：直線和平面平行的判定文字語言：直線和平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.簡記為：線線平行，則線面平行.圖形語言：符號語言：、，.要點詮釋：（1）用該定理判斷直線a與平面平行時，必須具備三個條件：①直線a在平面外，即；②直線b在平面內(nèi)，即；③直線a，b平行，即a∥b．這三個條件缺一不可，缺少其中任何一個，結(jié)論就不一定成立．（2）定理的作用將直線和平面平行的判定轉(zhuǎn)化為直線與直線平行的判定，也就是說，要證明一條直線和一個平面平行，只要在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行即可．要點二：直線和平面平行的性質(zhì)文字語言：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.簡記為：線面平行則線線平行.符號語言：若，，，則.圖形語言：要點詮釋：直線和平面平行的性質(zhì)定理可簡述為“若線面平行，則線線平行”．可以用符號表示：若a∥，，，則a∥b．這個性質(zhì)定理可以看作直線與直線平行的判定定理，用該定理判斷直線a與b平行時，必須具備三個條件：（1）直線a和平面平行，即a∥；（2）平面和相交，即；（3）直線a在平面內(nèi)，即．三個條件缺一不可，在應用這個定理時，要防止出現(xiàn)“一條直線平行于一個平面，就平行于這個平面內(nèi)一切直線”的錯誤．要點三：直線和平面垂直的定義與判定1.直線和平面垂直的定義如果直線和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面互相垂直，記作.直線叫平面的垂線；平面叫直線的垂面；垂線和平面的交點叫垂足.要點詮釋：(1)定義中“平面內(nèi)的任意一條直線”就是指“平面內(nèi)的所有直線”，這與“無數(shù)條直線”不同，注意區(qū)別.(2)直線和平面垂直是直線和平面相交的一種特殊形式.(3)若，則.2.直線和平面垂直的判定定理文字語言：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．圖形語言：符號語言：特征：線線垂直線面垂直要點詮釋：(1)判定定理的條件中：“平面內(nèi)的兩條相交直線”是關(guān)鍵性詞語，不可忽視.(2)要判定一條已知直線和一個平面是否垂直，取決于在這個平面內(nèi)能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點，則無關(guān)緊要.相關(guān)的重要結(jié)論①過一點與已知直線垂直的平面有且只有一個；過一點與已知平面垂直的直線有且只有一條．②如果兩條平行線中的一條與一個平面垂直，那么另一條也與這個平面垂直．③如果兩個平行平面中的一個與一條直線垂直，那么另一個也與這條直線垂直．要點四：直線與平面垂直的性質(zhì)1.基本性質(zhì)文字語言：一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于這個平面內(nèi)的所有直線.符號語言：圖形語言：2.性質(zhì)定理文字語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行.符號語言：圖形語言：3．直線與平面垂直的其他性質(zhì)（1）若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面。（2）若于，，則。（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。（4）如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則它必垂直于另一個平面。要點詮釋：線面垂直關(guān)系是線線垂直、面面垂直關(guān)系的樞紐，通過線面垂直可以實現(xiàn)線線垂直和面面垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化。要點五：直線與平面所成的角1．直線與平面所成角的定義一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線.過斜線上斜足外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內(nèi)的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.要點詮釋：(1)直線與平面平行，直線在平面上的射影是一條直線.(2)直線與平面垂直時射影是點.(3)斜線上任一點在平面內(nèi)的射影一定在斜線的射影上.2．直線與平面所成的角的范圍：直線和平面相交直線和平面相交不垂直時，0°＜＜90°垂直時，=90°直線和平面平行或直線在平面內(nèi)，=0°．直線和平面所成角的范圍是0°≤≤90°．3．求斜線與平面所成角的一般步驟：(1)確定斜線與平面的交點即斜足；(2)經(jīng)過斜線上除斜足外任一點作平面的垂線，確定垂足，進而確定斜線在平面內(nèi)的射影；(3)解由垂線、斜線及其射影構(gòu)成的直角三角形，求出線面角．【典型例題】類型一、直線與平面平行的判定例1．已知AB，BC，CD是不在同一平面內(nèi)的三條線段，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，CD的中點，求證：AC//平面EFG，BD//平面EFG．例2．已知有公共邊AB的兩個全等的矩形ABCD和ABEF不在同一個平面內(nèi)，P、Q分別為對角線AE、BD上的點，且AP=DQ，如右圖．求證：PQ∥平面CBE．【變式1】在正方體中，是正方形的中心，求證：面．【變式2】已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，E、F分別為AB、PD的中點，求證：AF∥平面PEC.類型二、直線與平面平行的性質(zhì)例3．已知直線∥平面，直線∥平面，平面平面=，求證．【總結(jié)升華】證明線線平行的問題，往往可以先證線面平行，由線面平行得出線線平行，這是立體幾何中證明線線平行最常用的方法之一．舉一反三：【變式1】過正方體AC1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1．求證：BB1∥EE1．【變式2】四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH．求證：AP∥GH．例4．如圖所示，已知異面直線AB、CD都平行于平面，且AB、CD在的兩側(cè)，若AC、BD與分別交于M、N兩點，求證：．例5.如圖所示，已知平面∥平面，AB與CD是兩條異面直線，且AB，CD．如果E，F(xiàn)，G分別是AC，CB，BD的中點，求證：平面EFG∥∥．【變式1】如圖所示，已知點P是ABCD所在平面外一點，M、N分別是AB、PC的中點，平面PBC∩平面APD=．（1）求證：∥BC；（2）MN與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論．類型三、直線與平面垂直的判定例6．下列命題中正確的個數(shù)是()①如果直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則；②如果直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，則；③如果直線不垂直于，則內(nèi)沒有與垂直的直線；④如果直線不垂直于，則內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與垂直．A．0B．1C．2D．3【變式】設直線與平面相交但不垂直，則下列說法中正確的是（）A．在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線垂直B．過直線有且只有一個平面與平面垂直C．與直線垂直的直線不可能與平面平行D．與直線平行的平面不可能與垂直例7．如圖，已知空間四邊形ABDC的邊BC=AC，AD=BD，作BE⊥CD，E為垂足，作AH⊥BE于H，求證：AH⊥平面BCD。如圖所示，四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，M，N分別是AB，PC的中點，求證：MN⊥平面PCD。【變式1】正方體，求證：面.例9．在正△ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足AE∶EB=CF∶FA=CP∶PB=1∶2[如圖（1）]。將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，連接A1B、A1P[如圖（2）]。求證：A1E⊥平面BEP。【變式1】如圖①，在正方形SG1G2G3中，E、F分別是邊G1G2、G2G3的中點，D是EF的中點，現(xiàn)沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個幾何體（如圖②），使G1、G2、G3三點重合于點G，這樣，下面結(jié)論成立的是（）A．SG⊥平面EFGB．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEFD．GD⊥平面SEF類型四：直線與平面垂直的性質(zhì)例10．設a，b為異面直線，AB是它們的公垂線（與兩異面直線都垂直且相交的直線）。（1）若a，b都平行于平面，求證：AB⊥；（2）若a，b分別垂直于平面，，且，求證：AB∥c?！咀兪?】設，m是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是（）A．若⊥m，m，則⊥B．若⊥，∥m，則m⊥C．若∥，m，則∥mD．若∥，m∥，則∥m例11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點．（1）證明：AE⊥CD；（2）證明：PD⊥平面ABE．【變式】如圖，已知矩形ABCD，過A作SA⊥平面AC，再過A作AE⊥SB交SB于E，過E作EF⊥SC交SC于F．（1）求證：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于G，求證：AG⊥SD．類型五、直線和平面所成的角例12．如圖，三棱錐A-SBC中，∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC。求直線AS與平面SBC所成的角?！咀兪?】（1）正方體ABCD—A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為（）A．B．C．D．（2）已知三棱錐S—ABC中，底面ABC為邊長等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為（）A．B．C．D．【鞏固練習】1．下列說法中正確的是（）①過平面外一點有且僅有一條直線和已知平面垂直；②過直線外一點有且僅有一個平面與已知直線垂直；③過平面外一點可作無數(shù)條直線與已知平面平行；④過直線外一點只能作一條直線與已知直線垂直．A．①②③B．①②③④C．②③D．②③④2．對于平面的共面的直線m，n，下列命題中是真命題的為（）A．若m⊥，m⊥n，則n∥B．若m∥，n∥，則m∥nC．若m，n∥，則m∥nD．若m，n與所成角相等，則m∥n3．已知三條互相平行的直線a、b、c中，，，則平面、的位置關(guān)系是（）A．平行B．相交C．平行或相交D．重合4．已知m，n是兩條不重合的直線，、是兩個不重合的平面，給出下列三個命題：①；②；③。其中正確命題的個數(shù)是（）A．0B．1C．2D．35．下列四個正方體圖形中，為正方體的兩個頂點，、、分別是為其所在棱的中點，能得出的圖形的序號是()A.①③B.①④C.②③D.②④()6．如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中點，則直線CE垂直于（）A．ACB．BDC．A1DD．A1D17．平面四邊形，為平面外一點，則、、、中最多有個直角三角形．8．設三棱錐P—ABC的頂點P在平面ABC上的射影是H，給出下列命題：①若PA⊥BC，PB⊥AC，則H是△ABC的垂心；②若PA、PB、PC兩兩互相垂直，則H是△ABC的垂心；③若∠ABC=90°，H是AC的中點，則PA=