數(shù)學(xué)高斯定理課件

同學(xué)們好！高斯（CarlFriedrichGauss)1777-1855德國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家。長期從事于數(shù)學(xué)研究并將數(shù)學(xué)應(yīng)用于物理學(xué)、天文學(xué)和大地測量學(xué)等領(lǐng)域.著述豐富，成就甚多。他一生中共發(fā)表323篇（種）著作，提出404項(xiàng)科學(xué)創(chuàng)見。在CGS電磁系單位制中磁感應(yīng)強(qiáng)度的單位定為高斯，便是為了紀(jì)念高斯在電磁學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)。1同學(xué)們好！高斯德國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家。1高斯在各領(lǐng)域的主要成就有：（1）物理學(xué)和地磁學(xué)中，關(guān)于靜電學(xué)、溫差電和摩擦電的研究、利用絕對單位（長度、質(zhì)量和時(shí)間）法則量非力學(xué)量以及地磁分布的理論研究。（2）利用幾何學(xué)知識研究光學(xué)系統(tǒng)近軸光線行為和成像，建立高斯光學(xué)。（3）天文學(xué)和大地測量學(xué)中，如小行星軌道的計(jì)算，地球大小和形狀的理論研究等。（4）結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)的測算，發(fā)展了概率統(tǒng)計(jì)理論和誤差理論，發(fā)明了最小二乘法，引入高斯誤差曲線。此外，在純數(shù)學(xué)方面，對數(shù)論、代數(shù)、幾何學(xué)的若干基本定理作出嚴(yán)格證明。2高斯在各領(lǐng)域的主要成就有：（2）利用幾何學(xué)知識研究光學(xué)系其上每點(diǎn)切向:該點(diǎn)方向電場線通過垂直的單位面積的條數(shù)等于場強(qiáng)的大小即其疏密與場強(qiáng)的大小成正比.§9.3高斯定理一.電場線

：空間矢量函數(shù)，描述電場參與動量傳遞的性質(zhì)。定量研究電場：對給定場源電荷求出其分布函數(shù)定性描述電場整體分布：電場線方法

“在法拉第的許多貢獻(xiàn)中，最偉大的一個(gè)就是力線的概念了。借助于它可以把電場和磁場的許多性質(zhì)最簡單而又極富啟發(fā)性的表示出來?！?/p>

－－W.Thomson3其上每點(diǎn)切向:該點(diǎn)方向電場線通過垂直的單位面積的電偶極子的電場線實(shí)例：1.軸線延長線上的場強(qiáng)2.中垂面上的場強(qiáng)+-旋轉(zhuǎn)對稱分布4電偶極子的電場線實(shí)例：1.軸線延長線上的場強(qiáng)2.中垂面得：實(shí)例：有限長均勻帶電直線的電場線旋轉(zhuǎn)對稱分布5得：實(shí)例：有限長均勻帶電直線的電場線旋轉(zhuǎn)對稱分布5從方法論上認(rèn)識電場線的意義牛頓：空間是盛放質(zhì)點(diǎn)的容器.

法拉第：在空間尋找力的載體，提出場的概念，并設(shè)想空間貫穿著力線，來描述場。麥克斯韋：總結(jié)出法拉第力線描述的數(shù)學(xué)形式.

建立嚴(yán)密的電磁場方程.引入場線（力線）求空間矢量的通量和環(huán)流是描述空間矢量場的一般方法（見《教與學(xué)參考》P132）

.6從方法論上認(rèn)識電場線的意義牛頓：空間是盛放質(zhì)點(diǎn)的容器.二.電場強(qiáng)度通量微元分析法：以平代曲；以恒代變。1）通過面元的電場強(qiáng)度通量取正、負(fù)、零的條件？通過電場中某一給定面的電場線的總條數(shù)叫做通過該面的電場強(qiáng)度通量.定義：面積元矢量面積元范圍內(nèi)視為均勻7二.電場強(qiáng)度通量微元分析法：以平代曲；1）通過面元的電場強(qiáng)2）通過曲面的電通量3）通過封閉曲面的電通量1）通過面元的電通量82）通過曲面的電通量3）通過封閉曲面的電通量1）通過面通過封閉曲面的電通量規(guī)定：封閉曲面外法向?yàn)檎┤氲碾妶鼍€穿出的電場線練習(xí)1：空間有點(diǎn)電荷q，求下列情況下穿過曲面的電通量1)曲面為以電荷為中心的球面2)曲面為包圍電荷的任意封閉曲面3)曲面為不包圍電荷的任意封閉曲面9通過封閉曲面的電通量規(guī)定：封閉曲面外法向?yàn)檎┤氲碾妶鼍€穿出1）曲面為以電荷為中心的球面單個(gè)點(diǎn)電荷場中，由+q發(fā)出的電場線延伸到，由而來的電場線到-q終止。在無電荷處，電場線不中斷、不增加。結(jié)果與r

無關(guān)101）曲面為以電荷為中心的球面單個(gè)點(diǎn)電荷場中，由+q發(fā)出的2）曲面為包圍電荷的任意封閉曲面112）曲面為包圍電荷的任意封閉曲面113）曲面為不包圍電荷的任意封閉曲面結(jié)論：思考：1）是否存在q恰好在S上的情況？2）上述結(jié)論與庫侖定律有何關(guān)系？123）曲面為不包圍電荷的任意封閉曲面結(jié)論：思考：1）是否存在練習(xí)2：空間有點(diǎn)電荷系，求穿過空間任意封閉曲面S的電場強(qiáng)度通量曲面上各點(diǎn)處電場強(qiáng)度：包括S內(nèi)、S外，所有電荷的貢獻(xiàn)。穿過S的電場強(qiáng)度通量：只有S內(nèi)的電荷對穿過S的電場強(qiáng)度通量有貢獻(xiàn)13練習(xí)2：空間有點(diǎn)電荷系，求穿過空間任三.高斯定理靜電場中，通過任意封閉曲面（高斯面）的電電場強(qiáng)度通量等于該封閉曲面所包圍的電量代數(shù)和的倍：14三.高斯定理靜電場中，通過任意封閉曲面（高斯面）的電電場強(qiáng)關(guān)于高斯定理的討論：1.式中各項(xiàng)的含義高斯面，封閉曲面

真空電容率內(nèi)的凈電荷通過S的電場強(qiáng)度通量，只有S內(nèi)電荷有貢獻(xiàn)上各點(diǎn)的總場，內(nèi)外所有電荷均有貢獻(xiàn).15關(guān)于高斯定理的討論：1.式中各項(xiàng)的含義高斯面，封閉曲面2.揭示了靜電場中“場”和“源”的關(guān)系電場線有頭有尾

發(fā)出條電場線，是電場線的“頭”吸收條電場線，是電場線的“尾”“頭”、“尾”“源”靜電場的重要性質(zhì)——靜電場是有源場關(guān)于高斯定理的討論：162.揭示了靜電場中“場”和“源”的關(guān)系電場線有頭有尾3.反映了庫侖定律的平方反比關(guān)系，而且更普遍。4.利用高斯定理可方便求解具有某些對稱分布的靜電場成立條件：靜電場求解條件：電場分布具有某些對稱性：才能找到恰當(dāng)?shù)母咚姑?，使中的能夠以?biāo)量形式提到積分號外，從而簡便地求出分布。

常見類型：場源電荷分布球?qū)ΨQ性軸對稱性面對稱性關(guān)于高斯定理的討論：173.反映了庫侖定律的平方反比關(guān)系，而且更普遍。4.利用高斯定[例一]

求均勻帶電球體（q、R）的電場分布

大小相等方向沿徑向以O(shè)為中心的球面S上各點(diǎn)對稱性分析:以O(shè)為中心，r為半徑的球面S上各點(diǎn)彼此等價(jià)

18[例一]求均勻帶電球體（q、R）的電場分布以半徑r的同心球面為高斯面由高斯定理：確定高斯面:通過S的電通量：r19以半徑r的同心球面為高斯面由高斯定理：確定高斯面r20r20即：球體外區(qū)域~電量集中于球心的點(diǎn)電荷球體內(nèi)區(qū)域21即：球體外區(qū)域~電量集中于球心的點(diǎn)電荷球體內(nèi)區(qū)域21討論：1.求均勻帶電球面（）的電場分布，并畫出曲線.高斯面：半徑r的同心球面021rμ22討論：1.求均勻帶電球面（）的電場分布，并畫出高計(jì)算帶電球?qū)樱ǎ┑碾妶龇植?.如何理解帶電球面處值突變？23計(jì)算帶電球?qū)樱ǎ?.如何理解帶厚度較大厚度較小厚度為零球面帶電面上場強(qiáng)突變是采用面模型的結(jié)果，實(shí)際問題中計(jì)算帶電層內(nèi)及其附近的準(zhǔn)確場強(qiáng)時(shí)，應(yīng)放棄面模型而還其體密度分布的本來面目.24厚度較大厚度較小厚度為零球面帶電面上場強(qiáng)突變是采用面[例二]無限長均勻帶電直線（）的電場

對稱性分析：與地位等價(jià)的點(diǎn)的集合為以帶電直線為軸的圓柱面.高斯面：取長L的同軸圓柱面，加上底、下底構(gòu)成高斯面S

點(diǎn)處合場強(qiáng)垂直于帶電直線,25[例二]無限長均勻帶電直線（）的電場由高斯定理26由高斯定理26討論：對稱性分析：視為無限長均勻帶電直線的集合；選高斯面；同軸圓柱面由高斯定理計(jì)算1.無限長均勻帶電柱面()的電場分布27討論：對稱性分析：視為無限長均勻帶電直線的集合；選高斯面；同2.求無限長、均勻帶電柱體的電場分布時(shí)，高斯面如何選??？3.當(dāng)帶電直線，柱面，柱體不能視為無限長時(shí)，能否用高斯定理求電場分布？如果不能，是否意味著高斯定理失效？討論：不能，不是。高斯面lr高斯面lr282.求無限長、均勻帶電柱體的電場分布時(shí)，高斯面如何選取？3[例三]無限大均勻帶電平面的電場（電荷面密度）如何構(gòu)成封閉的高斯面？對稱性分析：視為無限長均勻帶電直線的集合方向垂直于帶電平面，離帶電平面距離相等的場點(diǎn)彼此等價(jià)29[例三]無限大均勻帶電平面的電場（電荷面密度）如何構(gòu)成3.

無限大均勻帶電平面的電場(電荷面密度)通常該點(diǎn)的場強(qiáng)E(P)應(yīng)該有三個(gè)分量。相對于yx鏡面，P點(diǎn)鏡像變換到P點(diǎn)，滿足對稱原理。相對于yz、xz鏡面，P點(diǎn)鏡像變換到P點(diǎn),要求,與yx面要求矛盾。303.無限大均勻帶電平面的電場(電荷面密度)通常該點(diǎn)的高斯面：兩底面與帶電平面平行、離帶電平面距離相等，軸線與帶電平面垂直的柱面。由高斯定理：31高斯面：兩底面與帶電平面平行、離帶電平面距離相等，軸線與帶電其指向由的符號決定討論1.本題是否還有其它構(gòu)成高斯面的方法？底面與帶電平面平行、軸線與帶電平面垂直的柱面均可（不一定為圓柱面）?？梢詾槿我庑螤?2其指向由的符號決定討論1.本題是否還有其它構(gòu)成高斯面2.帶電平面上電場強(qiáng)度突變的原因？采用面模型，未計(jì)帶電平面的厚度。自學(xué)教材221頁例6：計(jì)算厚h的均勻帶電無限大平行氣體層的電場分布。332.帶電平面上電場強(qiáng)度突變的原因？采用面模型，未計(jì)帶電平面的總結(jié)：由高斯定理求電場分布的步驟1.由電荷分布的對稱性分析電場分布的對稱性.2.在對稱性分析的基礎(chǔ)上選取高斯面.目的是使

能夠以乘積形式給出.（球?qū)ΨQ、軸對稱、面對稱三種類型，后兩種情況通常具有無限長，無限大的特征）3.由高斯定理求出電場的大小，并說明其方向.

34總結(jié)：由高斯定理求電場分布的步驟1.由電荷分布的對稱性分析均勻帶電圓環(huán)軸線上無限長均勻帶電直線垂直于帶電直線無限大均勻帶電平面垂直于帶電面典型帶電體分布：點(diǎn)電荷電場35均勻帶電圓環(huán)軸線上無限長均勻帶電直線垂直于帶電直線無限大均勻均勻帶電球體均勻帶電球面典型帶電體分布：36均勻帶電球體均勻帶電球面典型帶電體分布：36同學(xué)們好！高斯（CarlFriedrichGauss)1777-1855德國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家。長期從事于數(shù)學(xué)研究并將數(shù)學(xué)應(yīng)用于物理學(xué)、天文學(xué)和大地測量學(xué)等領(lǐng)域.著述豐富，成就甚多。他一生中共發(fā)表323篇（種）著作，提出404項(xiàng)科學(xué)創(chuàng)見。在CGS電磁系單位制中磁感應(yīng)強(qiáng)度的單位定為高斯，便是為了紀(jì)念高斯在電磁學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)。37同學(xué)們好！高斯德國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家。1高斯在各領(lǐng)域的主要成就有：（1）物理學(xué)和地磁學(xué)中，關(guān)于靜電學(xué)、溫差電和摩擦電的研究、利用絕對單位（長度、質(zhì)量和時(shí)間）法則量非力學(xué)量以及地磁分布的理論研究。（2）利用幾何學(xué)知識研究光學(xué)系統(tǒng)近軸光線行為和成像，建立高斯光學(xué)。（3）天文學(xué)和大地測量學(xué)中，如小行星軌道的計(jì)算，地球大小和形狀的理論研究等。（4）結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)的測算，發(fā)展了概率統(tǒng)計(jì)理論和誤差理論，發(fā)明了最小二乘法，引入高斯誤差曲線。此外，在純數(shù)學(xué)方面，對數(shù)論、代數(shù)、幾何學(xué)的若干基本定理作出嚴(yán)格證明。38高斯在各領(lǐng)域的主要成就有：（2）利用幾何學(xué)知識研究光學(xué)系其上每點(diǎn)切向:該點(diǎn)方向電場線通過垂直的單位面積的條數(shù)等于場強(qiáng)的大小即其疏密與場強(qiáng)的大小成正比.§9.3高斯定理一.電場線

：空間矢量函數(shù)，描述電場參與動量傳遞的性質(zhì)。定量研究電場：對給定場源電荷求出其分布函數(shù)定性描述電場整體分布：電場線方法

“在法拉第的許多貢獻(xiàn)中，最偉大的一個(gè)就是力線的概念了。借助于它可以把電場和磁場的許多性質(zhì)最簡單而又極富啟發(fā)性的表示出來?！?/p>

－－W.Thomson39其上每點(diǎn)切向:該點(diǎn)方向電場線通過垂直的單位面積的電偶極子的電場線實(shí)例：1.軸線延長線上的場強(qiáng)2.中垂面上的場強(qiáng)+-旋轉(zhuǎn)對稱分布40電偶極子的電場線實(shí)例：1.軸線延長線上的場強(qiáng)2.中垂面得：實(shí)例：有限長均勻帶電直線的電場線旋轉(zhuǎn)對稱分布41得：實(shí)例：有限長均勻帶電直線的電場線旋轉(zhuǎn)對稱分布5從方法論上認(rèn)識電場線的意義牛頓：空間是盛放質(zhì)點(diǎn)的容器.

法拉第：在空間尋找力的載體，提出場的概念，并設(shè)想空間貫穿著力線，來描述場。麥克斯韋：總結(jié)出法拉第力線描述的數(shù)學(xué)形式.

建立嚴(yán)密的電磁場方程.引入場線（力線）求空間矢量的通量和環(huán)流是描述空間矢量場的一般方法（見《教與學(xué)參考》P132）

.42從方法論上認(rèn)識電場線的意義牛頓：空間是盛放質(zhì)點(diǎn)的容器.二.電場強(qiáng)度通量微元分析法：以平代曲；以恒代變。1）通過面元的電場強(qiáng)度通量取正、負(fù)、零的條件？通過電場中某一給定面的電場線的總條數(shù)叫做通過該面的電場強(qiáng)度通量.定義：面積元矢量面積元范圍內(nèi)視為均勻43二.電場強(qiáng)度通量微元分析法：以平代曲；1）通過面元的電場強(qiáng)2）通過曲面的電通量3）通過封閉曲面的電通量1）通過面元的電通量442）通過曲面的電通量3）通過封閉曲面的電通量1）通過面通過封閉曲面的電通量規(guī)定：封閉曲面外法向?yàn)檎┤氲碾妶鼍€穿出的電場線練習(xí)1：空間有點(diǎn)電荷q，求下列情況下穿過曲面的電通量1)曲面為以電荷為中心的球面2)曲面為包圍電荷的任意封閉曲面3)曲面為不包圍電荷的任意封閉曲面45通過封閉曲面的電通量規(guī)定：封閉曲面外法向?yàn)檎┤氲碾妶鼍€穿出1）曲面為以電荷為中心的球面單個(gè)點(diǎn)電荷場中，由+q發(fā)出的電場線延伸到，由而來的電場線到-q終止。在無電荷處，電場線不中斷、不增加。結(jié)果與r

無關(guān)461）曲面為以電荷為中心的球面單個(gè)點(diǎn)電荷場中，由+q發(fā)出的2）曲面為包圍電荷的任意封閉曲面472）曲面為包圍電荷的任意封閉曲面113）曲面為不包圍電荷的任意封閉曲面結(jié)論：思考：1）是否存在q恰好在S上的情況？2）上述結(jié)論與庫侖定律有何關(guān)系？483）曲面為不包圍電荷的任意封閉曲面結(jié)論：思考：1）是否存在練習(xí)2：空間有點(diǎn)電荷系，求穿過空間任意封閉曲面S的電場強(qiáng)度通量曲面上各點(diǎn)處電場強(qiáng)度：包括S內(nèi)、S外，所有電荷的貢獻(xiàn)。穿過S的電場強(qiáng)度通量：只有S內(nèi)的電荷對穿過S的電場強(qiáng)度通量有貢獻(xiàn)49練習(xí)2：空間有點(diǎn)電荷系，求穿過空間任三.高斯定理靜電場中，通過任意封閉曲面（高斯面）的電電場強(qiáng)度通量等于該封閉曲面所包圍的電量代數(shù)和的倍：50三.高斯定理靜電場中，通過任意封閉曲面（高斯面）的電電場強(qiáng)關(guān)于高斯定理的討論：1.式中各項(xiàng)的含義高斯面，封閉曲面

真空電容率內(nèi)的凈電荷通過S的電場強(qiáng)度通量，只有S內(nèi)電荷有貢獻(xiàn)上各點(diǎn)的總場，內(nèi)外所有電荷均有貢獻(xiàn).51關(guān)于高斯定理的討論：1.式中各項(xiàng)的含義高斯面，封閉曲面2.揭示了靜電場中“場”和“源”的關(guān)系電場線有頭有尾

發(fā)出條電場線，是電場線的“頭”吸收條電場線，是電場線的“尾”“頭”、“尾”“源”靜電場的重要性質(zhì)——靜電場是有源場關(guān)于高斯定理的討論：522.揭示了靜電場中“場”和“源”的關(guān)系電場線有頭有尾3.反映了庫侖定律的平方反比關(guān)系，而且更普遍。4.利用高斯定理可方便求解具有某些對稱分布的靜電場成立條件：靜電場求解條件：電場分布具有某些對稱性：才能找到恰當(dāng)?shù)母咚姑?，使中的能夠以?biāo)量形式提到積分號外，從而簡便地求出分布。

常見類型：場源電荷分布球?qū)ΨQ性軸對稱性面對稱性關(guān)于高斯定理的討論：533.反映了庫侖定律的平方反比關(guān)系，而且更普遍。4.利用高斯定[例一]

求均勻帶電球體（q、R）的電場分布

大小相等方向沿徑向以O(shè)為中心的球面S上各點(diǎn)對稱性分析:以O(shè)為中心，r為半徑的球面S上各點(diǎn)彼此等價(jià)

54[例一]求均勻帶電球體（q、R）的電場分布以半徑r的同心球面為高斯面由高斯定理：確定高斯面:通過S的電通量：r55以半徑r的同心球面為高斯面由高斯定理：確定高斯面r56r20即：球體外區(qū)域~電量集中于球心的點(diǎn)電荷球體內(nèi)區(qū)域57即：球體外區(qū)域~電量集中于球心的點(diǎn)電荷球體內(nèi)區(qū)域21討論：1.求均勻帶電球面（）的電場分布，并畫出曲線.高斯面：半徑r的同心球面021rμ58討論：1.求均勻帶電球面（）的電場分布，并畫出高計(jì)算帶電球?qū)樱ǎ┑碾妶龇植?.如何理解帶電球面處值突變？59計(jì)算帶電球?qū)樱ǎ?.如何理解帶厚度較大厚度較小厚度為零球面帶電面上場強(qiáng)突變是采用面模型的結(jié)果，實(shí)際問題中計(jì)算帶電層內(nèi)及其附近的準(zhǔn)確場強(qiáng)時(shí)，應(yīng)放棄面模型而還其體密度分布的本來面目.60厚度較大厚度較小厚度為零球面帶電面上場強(qiáng)突變是采用面[例二]無限長均勻帶電直線（）的電場

對稱性分析：與地位等價(jià)的點(diǎn)的集合為以帶電直線為軸的圓柱面.高斯面：取長L的同軸圓柱面，加上底、下底構(gòu)成高斯面S

點(diǎn)處合場強(qiáng)垂直于帶電直線,61[例二]無限長均勻帶電直線（）的電場由高斯定理62由高斯定理26討論：對稱性分析：視為無限長均勻帶電直線的集合；選高斯面；同軸圓柱面由高斯定理計(jì)算1.無限長均勻帶電柱面()的電場分布63討論：對稱性分析：視為無限長均勻帶電直線的集合；選高斯面；同2.求無限長、均勻帶電柱體的電場分布時(shí)，高斯面如何選??？3.當(dāng)帶電直線，柱面，柱體不能視為無限長時(shí)，能否用高斯定理求電場分布？如果不能，是否意味著高斯定理失效？討論：不能，不是。高斯面lr高斯面lr642.求無限長、均勻帶電柱體的電場分布時(shí)，高斯面如何選??？3[例三]無限大均勻帶電平面的電場（電荷面密度）如何構(gòu)成封閉的高斯面？對稱性分析：視為無限長均勻帶電直線的集合方向垂直于帶電平面，離帶電平