對(duì)流擴(kuò)散方程有限差分方法

..對(duì)流擴(kuò)散方程有限差分方法求解對(duì)流擴(kuò)散方程的差分格式有很多種,在本節(jié)中將介紹以下3種有限差分格式：中心差分格式、Samarskii格式、Crank-Nicolson型隱式差分格式。3.1中心差分格式時(shí)間導(dǎo)數(shù)用向前差商、空間導(dǎo)數(shù)用中心差商來逼近,那么就得到了〔1式的中心差分格式〔3若令,,則〔3式可改寫為〔4從上式我們看到,在新的時(shí)間層上只包含了一個(gè)未知量,它可以由時(shí)間層上的值,,直接計(jì)算出來。因此,中心差分格式是求解對(duì)流擴(kuò)散方程的顯示格式。假定是定解問題的充分光滑的解,將,,分別在處進(jìn)行Taylor展開：代入<4>式,有顯然,當(dāng),時(shí),,即中心差分格式與定解問題是相容的。由以上的討論也可得知,對(duì)流擴(kuò)散方程的中心差分格式的截?cái)嗾`差為。對(duì)于我們上面構(gòu)造的差分格式,是否可以直接用于實(shí)際計(jì)算呢？也就是說,如果初始值有誤差,在計(jì)算過程中誤差會(huì)不會(huì)擴(kuò)大傳播呢？這就是接下來我們要討論的是差分方程的穩(wěn)定性問題。下面用Fourier方法來分析中心差分格式的穩(wěn)定性。令,代入到〔4式整理得所以該差分格式的增長因子為：其模的平方為由于,所以〔即差分格式穩(wěn)定的充分條件為上式可以改寫為注意到,所以上面不等式滿足的條件為,。由此得到差分格式〔3的穩(wěn)定性限制為,。故有結(jié)論：對(duì)流擴(kuò)散方程的中心差分格式是條件穩(wěn)定的。根據(jù)Lax等價(jià)定理,我們可以知道,對(duì)流擴(kuò)散方程的中心差分格式是條件收斂的。3.2Samarskii格式設(shè)>0,先對(duì)方程<1>作擾動(dòng),得到另一個(gè)對(duì)流擴(kuò)散方程〔5其中,當(dāng)時(shí),〔5式化為〔1式對(duì)于〔5式,構(gòu)造迎風(fēng)格式〔6差分格式〔6稱為逼近對(duì)流擴(kuò)散方程的Samarskii格式。首先推導(dǎo)〔6的截?cái)嗾`差。設(shè)是對(duì)流擴(kuò)散方程〔1式的充分光滑的解令用Taylor級(jí)數(shù)展開有再令用Taylor級(jí)數(shù)展開有由于所以當(dāng),時(shí),,所以Samarskii格式與定解問題是相容的,并且其截?cái)嗾`差為?，F(xiàn)在看看Samarskii格式的穩(wěn)定性。將〔6式兩邊同時(shí)加上,把〔6式化為令,則上式即為：根據(jù)中心顯示格式穩(wěn)定性的討論,可以得到〔6式的穩(wěn)定性條件為,即,穩(wěn)定性的第二個(gè)條件等價(jià)于而利用不等式所以利用穩(wěn)定性的第一個(gè)條件,有,從而可知穩(wěn)定性條件的第二個(gè)條件可由第一個(gè)條件推出,因此差分格式的穩(wěn)定性條件為,即。由Lax等價(jià)定理可知,Samarskii格式也是條件收斂的。3.3Crank-Nicolson型隱式差分格式前面討論了求解對(duì)流擴(kuò)散方程的兩種顯示格式,它們都是條件穩(wěn)定的,為了放松穩(wěn)定性條件,可以采用隱式格式進(jìn)行求解?，F(xiàn)在考慮Crank-Nicolson型隱式差分格式〔7令,,則〔7式可化為〔8把〔8式用矩陣的形式=+〔9設(shè),,,則有下面討論Crank-Nicolson型格式的截?cái)嗾`差和精度。該格式涉及到時(shí)間層和時(shí)間層上的,,處六個(gè)點(diǎn)。設(shè)是定解問題的充分光滑的解,把<7>式中各的值用代替,然后將,,,,,分別在點(diǎn)處進(jìn)行Taylor展開：這里出現(xiàn)的的各階偏導(dǎo)數(shù)假設(shè)都是存在而且連續(xù)的。于是〔7式的截?cái)嗾`差顯然,Crank-Nicolson型格式的精度是二階的。再來看看該格式的穩(wěn)定性情況,我們還是用Fourier方法來分析。令,代入到〔8式整理得所以Crank-Nicolson型格式的增長因子是其模的平方改寫上式由于及上式的分母為正,故即,從而得出Crank-Nicolson型格式是無條件穩(wěn)定的。根據(jù)Lax等價(jià)定理,Crank-Nicolson型格式也是無條件收斂的。4、數(shù)值例子給出如下對(duì)流擴(kuò)散方程的初邊值問題：所討論的對(duì)流擴(kuò)散方程的精確解為4.1三種差分格式的比較在各種對(duì)流擴(kuò)散問題中,有許多對(duì)流相對(duì)于擴(kuò)散來說在問題中起主導(dǎo)作用。對(duì)流占有擴(kuò)散問題的數(shù)值求解面臨很多困難。因此,對(duì)流占有擴(kuò)散問題的有效數(shù)值解法一直是計(jì)算數(shù)學(xué)中重要的研究?jī)?nèi)容。取,,,,此時(shí)上面給出的就是一個(gè)對(duì)流占優(yōu)擴(kuò)散問題。那么,本文討論的三種差分格式對(duì)對(duì)流占有擴(kuò)散問題的求解效果是怎樣的呢？現(xiàn)在我們就來看看這個(gè)問題。首先,根據(jù)差分格式的穩(wěn)定性條件,確定的取值范圍?！?中心差分格式：根據(jù)穩(wěn)定性條件,可知,要使中心差分格式穩(wěn)定,的取值必須滿足：〔2Samarskii格式：根據(jù)穩(wěn)定性條件可知,的取值必須滿足：〔3Crank-Nicolson格式：該差分格式是無條件穩(wěn)定的,所以可以取任意值。要使三種差分格式都是穩(wěn)定的,不妨取。首先,我們通過表格看看三種差分格式的數(shù)值解與準(zhǔn)確解之間的相對(duì)誤差。表4.1時(shí)三種差分格式結(jié)果的比較x中心差分格式Samarskii格式Crank-Nicolson格式準(zhǔn)確解數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差01.219201.219201.219201.21920.11.1009-0.00231.10760.00441.10340.00021.10320.20.9950-0.00321.00510.00690.99850.00030.99820.30.8999-0.00330.91100.00780.90350.00030.90320.40.8142-0.00310.82500.00770.81750.00020.81730.50.7367-0.00280.74670.00720.73970.00020.73950.60.6666-0.00250.67570.00660.66930.00020.66910.70.6031-0.00230.61140.0060.60560.00020.60540.80.5459-0.00190.55320.00540.54800.00020.54780.90.4931-0.00260.50060.00490.49590.00020.49571.00.448500.448500.448500.4485表4.2時(shí)三種差分格式結(jié)果的比較x中心差分格式Samarskii格式Crank-Nicolson格式準(zhǔn)確解數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差01.489401.489401.489401.48940.11.3450-0.00271.35370.0061.34790.00021.34770.21.2144-0.00501.23010.01071.21990.00051.21940.31.0969-0.00651.11710.01371.10400.00061.10340.40.9915-0.00691.01370.01530.99900.00060.99840.50.8966-0.00680.91910.01570.90400.00060.90340.60.8115-0.00590.83270.01530.81790.00050.81740.70.7333-0.00630.75390.01430.74020.00060.73960.80.6656-0.00360.68240.01320.66960.00040.66920.90.5982-0.00740.61760.0120.60620.00060.60561.00.547900.547900.547900.5479表4.3時(shí)三種差分格式的結(jié)果比較x中心差分格式Samarskii格式Crank-Nicolson格式準(zhǔn)確解數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差01.819601.819601.819601.81960.11.6433-0.00311.65380.00741.64670.00031.64640.21.4839-0.00581.50320.01351.49020.00051.48970.31.3397-0.00831.36600.0181.34870.00071.34800.41.2100-0.00971.24100.02131.22050.00081.21970.51.0923-0.01131.12690.02331.10460.0011.10360.60.9892-0.00941.02260.02400.99940.00080.99860.70.8911-0.01250.92740.02380.90470.00110.90360.80.8121-0.00550.84040.02280.81810.00050.81760.90.7257-0.01410.76120.02140.74100.00120.73981.00.669400.669400.669400.6694表4.4時(shí)三種差分格式結(jié)果的比較x中心差分格式Samarskii格式Crank-Nicolson格式準(zhǔn)確解數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差02.222902.222902.222902.22290.12.0073-0.0042.02040.00912.01170.00042.01130.21.8132-0.00671.83640.01651.82050.00061.81990.31.6366-0.01011.66910.02241.64760.00091.64670.41.4794-0.01061.51690.02691.49090.00091.49000.51.3325-0.01571.37840.03021.34960.00141.34820.61.2087-0.01121.25210.03221.22090.0011.21990.71.0839-0.01991.13700.03321.10560.00181.10380.80.9915-0.00731.03180.0330.99940.00060.99880.90.8809-0.02290.93580.0320.90570.00190.90381.00.817700.817700.817700.8177接下來,我們看看這三種差分格式在不同時(shí)間的圖形。圖4.1時(shí)三種差分格式結(jié)果的比較圖4.2時(shí)三種差分格式結(jié)果的比較圖4.3時(shí)三種差分格式結(jié)果的比較圖4.4時(shí)三種差分格式結(jié)果的比較4.2結(jié)果分析由表格中的數(shù)據(jù)以及圖示可以看出,對(duì)于對(duì)流擴(kuò)散方程的數(shù)值求解,三種差分格式的穩(wěn)定性都比較好,其中以Crank-Nicolson格式的效果最好。5.小結(jié)對(duì)流擴(kuò)散問題的數(shù)值求解一直是許多計(jì)算工作者比較重視的一類問題。本文分析了對(duì)流擴(kuò)散方程的中心差分格式、Samarskii格式以及Crank-Nicolson格式。中心差分格式和Samarskii格式是顯式格式,所以很適合于并行計(jì)算,但由于穩(wěn)定性條件的限制,必須采用非常小的時(shí)間步長來計(jì)算。Crank-Nicolson格式是隱式格式,它是無條件穩(wěn)定的,但在每一時(shí)間層上要求解線性方程組,實(shí)現(xiàn)并行計(jì)算有一定困難。中心差分格式的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易算,但由于截?cái)嗾`差為,又僅當(dāng),時(shí)才穩(wěn)定和收斂,所以想要算得略為精確一點(diǎn),就要縮小。并且注意