(完整word版)江蘇省2012年專轉(zhuǎn)本高數(shù)真題及答案

1616、江蘇省2012年普通高校“專轉(zhuǎn)本”選拔考試高等數(shù)學試題卷(二年級)注意事項：出卷人：江蘇建筑大學-張源教授1、2、考生務(wù)必將密封線內(nèi)的各項目及第1、2、考生須用鋼筆或圓珠筆將答案直接答在試卷上，答在草稿紙上無效．本試卷共8頁，五大題24小題，滿分150本試卷共8頁，五大題24小題，滿分150分，考試時間120分鐘一、選擇題(本大題共6小題，每小題4分，滿分24分)1sin3x極限lim(2xsin—+x)=(xxB.23、1、xsA.0C.3D.52、3、4、A.0B.1C.D.3—2、3、4、A.0B.1C.D.3—3設(shè)f(x)二2x2—5x2，則函數(shù)f(x)(A.只有一個最大值B.C.既有極大值又有極小值D.)只有一個極小值沒有極值3設(shè)z=ln(2x)+在點(1,1)處的全微分為(yA.dx-3dyB.dx+3dyC.—dx+3dy2D.—dx-3dy2(x-2)sinx，則函數(shù)f(x)的第一類間斷點的個數(shù)為(5、二次積分J1dyf1f(x,y)dx在極坐標系下可化為5、0y6、A.J6、A.J:dOfsecOf(pcosO,psinO)dp00C.secOf(pcosO,psinO)dp工04下列級數(shù)中條件收斂的是(B.f:dOfsecOf(pcosO,psinO)pdp00f2dOfsecOf(pcosO,psinO)pdp匹4D.A.另(-1)n詁A.另(-1)n詁—n=1B.另(-1)n(2)nn=1C.n2n=1D.藝(-少nZ、填空題(本大題共6小題，每小題4分，共24分)—7要使函數(shù)f(x)=(1-2x)x在點x=0處連續(xù)，則需補充定義f(0)=8、設(shè)函數(shù)y=x(x2+2x+1)2+e2x，則y(7)(0)二

9、設(shè)y二xx(x>0)，則函數(shù)y的微分dy=10、設(shè)向量a,b互相垂直，且a=3,b=2,,則a+2b11、設(shè)反常積分尸8e-xdx=2，則常數(shù)a=.a212、幕級數(shù)蘭((x-3)n的收斂域為.n3nn=1三、計算題(本大題共8小題，每小題8分，共64分)x2+2cosx-213、求極限limXT0x3ln(1+x)dyd2dyd2ydxdx2x=t——14、設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程st所確定,y=12+2lnt15、求不定積分J蘭上1dx.cos2x計算定積分J計算定積分J21dx.x、；2x—117、已知平面n通過M(1,2,3)與x軸，求通過N(l,l,l)且與平面n平行，又與x軸垂直的直線方程．18、設(shè)函數(shù)z二f(x,xy)+p(x2+y2),其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導數(shù)，函數(shù)具有二階d2z連續(xù)導數(shù)，求-.dxdy19、已知函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)為xex，求微分方程y"+4y'+4y=f(x)的通解.20、計算二重積分Kydxdy，其中D是由曲線y?x-1，直線y=2x及x軸所圍成的平面閉區(qū)域.四、綜合題(本大題共2小題，每小題10分，共20分)21、在拋物線y二x2(x>0)上求一點P，使該拋物線與其在點P處的切線及x軸所圍成的2平面圖形的面積為3，并求該平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.22、已知定義在(-?,+?)上的可導函數(shù)f(x)滿足方程xf(x)-4ixf(t)dt=x3—3，試求:1函數(shù)f(x)的表達式；函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間與拐點.五、證明題(本大題共2小題，每小題9分，共18分)23、證明：當0<x<1時，arcsinx>x+—x3.6ixg(t)dt24ixg(t)dt24、設(shè)f(x)={一x2g(0)x豐0，其中函數(shù)g(x)在(-8,+s)上連續(xù)，且limx=0xtOg(x)1-cosx證明：函數(shù)f(x)在x=0處可導，且f'(0)=2.22一．選擇題1-5BCCABD二．填空題7-12e-2128xn(1+Inx)dx5In2(0,6]三．計算題x2+2cosx一213、求極限limxtox3ln(1+x)x2+2cosx-2原式=limxtOx42x-2sinx=limxtO4x3x-sinx=limxto2x31%21-cosx2=lim=lim-xto6x2xto6x21214、1x=t——設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程sty=12+2lntdyd2y所確定’求dx'忘dy原式=~dxdy221+dt=/_dx411+-dtt2d(dy)

dxd伴)dxdt2t2dx2dxdxdtt22x+1J15、求不定積分Jdx.cos2x原式=J2"1dx=J(2x+1)dtanx=(2x+1)tanx—Jtanxd(2x+1)cos2x=(2x+1)tanx—2ltanxdx=(2x+1)tanx+2ln|cosx|+C16、計算定積分JI1x*2x—1dx.原式=令“2x-1=t,則原式J31dt=2J3竺t1dt=2arctant1+12v3117、已知平面n通過M(1,2,3)與x軸，求通過N(l,l,l)且與平面n平行，又與x軸垂直的直線方程．解：平面n的法向量n=oMx7=(0,3,—2)，直線方向向量為S=nx了=(0,—2,—3),直線方程：18、設(shè)函數(shù)z_f(x,xy)+p(x2+y2)，其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導數(shù)，函數(shù)具有二階連續(xù)導數(shù)，七d2z連續(xù)導數(shù)，求-dxdy解：比_dxf解：比_dxf；+f；y+r2xd2z

dxdy_f"-x+f'+xyf"+2x-2yW1222219、已知函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)為xex，求微分方程y"+4y"+4y_f(x)的通解.解：f(x)_(xex)"_(x+1)ex，先求y"+4y'+4y_0的通解，特征方程：r2+4r+4_0,I_-2，齊次方程的通解為Y_(C1+C2x)e-2x令特解為y*_(Ax+B)ex，代入原方程得：9Ax+6A+9B_x+1，有待定系數(shù)法得:9A_169A_16A+9B_1解得A_1IB_iI27所以通解為Y_(「qx)e—2x+(x+)ex92720、計算二重積分ydxdy，其中D是由曲線y_Jx-1，直線y_1x及x軸所圍成的平D面閉區(qū)域．原式二丿1ydyjy2+102y12

四．綜合題21、在拋物線y二x2(x>0)上求一點P，使該拋物線與其在點P處的切線及x軸所圍成的2平面圖形的面積為3，并求該平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解：設(shè)P點(X,x2)(x>0)，則k二2x,切線：，y-x2=2x(x-x)TOC\o"1-5"\h\z000切0000得x0=2，P得x0=2，P(2,4)即，y+x2=2xx，由題意if"(x)=-x=x(-1)>0，在0f"(x)=-x=x(-1)>0，在0<x<1，f，(x)單調(diào)遞增,(1-x2)3x.'(1-x2)3016兀15=kJ2x4dx一兀J2(4x-4)216兀150122、已知定義在(-?,+?)上的可導函數(shù)f(x)滿足方程xf(x)—4Jxf(t)dt=x3—3，試求:1函數(shù)f(x)的表達式；函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(3)曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間與拐點.解：(1)已知xf(x)—4Jxf(t)dt=x3—3兩邊同時對x求導得：f(x)+xf'(x)—4f(x)=3x21即：y-即：y--y=3xx則y=-3x2+cx3由題意得：f(1)=-2，c=1，則f(x)=-3x2+x3(2)f'(x)=3x2—6x=0,x=0,x=2列表討論得在(-?0)u(2,+s)單調(diào)遞增，在12(0,2)單調(diào)遞減。極大值f(0)=0，極小值f⑵=一4(3)f"(x)=6x-6=0,x=1列表討論得在(—s,1)凹，在(1,+2)凸。拐點(1,-2)五、證明題23、證明：當0<x<1時，arcsinx>x+—x3.6111解：令f(x)=arcsinx-x-x3,f(0)=0,f'(x)=—1—x2,f'(0)=06Jl—x22f'(x)>f'(0)=0，所以在0<x<1,f(x)單調(diào)遞增，則有f(x)>f(0)=0，得證。TOC\o"1-5"\h\zJxg(t)dtg(x)24、設(shè)/(x)=<y-x豐0，其中函數(shù)g(x)在(一8,+8)上連續(xù)，且limg24、設(shè)/(x)=<x2x<01-cosxg(0)x=03證明：