C幾何-C1平面幾何的證明

C幾何——C!平面幾何的證明C1-001已知線段MN的兩個(gè)端點(diǎn)在ー個(gè)等腰三角形的兩腰上,MN的中點(diǎn)S作等腰三角形的底邊的平行線,交兩腰于點(diǎn)K和L.證明:線段MN在三角形底邊上的正投影等于線段れ.TOC\o"1-5"\h\z【題說】1956年?1957年波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克三試題2. A【證】設(shè)M、N在直線Kシ上的射影分別為0、E,由于MS=SN,所以 AMD=NE.由于AB=AC,KL//BC,所以/DKM=NAKL=NALK,又/ /\MDK=NNEL=9N,所以ふMDK纟ふNEL,DK=EL,從而。E=K厶,即 ?,ソ,ノA】-IMN在8c上的正投影等于KL. 干S衛(wèi)、Cl-002設(shè)四邊形ABC。內(nèi)接于圓。,其對(duì)邊40與8c的延長線交于やL ゝ;圓。外一點(diǎn)E,自E引一直線平行于4C,交8。延長線于點(diǎn)M,自M引Mア切圓。于7點(diǎn)，則MT=ME.【題說】1957年南京市賽初賽5.利用切割線定理和相似三角形.【證】四邊形ABC。內(nèi)接于圓。，故N1=/2.由ME〃んC,TOC\o"1-5"\h\z得/2=N4,レ1=N3,所以/3=/4,た￡加8=N。ル￡, ヽ所以へembsadme,從而有患黑 ("猿、即 ME?=MB?MD 、則、4k所以MT2=MB?MD=ME1 狀、ノセ *即 MT=MECl-003若一直角三角形的外接圓半徑為R,其內(nèi)切圓半徑為r,與斜邊相切的旁切圓半徑為t,若Z?為r及，的比例中項(xiàng),證明這直角三角形為等腰直角三角形.【題說】1957年北京市賽高二題4.【證】設(shè)直角△48C的斜邊長為c,兩直角邊長為。、ん易知R=ga+b-ca+b+cc2(a+b)2—c所以a=b.Cl-004任意四邊形ス8C。的對(duì)角線4c與8。相交于P,而8。與AC的中點(diǎn)是歷與N,設(shè)Q是尸關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)，過戶作MN的平行線,分別交48、C。于X、Y,又過。作MN的平行線,順次交ん8、BD、AC、CD于E、ド、G、H.試證:1.EF=GH；s^cpdpy【題說】1963年成都市賽高二ニ試題4.同本屆高三二試題4.【證】!.P、。關(guān)于MN對(duì)稱,所以/N平分PQ,又FG//MN,所以凡從而8F=尸。，BP=FD.同理，有4尸=CG,AG=PC.

XP_BPFDFHFG+GHEFBFPD=DYPYPYEF+FGGHXP比較（1）、（2）得E尸=G〃.cS'PABAP?PBGCBPGHXPXPf = =?—=?1=—SacpdDP?PCPCBFPYEFPYCl-005在內(nèi)角都相等的凸〃邊形中,設(shè)m,a2,-,即依次為邊的長度,而且滿足不等式可與生ユ…》。，”證明:必有。1=42=…=%.【題說】第五屆（1963年）國際數(shù)學(xué)奧林匹克題3.本題由匈牙利提供.【證】 當(dāng)"為奇數(shù)時(shí),設(shè)〃=2k+l（k為正整數(shù)），NA24A“的平分線ん8交ん+ん+2于點(diǎn)8（如圖）.由于已知〃邊形的各角都相等，所以んB丄ん+2，因此折線んム…ん+1與折線んん…ん+2在這條角平分線上的射影都等于ん氏另一方面,んム》んん，并且它們與ム8的交角相等，所以んム的射影》ムん的射影.同理んん的射影》ん，ムー1的射影….所以」:述各式中等號(hào)均應(yīng)成立,即ゐ二の二…ニ?！?當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),作んム的中垂線厶.考慮各邊在厶上的射影,同樣可得ゐ="2=…=冊.C1-006在平面上取四點(diǎn)A、B、C、D,已知對(duì)任何點(diǎn)尸都滿足不等式用+尸。》尸B+PC.證明;點(diǎn)B和C在線段上,并且んB=C￡>.【題說】1966年全俄數(shù)學(xué)奧林匹克九年級(jí)題2.【證】由于點(diǎn)P是任意的.可以取P=。,則應(yīng)有A?！稡O+OC；若取P=A,則有AO2A8+4C.將二式相加，得2AD^AB+AC+BD+CD （1）然而另一方面，總有AOWAC+C。及4OW4B+BC.因此又得2AD^AB+AC+BD+CD由⑴、（2）2AD^AB+AC+BD+CD由⑴、（2）知2AD=AB+AC+BD+CD從而其他4個(gè)不等式中皆取等號(hào)，亦即8、，C1—007凸多邊形內(nèi)一點(diǎn)。同每兩個(gè)頂點(diǎn)都組成等腰三角形,證明:該點(diǎn)到多邊形的各頂點(diǎn)等距.【題說】第六屆（1972年）全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克九年級(jí)題6.【證】（1）如果凸多邊形是△ABC,則結(jié)論顯然成立.（2）兩點(diǎn)一定在線段4。上,而且A8=C￡>.⑵對(duì)〃（〃>3）邊形,設(shè)4、B、。為多邊形的任意三個(gè)頂點(diǎn),則C或在40、8。的反向延長線組

2成的夾角內(nèi)（圖。）,或C在該角外,即該角與多邊形的邊。E相交（圖か.在圖a中,點(diǎn)。在△48。內(nèi),由（I）,AO=BO=CO.在圖b中，點(diǎn)。在△BCE和△4OE內(nèi)，故有AO=DO=EO=BO.Cl-008設(shè)有一圓，它與ノ。兩邊相切，切點(diǎn)為A、B.從點(diǎn)A引。8的平行線,交圓于點(diǎn)C,線段。C與圓交于E,直線與。8交于K.證明:OK=KB.【題說】第七屆（1973年）全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克九年級(jí)題2.【證】設(shè)圓在點(diǎn)C的切線與ノ。兩邊分別相交于尸、Q.因?yàn)锳P=PC,所以ふAPC和△?！?。皆為等腰三角形，從而4。=じ。=。8=8。.又ノ。ん￡：=Z。ル=ノじ。。,&ZAOB=ZCQB,從而△。んKs△0。C.所以O(shè)A~OQ~2OAOBOK+KB亦即C1-009OK=KB亦即C1-009圓的內(nèi)接四邊形兩條對(duì)角線互相垂直，則從対角線交點(diǎn)到ー邊中點(diǎn)的線段等于圓心到【題說】【證】為垂足.【題說】【證】為垂足.因?yàn)?978年上海市賽二試題6.AF=FB=EF如圖，已知A8c。為。。的內(nèi)接四邊形，AC丄8。于E,ド為A8中點(diǎn)，。6丄。0GAF=FB=EFNEAB=NAEF又Z￡AB=90°-ZEBA=90°-ZGCH=ZGHC所以 ZAEF=ZGHC,EF//GO同理可證，EG//FO.所以EG。?是ー個(gè)平行四邊形，從而FE=OG.C1-010四邊形兩組對(duì)邊延長后分別相交，口交點(diǎn)的連線與四邊形的一條對(duì)角線平行，證明:另一條對(duì)角線的延長線平分對(duì)邊交點(diǎn)連成的線段.【題說】1978年全國聯(lián)賽二試題1.【證】設(shè)四邊形ABCO的對(duì)邊交點(diǎn)為E、ド，并且BD〃E尸，AC交BD于H,交,EF于G.由于B0〃EF,所以DHADDBDCDHGFAFEFCEEGGF=EGci-011在平面上已知兩相交圓。I和。2，點(diǎn)A為交點(diǎn)之一,有兩動(dòng)點(diǎn)M和河2,從點(diǎn)4同時(shí)出發(fā)，分別以常速沿。1和。2同向運(yùn)動(dòng)，各繞行ー周后恰好同時(shí)回到點(diǎn)ん證明:在平面上存在一定點(diǎn)P,P到點(diǎn)妬和河2的距離在每ー時(shí)刻都相等.

【題說】第二十一屆(1979年)國際數(shù)學(xué)奧林匹克題3.本題由原蘇聯(lián)提供.【證】設(shè)。?和。2為已知圓的圓心,れ和な分別為它們的半徑.作線段〇。2的垂直平分線，及點(diǎn)A關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)P,則?！挨?QP=ri(如圖).由已知,乙401Ml=NA。2M2,由對(duì)稱性,ZAOtP=NAO2P.于是，ZMlOlP=ZM2O2P?又因?yàn)镺lMl=O2P=rl,02M2=0/=r2,故△O|M|P絲02M2尸，MF=M2P.［別證］可以用復(fù)數(shù)來作.以Q為原點(diǎn),〇。2為實(shí)軸建立復(fù)平面.C1一012二圓彼此外切于ハ，一直線切ー圓于A,交另ー圓于8、C兩點(diǎn).C。的距離相等.【題說】第十三屆(1987年)全俄數(shù)學(xué)奧林匹克十年級(jí)題3.【證】過切點(diǎn)。作二圓的公切線，,交AB于F.設(shè)E在C。的延長線上，則ノ8。ん=ZBDF+ZFDA=Z.ACD+ノか。=ADE,即。A平分/8。后，所以,4到8。、C。的距離相等.C1-013在“箏形”ABC。中，AB=AD,BC=CD.經(jīng)AC、BD的交點(diǎn)。任作兩條直線，分別交4。于E,交BC于F,交48于G,交Cハ于，.GF、EH分別交BD于人J.求證:/。=。J.【題說】1990年全國冬令營選拔賽題3.本題宜用解析幾何來證.本題是蝴蝶定理的一個(gè)推廣.【證】易證AC丄8D.如圖，以。為原點(diǎn)，8。為x軸,CA為y軸,建立直角坐標(biāo)系.設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,か,B(~a,0),C(0,c),D(a,0),Eド的方程為GH的方程為y=lx,則AD的方程是ラ+う一1=0,EH的方程是TOC\o"1-5"\h\zス(y—ほ)+*+ラー1)=0 (1)EH的方程是〃(y一氏)+(チ+釬!)=0 (2)比較常數(shù)項(xiàng)與y的系數(shù)有ス+［=u+- (3)bcノ的橫坐標(biāo)x滿足—2ほ+'—1=0 (T)a及ー〃氏+乂-1=0 (2‘)a(1')?，一(2’)?ん得(〃~X)klx+(/一4)F=/一女a(chǎn)利用⑶得TOC\o"1-5"\h\z(1—丄)k/x+(1T)：=/—k (4)同樣可得/的橫坐標(biāo)x應(yīng)滿足(~—~)Wx+(k—l)~=k—l (5)bc a(將(4)中的k與/互換,。換成—a).由(4)、(5)立即看出/、ノ的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),即!O=OJ.Cl-014如圖,設(shè)△ABC的外接圓。的半徑為R,內(nèi)心為/,ZB=60°,ZA<ZC,N4的外角平分線交。。于E.證明:(1)/O=A￡；(2)2R<10+lA+lC<(l+y[3)RTOC\o"1-5"\h\z【題說】1994年全國聯(lián)賽二試題3. ^【證】(1)連ん,延交。。于凡則易知Eド為。。直徑. (過E作E0〃/。交A尸于。,則/。是△FCE的中位線,從而/。=うだ メト/(因ZA。C=2ZA8C=120° \/ZA/C=180°-1(ZA+ZC)=120° F故4、〇、/、C共圓.從而ZA/0=Z?lCO=1(180o-120°)=30°所以ZAOE-AW=30°,AE=^DE=IO(2)連CF,則 Z〃て=Z4尸C=ZB=60°Z/C尸=Z/CB+ZBCF=^(ZA+ZC)=60°故JF=1C,又由(1)知/。=AE,從而IO+IA+IC=EA+AI+!F=EA+AF^EF=2R令。=Z。ん/,則(因ZAVZC)a=ZOA/<|zA<30°又 AE-\-AF=2Rsina+2Rcosa=2y[2Rsin(45°+a)當(dāng)aG(0,45°)時(shí),sM(450+。)為増函數(shù),故 AE+AF<2R(sin3O°+cos30°)=(l+y/3)R即 /O+/A+/C<(l+y/3)RCl-015設(shè)れABC是銳角三角形，在△ABC外分別作等腰RrZXBCハ、AASE.ACAF.在這三個(gè)三角形中,NBDC、/BAE、ZCM是直角.又在四邊形BCFE外作等腰RfZiEFG,NEFG是直角.求證:(l)GA=\[2ADZGAD=135°.【題說】1994年上海市賽高三二試題2.【證】以點(diǎn)4為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,與B相應(yīng)的復(fù)數(shù)記為Z，，等等.ZC=AG=AF+FG=AF+EFi 7=AF+(￡4+AF)i=AF(1+i)+或(-i+i)zD=(-i+j)Ab=DA+ADi=BA+DB+(AC+CD)i=BA+DB+BD+ACi=BA+(.AF,+FC)i=BA+AF[\+i)所以Zg=(—l+i)Z。，AG=y[?AD,且/G4O=135°Cl-016設(shè)M、N為三角形ABC的邊BC上的兩點(diǎn)，且滿足BM=MN=NC.一平行4c的直線分別交ん8、AM.4N于。,E和F,求證:EF=3DE.【題說】1994年澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克一試題1.【證】如圖，過N、M分別作AC的平行線交A8于/Z、G點(diǎn).N” i交ルM于K點(diǎn).則BG=G”=/M. h/Ve\1 /KX\)\易知"K=]GM=/N y 'ヤゝ所以"K：KN=1：3 B2-- や又由于。尸〃"N,于是DE：￡F=HK:KN=\：3故E尸=3?！闏l-017ABC。是ー個(gè)平行四邊形,E是AB上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)、.AF交ED于G,EC

6交FB于H.連接G,"并延長交A。于L,交BC于M,求證:DL=BM【題說】1994年澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克二試題4.【證】如圖,過E、ド分別作EK〃ル。,FQ//AD,則QFGF=DG=DL 0ん、、//所以AL?DL=QF?EK.TOC\o"1-5"\h\z同理,CM?MB=QF?EK. 1/ \"故 AL?DL—CM,MB Df C又由于 AL+DL=CM+MB,所以 DL=BMCl-018在梯形んBC。（48〃OC）中，兩腰A。、BC上分別有點(diǎn)P、。滿足/4尸8=NCP。,ZAQB=ZCQD.證明:點(diǎn)P和。到梯形對(duì)角線交點(diǎn)〇的距離相等.［題說】第二十屆（1994年）全俄數(shù)學(xué)奧林匹克九年級(jí)（決賽）題7.【證】如圖，設(shè)ダ是8點(diǎn)關(guān)于A。的對(duì)稱點(diǎn)，則P點(diǎn)就是B'C與4。的交點(diǎn).在△4P8和△。R：中,NAPB=NDPC,/№8=180°—N尸。C,由正弦定理知BP_sinAPABsinZPDCPCAB=sinNAPBsinNDPCDC所以B'PBPABPC=PCCD由△AOBs/Xc所以B'PBPABPC=PCCD由△AOBs/Xc。。,AOAB’OCCDB'P+PCAB+CDAO+OC

PCCD=OC即ダPACPCOC所以△CQPs/\cAB'OC ,CD?AB所以()P=——?ab= 1AC AB+CDCD?AB同理0Q~AB+CD所以O(shè)P=OQCl-019從△ABC的頂點(diǎn)A引3條線段，N4的平分線AM,乙4的外角平分線4N,三角形外接圓的切線AK,點(diǎn)M、N、K依次排列在直線BC上證明:MK=KN.【題說】1995年城市數(shù)學(xué)聯(lián)賽低年級(jí)普通水平題4.【證】由于 ZKAM=ZKAB+ZBAM=ZACB+ZCAM=ZAMK

所以,KA=KM.另一方面,ZNAM=90°,且N4MW=90°—ZAMN=90°—NK4M=NNAK故KN=AK=KM.Cl-020ZXABC具有下面性質(zhì):存在一個(gè)內(nèi)部的點(diǎn)P使/以B=10°,NPBA=20°,ZPCA=30°,ZMC=40°.證明:ZkABC是等腰三角形.【題說】第25屆（1996年）美國數(shù)學(xué)奧林匹克題5.［解］作4c邊上的高8。，又作AQ使/QAO=30°,AQ交8D于。，連PQ.設(shè)直線P。交AC于ダ.因?yàn)楗?AD=100+40°=50°,所以/A8O=90°-50°=40°,NPBQ=40°-ZPBA=20°=ZPBA,ノむ。=/必C一ノ。ん0=10°=NPAB,^\P是△4BQ的內(nèi)心，/PQA=NPQB=1（180°-40°-20°）=60°NPC'4=NPQA一ノ。んC=30°而/PC4=3O°,所以C'與C重合.從而。ん=?！?。ハ平分AC,BA=BC.TOC\o"1-5"\h\zC1-021半徑相等的三個(gè)互不相交的圓的圓心。ハ。2、。3位于三角形的頂點(diǎn)處.分別從點(diǎn)ユ、。2、。3引已知圓的切線,如圖所示,已知這些切線相交成凸六邊形,而六邊形相鄰的邊分別涂成紅色和藍(lán)色.證明:紅色線段長度之和等于藍(lán)色線段長度之和. 、廠'、【題說】第二十二屆（1996年）全俄數(shù)學(xué)奧林匹克九年級(jí)題2. Xルヒ【證】如圖所示，X卜X2、匕、ん、乙、Z2分別為切點(diǎn).切線圍 2）気成的六邊形為ABCDEF. Xナ片ヤ因。0い?o2,。03的半徑相等，易得xq2=o』2,Yto.=o2z2,7ylz。尸。族.即 （ガザ矛ゝ）XxA+AB+BO2=O］B+BC+CY2 /YiC+CD+DO3=O2D+DE+EZ2Z/+EF+FOi=Q尸+FA+AX2以上三式兩邊相加，并利用X|A=AX2，yc=cy2，ZtE=EZ2t及BOz=O4,DOy=O2D,FOt=Q尸，得AB+CD+EF=BC+DE+FACl-022在等腰△ABC中（AB=BC）,C。是角平分線.過△48C的外心作直線垂直于CO,交BC于E點(diǎn),再過E點(diǎn)作CO的平行線交AB于ド，證明：BE=FD.【題說】 第二十二屆（1996年）全俄數(shù)學(xué)奧林匹克十一年級(jí)題6.【證】設(shè)0是△4BC的外心，K是直線80和CO的交點(diǎn).先設(shè)。在8、K之間（圖a）,ZBOE=90°-ZDKO=ZDCA,所以，點(diǎn)K、〇、E、C四點(diǎn)共圓.NOKE=/OCE因?yàn)镺B=OC,于是所以又所以KE//AB.DF=KE=BE所以/0CE=N08E.NBKE=40CE=NKBEBE=KE/BKE=NKBE=NKBA從而KEFD為平行四邊形,則K在。、B之間（圖か或K、。重合的情況可用類似方法證明.C1-023直角三角形A8C中,C為直角,證明:在△ABC中至少有一點(diǎn)P,=ZPCA.【題說】1963年合肥市賽高二二試題2.【證】我們證明結(jié)論對(duì)任意れん⑶じ成立.不妨設(shè)/4、NB為銳角,過4作ス8的垂線,與邊AC的中垂線相交于點(diǎn)On.過B作BC的垂線交AB的中垂線于點(diǎn)。門分別以。八Oc為心,過A點(diǎn)作圓.設(shè)P為這兩個(gè)圓的另ー個(gè)公共點(diǎn)，則AP丄。山。連PB、PC.設(shè)。為△ABC的外心，貝リ。。￠〃ス。グ四邊形。。ひ。,為梯形,對(duì)角線。Qc在梯形內(nèi),ZAObOc<ZAObO,所以/ん。8=90°—/4。8。<7>90°-/4。8。=/CAOb.同樣ノむ。<■>NBA。。所以射線A尸在/CAB內(nèi)，尸是AP與んB的交點(diǎn)，△與A在BC的同側(cè),所以P在△ABC內(nèi)由于BC與。。c相切,所以同理ノ附B=NPC4.因此,P合乎要求.C1-024在矩形ん8CC內(nèi)，M是AO的中點(diǎn)，N是8c的中點(diǎn),在線段CD的延長線上取ー點(diǎn)P,用。表示直線PM和AC的交點(diǎn).證明:NQNM=NMNP. Arrーヾ【題說】第六屆（1972年）全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克八年級(jí)題1.【證】設(shè)R是直線QN和C。的交點(diǎn),。是矩形4BCZ）的中心,由 隹試、、。加=。"得:PC=CR.因此三角形;WR是等腰三角形（NC是該三角 2ヒ、、、n形的中線和髙,也就是△尸。N的外角/PNR的平分線，又NC丄MN）,,TOC\o"1-5"\h\z問題的結(jié)論由此即得. Br —Cl-025已知正方形ABC。,點(diǎn)P和。分別在ん8和8c上,且BP=BQ,BHLPC于H.證明：NO"。是直角. Pセ挺、;【題說】第八屆（1974年）全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克十年級(jí)題2. ['\K【證】延長B/Y交4。于E,則RfZXABE纟RrZXBCP,于是AE=B尸 \ 、、[=BQ,因此，QC=ED,從而得矩形COE。.這個(gè)矩形的外接圓直徑 AE就是其對(duì)角線CE與DQ,而/C4E=90°,所以H點(diǎn)在矩形的外接圓上,即C、D、E、H、。五點(diǎn)共圓.對(duì)著直徑。。的圓周角：NDHQ=NDCQ=9じ即ノ0，。是直角.tan（jff+y）=\^tan[itany?丄1__2*31,1tan（jff+y）=\^tan[itany?丄1__2*31,1tanfi+tany 2___3_連結(jié)BR,易知/BRD=NDRQ,BR：DR=y/2：2=2：車=PQ:QD.△BRDs/\pqd.于是/RBD=NDPC=B,從而有￡+Y=NRBC=a.Cl-027在任ー△48。的邊上,向外作ABPC、△CQ4和△AR8,使得7T. . 7T TCZPBC=ZCAQ=^,N5CP=NQC4=z，/ABR=NBAR=五,證明:1.ZQRP=22.QR=RP.【題說】 第十七屆（1975年）國際數(shù)學(xué)奧林匹克題3.本題由荷蘭提供.TT【證】建立一個(gè)復(fù)平面,令A(yù)和8的坐標(biāo)分別為ー1和1,。的坐標(biāo)為Z,R的坐標(biāo)為ー"〃れ五因而RP=認(rèn)°,于是RQ丄RP,RQ=RP.Cl-028如圖,兩圓〇1、。2相交于A、B,圓〇】的弦8C交圓。2于E,圓。2的弦8O交圓01于ド,證明:10［別證］設(shè)R是AO的三等分點(diǎn)之ー,BPAR=^AD=AB.=一M2一黃）則有ナ=1+（Z-1）#ス”eヲ+i（2—上亞一ル,3-^3,3一百=ze$ 2 +2+2iRP=-1+（Z+1產(chǎn)尸-e=+i（2一審）=z3理み6+3Cl-026設(shè)ABC。是矩形,BC=3AB,證明:如果P、。是BC邊上的點(diǎn),BP=PQ=QC,那么ZDBC+NDPC=NDQC.【題說】第六屆（1974年）加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克題2.【證】如圖所示,即證￡+r=a或tan（J3+y）=tan0=\事實(shí)上tanB=\, tany=\2 3 圖a 圖b.若ノ。B4=NCSA,則ハド=CE；.若DF=CE,則/0BA=NCB4.【題說】1979年全國聯(lián)賽二試題6.【證】 !.連4。、AE.AF.AC,則ノ。膽=NECA.又 /DBA=NCBA所以 AD=AE,AC=AF所以 △D4F纟△￡4。DF=CE2.由于ノ。胡=/4CE,ZAEC=ZADF,DF=CE,所以△04ド絲△￡4C,AD=AE.從而ノDBA=NEBA.Cl-029兩圓相切（內(nèi)切或外切）于P點(diǎn),一條直線切ー個(gè)圓于A,交另ー圓于8、C.證明:直線PA是/BPC的平分線（如果兩圓內(nèi)切）或/BPC的補(bǔ)角的平分線（如果兩圓外切）.【題說】1980年五國國際數(shù)學(xué)競賽題4.本題由比利時(shí)提供.【證】設(shè)兩圓外切（圖加,作公切線PT,則NAPB=NAPT+NTPB=NBAP+NBCP=ZBPC的補(bǔ)角一/AP8即AP是/BPC的補(bǔ)角的平分線.若兩圓內(nèi)切（圖か,設(shè)公切線與8C相交于7.因?yàn)閆CPT、ZAPT、ZZ4P都是弦切角,故Z8以=ZAPC,因此，例是Z8PC的平分線.C1-030已知A為平面上兩條半徑不等的圓。|和。2的ー個(gè)交點(diǎn),兩外公切線/P”@02分別切兩圓于4、ち、。1、02.M、%分別為尸1。1、尸2。2的中點(diǎn),求證:ZO|AO2=ZM|AM2.【題說】第二十四屆（1983年）國際數(shù)學(xué)奧林匹克題2.本題由原蘇聯(lián)提供.【證】設(shè)8是兩圓的另ー交點(diǎn)，ハM分別是尸/Z、〇。2與48的交點(diǎn)因?yàn)門P『=7A。丁B=TP2?，BPTP,=TP2又 PlM}//TM//P2M2所以 MMt=MM2因?yàn)?AB±OiO2所以7M是加ル2的中垂線.在。102上，取〃。3=〃02,則ZO.MM|=Z02AM2.因?yàn)镺R〃〇2P工,0}M,//02M2,PxMJ/P2M2△〇IPMs△〇2P2M2.O\MjOtM}OiPiOiA0\A"MO302Ml02P202A0/由此可知,AAA是ZQ403的角平分線.所以Z0|AM|=ZtMMi=Z。24M2故有 ZO|4O2=ZO1AM1+ZM|4O2=ZO24M2+ZM]A02=ZM]AM2Cl-031如圖，延長線段A8至。，以4。為直徑作半圓，圓心為G是半圓上一點(diǎn),ZABG為銳角.E在線段8”上,Z在半圓上，EZ//BG,0.EH?ED=EZ2.BT//HZ.11

證明:NTBG=；NABG.【題說】1992年澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克題5.【證】由EH?ED=EZ:知△//EZs^ZE。,所以/EZH=NEOZ=NDZH.于是/4EZ=3NEZ45LBT//HZ,BG//EZ,所以/T8G=NEZ"=g/AEZ=；NABG.Cl-032在正方形んBC。的ん8、A。邊各取點(diǎn)K、N,使得AK?4N=28K?ON.線段CK、CN各交對(duì)角線8。于厶、M.試證:NBLK=NDNC=NBAM.【題說】第三屆(1993年)澳門數(shù)學(xué)奧林匹克第二輪題4.【證】令ん8=mBK=b,DN=c,貝リ(a—b)(a—c)=2bc即a2—bc=a(b+c)牢而 tankNBCK+ZDCN)=，ゴー=" )=1〇￡a—beaa所以/BCK+N￡>CN=45°NBLK=N8CK+45°=90°一/DCN=ZDNC再由△ABM纟/XC8M,得ZBAM=NBCM=N8CK+NLCM=ZBCK+(90°-45°)=NBLKCl-033如圖,。〇I與。。2外切于點(diǎn)P,。是過戶的公切線上任一點(diǎn),0A8和。。C分別是。。1與。。2的割線,P在AB、A。和。C上的射影分別為E、ド、⑴NBPC=NEFG；廐｝△EFGsXPBC.【題說】1994年四川省賽題3.【證】(1)因P。切。。?與。。2于尸,所以 AQPA=Z.PBA (1)因?yàn)?NAEP=NAFP=90°所以A、E、P、ド四點(diǎn)共圓.故有 ZFEP=/外尸=N。(2)同理，ド、D、G、P四點(diǎn)共圓.且NBPC=ZBAP+ZPDC=NEFP+NPFG=NEFG⑵因?yàn)閆PEQ=ZPGQ-90°所以。、E、尸、G四點(diǎn)共圓,于是NGEP=ZG。尸=NDQP由(2)、(4)與ZO4尸+Z。B4=Z。。A+ZO。尸得NFEG=NFEP-NGEP12=NDAP-NDQP=AQDA-Z.QPA （5）又A、8、C、。四點(diǎn)共圓,有/QD4=NQ8C.于是由（1）、（5）得NFEG=NQBC-NPBA=NPBC （6）由（3）、（6）得△EFGs/\P8C.Cl—034ハ、E、ド分別為△ABC的邊8C、C4、AB上的點(diǎn),且/b￡）E=NA,NDEF=NB,又設(shè)△AFE、△8。尸、れじヒ。均為銳角三角形,它們的垂心依次為ん、ル、”3,求證:（1）NH2DH3=NFHiE；（2）へH［H2H3空へDEF.TOC\o"1-5"\h\z【題說】1994年江蘇省賽題5. 大【證】如圖,（1）/42。8=90°-/8,Z/73DC=90°-ZC, /\所以/”2。外=180°—/〃2OB-N"30c=NB+NC.而ノ￡771=180°-///|￡:ドーN”|尸￡=180°—（90°—/んF￡）- /\/W-ZAEF） /即レ％=180°-ZA=ZB+ZC. BD C所以 NH?DH3=NFHiE（2）由（1）知Z/7/1E+ZEO尸=180°,所以,ん在ふ0七F的外接圓上.同理Z/2、ル也在此圓上,因此。、E、ド、M、%、/六點(diǎn)共圓.又由（1）知ZE//1F=Z”2￡）”3,所以E尸="第3.同理。尸=用”3，DE=HiH”故△DEFE^MH2HおCl-035/XABC為銳角三角形.ス。為BC邊的高,H為AD內(nèi)一點(diǎn).直線8從C"分別交4C、4B于E、F.證明:NEDH=NFDH.【題說】第26屆（1994年）加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克題5.又見第3屆（1993年）澳門數(shù)學(xué)奧林匹克題3.［解］過4作直線/平行于BC.延長ハE、EF,分別交，于。、P.小用小I二缶超APAFAQAE由相似二角形,タルーアダ。一改又由Geva定理,普?潦?器=1,所以スP=4。卜BCDAE于是△。尸。的髙。A平分PQ,所以△OP。是等腰三角形，并且ZEOH=ZF。，.Cl-036在直角KZJW內(nèi)取一點(diǎn)P.以。?點(diǎn)為圓心的圓。?分別切ZKL尸的兩邊んK和厶尸于4、。兩點(diǎn);以。2點(diǎn)為圓心半徑與圓叫半徑相等的圓巴分別切ZMLP的兩邊LP、LM于B、E兩點(diǎn).點(diǎn)。?在線段A8上.設(shè)。2。的延長線與Kん交于C點(diǎn).證明:8C是Z48。的平分線.【題說】第二十屆（1994年）全俄數(shù)學(xué)奧林匹克九年級(jí)題6.【證】連結(jié)〇①及。2ル則OiD=BO2.因?yàn)椤?￡）丄ム2,。ユ8丄LP,所以。1O〃8。2,。由。2。為平行四邊形,AMtffCO2//AB,NLDC=NOiBD.2LCD=NLAB=9N

因?yàn)椤?石丄LM,所以O(shè)2ELC是矩形.因此CL=O2E=O2B=DOi （2）由（1）、（2）得RtALCDgRt△〇QB,所以CD=DB.于是/ABC=NBCD=NCBD,即8c是ノABD的平分線.C1-037設(shè)4K、BL、CM是△48C的角平分線,K在8c上,令P、Q分別是8L,CM上的點(diǎn),使得AP=PK,AQ=QK.證明:/附。=90°—3NBAC【題說】1995年城市數(shù)學(xué)聯(lián)賽低年級(jí)較高水平題3.【證】如圖,設(shè)BL交AABK的外接圓于點(diǎn)。.則 NDAK=NDBK=4DBA=ZDKA所以，DA=DK,從而ハ與尸重合.即有/R1K=ラ乙48c同理可證:Z.QAK=^/.ACBリ外心，H是

于P.證明：リ外心，H是

于P.證明：C1-038設(shè)△ABC是銳角三角形，且80CA,。是它白它的垂心,ド是高C”的垂足,過ド作。ド的垂線交邊CANFHP=ABAC.【題說】第三十七屆（1996年）/M。預(yù)選題.【證】延長Cド交。。于。點(diǎn),連8。、BH.由于NBHF=NCA尸=N。且Bド丄“。,所以ド為，。的q設(shè)ドP所在直線交。。于M、N兩點(diǎn),交BD于T點(diǎn).由。尸丄MN知ド為A/N的中點(diǎn).由蝴蝶定理即得ド為尸7的中點(diǎn).又因ド為4。的中點(diǎn)，故HP//TD,所以，NFHP=ZD=NBAC.Cl-039在凸凹邊形A8C0的8C邊上取E和ド（點(diǎn)E比ド更靠近點(diǎn)8）.已知/BAE=NC。ド及/EAF=N2E.證明:ZMC=Z/\XJ\\EDB，【題說】第二十二屆（1996年）全俄數(shù)學(xué)奧林匹克十年級(jí)題1. \/ZN氮【證】因?yàn)?EA尸=NFZ）E,所以4、E、ド、。共圓，AAEF+ど ZFDA=180°,又ZBAE=NCDF,所以ZADC+ZABC=ZFDA+ZCDF+AAEF-ABAE=180°因此4、B、C、。共圓，ZBAC=ZBDC,由此得Z砌C=ZE。^.Cl-040在平行四邊形4BC。中有一點(diǎn)。,使得Z4OB+ZC。。=180。.證明:NOBC=NODC.【題說】第二十九屆（1997年）加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克題4.［解］過。作OE纟8A,連￡C、ED,則四邊形が。4￡＞、E。8c都是平行四邊形,所以CE〃B。,ED//OA,

ZCED+ZCOD=ZAOB+ZCOD=ISO°。、C、E、ハ四點(diǎn)共圓,從而NODC=ZOEC=NOBCCl-041已知一個(gè)等腰三角形,外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r.證明:外接圓和內(nèi)切圓的圓心距離為イ="/?（/e一2r）【題說】 第四屆（1962年）國際數(shù)學(xué)奧林匹克題6.本題由原東徳提供.【證】本題結(jié)論（即歐拉公式）對(duì)任意三角形（不限于等腰三角形）均成立.設(shè)M為8c的中點(diǎn),。與/分別為外接圓和內(nèi)切圓的圓心,外接圓宜徑MN交BC于。.連由、BM、AM必過/.又設(shè)IELBC,IKLMN,E、K為垂足.因?yàn)?(ZBAC+ZABC)=NIBM所以 MI=MB又 /〇ユ=M尸+MO2-2MO?MK而 MB2=MD?MN=2R?MD所以 d2=2R?MD+BT-2R?MK=R2-2RXDK=R2~2RrC1-042設(shè)過三角形的內(nèi)心和重心的直線平行于ー邊.求證:其它二邊長的和等于這ー邊長的兩倍.【題說】1963年西安市賽高二題3.【證】設(shè)AABC的三邊為a、b、c、M為BC之中點(diǎn)，G、，分別為△ABC的重心和內(nèi)心，且1G//BC.因?yàn)?/G〃BC所以G到BC的距離GE=r（內(nèi)切圓半徑）8c邊上的高/i=3GE=3r,而〃a=r（a+b+c）（=2S&abc）所以 3a=a+b+c即 b+c=2aCl-0431.在凸六邊形A8COEド中，所有角都相等.證明:AB-DE=EF-BC=CD-FA2.反N.,若八條邊の，取，。3，。4，。5，兩足等式—。4=。5—。2=。3—證明:它們可以組成各內(nèi)角相等的凸六邊形.【題說】1964年全俄數(shù)學(xué)奧林匹克八年級(jí)題5（1）、十年級(jí)題3（2）.【證】1.直線48、CD、Eド構(gòu)成△G”/.由已知六邊形各角相等知,每個(gè)角都是120°,從而△G4/的每個(gè)角都是60°,因此它是正三角形.并且AF.BC、OE分別與邊G人GH、小平行.AB+AC=AB+BI=Al=GF=GE+EF=DE+EF所以 AB~DE=EF=BCEF-BC=CD~FA2.2.以〃]+敗+。6為邊作正三角形G”ハ=GE=a4,FH=HA=a6，則8C〃G”,flAB=ci\fBC=BI=ci2,AF=AH=a（ff+。2+。6）ー—。6=〃5?然后在各邊取A、B、C、ハ、E、F,使6/=（=%,DGDE//H1,AF//GI,所以六邊形A8CDEド各角相等,并DE=DG=a4fCD=（の+。2+。6）ー。2ー。4=。3,EF=（U|Cl-044已知48co為ー圓外切梯形,E是對(duì)角線AC和8。的交點(diǎn),不な、な、ル分別是△BCE、/XCOE和△￡>AE的內(nèi)切圓半徑.證明:丄+丄=丄+丄.r\r3r2r4【題說】1964年全俄數(shù)學(xué)奧林匹克H■"一年級(jí)題2.【證】設(shè)△48E、△BCE、ふCDE、的面積和周長分別為あ、S2>S3、孔;ム、ル、ム、伍由于所以因?yàn)樗訟B+CD=AD+BCム+ム=ム+ムAB//CDS?=Sa記之為S.n.5iSAEBEABl\2sS3CEDECDl3ム=ムム=ムSiS'S3S相加并利用（2）得行~S3~Sム厶+，3ム+ムS7TR,且與487TR,且與48切于P（如圖）.于是/APR=N8PR=5即⑴成立.分別是△4MC、へBMC、/XABC的C1-045設(shè)點(diǎn)M是分別是△4MC、へBMC、/XABC的內(nèi)切圓半徑;の、僅、ワ分別是這些三角形在/ACM、/BCM、/AC8內(nèi)的旁切圓半徑,試證:りなr ? <71伙q【題說】第十二屆（1970年）國際數(shù)學(xué)奧林匹克題1.本題由波蘭提供.【證】設(shè)ノCA8=。,ZABC=J3,ZBCA=Y,ZAMC=S.又設(shè)△48C的內(nèi)切圓的圓心為由于三角形的角的內(nèi)、外分角線互相垂直,AB=qtanラキqtaig=q（taiら由⑴和⑵可得類似的結(jié)論對(duì)于△4MC和△BMC也成立,故有圓,其中一個(gè)半圓分成五段等弧んん、A|A2、んム、ムん、4認(rèn)5,直線Z_n\/類似的結(jié)論對(duì)于△4MC和△BMC也成立,故有圓,其中一個(gè)半圓分成五段等弧んん、A|A2、んム、ムん、4認(rèn)5,直線Z_n\/MYA4M4交0ム、043于點(diǎn)M、N.證明:線段A2A3與MN之和等于圓的半 、 °\K/\/°徑. Uメ【題說】第十九屆（1985年）全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克八年級(jí)題6. ?2【證】在圓上分別標(biāo)出點(diǎn)ん、ん、ん、ん美于直徑んハ5的對(duì)稱點(diǎn)8]、あ、あ、&,得圓的內(nèi)接正十邊形AoA]…ん氏あ…5（如圖）?則ん&〃ん52,んE1〃んん）,0A2//B2Ai9AoA5//AlA4//A2A3.由對(duì)稱性知ムル和ルん的交點(diǎn)K在んム上.又設(shè)んル和ん44相交于點(diǎn)し于是M2A3。、ん）んLK、AMOK、/JVOK都是平行四邊形.所以ん2A3=K0=4M=LN,從而MN=A]L=AoK.因此,A2A3+MN=AqO.17和キ〃デ將（4）、（5）相乘,并利用⑶得r\r2a6R8aBr一,一=ta吋an,,tan^cot~^=taH^cot^=~x="+v+w.,至ふBEF,如圖c.這時(shí)易知A、0、F、E在一直線上，且AE="+v+w.再將△E4C繞E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°,至△EGB.貝△AEG為正三角形且易證它與△2。/?全等,其中8相當(dāng)于。點(diǎn)得證.【別證】（0△PQR繞R逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60",豁SPR,如圖d.這時(shí)作正/XROT外接圓，設(shè)交RP于D'.易證/OD'7=ZTO'P=ZPD'0=120°,由△ABC中D點(diǎn)的唯一性及△ABC纟△7'OP知PD'=w,OD'=v,TD'=u.又由托勒密定理，知RD'="+v,故x="+v+w.（2）過〇作△PQR三邊平行線，如圖e,也可以得結(jié)論.Cl-047直徑A0A5把圓〇分成兩個(gè)半C1-046考慮如圖0、圖わ所示的△ABC和△PQR.在△4BC中ZBDC=/LCDA=Z120°.試證:,ZADB=【題說】第三屆（1974年）美國數(shù)學(xué)奧林匹克題5.【證】△BCハ繞B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60所以/4MQ=NAQM,故AA/=AQ.從而AB=AM+MB=AD+BCNBMK=/KBA兩式相加得ZAMB=ZKAB+NKBA所以ん+力ら+九=チ+チ+チ=r（〃+8+c）（丄+5+丄）29r當(dāng)且僅當(dāng)。=b=c,即三角形為等邊三角形時(shí)取等號(hào),即18C1-048四邊形A8CO內(nèi)接于圓,另ー圓的圓心。在邊A8上且與其余三邊相切,求證:AD+BC=AB.所以/4MQ=NAQM,故AA/=AQ.從而AB=AM+MB=AD+BCNBMK=/KBA兩式相加得ZAMB=ZKAB+NKBA所以ん+力ら+九=チ+チ+チ=r（〃+8+c）（丄+5+丄）29r當(dāng)且僅當(dāng)。=b=c,即三角形為等邊三角形時(shí)取等號(hào),即18C1-048四邊形A8CO內(nèi)接于圓,另ー圓的圓心。在邊A8上且與其余三邊相切,求證:AD+BC=AB.【別證】設(shè)半圓半徑為1,ZOAE=a,貝ljAE=c〃a.又因ZOCG=1(180°-a)=90°一號(hào)所以CG=cotZOCG=tan^—cosacosasmasinaaAE+CG—cola+tan2==含=OACl-050在ー個(gè)三角形中,以ん、心、ん表示它的三條高,以r表示它的內(nèi)切圓半徑.證明:當(dāng)且僅當(dāng)三角形為等邊三角形時(shí),ん+瓦+ん=9r.【題說】1988年原聯(lián)邦徳國數(shù)學(xué)奧林匹克（第一輪）題2.【證】設(shè)三角形三邊為。、b、c,周長為p,面積為S,則2s=rp=4カ。=bh（j—~chc【題說】第二十六屆（1985年）國際數(shù)學(xué)奧林匹克題1,本題由英國提供.【證】在4B上取點(diǎn)M,使MB=8C.連結(jié)0。、OC、MD和MC.=^ZDCB=z(180°—4)故 AD+BC=ABCl-049已知兩圓相交于M和K,引兩圓的公切線,切點(diǎn)、為A和B.證明:ZAMB+ZAKB=180°.【題說】第十四屆（1988年）全俄數(shù)學(xué)奧林匹克八年級(jí)題2.【證】如圖,連結(jié)MK,則ZAMK=ZKABZ.AMB+ZAKB=ZKAB+ZKBA+ZAKB=\8(T因?yàn)閆CMB=(180°—ZB)ZCDA=ZCDO所以C、0、M、。四點(diǎn)共圓.因此，AMO=NOC。同理可證BG+ED=BO厶a+包+力c=9rC1-051設(shè)點(diǎn)ハ、E、尸分別在△ABC的三邊BC、CA.AB±,且△4Eド、Z\BFD、/XCDE的內(nèi)切圓有相等的半徑r,又以ル和R分別表示△OEF和△ABC的內(nèi)切圓半徑.求證:r+r（）=R【題說】第四屆（1989年）全國冬令營賽題4.所以R?p=r所以R?p=r?p+(r0+r)?q(1)又AR,Ec()r^=p(2)「Ar?エco]=p—q(3)所以R(p—q)—Pr(4)【證】設(shè)p為△ABC的半周長,q為△O￡ド的半周長.因?yàn)閟AABC=SAAEF=sabFd+S^CDE'S4DEF由（1）、（4）得/?g=（r（）+r）q,即/?=r（）+r.Cl-052在圓內(nèi)引弦48和スC,N84C平分線交圓于。點(diǎn).過。作0E丄AB于E,證明:AE=ラ（AB+AC）［題說】第十六屆（1990年第三階段）全俄數(shù)學(xué)奧林匹克九年級(jí)題8.【證】作。M丄4c于M（如圖）.因?yàn)锳8。。內(nèi)接于圓,所以NMCD=NB若B與E重合,則ZB=90°=ZACDRtAABD出Rt叢ACD,結(jié)論顯然成立.若B與E不重合,則ZB為銳角或鈍角.不妨設(shè)ZB為銳角（鈍角情形同樣討論），則ZAC。為鈍角，M在AC延長線上,而E點(diǎn)在A8線段內(nèi).由于A。平分ZBAC,所以。E=。^,AE=AM.從而ABDE纟ACDM,貝リBE=CM,AE=^AB+AC）Cl一053四邊形ABC。內(nèi)接于半徑為r的圓,對(duì)角線スC、8。相交于E.證明:若AC丄8。,則E^+EB1+EC1+EDl=4r （1）若（1）成立,是否必有4c丄8。?說明你的理由.【題說】1991年英國數(shù)學(xué)奧林匹克題3. ノン【解】若AC丄8。，則￡42+七82+とぴ+￡。:!=482+じ。2. X/Aへヽ由正弦定理 1/\\ \AB^^sin^ACB Bト、、く）CD2=4Azn2ZCBD=4rcos2ZACB所以EA^EB^EC^+ED2=4rsin2ZACB-\-4rcos2ZACB二4戸反之，若（1）成立,未必有AC丄8。.例如AC、B。為任兩條直徑，則交點(diǎn)E即為圓心.（1）式19顯然成立.Cl一054設(shè)/A是三角形スBC中最小的內(nèi)角.點(diǎn)6和C將這個(gè)三角形的外接圓分成兩段弧.設(shè)U是落在不含A的那段弧上且不等于B與C的ー個(gè)點(diǎn).線段AB和AC的垂直平分線分別交線段AU于レ和W.直線Bレ和CW相交于ア.證明:AU=TB+TC.【題說】第三十八屆（1997年）國際數(shù)學(xué)奧林匹克題2.本題由英國提供. ズー^【證】如圖所示,因?yàn)辄c(diǎn)V在線段ん8的垂直平分線上,所以Nレ18=zvba. ?又因乙4是△48C的最小內(nèi)角,且故ZVBA=ZVAB<ZCAB^ZCBA即ド在/ABC內(nèi). V同理W在/ACB內(nèi).8レ與CW的交點(diǎn)7在△4BC內(nèi).延長BT交外接圓于S.由于AU與BS關(guān)于弦AB的中垂線對(duì)稱,所以AU=BS.因?yàn)?TCS=/rC4+NACS=NW4C+N48S=NW4C+NV^8=N84C=/8SC,所以TS=TC,從而AU^BT+TS=BT+TCCl-055在圓上取六個(gè)點(diǎn)4、B、C、0、E、F,使弦AB與OE平行,弦OC與Aド平行.證明:弦BC與弦Eド平行.【題說】1959年?1960年波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克三試題5.【證】圓上六點(diǎn)的順序有種種情況.以圖。、圖わ所示的兩種為例,其他情況可仿此證明.在圖”中,因AB〃。E,DC//AF,故有BC+CD=AF+FE,AB+BC=EF+ED由此可得CO+OE=AB+AE所以BC//EF在圖b中，^AB//DE,AF//CD,故BE=AO=CF,即BE=CF所以，BC//EF.C1-056在平行四邊形4BCD的兩邊AB、AD_h,向外作兩個(gè)正方形4BMX、ADNY.求證：CA±XY.【題說】1963年武漢市賽髙三一試題4.【證】如圖,延長C4交Xド于E,因ZABC=180°-ZB/1D=180°-(360°-ZBAX-ZXAY-ZYAD)=ZX4ド又 Aド=4O=BC及AX=8A

所以 △XAYg/XABC從而 ZXYA=ZACB=ZCAD所以 ZA￡K=180°-ZEAY-Z.EYA=180°-ZEAY-ZCAD=ZDAY=9(f,亦即ACLXY.Cl-057作△ABC外接圓,連接AC中點(diǎn)與48、8c中點(diǎn)的弦,分別交A8于。,交BC于E.證明:CE〃んC且通過三角形的內(nèi)心.【題說】1965年全俄數(shù)學(xué)奧林匹克八年級(jí)題3.【證】如圖，設(shè)N、M、厶分別是4C、CB、設(shè)中點(diǎn)，。為△A8C的內(nèi)心,則んV、BN過〇.又設(shè)LN與4c交于K,連結(jié)OK.在△AON中,易知/AON=NM4。.從而NO平分AO.又AO在△AON中,易知/AON=NM4。.從而NO平分AO.又AO平分Nん從而4。平分。K.因c,d,AC與BD相交于c,d,AC與BD相交于0,并且AC【證】設(shè)四邊形ABCD.A'B'C'D'的邊長順次為a,b,此在四邊形AK。。中二對(duì)角線A。、DK互相垂直平分,故AKOD是菱形.于是。0〃AK.同理，四邊形CEOノ是菱形,從而。E〃C/,從而。、〇、E在一條直線上，BPDE//AC,而且。E過△ABC內(nèi)心0.C1-058某個(gè)平面四邊形，各邊之長順次為“，b,c,d,對(duì)角線互相垂直.試證:任何其它四邊形,若其各邊長順次為a,b,c,d,則其對(duì)角線也互相垂直.【題說】1975年?1976年波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克三試題4.丄8。（如圖）.顯然 a2-b1=AO2-OC2=d2-c2設(shè)8’在4'C’上的射影為「,?！贏'C’上的射影為。，則4‘尸ー尸C'2=/—/=/ーc2=A'Q2-QC2即 A'C'X04'P-PC'）=A'C'X（A'Q-QC'）從而4'P-PC'=A'Q-QC',又A'P+PC'=4'C'=A'Q+QC',所以4'P=A'Q,尸與。重合,并且均在B’?！?于是B‘?！瘉AA'C'.Cl-059已知平面上的三個(gè)正方形A8C。、んルG。1和ん82c2。式正方形的頂點(diǎn)是沿逆時(shí)針方向標(biāo)寫的）.并且頂點(diǎn)ん與4重合,而與c重合，試證:線段。1。2與BM（其中M為線段すル的中點(diǎn)）互相垂直并且由Rl=2|BM.【題說】第六屆（1981年）全俄數(shù)學(xué)奧林匹克十年級(jí)題5.【證】設(shè)8為原點(diǎn),其它各點(diǎn)的復(fù)數(shù)表示仍用同樣的字母，則由于M是線段81!中點(diǎn)，2,M=B\-\-Bz=(B|—A)+(B?—C)+A+C=(Dt-A)?(-/)+(D,-C)?j+A+C(。2ー。1)，+4?(l+j)+C?(1-i)(￡)2ー。I)i+C?Ml+i)+C?(1-i)=(。2—ル)i因此線段ハ池2丄8M,并且。1。2丨=2|8歷].C1-060如圖,在凸四邊形ABC。中,AB與C。不平行.圓。?過ス、B且與邊C。相切于P,圓。2過C、。且與邊A8相切于。,圓。|與圓。2相交于E、F.求證：Eド平分線段P。的充分必要條件是BC//AD.【題說】第五屆(1990年)全國冬令營賽題1.【證】首先證明：BC//AD0PD-PC=QA-QB如圖，分別延長C。與84,記它們的交點(diǎn)為S.并記SC,SD,SP,SA,SB,SQ為c,d,p,a,b,q,JUOp2=ab,q2=cd.于是(p-d)(c-p)=(q~a)[.b—q)<=>(c+d)p=(a+b)q<?(c+d)2ab=(a+b)2cd〇(be—ad)(ac—bd)=00ac=bd<^>AD//BC其次,證明:PO?尸。=QA?U>ゆ=K。(即Eド平分線段尸。)延長P。分別交圓。|、。2于人ん則由相交弦定理可知PD?PC=P1?PQ,QA?QB=QJ?PQ因此,PD-PC=QA-QBOP/=。J.因Eド為兩院的公共弦,再由相交弦定理可知KP?KJ=KE?KF=KQ?KIKP(KQ+QJ)=KQ(KP=PI)KPKP(KQ+QJ)=KQ(KP=PI)KP?QJ=KQ?PlPI=QJ〇KP=KQPD?PC=QA?QB3KP=KQ于是從而所以綜上所述,命題得證.C1-061△4BC是直角三角形,以直角邊4C和8c為邊分別向外作兩個(gè)菱形ACCE和C8尸G,其中心分別為尸和。，且/EAC=NGCB<90°,如果M和N分別為AB和OG的中點(diǎn).證明:PQA.MN.【題說】1992年友誼杯國際數(shù)學(xué)競賽ハ年級(jí)題2.【證】容易證明，AACGm叢BCD,所以4G=B。.從而以四邊形AOGB各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形尸，N,Q,M是菱形,故尸。丄MN.C1-062ABe是凸五邊形，AB=BC,NBCO=NE4B=90°.X為此五邊形內(nèi)一點(diǎn)，使得AX丄8E且CX丄BO.證明:BX1DE.【題說】1992年澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克題3.【證】設(shè)4X交BE于匕CX交BD于Z,BX交DE于F.則22AB2=BY?BE=BZ-BD所以。,E,Y,Z四點(diǎn)共圓.又由于8,Y,X,Z四點(diǎn)共圓,所以NBXZ=NBYZ=NZOF故。,F,X,Z四點(diǎn)共圓,從而/BFO=NOZX=90°,EPBX1DE.Cl-063已知△A8C以Q、。2、。3為旁切圓圓心.證明:△〇。2。3是銳角三角形.【題說】第三屆(1993年)澳門數(shù)學(xué)奧林匹克第一輪題3.【證】易知△0。03包含△ABC,△48C三內(nèi)角平分線是△〇。2O3三高,ZVIBC內(nèi)心。是△。。203垂心.。在△ABC內(nèi),更在△。。2。3內(nèi)，故△。。203為銳角三角形.C1-064在△4BC中,N4的平分線交AB邊中垂線于4',NB的平分線交BC邊中垂線于8,，NC的平分線交C4邊中垂線于C'.求證: A(1)若4‘與8’重合,則AABC為正三角形; ノネ⑵若A‘、B‘、C’互異，則C'=90°ーラN區(qū)4じ【題說】1993年德國數(shù)學(xué)奧林匹克(第二輪)題3.【證】(1)若A‘與B’重合,則れABC的內(nèi)心與外心重合,從而△ B、、A初48c為正三角形. ベ⑵將△4,4C‘繞A旋轉(zhuǎn)，使A與B重合.設(shè)這時(shí)C’轉(zhuǎn)到K,貝リ8K=AC'=C'C,ZA'BK^ZA'AC＜《(NBAC-NACB)又BB'=B'C,NB'BK=^ZBAC-^ZABC~厶N(yùn)BK=^(ZBAC-ZABC-ZBAC+ZACB)=ZB'CC'.所以△B'BK絲△B'CC',B'K=B'C.從而△8'4‘K纟△8‘4'C’,ZB'A'C'=ZB'A'K=^ZC'A'K=^ZAA'8=90°~^ZBAC【注】設(shè)/為內(nèi)心,AB的垂直平分線交BB’于ノ,則可以證明△A'C'/s△イダム從而導(dǎo)出結(jié)論,但需要稍多的計(jì)算.Cl-065A8C是ー個(gè)等腰三角形，AB=AC,假如TOC\o"1-5"\h\zG)M是8C的中點(diǎn),。是直線4M上的點(diǎn),使得。8垂直于A8; 不(?)Q是線段8c上不同于8和C的一個(gè)任意點(diǎn); E/\g(iii)E在直線AB上,ド在直線AC上,使得E,Q,?是不同的和共線的. /Vl\求證:。。丄EF當(dāng)且僅當(dāng)?！?。尸. bく、、+'?！绢}說】第三十五屆(1994年)國際數(shù)學(xué)奧林匹克題2.本題由亞美尼亞B、レシスへー澳大利亞提供. 0F【證】連線段。E、OF、OC.由對(duì)稱性，OC丄AC,ZOBQ=ZOCQ.若。。丄E尸，則。、。、B、E四點(diǎn)共圓,。、Q、C、ド四點(diǎn)共圓，故ZOEQ=ZOBQ,ZOFQ=ZOCQ(1)于是ZOEQ=ZOFQ,OE=OF又。。丄E尸,故QE=QF.反之,若QE=QF,過E作EG〃BC交AC于G,則易知E8=GC=CF.又OB=OC,NOBE=NOCF=90°,所以△08E纟△OCF,OE=OF.從而OQLEF.C1-066如圖,菱形ABC。的內(nèi)切圓。與各邊分別切于E、F、G、H,在EF與G”上分別作。。的切線交48于交8C于N,交Cル于P,交D4于。.求證:MQ//NP.【題說】1995年全國聯(lián)賽二試題3.TOC\o"1-5"\h\z【證】連結(jié)4C,則。為AC中點(diǎn),再連結(jié)M。、N0. ポ1 グ則厶ANO=NOMN4(ZB+NBMN) Vqム ZW"-..ZMNO=NONC=^(NB+NBNM)NMON=180°-(NOMN+NMNO)=90°-qNB=NBAC=NACB△AMOsAOMNsACON~Ad=~CN,AM*CN=0A同理 AQ?CP=OA2t從而AM?CN=AQ?CP即AM:AQ=CP：CN又/MAQ=NPCN,WXAMQsixcpn.因此ZAMQ=ZCPN從而MQ//NP.Cl-067如圖，。。|和。。2與ふABC的三邊所在直線都相切.E、ド、G、”為切點(diǎn)，且EG、F”的延長線交于尸點(diǎn).求證:PALBC.【題說】1996年全國聯(lián)賽二試題3.【證】由旁切圓性質(zhì)知,CE=p(Z\ABC半周長)=8尸分別過P、A作PR丄8C,AAi丄BC.連。/、。ぐ，易知Rt△〇1ECsRtAPiEP.從而EPt:OiE=PPi：CE同理 R△02FBsRLFP .pFPt：O2F2=PPi:BF故 EPi：OtE=FPl：O2F2 ズ及f因 △AGQs△4“0ユ セお?看氯?吵EPi。?。。。自EAi EBPiA]cF故 FP、。2尸02H。2AM7因此Pi與ム重合，即膽丄8c.Cl-068在△ABC中，4M是A到/C的平分線所作的垂線，M為垂足;AN、CL分別是A、C

到/B的平分線所作的垂線,N、ム為垂足,MN的延長線交AC于尸,8F的延長線交C厶于E,BL交AC到/B的平分線所作的垂線,N、ム為垂足,MN的延長線交AC于尸,8F的延長線交C厶于E,BL交AC于D.求證:DEHMN.【題說】1996年江蘇省競賽題3.又在ムタ0ム中，因BE、CD、厶G相交于一點(diǎn)ド,由塞瓦定理得黑?皆?器=1ZE/B=90°-^ZABC/?！?gt;8=90。ーヅ乙ABC心都在同一位置,證明:如果它們中的ー只蒼蠅沿三角形的整個(gè)邊界爬過,那末它們的重心與△ABC的車:心重合.【題說】第九屆（1975年）全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克八年級(jí)題5.【證】如果ー只蒼蠅位于頂點(diǎn)A,那末，由蒼蠅形成的三角形的重心位于三角形AOE內(nèi)（如圖），這里OE：8c=2：3.因?yàn)椹`只蒼蠅游遍了所有頂點(diǎn),所以“蒼蠅三角形”的重心應(yīng)屬于圖中帶斜線的25交BA延長線于G,則ム平分CG,所以厶ド〃4B,故又/IOB=g/AOB=NACB Z 2 AEB于是NIDB=NACB,ID//AC.當(dāng)點(diǎn)/在點(diǎn)。與C之間時(shí)，證法同上.見圖反圖c.C1-070三只蒼蠅沿三角形A8C的邊爬行,它們形成的三角形的重【證】（1）延長スM交BC于。'，延長AN交BC于ズ,注意到んW=M0',故AF=FU連ムア并延長交8C于G,設(shè)C厶由⑵得五=石,故バ〃8c.結(jié)合（D得ハE〃MN在BC邊上,使得。。與8/垂直.證明:直線/。與AC平行.【題說】第二十二屆（1996年）全俄數(shù)學(xué)奧林匹克九年級(jí)題6.【證】如果△ABC是等邊的（點(diǎn)。與/重合）,那么結(jié)論顯然成立.設(shè)點(diǎn)。在點(diǎn)/與C之間（如圖加,作高CE,則NEIB=NODB所以8、/、。和。四點(diǎn)共圓,于?是NIDB=NIOB.則由已知可得，AN=NE',AM=MD',故Cl-069在等腰△ABC中，AC=BC.。是它的外心,/是它的內(nèi)心MN//BC三個(gè)三角形.而它們唯一的公共點(diǎn)就是△ABC的重心.C1-071設(shè)線段ス8的中點(diǎn)為從スB上另一點(diǎn)C向直線A8的ー側(cè)引線段CD;令C0三個(gè)三角形.而它們唯一的公共點(diǎn)就是△ABC的重心.C1-071設(shè)線段ス8的中點(diǎn)為從スB上另一點(diǎn)C向直線A8的ー側(cè)引線段CD;令C0的中點(diǎn)為N,8。的中點(diǎn)為P,MN的中點(diǎn)為Q.求證:直線尸。平分線段AC.【題說】1978年全國聯(lián)賽ー試題6.【證】如圖,設(shè)P。交ハ8于E,連PN,因?yàn)槭瑸?。的中點(diǎn),N為C0的中點(diǎn),所以PNtLCB因此E點(diǎn)一定在ス。上,并且4E平分/4,AE丄尸。,于是P￡）=Q￡>.=NPEB.FR所以?=詈，即。:b=（a+。）：（a+b+c）AULA又。為MN的中點(diǎn)，故ふQME二エQNP從而 EM=PN=：CB所以NBPD=NEPD.又因?yàn)镻。是公共邊，所以，RtABPD纟RtAEPD,所以PB=PE,NPBE又因?yàn)楗?。丄BC,ADYPQ,所以8C〃P。,NPEB=NEBC,于是有/PBE=NEBC即BE平分/4BC.因此E點(diǎn)是△ABC的內(nèi)心.C1-073已知△A8C三內(nèi)角比為1：2：6,又a、b、c為角4、B、C所對(duì)之邊.求證:a：b=（a+b）：（a+b+c）.【題說】1979年蕪湖市賽題8.1AE=^AB-EM=BM-EM=CM+BC~EM=CM+EM=CECl-072在△ABC中，邊AB=AC,有一個(gè)圓內(nèi)切于△ABC的外接圓,并且與48、AC分別相切于P、Q.求證:P、Q兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)是△ABC的內(nèi)切圓圓心.【題說】第二十屆（1978年）國際數(shù)學(xué)奧林匹克題4.本題由美國提供.【證】如圖.設(shè)。是兩圓的切點(diǎn),E是P。的中點(diǎn)，連接Aハ、BE、PD、BD.由于△48C是等腰三角形，易知4。是△48。外接圓的直徑.又因AB、AC和△ABC的內(nèi)切圓相切于點(diǎn)尸、Q,所以AP=4。.延長AC到G,使CG=C8,延長8c到。,使CD=CA.設(shè)直線ん8、0G相交于E.所以，BE=BD=BC+CD=a+b.由于BG〃A?！咀C】因/A+NB+NC=180°.故ZA=20°,NB=4O°,ZC=120°易知△E4。是等腰三角形，BG//AD,ZXBCG與△AC。都是等邊三角形,并且，NBDE=NBAC=2W,ZBED=ZABC-ZBDE=20°=ZBDE.⑶⑶(4)Cl-074已知位于同一平面內(nèi)的正三角形ABC.CDE和E，K（頂點(diǎn)依反時(shí)針方向排列）,并且崩=欣.證明:△8〃。也是正三角形.【題說】第十五屆（1981年）全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克九年級(jí)題2.要證れ c/7\、、TOC\o"1-5"\h\zBHD為正三角形,只須證它的ー邊繞著ー頂點(diǎn)向另?邊旋轉(zhuǎn)60°后重 一合于這ー邊. bV|7【證】將△￠40繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,那末它將變?yōu)椤鰿8￡.所 、k以i4O|=|8E|,且屐）和度:之間的夾角等于60°,因?yàn)榻?次,所以|￡）K|=|AO|=|8E|,再將△“BE繞”順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,因?yàn)椤鱁/ZK是正三角形，所以點(diǎn)E變?yōu)辄c(diǎn)K;線段EB變?yōu)榫€段K。;點(diǎn)B變?yōu)辄c(diǎn)。，于是田川=舊。|,ZB//D=60",△8，ハ是正三角形.C1-0751.△ABC為任意三角形,它的重心G有如下的性質(zhì):過它任作直線Xド與邊交于產(chǎn)、。,以A、B、C為頂點(diǎn),以戶。為底邊的三個(gè)頂點(diǎn)三角形,分 木居x、y的兩側(cè)，若以ー側(cè)的三角形面積為正,另ー側(cè)的為負(fù),x/y\則所有頂點(diǎn)三角形面積之值的代數(shù)和為零（即ー側(cè)的頂點(diǎn)三角 、ザ%g\形面積（和），等于另ー?側(cè)頂點(diǎn)三角形面積（和）），試證之.2.對(duì)トバ/張于任意四邊形A8CD,具有上述性質(zhì)的點(diǎn)是否存在?若存在，請AMBh?Y找出來;若不存在,請證明. 圖a【題說】1981年蕪湖市賽題6.【證】1.若Xド過ー頂點(diǎn)，結(jié)論顯然.若Xド不過頂點(diǎn)，則必有兩個(gè)頂點(diǎn)，不妨設(shè)A、8在Zド的同一側(cè)，如圖。所示.令自、心、れ分別為4、8、C到Xド的距離,M為AB中點(diǎn)，妬為M到Xピ的距離,則有 hA+hB=2hM Cーレア?易知 hc=2fiM vヾS/"g'/.\所以即2.卩勉形A8Cル對(duì)邊中點(diǎn)連線MN和Sア的交點(diǎn)。,具有類似性質(zhì).過。任作直線XK不妨設(shè)xド交C。于X,交AB于匕ん、あ、垢、口、ハ分別為a、B、C、D、M、N到Xド的距離,貝リ/%+〃c=27znhA+hD=2hM又易知四邊形MTNS是平行四邊形，。為MN中點(diǎn),所以hu=hn由（1）、（2）、（3）得5Axxy+SA0xy+SAcxy+SABxy=O另一方面,設(shè)〇,為這樣的點(diǎn),過?！髦本€分別交CD于X、交AB于Y,則（沿用上面的符號(hào)）（1）、（2）、（4）成立,所以（3）成立，即?！癁镸N中點(diǎn),從而。’與。重合,即具有上述性質(zhì)的點(diǎn)是唯ー的.C1-076如圖,AE和Aド、8ド和8ハ、C。和CE分別是△ABC中/A、/B、/C的三等分線.

求證:△OEド是等邊三角形.【題說】1982年上海市賽二試題6.這結(jié)果是F.MoHey在1899年發(fā)現(xiàn)的,故稱為MoHey定理.【證】如圖,記A=3。,B=3B,C=3r,AE=m,AF=n,△4BC的三邊長為a、b、c.由于3。+3￡+3-=180°.所以。+ガ+y=60°.a+=60°-y而nsin=csinff9所以〃=csin[icsin[isin（a+jff）sin（60°ーア）類似地_bsinymsin（60°ーク）在△ABC中有bsin3y=csi〃3P,從而msi"3在?siny?sin(600-y)sin(600+0)nsiniy,sin/i,sin(60"—fi)sin(600+y)由于。+￡+丫=60°.所以存在以60°+萬，60°+y和。為內(nèi)角的三角形，夾。角的兩邊之比,,msi”(600+6).nsin(60°+y)n△EAド與這三角形相似，從而/AFE=60°+￡ZAEF=60°+Y同法可證/B/7)=60°+。,而ZAFB=180°-(a+J3)因此/Eハ+NAFB+NBFC=(60°+￡)+(180°ー。一￡)+(60°+。)=300°所以/。FE=60°.類似地，△OEF的另兩個(gè)內(nèi)角也為60°.因此AOEド是等邊三角形.C1-077如圖所示，AABC>△A'8'C'為ニ正三角形.尸、°、R分別為4A‘、BB'、CC,的中點(diǎn).試證:△PQR也是正三角形.【題說】1983年蕪湖市賽題4.【證】連4'Q并延長至A",使4"Q=4'Q,連A'R并延長至A'''.使4'R=A'''R連結(jié)んV',ん4''',4''4''',則有尸?！à?''PR//A'"'A,RQ//A''A''',延長4'’8交4‘‘‘C延長線于S,因4,‘B纟A‘ダ，CA'''=A'C'.所以C4'''=BA'',且/CSB=AC'A'B'=60°=乙CAB.從而C、8、4、S四點(diǎn)共圓.故/SCA=NSB4,所以/AB4''=NAC4''.又4c=AB,所以△ABA''纟/kACA''',所以AA''=44''',ZCAA'"=ZBAA''于是/A''AA'''=60".AAA'"A'"為正三角形，從而△PQR也是正三角形.C1-078已知銳角三角形48c的外接圓半徑是Z?,點(diǎn)ハ、E、F分別在邊8C、CA.A8上.求證:A。、BE、CF是AABC的三條髙的充要條件是5=1/?(EF+FD+D￡),式中S是三角形4BC的面積.【題說】1986年全國聯(lián)賽二試題2.ZOAB=90°-ZACB.所以。A丄EF,同理。B丄尸。,OCA.DE.設(shè)另有△6E’【題說】1986年全國聯(lián)賽二試題2.ZOAB=90°-ZACB.所以。A丄EF,同理。B丄尸。,OCA.DE.設(shè)另有△6E’パ三邊分別垂宜于。4、OB、OC,即分別平行于垂足三角形。Eド的對(duì)應(yīng)邊,且?！cE’、ダ分別在BC.AC、AB上,則ふ。とド與厶?！瓻'f位似,A為位似中心.?！卦贏D±,因?yàn)椤?又在BC上，所以。’與。重合，同理す、ダ也分別與E、F重合.于是命題得證.C1-079設(shè)/為三角形ABC內(nèi)心,且4’、8‘、C’分別是△/BC、△“ス、/X/AB的外心，求證:△48C與△4,B'C有相同外心.【題說】第十七屆（1988年）美國數(shù)學(xué)奧林匹克題4.此題結(jié)論即為△ABC與△4‘ダC’有共同的外接圓.【證】作△ABC外接圓，延長4/交圓于4",連BA"、CA",易知ZBM''=g(Z4+ZB)=Z/B4'DEO=NDFO=NFDO=NFEO.即。在Z。とア平分線上.Cl-081△A&G是不等邊銳角△ABC的垂足三角形，ム、あ、C2是△4BiG內(nèi)切圓分別與各邊的切點(diǎn).證明:△んあじ2與ムん⑶じ的歐拉線重合.注:三角形的歐拉線是指垂心和外心的連線.【題說】第七屆（1990年）巴爾干地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克題3.【證】如圖,設(shè)△4BC的垂心為，,則Z/M|B=Z"G8=ZBA|4=ZBB|A=90°所以ム、H、G、B與ん、ル、4、8分別共圓，因此Z/MiG=Z//8G=Z/M|B|.即んZZ是ZB&C的平分線.同理，BH、G”分別是ZA|B|G、ZAiGBi的平分線.因此”是Z4SG的29-2ZA.因此ZA是銳角，從而△ん。ド的外心與頂點(diǎn)A在。ド的同側(cè),ZDOF=2ZA=180°-ZDEF.因此。,E、F、。四點(diǎn)共圓.于是Z【證】S=SOEAr+SOFBD