2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中測(cè)試卷含答案解析（全國(guó)卷新高考地區(qū)）

全國(guó)卷新高考地區(qū)2021~2022學(xué)年高二上期中測(cè)試數(shù)學(xué)卷測(cè)試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8題，每小題5分，共計(jì)40分。每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是最符合題目要求的）1．已知橢圓的焦距為8，且，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】根據(jù)題意，，，即，，則．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為；若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為．故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．故選B．2．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（）．A． B． C． D．與相交【答案】B【解析】，，由已知可得，則，因此，.故選B.3．直線截圓所得的弦長(zhǎng)是（）A．2 B． C． D．1【答案】C【解析】圓心（0,0）到直線的距離，因?yàn)閳A的半徑為1，則弦長(zhǎng)為.故選C.4．已知空間四點(diǎn)，，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，，所以，，所以，故選A.5．已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓心關(guān)于直線直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線段C1C2的中點(diǎn)為，且.于是，易知圓的半徑長(zhǎng)度不變，所以圓的方程為.故選D.6．如圖所示，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，且，則的值為（）A．1 B．2 C． D．3【答案】B【解析】過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，由，得直線的傾斜角為45°．設(shè)，由，得，．又，，．故選B.7．在如圖所示的四棱錐中，，，，，，且，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中點(diǎn)．則．因?yàn)榍遥运倪呅问蔷匦?，所以．因?yàn)榍?，所以平面．以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則取，得.設(shè)直線與平面所成角為，則．故選A.8．過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)作以焦點(diǎn)為圓心的圓的一條切線，切點(diǎn)為，的面積為，其中為半焦距，線段恰好被雙曲線的一條漸近線平分，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，可得圖像如圖：∵O為F1F2的中點(diǎn)，N為F1M的中點(diǎn)，∴，∴，∵焦點(diǎn)到漸近線的距離,∴，又∵|OF1|=c,，∴，∴，，∴，∴，∴，∴或，又∵，.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4題，每小題5分，共計(jì)20分。每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)是符合題目要求的，多選或錯(cuò)選不得分）9．已知雙曲線C：，下列對(duì)雙曲線C判斷正確的是（）A．實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的2倍 B．焦距為4C．離心率為 D．漸近線方程為【答案】BD【解析】∵雙曲線C：∴..∴∴.∴雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是，虛軸長(zhǎng)是，A錯(cuò)誤；焦距為.B正確；離心率為，C錯(cuò)誤：漸近線方程為，D正確.故選BD.10．如圖，在正方體中，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列向量中，不能作為平面的法向量的是（）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，∴，設(shè)向量是平面的法向量，則取，得，則是平面的一個(gè)法向量，結(jié)合其他選項(xiàng)，檢驗(yàn)可知只有B選項(xiàng)是平面的法向量，故選ACD．11．對(duì)于直線，下列說(shuō)法正確的是（）A．直線恒過(guò)定點(diǎn) B．直線斜率必定存在C．時(shí)直線的傾斜角為 D．時(shí)直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為【答案】AD【解析】A：由直線方程知：恒過(guò)定點(diǎn)，正確；B：當(dāng)時(shí)，直線斜率不存在，錯(cuò)誤；C：時(shí)有，即則傾斜角為，錯(cuò)誤；D：時(shí)，直線，則x、y軸交點(diǎn)分別為，所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，正確；故選AD.12．將正方形沿對(duì)角線折成直二面角，有如下四個(gè)結(jié)論：①；②是等邊三角形；③與平面所成的角為；④與所成的角為.其中正確的結(jié)論有（）A．① B．② C．③ D．④【答案】ABD【解析】取中點(diǎn)，由正方形的性質(zhì)得：，所以為二面角的平面角，因?yàn)槎娼鞘侵倍娼?，所以如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則所以，，，，，因?yàn)?0，故，①正確.又，，，所以為等邊三角形，②正確.對(duì)于③，為平面的一個(gè)法向量，，.因?yàn)橹本€與平面所成的角的取值范圍是，所以與平面所成的角為，故③錯(cuò)誤.又，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角為銳角或直角，所以與所成的角為，故④正確.故選ABD.三、填空題（每小題5分，共計(jì)20分）13．在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E為PD中點(diǎn)，若=，=，=，則=_____.【答案】【解析】=(+)=+)=+=．故答案為：.14．過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程為_(kāi)______.【答案】【解析】設(shè)與直線平行的直線為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上,所以，可得：，所以該直線方程為：，故答案為：.15．已知長(zhǎng)方體中，，，，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_______．【答案】【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線、、依次為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，2，，，0，，，0，，，4，，從而，0，，，2，，，4，，設(shè)平面的法向量為，，，由可得，令，所以點(diǎn)到平面的距離為：．故答案為：．16．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：()的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_____.【答案】【解析】拋物線：()的焦點(diǎn),∵P為上一點(diǎn)，與軸垂直，所以P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)為,不妨設(shè),因?yàn)镼為軸上一點(diǎn)，且，所以Q在F的右側(cè)，又，因?yàn)?，所?，所以的準(zhǔn)線方程為，故答案為：.四、解答題：共70分，解答題需寫(xiě)出必要的解題過(guò)程或文字說(shuō)明.17．（10分）已知直線；.（1）若，求的值；（2）若，且直線與直線之間的距離為，求、的值．【解析】（1）設(shè)直線的斜率分別為，則．若，則，，（2）若，則，∴可以化簡(jiǎn)為，又直線與直線的距離，或，綜上：.18．（12分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離，與點(diǎn)到直線的距離相等.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）若過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度.【解析】（1）由題意點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，，，所以軌跡方程是；（2）由已知直線方程是，設(shè)，由得，所以，．19．（12分）如圖，在四棱錐中中，底面，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若為棱上一點(diǎn)，滿足，求線段的長(zhǎng).【解析】（1）底面ABCD，，∴以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意，，，，，，，，.（2），，由點(diǎn)F在棱PC上，設(shè)，，，，，解得，即線段的長(zhǎng)為.20．（12分）已知圓，點(diǎn)．（1）若點(diǎn)在圓外部，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線交圓于，兩點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)直線l的斜率．【解析】（1）根據(jù)題意，圓，即，若在圓外，則有，解得：，即的取值范圍為；（2）當(dāng)時(shí)，圓的方程為，圓心為，半徑，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，且其最大值為2，此時(shí)為等腰直角三角形，圓心到直線的距離，設(shè)直線的方程為，即，則有，解得，即直線的斜率．21．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，點(diǎn)M是棱PD上一點(diǎn)，且AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．（1）若PM：MD＝1：2，求證：PB∥平面ACM；（2）求二面角A﹣CD﹣P的正弦值；（3）若直線AM與平面PCD所成角的正弦值為，求MD的長(zhǎng)．【解析】（1）證明：∵在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，∴以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵點(diǎn)M是棱PD上一點(diǎn)，PM：MD＝1：2，AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．∴P（0，0，4），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），M（0，，），＝（2，0，﹣4），＝（2，2，0），＝（0，，），設(shè)平面ACM的法向量，則，取x＝2，得（2，﹣2，1），∵4﹣4＝0，PB?平面ACM，∴PB∥平面ACM．（2）D（0，4，0），＝（2，2，﹣4），＝（0，4，﹣4），設(shè)平面CDP的法向量（a，b，c），則，取b＝1，得（1，1，1），平面ACD的法向量（0，0，1），設(shè)二面角A﹣CD﹣P的平面角為θ，則|cosθ|＝＝，∴二面角A﹣CD﹣P的正弦值為＝．（3）設(shè)，（0≤λ≤1），則，∴，，平面CDP的法向量，∵直線AM與平面PCD所成角的正弦值為，∴||＝＝＝，解得λ＝，∴．22．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率為，且．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有唯一的公共點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn)，過(guò)與垂直的直線交軸于點(diǎn)．