湖北省襄陽、孝感市2023學(xué)年高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知甲盒子中有個紅球，個藍球，乙盒子中有個紅球，個藍球，同時從甲乙兩個盒子中取出個球進行交換，（a）交換后，從甲盒子中取1個球是紅球的概率記為.（b）交換后，乙盒子中含有紅球的個數(shù)記為.則（）A． B．C． D．2．橢圓是日常生活中常見的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個角度，水面的邊界即是橢圓.現(xiàn)有一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半（玻璃厚度忽略不計），在玻璃杯傾斜的過程中（杯中的水不能溢出），杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知實數(shù)、滿足不等式組，則的最大值為（）A． B． C． D．4．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)（）A． B． C．4 D．55．已知拋物線C：，過焦點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點（A在x軸上方），且滿足，則直線l的斜率為（）A．1 B．C．2 D．36．若兩個非零向量、滿足，且，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．7．在區(qū)間上隨機取一個實數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．8．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，其中是實數(shù)，則等于（）A． B． C． D．9．《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖，則它的外接球的表面積為（）A．4π B．8π C． D．10．復(fù)數(shù)的虛部是()A． B． C． D．11．年初，湖北出現(xiàn)由新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎.為防止病毒蔓延，各級政府相繼啟動重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級響應(yīng)，全國人心抗擊疫情.下圖表示月日至月日我國新型冠狀病毒肺炎單日新增治愈和新增確診病例數(shù)，則下列中表述錯誤的是（）A．月下旬新增確診人數(shù)呈波動下降趨勢B．隨著全國醫(yī)療救治力度逐漸加大，月下旬單日治愈人數(shù)超過確診人數(shù)C．月日至月日新增確診人數(shù)波動最大D．我國新型冠狀病毒肺炎累計確診人數(shù)在月日左右達到峰值12．歐拉公式為,(虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知不等式組所表示的平面區(qū)域為，則區(qū)域的外接圓的面積為______．14．已知實數(shù)a，b，c滿足，則的最小值是______.15．已知圓C：經(jīng)過拋物線E：的焦點，則拋物線E的準(zhǔn)線與圓C相交所得弦長是__________.16．已知，復(fù)數(shù)且（為虛數(shù)單位），則__________，_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）平面直角坐標(biāo)系中，曲線：.直線經(jīng)過點，且傾斜角為，以為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．（1）寫出曲線的極坐標(biāo)方程與直線的參數(shù)方程；（2）若直線與曲線相交于，兩點，且，求實數(shù)的值．18．（12分）設(shè)拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，為過焦點且垂直于軸的拋物線的弦，已知以為直徑的圓經(jīng)過點.（1）求的值及該圓的方程；（2）設(shè)為上任意一點，過點作的切線，切點為，證明：.19．（12分）已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：．20．（12分）在極坐標(biāo)系中，已知曲線C的方程為（），直線l的方程為.設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點，且，求r的值.21．（12分）一張邊長為的正方形薄鋁板（圖甲），點，分別在，上，且（單位：）.現(xiàn)將該薄鋁板沿裁開，再將沿折疊，沿折疊，使，重合，且重合于點，制作成一個無蓋的三棱錐形容器（圖乙），記該容器的容積為（單位：），（注：薄鋁板的厚度忽略不計）（1）若裁開的三角形薄鋁板恰好是該容器的蓋，求，的值；（2）試確定的值，使得無蓋三棱錐容器的容積最大.22．（10分）已知（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)的極值點的個數(shù)；（2）記，若存在實數(shù)，使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點，求證：．

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【答案解析】分析：首先需要去分析交換后甲盒中的紅球的個數(shù)，對應(yīng)的事件有哪些結(jié)果，從而得到對應(yīng)的概率的大小，再者就是對隨機變量的值要分清，對應(yīng)的概率要算對，利用公式求得其期望.詳解：根據(jù)題意有，如果交換一個球，有交換的都是紅球、交換的都是藍球、甲盒的紅球換的乙盒的藍球、甲盒的藍球交換的乙盒的紅球，紅球的個數(shù)就會出現(xiàn)三種情況；如果交換的是兩個球，有紅球換紅球、藍球換藍球、一藍一紅換一藍一紅、紅換藍、藍換紅、一藍一紅換兩紅、一藍一紅換亮藍，對應(yīng)的紅球的個數(shù)就是五種情況，所以分析可以求得，故選A.點睛：該題考查的是有關(guān)隨機事件的概率以及對應(yīng)的期望的問題，在解題的過程中，需要對其對應(yīng)的事件弄明白，對應(yīng)的概率會算，以及變量的可取值會分析是多少，利用期望公式求得結(jié)果.2、C【答案解析】

根據(jù)題意可知當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，由橢圓的幾何性質(zhì)即可確定此時橢圓的離心率，進而確定離心率的取值范圍.【題目詳解】當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時，水面邊界所形成橢圓的離心率最大.此時橢圓長軸長為，短軸長為6，所以橢圓離心率，所以.故選：C【答案點睛】本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3、A【答案解析】

畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解，得到答案．【題目詳解】畫出不等式組所表示平面區(qū)域，如圖所示，由目標(biāo)函數(shù)，化為直線，當(dāng)直線過點A時，此時直線在y軸上的截距最大，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，又由，解得，所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為，故選A．【答案點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、D【答案解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算法則先求出復(fù)數(shù)z，再計算它的模長．【題目詳解】解：復(fù)數(shù)z＝a+bi，a、b∈R；∵2z，∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝，即，解得a＝3，b＝4，∴z＝3+4i，∴|z|．故選D．【答案點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的計算問題，要求熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運算以及復(fù)數(shù)長度的計算公式，是基礎(chǔ)題．5、B【答案解析】

設(shè)直線的方程為代入拋物線方程，利用韋達定理可得,,由可知所以可得代入化簡求得參數(shù),即可求得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)，（，）.易知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)為，則直線l的方程為.與拋物線方程聯(lián)立得，所以，.因為，所以，得，所以，即，，所以.故選:B.【答案點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達定理及向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系,考查計算能力，屬于中檔題.6、A【答案解析】

設(shè)平面向量與的夾角為，由已知條件得出，在等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運算律可求得的值，即為所求.【題目詳解】設(shè)平面向量與的夾角為，，可得，在等式兩邊平方得，化簡得.故選：A.【答案點睛】本題考查利用平面向量的模求夾角的余弦值，考查平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.7、D【答案解析】

利用直線與圓相交求出實數(shù)的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【題目詳解】由于直線與圓相交，則，解得.因此，所求概率為.故選：D.【答案點睛】本題考查幾何概型概率的計算，同時也考查了利用直線與圓相交求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【答案解析】

對復(fù)數(shù)進行化簡，由于為純虛數(shù)，則化簡后的復(fù)數(shù)形式中，實部為0，得到的值，從而得到復(fù)數(shù).【題目詳解】因為為純虛數(shù)，所以，得所以.故選A項【答案點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算，純虛數(shù)的概念，屬于簡單題.9、B【答案解析】

由三視圖判斷出原圖，將幾何體補形為長方體，由此計算出幾何體外接球的直徑，進而求得球的表面積.【題目詳解】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個底面為直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜邊為2，側(cè)棱長為2且與底面垂直，因為直三棱柱可以復(fù)原成一個長方體，該長方體外接球就是該三棱柱的外接球，長方體對角線就是外接球直徑，則，那么.故選：B【答案點睛】本小題主要考查三視圖還原原圖，考查幾何體外接球的有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.10、C【答案解析】因為，所以的虛部是，故選C.11、D【答案解析】

根據(jù)新增確診曲線的走勢可判斷A選項的正誤；根據(jù)新增確診曲線與新增治愈曲線的位置關(guān)系可判斷B選項的正誤；根據(jù)月日至月日新增確診曲線的走勢可判斷C選項的正誤；根據(jù)新增確診人數(shù)的變化可判斷D選項的正誤.綜合可得出結(jié)論.【題目詳解】對于A選項，由圖象可知，月下旬新增確診人數(shù)呈波動下降趨勢，A選項正確；對于B選項，由圖象可知，隨著全國醫(yī)療救治力度逐漸加大，月下旬單日治愈人數(shù)超過確診人數(shù)，B選項正確；對于C選項，由圖象可知，月日至月日新增確診人數(shù)波動最大，C選項正確；對于D選項，在月日及以前，我國新型冠狀病毒肺炎新增確診人數(shù)大于新增治愈人數(shù)，我國新型冠狀病毒肺炎累計確診人數(shù)不在月日左右達到峰值，D選項錯誤.故選：D.【答案點睛】本題考查統(tǒng)計圖表的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.12、A【答案解析】

計算，得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，故，表示的復(fù)數(shù)在第一象限.故選：.【答案點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計算，意在考查學(xué)生的計算能力和理解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

先作可行域，根據(jù)解三角形得外接圓半徑，最后根據(jù)圓面積公式得結(jié)果.【題目詳解】由題意作出區(qū)域，如圖中陰影部分所示，易知，故，又，設(shè)的外接圓的半徑為，則由正弦定理得，即，故所求外接圓的面積為.【答案點睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離、可行域面積、可行域外接圓等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.14、【答案解析】

先分離出，應(yīng)用基本不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于c的二次函數(shù)，進而求出最小值.【題目詳解】解：若取最小值，則異號，，根據(jù)題意得：，又由，即有，則，即的最小值為，故答案為：【答案點睛】本題考查了基本不等式以及二次函數(shù)配方求最值，屬于中檔題.15、【答案解析】

求出拋物線的焦點坐標(biāo)，代入圓的方程，求出的值，再求出準(zhǔn)線方程，利用點到直線的距離公式，求出弦心距，利用勾股定理可以求出弦長的一半，進而求出弦長．【題目詳解】拋物線E:的準(zhǔn)線為，焦點為（0，1），把焦點的坐標(biāo)代入圓的方程中，得，所以圓心的坐標(biāo)為，半徑為5，則圓心到準(zhǔn)線的距離為1，所以弦長．【答案點睛】本題考查了拋物線的準(zhǔn)線、圓的弦長公式．16、【答案解析】∵復(fù)數(shù)且∴∴∴∴，故答案為，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（t為參數(shù)）；（Ⅱ）或或.【答案解析】

試題分析:本題主要考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角方程的相互轉(zhuǎn)化、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，用，化簡表達式，得到曲線的極坐標(biāo)方程，由已知點和傾斜角得到直線的參數(shù)方程；第二問，直線方程與曲線方程聯(lián)立，消參，解出的值.試題解析：（1）即,.（2）,符合題意考點：本題主要考查：1.極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與直角方程的相互轉(zhuǎn)化；2.直線與拋物線的位置關(guān)系.18、（1），圓的方程為：.（2）答案見解析【答案解析】

（1）根據(jù)題意，可知點的坐標(biāo)為，即可求出的值，即可求出該圓的方程；（2）由題易知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)的方程為，與拋物線聯(lián)立方程組，根據(jù)，求得，化簡解得，進而求得點的坐標(biāo)為，分別求出，，利用向量的數(shù)量積為0，即可證出.【題目詳解】解：（1）易知點的坐標(biāo)為，所以，解得.又圓的圓心為，所以圓的方程為.（2）證明易知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)的方程為，代入的方程，得.令，得，所以，解得.將代入的方程，得，即點的坐標(biāo)為.所以，，.故.【答案點睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的方程，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，利用聯(lián)立方程組、求交點坐標(biāo)以及向量的數(shù)量積，考查解題能力和計算能力.19、（1）（2）證明見解析【答案解析】

（1），①當(dāng)時，，②兩式相減即得數(shù)列的通項公式；（2）先求出，再利用裂項相消法求和證明.【題目詳解】（1）解：，①當(dāng)時，．當(dāng)時，，②由①-②，得，因為符合上式，所以．（2）證明：因為，所以．【答案點睛】本題主要考查數(shù)列通項的求法，考查數(shù)列求和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.20、【答案解析】

先將曲線C和直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，可得圓心到直線的距離，再由勾股定理，計算即得.【題目詳解】以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，可得曲線C：（）的直角坐標(biāo)方程為，表示以原點為圓心，半徑為r的圓.由直線l的方程，化簡得，則直線l的直角坐標(biāo)方程方程為.記圓心到直線l的距離為d，則，又，即，所以.【答案點睛】本題考查曲線和直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，是基礎(chǔ)題