基于 MATLAB 的線性調(diào)頻信號的時頻分析

基于Matlab的線性調(diào)頻信號的時頻分析石珂北京郵電大學電信工程學院，北京〔100876〕E-mail：摘要：一個公認的觀點是：任何一種時頻分布如果對線性調(diào)頻信號不能提供好的時頻聚集性，那么它便不適合用作非平穩(wěn)信號時頻分析的工具。由于單分量LFM信號的Wigner—Ville分布是沖激線譜，所以用Wigner—Ville分布分析單分量LFM信號是非常適宜的。但對于多分量信號，由于交叉項的存在，時頻平面就會變得模糊不清。而Radon—Wigner變換、分數(shù)階Fourier變換和Chirp-Fourier變換在處理多分量信號時就比Wigner—Ville分布理想的多，但這幾種變換的性能也不盡相同。本文就著重比擬它們的優(yōu)劣

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。關(guān)鍵詞：時頻分析LFM信號Wigner—Ville分布Radon-Wigner變換

分數(shù)階Fourier變換離散Chirp-Fourier變換1．引言信號與信息處理是信息科學中近十幾年開展最為迅速的學科之一。傳統(tǒng)的統(tǒng)計信號處理有三個根本的假設(shè)：線性、高斯性和平穩(wěn)性。而現(xiàn)代信號處理那么以非線性、非高斯性和非平穩(wěn)性信號作為分析與處理的對象。在現(xiàn)代信號處理中，非平穩(wěn)信號處理的開展尤其引人注目。分析和處理平穩(wěn)信號的最常用也是最主要的方法是Fourier分析。Fourier變換是在整體上將信號分解為不同的頻率分量，而缺乏局域性信息。即它不能告訴我們某種頻率分量發(fā)生在哪些時間內(nèi)，而這對非平穩(wěn)信號是十分重要的。為了分析和處理非平穩(wěn)信號，人們對Fourier分析進行了推廣乃至根本性的革命，提出并開展了一系列新的信號分析理論：短時Fourier變換、Wigner—Ville分布、Gabor變換、小波變換、Radon—Wigner變換、分數(shù)階Fourier變換等。本文的研究重點為Wigner—Ville分布、Wigner—Ville分布、分數(shù)階Fourier變換、離散Chirp-Fourier變換

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。在非平穩(wěn)信號的研究過程中，有一種特殊的非平穩(wěn)信號：chirp信號，又稱線性調(diào)頻〔LinerFrequencyModulation，LFM〕信號，研究價值較高。這是因為：〔1〕chirp信號在時頻平面中呈現(xiàn)直線型，因而常常作為衡量一種時頻分析方法是否有效的手段；〔2〕作為大的時間——頻帶積的擴頻信號，它廣泛地出現(xiàn)在通信、雷達、聲吶和地震勘探等系統(tǒng)；在擴頻通信中，線性調(diào)頻信號提供了一種具有高度抗干擾能力的調(diào)頻方案；〔3〕在生物醫(yī)學信號分析方面，chirp信號用于CT信號的時頻分析；〔4〕用于故障診斷的振動信號中也存在著大量的chirp信號成分。因此，本文也將LFM信號作為研究對象

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。2．各時頻分析方法對LFM信號的分析2．1對但分量信號的分析一個公認的觀點是：任何一種時頻分布如果對線性調(diào)頻信號不能提供好的時頻聚集性，-1-那么它便不適合用作非平穩(wěn)信號時頻分析的工具。時頻聚集性也即要求它在時頻平面上是高度聚集的。時頻分布的提出源于局部性，局部性的正確描述又與信號的時頻聚集性密切相關(guān)，而聚集性是衡量時頻分布的重要指標。適合用作時頻聚集性評價的典型非平穩(wěn)信號為線性調(diào)頻信號。假設(shè)使用幅度為1的單分量線性調(diào)頻信號LFM：Zte

?1??2?

。這種信號廣泛用在雷達，聲吶和地震等探測系統(tǒng)中。如在雷達等探測系統(tǒng)中，當目標作等加速運動時，其回波即為LFM信號。對于空間線性陣列，假設(shè)信號源位于近場，那么沿陣列分布的信號也近似為LFM信號，合成孔徑雷達利用了這一特性

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。下面計算LFM信號Z(t)的Wigner-Ville分布。乘積信號為：??

?Z*?t??e2??2?

?2?2?

e

?2?2?

ej2fmt將其代入分布的定義式，那么:WLFMt,f

∞?∞Z??t2??Z*??t?2??e

?j2f

d∞j2fmt?j2f?∞f?f0mt由此可知：單分量LFM信號WVD分布為沿直線ff0mt分布的沖激線譜。即：分布的幅值集中出現(xiàn)在表示信號的瞬時頻率變化律的直線上。分布為沖激線譜的結(jié)論只適用于無窮長LFM信號。在實際應(yīng)用中，信號長度總是有限長的。此時WVD分布呈背鰭狀。WVD分布對單分量LFM信號具有比其它時頻分布更好的時頻聚集性。2．2對多頻率信號的分析雖然Wigner-Ville分布對單分量線性調(diào)頻信號LFM具有比其它時頻分布更好的時頻聚集性,但對于多分量信號，交叉項會產(chǎn)生“虛假信號〞。交叉項是二次型或雙線性時頻分布的固有結(jié)果,它們來自多分量信號中不同信號分量之間的交叉作用.時頻分布里的信號項產(chǎn)生于信號每個分量本身,它們與時頻分布具有有限支撐的信號的物理性質(zhì)是一致的.也就是說,如果給出信號z(t)及其譜的先驗知識,那么信號項在時頻平面上只出現(xiàn)在我們希望它們出現(xiàn)的那些地方,與信號項的情況相反,交叉項是時頻分布里的干擾產(chǎn)物,它們在時域與/或頻域表現(xiàn)出與原信號的物理性質(zhì)相矛盾的結(jié)果.如果LFM信號存在多個分量時〔實際信號常如此，如同時存在多個目標〕，分量之間的交叉項就會使時頻平面變得模糊不清。特別是在信噪比不高的場合，甚至難于發(fā)現(xiàn)各個LFM信號分量。由于理想LFM信號的Wigner-Ville分布為直線型沖激函數(shù)，有限長度的LFM信號的Wigner-Ville分布為背鰭狀，所以其Wigner-Ville分布的時頻平面沿相應(yīng)直線作積分平滑，是一種理想選擇。Radon-Wigner變換正是基于此而提出的。它是對信號的-2-j2?ftmt?Z?t??j2?f?t?j2?ftmt?Z?t??j2?f?t?m?t??2????????j2?f?t??m?t???2???????∫∫eedWigner-Ville分布的時頻平面作直線積分投影的Radon變換，統(tǒng)稱對信號作Radon-Wigner變換。在Wigner-Ville分布的時頻平面里,慣用w軸的截距w0和斜率m為參數(shù)表示直線。因此，當需要沿w=w0+mt作直線積分時，可將積分路徑〔直線PQ〕的參數(shù)u,α替換成〔m,w0〕,且兩對參數(shù)之間的關(guān)系為：m?cotα,w0u/sinα。假設(shè)求信號z(t)的Radon-Wigner變換，并以參數(shù)(m,w0)表示積分路徑，那么有：Dzu,α

PQ

z

'

∞∞?∞?∞∞∞?∞?∞

z0

''

''

?mtdwdt

1sinα

∞∞?∞?∞

z0

mtdwdt

1sinα

∞?∞

m?cotαw0u/sinα上式說明，假設(shè)z(t)是參數(shù)為w0和m的LFM信號，那么積分值最大；而當參數(shù)偏離w0與/或m時，積分值迅速減小，即對一定的LFM信號，其Radon-Wigner變換會在對應(yīng)的參數(shù)(m,w0)處呈現(xiàn)尖峰。我們自然會想到：多分量的LFM信號的特性在Radon-Wigner平面里更加突出。即表現(xiàn)為各個尖峰，因而更有利于區(qū)別交叉項和噪聲。利用Radon-Wigner變換一定能夠獲得更好的性能。作為時頻分析方法之一，分數(shù)階傅里葉變換

[5?6]

與Wigner-Ville分布〔WVD〕，Radon-Wigner變換〔RWT〕分別有著一定的數(shù)學關(guān)系，借助它們的聯(lián)系，可進一步說明分數(shù)階傅里葉變換的物理意義。信號x(t)的Wigner-Ville分布函數(shù)的定義為

[2]WXt,w

∞?∞x??t2??x*??t?2??e

?jw

d作為能量型時頻表示，WVD滿足許多期望的數(shù)學性質(zhì)，這里給出其邊緣特性|x(t)|2

12

∫Wx(t,w)dw2x對WDF旋轉(zhuǎn)角度，即對Wigner分布實施Radon變換，其結(jié)果是R[W(t,w)]∫Wx(ucos?vsin,usinvcos)dv∞∞?∞?∞

f(u′cos?v′sin,u′sinv′cos)-3-∫線Wt,wdv∫Wzt,wδu?ududv∫∫∫Wt,wδ∫線Wt,wdv∫Wzt,wδu?ududv∫∫∫Wt,wδsinαw?w∫∫Wt,wδw?w∫Wz0mtdt/t,w??∫|X(w)|∫W(t,w)dt∫∫而信號x(t)的p階分數(shù)階傅里葉變換Xp(u)的WVD就是將信號x(t)的WVD旋轉(zhuǎn)角度，即WVD對于分數(shù)階傅里葉變換具有旋轉(zhuǎn)不變性，所以有|Xp(u)|2R|Wx(t,w)|可以看出，WVD對時間軸與頻率軸的積分分別是信號在t時刻的瞬時功率和信號在頻率w的譜密度，而信號x(t)的WVD對與時間成角度的軸的積分投影對應(yīng)著角度為的分數(shù)階傅里葉變換的幅度平方，這進一步從能量的角度說明分數(shù)階傅里葉變換作為廣義傅里葉變換的含義。正弦信號在時頻平面是一條平行于時間軸的直線，即它的頻率不隨時間變化，可視為旋轉(zhuǎn)角度為0的完全時間域表示；沖擊函數(shù)在時頻平面是一條平行于頻率軸的直線，可視為旋轉(zhuǎn)角度為90的完全頻率域表示；chirp信號在時頻平面是一條斜率為調(diào)頻率的直線，當該信號的某一角度的分數(shù)階傅里葉變換與其調(diào)頻率一致時，在無限長度的理想情況下，表現(xiàn)為幅度為無窮大的沖擊，在信號長度有限的情況下，其分數(shù)階傅里葉變換呈現(xiàn)極大值，這就是Chirp信號在分數(shù)階傅里葉變換域的特點。離散Chirp-Fourier變換是最近提出的一種有效的線性調(diào)頻信號檢測技術(shù),它Fourier變換的一種推廣形式,可同時匹配chirp信號的中心頻率和調(diào)頻率。本文利用修正離散Chirp-Fourie變換(MDCFT)實現(xiàn)干擾信號的檢測和參數(shù)估計,從而實現(xiàn)對干擾的自適應(yīng)抑制。分析和仿真說明,該方法可對LFM干擾有著極好的抑制效果;同時,由于Chirp-Fourie變換是一維的線性變換,可借助快速傅里葉變換〔FFT)實現(xiàn),與基于WVD的算法相比,不僅防止了交叉項干擾,而且降低了計算的復(fù)雜度,其實現(xiàn)更為簡便

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。3．基于Matlab[10?11]的上機仿真過程及結(jié)果分析3．1對單分量信號的仿真及結(jié)果分析〔1〕：輸入解析信號為xte

jkt的WVD分布：圖單分量信號的WVD分布-4-(2)：在上述解析信號中參加噪聲后，用WVD分布分析其性能：圖參加噪聲的單分量信號的WVD分布由圖可以看出實際結(jié)果與前面的理論推導(dǎo)一致。在實際應(yīng)用中，信號長度總是有限長的，此時WVD分布呈背鰭狀。由圖可以得到WVD變換對噪聲不太敏感，時頻變換后信噪比擬高。但當干擾的幅度大到一定程度時，WVD變換的結(jié)果會嚴重變差，甚至分析不出結(jié)果?！?〕：前兩個圖是輸入解析信號為xte

jkt

的Radon-Wigner變換，后兩個圖是在這個解析信號中參加噪聲以后用Radon-Wigner變換對其進行的分析：圖單分量信號的Radon-Wigner變換由理論分析可知，當旋轉(zhuǎn)角度與線性調(diào)頻信號的斜率相適應(yīng)時，Radon-Wigner變換將出現(xiàn)一個峰值。這個分析在圖中得到了證實?！?〕：圖前兩個圖是輸入解析信號為xte-5-

jkt

的分數(shù)階傅里葉變換，后兩個圖是在這個解析信號中參加噪聲以后用分數(shù)階傅里葉變換對其進行的分析：分數(shù)階傅里葉變換變換與Radon-Wigner變換的緊密聯(lián)系在圖和圖的仿真中也可以得到證實。圖單分量信號的分數(shù)階傅里葉變換〔5〕：圖的前兩個圖是輸入中心頻率是10，調(diào)頻率是20的單分量線性調(diào)頻信號后的Chirp-Fourier變換，后兩個圖是在這個信號中參加噪聲以后用Chirp-Fourier變換對其進行的分析。通過這個仿真，還將證明一個重要性質(zhì)：Chirp-Fourier變換可同時匹配線性調(diào)頻信號的中心頻率和調(diào)頻率。圖單分量信號的Chirp-Fourier變換比擬結(jié)論：從以上幾個仿真圖形可以看出，對單分量的LFM信號而言，上述幾個變換-6-都有非常好的時頻聚集性，特別是Wigner-Ville分布與理論結(jié)果完全一致。在抗噪聲方面，比照幾個圖可知，Radon-Wigner變換和Chirp-Fourier變換要比Wigner-Ville分布和分數(shù)階傅里葉變換更好。而對于分數(shù)階傅里葉變換和Wigner-Ville分布，分數(shù)階傅里葉變換的抗噪聲性能要好。3.2對多分量信號的仿真及結(jié)果分析(1)：一個多分量的線性調(diào)頻信號的WVD：圖多分量信號的WVD(2)：一個多分量的線性調(diào)頻信號的Radon-Wigner變換：圖多分量信號的Radon-Wigner變換-7-(3)：一個多分量的線性調(diào)頻信號的分數(shù)階傅里葉變換：圖多分量信號的分數(shù)階傅里葉變換(4)：一個多分量的線性調(diào)頻信號〔含兩個分量，中心頻率和調(diào)頻率分別為l110,k120;1220,k220〕的Chirp-Fourier變換：圖多分量信號的Chirp-Fourier變換比擬結(jié)論：從以上四個圖可以看出，對于多分量信號，Wigner-Ville分布由于存在交叉項，時頻平面模糊不清，而其他三種變換那么可以檢測到兩個信號。從圖中還可以看到，Chirp-Fourier變換的效果是最好的。而且我們從圖中還可以清楚地看到線性調(diào)頻信號的中心頻率和調(diào)頻率。4LFM信號的應(yīng)用線性調(diào)頻〔LFM，chirp〕信號廣泛地應(yīng)用于雷達、聲納和通信等信息系統(tǒng)中。在這類系統(tǒng)中，LFM信號的檢測與參數(shù)估計是一個重要的研究課題，受到特別的關(guān)注。下面給出一個基于FRFT的MTD雷達信號處理過程的防真實例

[12]

。假設(shè)有一個運動目標，2f5,w0.8。n(t)是均值為零，方差為1的高斯白噪聲，信噪比為3dB，觀測時間為?3掃描上算法對該回波信號作計算機仿真，仿真結(jié)果如圖所示。從圖中可以清楚看到一個LFM信號的存在，而且目標的峰值非常突出，受雜波的影響相對較小。因此采用FRFT的MTD雷達的抗干擾能力較強。另外由于目標的特征非常明顯，可以通過適當提高雜波門限的方法來減小虛警概率-8-回波信號為s(t)exp(回波信號為s(t)exp(?jfit?jwit)n(t)，其中n(t)為雜波信號，信號參數(shù)為：3.2ms，采樣頻率為20KHZ,采樣點數(shù)為N3.2*10*20*10364采用分數(shù)階Fourier域的圖基于FRFT的MTD雷達信號處理過程的防真5結(jié)束語非平穩(wěn)信號是現(xiàn)代信號處理的主要研究對象之一，對其有很多種理論分析方法。本文介紹的Wigner-Ville分布，Radon-Wigner變換，分數(shù)階傅里葉變換，Chirp-Fourier變換是其中比擬常用和重要的幾種。本文對這幾種變換做了初步的介紹，進而對它們進行了一些比擬。這有助于進一步了解各種變換的性能和作信號分析時選擇適宜的變換。時頻分布之所以受到很多研究人員和信號處理領(lǐng)域的工程人員的重視，是因為它有很多傳統(tǒng)傅立葉變換所不具備的性質(zhì)。由時頻分析的定義可知時頻表示能給出信號在時域和頻域的信息。經(jīng)過幾十年的開展，時頻分析理論已趨于成熟，并逐漸在實際應(yīng)用中嶄露頭角，近年來已在實際的非平穩(wěn)信號處理中獲得了十分廣泛的應(yīng)用。如：信號檢測與分類，時頻域濾波，信號綜合，系統(tǒng)辯識和譜估計等。在IEEE的期刊和國際會議上發(fā)表的與采用時頻工具處理非平穩(wěn)干擾有關(guān)的論文及研究報告共有100余篇，其中以美國Villanova大學MoenessG.Amin教授的成果最為顯著。時頻分析是一個前景很廣闊的研究方向，雖然取得了一定的成就，但理論體系尚不十分完備，需要進一步的開展。參考文獻[1]張賢達，保錚?非平穩(wěn)信號分析與處理?[M]1998年9月第1版國防工業(yè)出版社[2]沈民奮，孫麗莎?現(xiàn)代隨機信號與系統(tǒng)分析?[M]1998年6月第1版科學出版社[3]于鳳芹，曹家麟?基于分數(shù)階傅里葉變換的多分量Chirp信號的檢測與參數(shù)估計??語音技術(shù)?2004年第1期[4]孫泓波,郭

欣,顧

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