專題12 導數(shù)之極值點偏移（二）（學生版）

9專題11導數(shù)之極值點偏移（二）一、考情分析函數(shù)的極值點偏移問題，是導數(shù)應用問題，呈現(xiàn)的形式往往非常簡潔，涉及函數(shù)的雙零點，是一個多元數(shù)學問題，不管待證的是兩個變量的不等式，還是導函數(shù)的值的不等式，解題的策略都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構造一元函數(shù).二、考點梳理1、極值點偏移的判定定理對于可導函數(shù)，在區(qū)間上只有一個極大（?。┲迭c，方程的解分別為，且，（1）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（?。┐笾迭c右（左）偏；（2）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（小）大值點右（左）偏.2、運用判定定理判定極值點偏移的方法1、極值點偏移處理方法：（1）求出函數(shù)的極值點；（2）構造一元差函數(shù)；（3）確定函數(shù)的單調(diào)性；（4）結合，判斷的符號，從而確定、的大小關系.口訣：極值偏離對稱軸，構造函數(shù)覓行蹤；四個步驟環(huán)相扣，兩次單調(diào)緊跟隨.2、答題模板若已知函數(shù)滿足，為函數(shù)的極值點，求證：.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性并求出的極值點；假設此處在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.[來源:Z,xx,k.Com]（2）構造；注：此處根據(jù)題意需要還可以構造成的形式.[來源:Zxxk.Com]（3）通過求導討論的單調(diào)性，判斷出在某段區(qū)間上的正負，并得出與的大小關系；假設此處在上單調(diào)遞增，那么我們便可得出，從而得到：時，.（4）不妨設，通過的單調(diào)性，，與的大小關系得出結論；接上述情況，由于時，且，，故，又因為，且在上單調(diào)遞減，從而得到，從而得證.（5）若要證明，還需進一步討論與的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處函數(shù)導數(shù)值的正負，從而結論得證.此處只需繼續(xù)證明：因為，故，由于在上單調(diào)遞減，故.【說明】（1）此類試題由于思路固定，所以通常情況下求導比較復雜，計算時須細心；（2）此類題目若試題難度較低，會分解為三問，前兩問分別求的單調(diào)性、極值點，證明與（或與）的大小關系；若試題難度較大，則直接給出形如或的結論，讓你給予證明，此時自己應主動把該小問分解為三問逐步解題.[來源:Z。xx。k.Com]

三、題型分析例1、已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.（1）求的取值范圍.（2）設的兩個極值點為，證明.例2、（2021·重慶市開州中學高三月考）設函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，若在定義域內(nèi)存在兩實數(shù)，滿足且，證明：.

例3、已知，．若有兩個極值點，，且，求證：（為自然對數(shù)的底數(shù)）．例4、已知函數(shù)與的圖象在點處有相同的切線．（Ⅰ）若函數(shù)與的圖象有兩個交點，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若函數(shù)有兩個極值點，，且，證明：．

例5、（2021·湖北恩施·高三開學考試）已知函數(shù)．（1）判斷的單調(diào)性；（2）設方程的兩個根為，，求證：．

遷移應用1、（2021·湖北江岸·高二期末）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且，證明：.2、已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明:當時，.

3、（2021·江蘇·周市高級中學高三開學考試）已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且，證明：．4、（2021·安徽·合肥一中高三月考（理））已知函數(shù)．（1）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（2）若函數(shù)的兩個零點為，，證明：．

5、（2021·四川·成都外國語學校高三月考（文））已知函數(shù).（1）證明：曲線在點處的切線恒過定點；（2）若有兩個零點，，且，證明：.6、（2021·陜西·千陽縣中學模擬預測（理））已知．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，若關于x的方程存在兩個正實數(shù)根，證明：且．

7、（2021·北京·臨川學校高三期末）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)存在兩個