2022-2023學(xué)年福建省泉州市惠安縣第四中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2022-2023學(xué)年福建省泉州市惠安縣第四中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足對(duì)恒成立，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.參考答案：A【分析】求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得出答案．【詳解】令由（x+xlnx）f′（x）<f（x），得（1+lnx）f′（x）f（x）<0，g′（x），則g′（x）<0，故g（x）在遞減；故,即,∴故選：A【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)，準(zhǔn)確構(gòu)造新函數(shù)是突破，準(zhǔn)確判斷單調(diào)性是關(guān)鍵，是中檔題2.雙曲線﹣y2=1的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A．4 B．2 C． D．1參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】求出雙曲線的a=2，即可得到雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2a．【解答】解：雙曲線﹣y2=1的a=2，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=4，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查實(shí)軸的概念，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3.如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，點(diǎn)E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與GF所成角的余弦值是（）A． B． C． D．0參考答案：D【考點(diǎn)】用空間向量求直線間的夾角、距離；異面直線及其所成的角．【分析】以DA，DC，DD1所在直線方向x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得和的坐標(biāo)，進(jìn)而可得cos＜，＞，可得答案．【解答】解：以DA，DC，DD1所在直線方向x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則可得A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F(xiàn)（1，1，0）∴=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1）設(shè)異面直線A1E與GF所成角的為θ，則cosθ=|cos＜，＞|=0，故選：D4.函數(shù)

是

(

)A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D.非奇非偶函數(shù)

參考答案：C5.在中，,,則

（

）

A．

B．

C．

D．1參考答案：C6.如果命題“非p為真”，命題“p且q為假”，那么下列選項(xiàng)一定正確的是（

）

A．q為真

B．q為假

C．p或q為真

D．p或q不一定為真參考答案：D7.命題“對(duì)任意的”的否定是（

）A.不存在

B.存在C.存在

D.對(duì)任意的參考答案：C8.函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）A． B．C． D．參考答案：C略9.設(shè)偶函數(shù)上遞增，則的大小關(guān)系是（

） A． B． C． D．參考答案：B2.設(shè)，則的大小關(guān)系是A.

B.

C.

D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在直三棱柱ABC－A1B1C1中∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是

參考答案：12.如圖，有組數(shù)據(jù)，去掉

組（即填A(yù)，B，C，D，E中的某一個(gè)）后，剩下的四組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)最大。

參考答案：D組13.已知實(shí)數(shù)a，b滿足，，則的最小值為

．參考答案：14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩個(gè)定點(diǎn)M（﹣1，2）和N（1，4），點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)∠MPN取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是

．參考答案：1【考點(diǎn)】?jī)芍本€的夾角與到角問(wèn)題；直線的斜率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓．【分析】∠MPN為弦MN所對(duì)的圓周角，故當(dāng)圓的半徑最小時(shí)，∠MPN最大，設(shè)過(guò)MN且與x軸相切的圓與x軸的切點(diǎn)為P，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為所求．【解答】解：過(guò)M、N兩點(diǎn)的圓的圓心在線段MN的中垂線y=3﹣x上，設(shè)圓心E（a，3﹣a），∠MPN為弦MN所對(duì)的圓周角，故當(dāng)圓的半徑最小時(shí)，∠MPN最大．由于點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，故當(dāng)圓和x軸相切時(shí)，∠MPN最大，此時(shí)，切點(diǎn)P（a，0），圓的半徑為|a|．因?yàn)镸，N，P三點(diǎn)在圓上，∴EN=EP，∴（a+1）2+（a﹣2）2=（a﹣1）2+（a﹣4）2，整理可得，a2+6a﹣7=0．解方程可得a=1，或a=﹣7（舍去），故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的性質(zhì)圓外的角小于圓周角在求解角的最值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15.設(shè)△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為，則__________．參考答案：由余弦定理得，，又，聯(lián)立兩式得，，.16.某少數(shù)民族刺繡有著悠久歷史，下圖中的（1）（2）（3）（4）為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成的，小正方形越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡（小正方形的擺放規(guī)律相同），設(shè)第n個(gè)圖形包含f（n）個(gè)小正方形，則f（5）=，f（n）=．參考答案：41,2n2﹣2n+1.【考點(diǎn)】F1：歸納推理．【分析】先分別觀察給出正方體的個(gè)數(shù)為：1，1+4，1+4+8，…總結(jié)一般性的規(guī)律，將一般性的數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列再求解．【解答】解：根據(jù)前面四個(gè)發(fā)現(xiàn)規(guī)律：f（2）﹣f（1）=4×1，f（3）﹣f（2）=4×2，f（4）﹣f（3）=4×3，…f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1）這n﹣1個(gè)式子相加可得：f（n）=2n2﹣2n+1．當(dāng)n=5時(shí)，f（5）=41．故答案為：41；2n2﹣2n+1．17.已知正四棱錐S-ABCD所有棱長(zhǎng)均為2,若E為棱SC的中點(diǎn),則異面直線BE與SA所成角的正切值為______________。參考答案：設(shè)正方形ABCD的中心為O，連接EO，OB，則即是異面直線與所成角.易知，所以在中，.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x3+x，g（x）=f（x）﹣ax（a∈R）．（1）當(dāng)a=4時(shí)，求函數(shù)g（x）的極大值；（2）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線l的方程；（3）若函數(shù)g（x）在上無(wú)極值，且g（x）在上的最大值為3，求a的值．參考答案：【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求出g（x），求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的極值即可；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)和切線方程的關(guān)系求解即可；（3）求出g'（x）=3x2+1﹣a，函數(shù)g（x）在上無(wú)極值，得出1﹣a≥0或4﹣a≤0，分類討論即可．【解答】解：（1）g（x）=x3﹣3x，∴g'（x）=3x2﹣3，當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，g'（x）＜0，當(dāng)x＜﹣1或s＞1時(shí)，g'（x）＞0，∴g（x）的極大值為g（﹣1）=2；（2）f'（x）=3x2+1，f'（1）=4，f（1）=2，∴切線l的方程為y﹣2=4（x﹣1），即y=4x﹣2；（3）g'（x）=3x2+1﹣a，當(dāng)1﹣a≥0時(shí)，g'（x）≥0，g（x）遞增；∴最大值為g（1）=2﹣a=3，a=﹣1；當(dāng)4﹣a≤0時(shí)，g'（x）≤0，g（x）遞減；∴最大值為g（0）=0≠3，綜上a=﹣1．19.(12分)已知橢圓方程為，它的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為，求△AOB面積的最大值．參考答案：（1）設(shè)，依題意得

…………2分解得

…….3分橢圓的方程為

………….4分（2）①當(dāng)AB

………5分②當(dāng)AB與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，由已知得

……..6分代入橢圓方程，整理得

………7分

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)…10分③當(dāng)

………..11分綜上所述：，此時(shí)面積取最大值……12分20.在兩個(gè)正數(shù)a，b之間插入一個(gè)數(shù)x，可使得a，x，b成等差數(shù)列，若插入兩個(gè)數(shù)y，z，可使得a，y，z，b成等比數(shù)列，求證：x+1≥．參考答案：【考點(diǎn)】8G：等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】y，z為正數(shù)，可得≤，要證明x+1≥．（x＞0）．只要證明：2x≥y+z即可．根據(jù)a，x，b成等差數(shù)列，a，y，z，b成等比數(shù)列，a，b＞0．可得2x=a+b，，z=．令=m＞0，=n＞0，可得2x≥y+z?m3+n3≥m2n+mn2?（m﹣n）2≥0，【解答】證明：∵y，z為正數(shù)，∴≤，要證明x+1≥．（x＞0）．只要證明：2x≥y+z即可．∵a，x，b成等差數(shù)列，a，y，z，b成等比數(shù)列，a，b＞0，∴2x=a+b，，z=．令=m＞0，=n＞0，則2x≥y+z?m3+n3≥m2n+mn2．?（m﹣n）2≥0，上式顯然成立，因此：x+1≥．21.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣1與x=2處都取得極值．（Ⅰ）求a，b的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對(duì)x∈[﹣2，3]，不等式f（x）+c＜c2恒成立，求c的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；R6：不等式的證明．【分析】（1）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=﹣1和x=2代入求出a、b即可；（2）求出函數(shù)的最大值為f（﹣1），要使不等式恒成立，既要證f（﹣1）+c＜c2，即可求出c的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+2ax+b，由題意：即解得∴，f′（x）=3x2﹣3x﹣6令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜2；令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞2，∴f（x）的減區(qū)間為（﹣1，2）；增區(qū)間為（﹣∞，﹣1），（2，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞增；在（﹣1，2）上單調(diào)遞減；在（2，+∞）上單調(diào)遞增．∴x∈[﹣2，3]時(shí)，f（x）的最大值即為f（﹣1）與f（3）中的較大者.；∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，f（x）取得最大值．要使，只需，即：2c2＞7+5c解得：c＜﹣1或．∴c的取值范圍為．22.已知m∈R，設(shè)P：和是方程－ax－2＝0的兩個(gè)根，不等式|m－5|≤|－|對(duì)任意實(shí)數(shù)a∈[1,2]恒成立；Q：函數(shù)f(x)＝3＋