多功能題典初中數(shù)學(xué)3-31和圖-17第十七章

2x

x21xy1

ax2bx

，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)

xy1y3

解析方法

22x(x21)(x1)22

x

yax2bxc的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5，2)25a5bc2因?yàn)楫?dāng)x1時(shí)，yy2 y3ab

xy1y3

，則有2≤abc

，故abc2②，由①、②可得b

，c2

3yax24ax(25a)3y1

時(shí)，有2x≤ax24ax2

，即ax24a2)x(2

．考慮二次函數(shù)4yax2(4a2)x(24

對(duì)一切實(shí)數(shù) ，函數(shù)值總大于或等于0，必a(4a2)24a(25a)≤

a

a1

1x24x1x212(x1)2≤0，即y≤ y1x24x

，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于同一個(gè)x的值，y≤y≤ 總

y2x方法 （1）如圖，解方程組yx2

yx21

，

x

yyOx第17.1.22

ax24ax(2

y

y，得ax24a2)x25a

．由

解得a13yax24axtxA(1，0)xB的面積為9，求此拋物線的解析式；Exy軸的距離之比為52E在（2）且它與點(diǎn)A在拋物線對(duì)稱(chēng)軸的同側(cè)．試問(wèn)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△的周長(zhǎng)最P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析（1）方法 依題意，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x2，因?yàn)閽佄锞€與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(1，0)xB的坐標(biāo)為(3，0)方法 將點(diǎn)

a4at

ax24ax3a0因?yàn)閍

x1

，x2

B的坐標(biāo)為(3，0)由（1）D的坐標(biāo)為

ABCD

，且點(diǎn)Cyax24ax

C的坐標(biāo)為

1ABCDOD9

1(24)|3a|2

a

yx24x3yx24x3E的坐標(biāo)為(2t，5t)(t0)Eyx24x

上，可列出方程4t28t3

，解得t1，t3，點(diǎn) 5

的坐標(biāo)為2，或

．因?yàn)辄c(diǎn)E與點(diǎn)A在對(duì)稱(chēng)軸x

E 4是15 4 x

第17.1.23CDBAx上存在一點(diǎn)P，使 的周長(zhǎng)最?。?yàn)镃DBAx E的值最?。?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B(3，0) E、BBEy1x

y12所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為 1 ， 2②設(shè)點(diǎn)E在拋物線yx24x

上，將(2t

代入方程并整理，得4t23t3

yx24x

的對(duì)稱(chēng)軸上存在滿足條件的點(diǎn)P 1，使 的 ，

2若ab

，c

x若ab

，且當(dāng)1x

x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求c若abc

；x2

，試判斷當(dāng)0x1x解析（1）ab

，c

y3x22x

，方程3x22x1

x1，x

x軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)是

和1，0

當(dāng)ab

y3x22x

x軸有公共點(diǎn)．對(duì)于方程3x22xc0別式4

，有c1．①當(dāng)c1時(shí)，由方程3x22x1

xx

拋物線為y3x22x 與 軸只有一個(gè)公共點(diǎn)1，0 ．②當(dāng)c 時(shí)，x 時(shí) y132c1

x21時(shí)y232c5c．由已知1x1時(shí)，該拋物線與x軸有且有一個(gè)公共點(diǎn)，考慮其對(duì)稱(chēng)軸為x

，應(yīng)有y1

（這一結(jié)論觀察圖(a)更清晰）

5c

解得5c

c3

或5c≤1x1

y1c

；x2

y23a2bc

abc

3a2bc(abc)2ab2a

2ab

ba

2aac0，即ac

，所ac

．關(guān)于 的一元二次方

3ax22bxc

4b212ac4(ac)212ac4[(ac)2ac]

y3ax22bx

xxx

abc

，c

2ab0，得2ab

1b

時(shí)，y1

；x2

時(shí)，y20觀察圖(b)，可知在0x

xy11y1131xyO1x 第17.1.24yx22x3

1(|y|y)1y2x

ykx

的圖象交于三個(gè)不同的點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k解析（1）

x22x

的圖象如圖(a)x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為

x

x

y1

；當(dāng)1x

y1

x

x3時(shí)|y|y，y1(

y)

時(shí)，|y|y，y1(yyx22x3

xy2

2x3，(1xy1Oy1O 3y3

第17.1.25

作出圖象如圖(b)x

x

1x

時(shí)，圖象是拋物線yx22x

在1x

ykx1y2的圖象在1x

ykx的范圍內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程組 x22x3(1x

解．消yx2k2)x2

yx2(k2)x

x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在1x

①(k2)24(2)(k2)28

②二次函數(shù)yx2k2)x

xk2

應(yīng)滿足1k22

，得4k4．k0，所以4k

或0k4

(1)2(k2)(1)2x

3時(shí)yx2k2)x

的值均應(yīng)大于0，即 93(k2)2得1k13ykx

的圖象交于三個(gè)不同的點(diǎn)，k的取值范圍是1k或0k1

ABCDPBCCP12

DP交邊DC于M，交邊AB的延長(zhǎng)線于N，垂足為E．則EM與EN的比值 EMEMCPF第17.2.1解析EBCDCABFGDE

DF

EF是

的中位線．因?yàn)镃P12

EF1CP1

GF

EG5BC4ABCDDC1

EMEF

1

5 4★★★如圖(a)ABCDxy軸的正方向（A與原點(diǎn)O合AB

1P自點(diǎn)B出發(fā)，沿BC

運(yùn)動(dòng)4秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo) ；運(yùn)動(dòng)8秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo) 過(guò)點(diǎn)P分別作x軸和y軸的垂線垂足分別為EF如圖(b)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中矩形OEPF與矩形ABCD（ yGFDCPAByGFDCPAB yDyDCPAB

第17.2.2

（1）AC

OM

得OM11.2CM

得CM

，故MP8.464

P的坐標(biāo)為

8P已在邊CDP的坐標(biāo)為(12.4，10.8)（2）延長(zhǎng)CDy軸于G，如圖(b)．顯然，矩形OECGABCD（且為位似圖形要使矩形OEPF∽矩形ABCD，也就是矩形OEPF∽矩形OECG若點(diǎn)P段BC上（不含兩端點(diǎn)則EP

EP

理可證，當(dāng)點(diǎn)P段CD上（不含兩端點(diǎn)）時(shí)，對(duì)應(yīng)的兩矩形也不可能相似．所以只有當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)6秒時(shí)，與點(diǎn)C重合，所得矩形OEPF與矩形ABCD相似．應(yīng)選B．PABCD內(nèi)，位于圖(a)PMNMNP分為12ANDQANDQPM第17.2.3在中，甲首先給出如下畫(huà)法：過(guò)點(diǎn)P畫(huà)PQAB于Q，在QB上取點(diǎn)M，使QM2QAMPADN，則直線MN 段QB上截取QM1QA，同樣可作出滿足條件的另一條直線2PAB作垂線，可以得到兩條滿足條件的直線，那么也可以過(guò)PAD作垂線，同樣能得到符合題意的另外兩條直線，所以一共可以得到四條不同的直線．（．如圖(b)ABCD

、

、

的三等分點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)的不同位置時(shí)，試符合題意的直線情況B

ARNARNQCM第17.2.3

DC解析（1）如圖(c)PQ

MPMQ 而QM

，所以MPMN2

P是線段MN，，PPR

于R，如圖 此只能得到兩條不同的直線，丙的意見(jiàn)是錯(cuò)誤的．應(yīng)選A（2）若點(diǎn)P段

、B1

P條符合條件的直線l

，不存在這樣的直線l；若點(diǎn)P在其余8個(gè)小正方形，過(guò)點(diǎn)P可畫(huà)出ABCDAB

，BC

BD折疊，使點(diǎn)落在CBCAD于點(diǎn)GDAEFB

GHGHFC第17.2.4解析設(shè)AG

中，AB2AG2

62x28x)2x4

．由第一次折疊可知

≌

，所以

EFADHF1AB2

，DH1DA4

．易證

EH

EH

，EH

EFEHHF7325 ★★如圖(a)ABCDAE平分BADBE平分ABCE是CD的中點(diǎn)AE

ME ME 第17.2.5

解析（1）AD∥BC如圖(a)ABMAM

EM，易證

≌

，△BEM

D

DCAMEBME180所以AD∥BC

的真命題DEDE 第17.2.5（2）AD∥BC舉出反例如圖(b)，ABNEEDCENABCD平分

BE平分

E是CD中點(diǎn)，但AD不平BC★★★如圖(a)，

AH

，BC3

，ABC45．OAH上一點(diǎn)H關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．過(guò)GBCABACEFEO并BCMFOBCN．EFMNAOAEEFO H 第17.2.6解析（1）EFMN由點(diǎn) 與 關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)，得OG

；由EF

，得GFO ，

≌

GF

EG

所以EFMNEFMN（2）當(dāng)OAHA、GAO1AH2

，HC3

，BH

，所以當(dāng)符合題意的點(diǎn)OAHEFABACN、MBH、CH上運(yùn)動(dòng)．如圖(b)，當(dāng)點(diǎn)O的BNM仍為CH上的某一點(diǎn)（不與CH重合EF分別在AB、ACOH

EF∥BC得

~△

，所EFBCAG

，即(102x4052x3

x1AO5x4．所以線段AO長(zhǎng)度的取值范圍是2.5AO4A

第17.2.6★★★如圖(a)，將一張已知菱形紙片ABCD沿對(duì)角線BD(EF)剪開(kāi)，得到△ABD△ECFC第17.2.7操作：如圖(b)，將

F固定在

BDFBDFCBAH（B重合FEDA于點(diǎn)G（D重．探究：在

BH

操作：如圖(c)

的頂點(diǎn)F在

BDBD滑動(dòng)（B、重合CF始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．過(guò)點(diǎn)AAG∥CE，交FE于點(diǎn)G，連結(jié)DGFFD

CHCHACCEAG

第17.2.7

解析)

和

，根據(jù)題意有D

BFH

．由此可得

~

BH

BFDF，所以在

BH

BF2E、G重合，DG

，F(xiàn)D

FBDFDDGBDFDDGBD圖(c)BFDG是否相等：在

和

AB

，所以BAF

可得

≌△

BF

FFDDGBD

△

中，設(shè)A、

、

的對(duì)邊分別是a、b、c△

中，已知A

C90，求證a2b(bc)（1）中的a2b(b

ABC，其中A

解析（1）如圖(a)，由題意得A60B30C90，所以c2b方法 由a

3b，從而a2

，故a2b(bc)

a2c2b2(cb)(cb)(2bb)(cb)b(bc)bcbcbaA 第17.2.8ABC，其中A

，關(guān)系式a2b(b

如圖 ，延長(zhǎng) 到點(diǎn) ，使ADAC

，連結(jié) ，則△

是等腰三角形，ACDD12

B12

BD

~

AD

，即b

．整理，得a2b(bc)

b設(shè)倍角

，根據(jù)（2）a2b(b

，且a

種情形①當(dāng)ac

an

，c

，bn

（n是大于2的正整數(shù)a2b(bc)得(n1)2n1)(2n

，解得n5．所以三角形三邊長(zhǎng)分別為a

，c

，b4②當(dāng)ca

ab

B、C，如圖(a)PC

PPAB、BCE、F，如圖(b)．當(dāng)點(diǎn)EAEF，請(qǐng)你觀察、猜想，并解答：

EFBC BC

E

第17.2.9

55

，所以

~△DCP．APPB

，即1 ，可得PC 55 55

2FFG

，垂足為G形ABFG是矩形，APGF90，GFAB2．與（1）中同理可證 ∽△GFP，PFGF2

．在

tanPEFPF

，所以

如圖(c)EF中點(diǎn)OOB、OPBPOBOP，所以在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)O已知線段BP的垂直平分線上5EF的中點(diǎn)5

、

，如圖(d)．連結(jié)

，線段

EF的中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線，也就是

5 5BFC EA BFCO 第17.2.9（1）如圖(a)，正方形CGEF的對(duì)角線CEABCDBC已知CGBCMAE的中點(diǎn)．試探究線段MD、MF（2）將正方形CGEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖(b)，其他條件不變，線段MD、MF的關(guān)系是解析（1）MDMFMDMFDMMFDMCENFDFN．由正方ABCD

AM

，所以

≌

AD

AD

．由正方形 ，F(xiàn)CENEF45FCFECFE90．因?yàn)镈CFNEF45，從而△FDC

FD

CFE90DFN90又因?yàn)镈MMN（2）MDMF如圖(b)DMNMNMDFDFNENENDC交于點(diǎn)HMA

得

≌

3

由正方形ABCD、CGEF，可得CF

．由3

，所以HADC90．因?yàn)镚90567

．因7DCF8FEN90，所DCF

，易得

FD

．由CFE90，得DFN90，所以MDMFDMMFFFADMBCNEGF1 F1 M2HNEG第17.2.10★★★★如圖(a)，ABCD、EAC、AB上，M、NBECD的中點(diǎn)．若

和

都是等邊三角形，則顯然

下CND ND第17.2.11當(dāng)把

A旋轉(zhuǎn)到圖(b)

A旋轉(zhuǎn)到圖(c)

與

及（1（2CNCNEMN EM 第17.2.11解析（1）

，則易證

≌△

．因?yàn)镸、NBE、△ABM

所以AM

同理可證△N

ADC90．在

CD

3a，則DN 3a2DN2DN2

a． 32a777a2

、

、

S△ADE:S△AMN:S△ABCa2:

:(2a)21::44:7:162 ．（1①

不變，將

A旋轉(zhuǎn)，結(jié)論是否成立？（完全相同②將

A

（2ABkAD(k

k24

2:k②將

A旋轉(zhuǎn)任意角，等邊三角形

、

、

序排列？（設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為，當(dāng)090或270

時(shí)，從小到大的順序?yàn)椤鰽DE

、

；當(dāng)90270時(shí)，從小到大的順序?yàn)?/p>

、

、ABC③若將

A旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的

與

（90①△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的方兩個(gè)問(wèn)題的結(jié)論是否有影響？（結(jié)論與旋轉(zhuǎn)的方向無(wú)關(guān)②△

和

都是

為90RtMDMBM

中，AB

DACEABB不重合，如圖(a)BMDMBMDM如果將圖(a)中的△ADEA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)小于45的角，如圖(b)，那么（1）EBEBDEM 第17.2.12解析（1）方法 在

MECBM12

；同理，在DM12

B、C、D、E在以點(diǎn)MBM圓上，所以BMD2ACB90，即BMDM方法 證明BM

1BM

EMD2ECD（2）當(dāng)△ADEA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)小于45（1）1（利用平行四邊形和全等三角形）如圖(c)BDDMF，使MFDMBF、FCEDACHDM

，EM

，可知四邊形CDEF行四邊形，所以

．因ED

，所以AD

DE∥CF，得 BAD45DAH45(90AHE)AHE BCFACF45，所以BAD

AB

，所以

≌

DBFABC90

BD

，DM

，得BM

BMDM 第17.2.122（利用旋轉(zhuǎn)變換）如圖(c)BD，將

EBFDM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90AEBFDM，點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到點(diǎn) ，得到

BD

，且DBF90MFCEDCEADEA180ECAEAC45180ECA(90BAD)4545ECABADECBBADECBBCF

．因DEDA

，所以

≌

D、MBM是等腰直角

BM

BMDM★★★★如圖(a)，正方形ABCD和正三角形EFG的邊長(zhǎng)都是1，點(diǎn)E、F分別ABAD上滑動(dòng)，設(shè)點(diǎn)G到CDxBCy，記AEFFBA重合時(shí)，記0當(dāng)0xy的值（結(jié)果保留根號(hào)

為（E當(dāng)GACxy的值（結(jié)果；請(qǐng)你補(bǔ)充完成下表（精確到0.01αG αGEB

第17.2.13

Cx0y17.2.3若將“點(diǎn)E、F分別段AB、AD上滑動(dòng)”改為“點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD邊（3）的結(jié)果，在圖(b)中描出部分點(diǎn)后，勾畫(huà)出由點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)所形成33

，sin15

624

，sin75

620.9664解析（1）如圖(c)，過(guò)GMNABM交CDNGK

K．正

MG2

，BM2

x12

，y12M

GGK

JGHGHP 第17.2.13當(dāng)45時(shí)，點(diǎn)GAC上，如圖(d)．過(guò)GIQ∥

AB、CDI、Q過(guò)GJP

AD、BCJ、P因?yàn)锳C平分

GP

GIGJ

≌

，則GEI

．因?yàn)镚EFGFE60，所

EAF90AEFAFE45

45G落在對(duì)AC上（xy的解法方法 由AEG4560105，得GEI75．在

中，GIGEsin75

624所以GQIQGI1

64

xy1

62422方法 當(dāng)點(diǎn)G在對(duì)角線AC上時(shí)，由AHHGGCAC ，得132x ．解22 x1

64

xy1

624在表的第二行中分別填入0.13；0.03；0.13；0.50．第三行中分別填入0.50；0.03；00.13由點(diǎn)G所得到的大致圖形如圖(e)（其中點(diǎn)G17段曲線段．

和

分別對(duì)應(yīng)于圖(c)和圖(d)中點(diǎn)GGG第17.2.13問(wèn)題：如圖(a)，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點(diǎn)ABE在同一條直線上B、C

小聰同學(xué)的思路是：延長(zhǎng)GPDCH，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過(guò)推理使問(wèn)題得到解決．PGPC

將圖(aBEFGBBEFGBFABCDAB在同一條直線上，原問(wèn)題中的其他條件不變（如圖(b（1）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)若圖(a中ABCBEF2(090BEFGBPG的值（用含的式子表示PFGGPAB PFGGPABA

第17.2.14

E解析（1）GPCDH，如圖(a)，易證△PGF△PHDPGPHGFHD3PCG1BCD60．所以PGtan60 3 （1）

31如圖(cGPADHCHCG△GFP△HDPGPHPHDGFGB．進(jìn)而由△HDC△GBC，得CHCGPC是等腰△CGH底邊上的高和頂角的平分線；且DCHBCG，則HCGDCB120，所以PCG60．在Rt△PCG3 321基礎(chǔ)上延長(zhǎng)CPAB于點(diǎn)Q(c△HAQ和△QBG120，DCFQ可知：夾鈍角的兩邊分別對(duì)應(yīng)為小菱形的邊長(zhǎng)和兩個(gè)菱形邊長(zhǎng)的差，所以△HAQ≌△QBG．由此可得HG，HQG120．從而，四邊形CHQG是菱形，進(jìn)而可得到結(jié)論注意到（2）是（3）中當(dāng)30時(shí)的特例．同時(shí)題意要求不加證明直接寫(xiě)出猜想，也可以相對(duì)正確地作出圖形，通過(guò)度量得到猜想（如圖(d)中ABC276，量得△PCG中CPG90，

PGcotHPG BHPG BFE

HHPGAB第17.2.141DFG的平行線，交GPH，連結(jié)CH，如圖(d．與（2）1完全相同，通過(guò)△GFP△HDP△HDC△GBC可得到結(jié)果．三邊中點(diǎn)，所以四邊形BO1PO2PO1O2BPO2O1BRt△BO1C

因?yàn)镚O2GO2 PO2O1Bcot所以GO2PO2

O

POGCOP（平行四邊形中對(duì)角的余角，所以△POG△COPPGGO2cot

的延長(zhǎng)線交于O于點(diǎn)D，連結(jié)AD．若以A、C、D為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似，則AC的長(zhǎng)為 DO 第17.2.15解析連結(jié)OA，在等腰△OABAB23．由三角形外角性質(zhì)，在△ACDACDBACDBOC，所以兩三角形相似，只能ACDOCB90．這時(shí)CAB3AC 3ABCDAEEFEFFCAE6EF8，F(xiàn)C10．方形與其外接圓之間陰影部分的面積 FE H第17.2.1651ACAEH，連結(jié)CH