2隨機(jī)變量分布律常見離散型

一、隨

量的引入1.

為什么引入隨

量?概率論是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的，為了更方便有力的研究隨機(jī)現(xiàn)象，就要用數(shù)學(xué)分析的方法來研究，就需將任意的隨機(jī)事件數(shù)量化.當(dāng)把一些非數(shù)量表示的隨機(jī)事件用數(shù)字來表示時，就建立起了隨量的概念．例1

在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個球,觀察摸出球的顏色.S={紅色、白色}非數(shù)量可采用下列方法將S數(shù)量化?S紅色白色X

(e)R102.

隨

量的引入即有

X

(紅色)=1

,e

紅色,0,

e

白色.X

(e)

1,X

(白色)=0.這樣便將非數(shù)量的S={紅色，白色}數(shù)量化了.例2

拋擲,

觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).S={1，2，3，4，5，6}樣本點(diǎn)本身就是數(shù)量X

(e)

e

恒等變換X(1)

1,

X

(2)

2,

X

(3)

3,

X(4)

4,

X

(5)

5,X

(6)

6,

且有

P{

X

i}

1

, (i

1,2,3,4,5,6).6二、隨

量的概念定義

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間

S

{e}.X

SR2X

(e)是定義在樣本空間

S上的單值實(shí)值函數(shù)

.

稱X

X

(e)為隨 量

.圖2

2畫出了樣本點(diǎn)

e與實(shí)數(shù)X

X

(e)對應(yīng)的示意圖.e1

e3e說明隨

量與普通的函數(shù)不同隨 量是一個函數(shù),但它與普通的函數(shù)有著本質(zhì)的差別,

普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)軸上的,

而隨量是定義在樣本空間上的(樣本空間的元素不一定是實(shí)數(shù)).隨

量的取值具有一定的概率規(guī)律隨 量隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的值,由于試驗(yàn)的各個結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率,

因此隨 量的取值也有一定的概率規(guī)律.例3

設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手不斷向目標(biāo)射擊,

直到 目標(biāo)為止,

則X

(e)

所需射擊次數(shù),是一個隨

量.且X(e)的所有可能取值為:1,

2,

3,

.例4

某公共汽車站每隔

5

分鐘有一輛汽車通過如果 到達(dá)該車站的時刻是隨機(jī)的,

則X

(e)

此人的等車時間,是一個隨 量.且X(e)的所有可能取值為:[0,5].小結(jié)1、隨

量定義隨

量是定義在樣本空間S上取值于實(shí)數(shù)域上的單值實(shí)值函數(shù)2、說明(1)隨量與普通的函數(shù)定義域不同普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)域上，而隨量,是定義在樣本空間上(2)隨隨量的取值具有一定的概率規(guī)律量隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的值,由于試驗(yàn)的各個結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率,

因此隨

量的取值也有一定的概率規(guī)律.一、離散型隨量的分布律二、常見離散型隨量的概率分布第二節(jié)

離散型隨量及其分布律離散型隨量定義:如果一個隨量全部可能取到的值為有限個或可列無限個,這種隨量稱為離散性隨量.一、離散型隨

量的分布律設(shè)離散型隨

量X

所有可能取的值為xkX

取各個可能值的概率，即事件{

X

xk

}的概率,為kP(

X

x

)

pkk

1,2,.p

0,

k

1,2,;kk

1k

p

1.1

2稱此為離散型隨 量

X

的分布律.說明：由概率的定義,

pk滿足如下兩個條件

:Xx1

x2

xn

n2pk

p1

p

p

1,2,.k無片pk,

或者例1

設(shè) 車在開往目的地的道 需經(jīng)過4組信號燈,每組信號燈以1

2的概率允許或

汽車以X表示汽車首次停下時,它已通過的信號燈組數(shù)(設(shè)各組信號燈的工作是相互獨(dú)立的),求X分布律.汽車通過的概率.解以p表示每組信號燈易知X的分布律為kp4321X

0p

(1

p)

p(1

p)2

p(1

p)3

p(1

p)4或?qū)懗蒶

0,1,2,3,P{

X

k}

(1

p)k

p,P{

X

4}

(1

p)4

.以p

1 2

代入得pk43X

0

1

20.5

0.25

0.1250.0625

0.0625二、常見離散型隨

量的概率分布(一)

(0―1)分布設(shè)隨 量

X只可能取

0與1兩個值

,

其分布是P{

X

k}

pk

(1

p)1k

,

k

0,1(0

p

1),則稱X服從以p為參數(shù)的(0

1)分布或兩點(diǎn)分布.(0―1)分布的分布律也可寫成X

0pk

1

p1p實(shí)例

“拋硬幣”試驗(yàn),觀察正、反兩面情況.X

X

(e)

0,

當(dāng)e

正面,

1,

當(dāng)e

.隨 量X服從(0―1)分布.Xpk201211其分布律為對于一個隨機(jī)試驗(yàn),

如果它的樣本空間只包含總能在S上定義一個兩個元素,即S

{e1

,e2

},服從(0―1)分布的隨

量X X

(e)10,

當(dāng)e

e

,

1,

當(dāng)e

e2

.來描述這個隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.兩點(diǎn)分布隨機(jī)數(shù)演示(二)

試驗(yàn)、二項分布設(shè)試驗(yàn)E只有兩個可能結(jié)果:A及A

,則稱E為(Bernoulli)實(shí)驗(yàn).設(shè)p(A)

p(0

p

1),此時P(A)

1

p.將E獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次,則稱這一串重復(fù)獨(dú)立的試驗(yàn)為n重試驗(yàn).n重

試驗(yàn)是一種很重要的數(shù)學(xué)模型,它有廣泛的應(yīng)用,

是研究最多的模型之一.伯努力資料.若將硬實(shí)例1

拋一枚硬幣觀察得到正面或幣拋

n

次,就是n重 試驗(yàn).n次,觀察是否“出現(xiàn)1

點(diǎn)”,試驗(yàn).實(shí)例2

拋一顆就是n重二項概率公式若X

表示n

重試驗(yàn)中事件A

發(fā)生的次數(shù),則X

所有可能取的值為0,

1,

2,,

n.k次當(dāng)X

k

(0

k

n)時,即A

在n

次試驗(yàn)中發(fā)生了k

次.AAA

AAA,nk

次AAA

A

A

AAAk

1

次

nk

1

次

k

得

A

在

n

次試驗(yàn)中發(fā)生

k

次的方式共有

n

種,且兩兩互不相容.kpnp

nk

n

pk

q

n

k

1

k

稱這樣的分布為二項分布.記為X

~

b(n,

p).因此A在n

次試驗(yàn)中發(fā)生k次的概率為

n

pk

(1

p)nk

k

得X

的分布律為記q

1

p

n

pkqnk

k

X

01q

n

n

pq

n

1n

1二項分布

兩點(diǎn)分布例如

在相同條件下相互獨(dú)立地進(jìn)行5

次射擊,每次射擊時目標(biāo)的概率為0.6,則目標(biāo)的次數(shù)X

服從b

(5,0.6)

的二項分布.(0.4)515

2542

0.60.4

0.6

0.4

0.63

0.42335

50.64

0.4

0.654pkX

0

1

2

3

4

5例2按規(guī)定,某種型號的電子元件的使用超過1500小時的為一等品.已知某一大批產(chǎn)品的一級品率為0.2,

現(xiàn)在從中隨機(jī)20只.問20只元件中恰有k只(k

0,1,2,

,20)為一級品的概率是多少?解

以X記20只元件中一級品的只數(shù),則X

~

b(20,

0.2).k

(0.2)

(0.8)

k

P{

X

k}

2020k

,

k

0,1,,20.圖示概率分布例3進(jìn)行射擊,

假設(shè)每次射擊 中率為0.02,

獨(dú)立射擊400次,

試求至少 兩次的概率.解

設(shè) 的次數(shù)為X,

則X

~

b(400

,0.02).kk

(0.02)

(0.98)400k

,P{

X

k}

400

k

0,1,,400.P{

X

2}1

P{

X

0}

P{

X

1}

0.9972.例4設(shè)有80臺同類型設(shè)備,各臺工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺設(shè)備的故障能由一個人處理.考慮兩種配備維修工人的方法,其一是由4人,

每人負(fù)責(zé)20臺;

其二是由3人共臺80.

試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障維修的概率的大小.按第共同時不解法,

以X記“第1人 的

20臺p1

P{

X

2}中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)”，X

~

b(20,

0.01),則80臺中發(fā)生故障而不

維修的概率為

0.0169.按第解

法,

以X記“第1人的20臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)”，X

~

b(20,

0.01),則80臺中發(fā)生故障而不

維修的概率為p1

P{

X

2}

0.0169.3p2

P{

X

4}

1

80(0.01)k

(0.99)80k

0.0087.k

0

k

按第解

法,

以X記“第1人的20臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)”，X

~

b(20,

0.01),則80臺中發(fā)生故障而不

維修的概率為p1

P{

X

2}

0.0169.按第二種方法,以Y記

80臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù),

此時,

Y

~

b(80,0.01),

故80臺中發(fā)生故障而不 維修的概率為(三)

泊松分布k!設(shè)隨

量

X所有可能取的值為

0,1,2,

,

而取各個值的概率為P{

X

k}

ke

,k

0,1,2,

,其中

0是常數(shù).則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記為X

~

(

).泊松資料泊松分布的圖形泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初和兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個數(shù)的情況時,他們做了2608次觀察(每次時間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時間內(nèi),其放射的粒子數(shù)X服從泊松分布.交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)呼喚次數(shù)火山爆發(fā)特大洪水再來研究二項分布與泊松分布的示意圖二項分布np

(n

)

泊松分布事實(shí)上，可以證明數(shù),泊松定理設(shè)np

,設(shè)

0是一個常數(shù)

,

n是任意正整則對于任一固定的非負(fù) 整數(shù)k

,

有knlim

n

pk

(1

p)nk

k!

ke證n由p

,

有

n

pk

(1

p)nk

k

n

)nk

(1

k!n(n

1)(n

k

1)

k

n

n

pk

(1

p)nk

k

n

)nk

(1

k!n(n

1)(n

k

1)

k

n

n

pk

(1

p)nk

k

n

)nk

(1

k!n(n

1)(n

k

1)

k

nn

k1

n

1

n

n

k

1

1

1

1

k

1k!

n

n當(dāng)n

時1

n

e

,

k1

n

1.

ke故有knlim

n

pk

(1

p)nk

k!一般,

當(dāng)n

20,k

!

k

e

p

0.05時用近似頗佳例5

計算機(jī)硬件公司制造某種特殊型號的微型,

次品率為0.1%,

各 成為次品相互獨(dú)立.求在1000只產(chǎn)品中至少有2只次品的概率.

以X記產(chǎn)品中的次品數(shù),

X

~

b(1000,

0.001)解

所求概率為P{

X

2}1

P{

X

0}

P{

X

1}

0.2642411利用泊松定理計算得,

1000

0.001

1

,P{

X

2}1

P{

X

0}

P{

X

1}1

e1

e1

0.2642411例5

計算機(jī)硬件公司制造某種特殊型號的微型,

次品率為0.1%,

各 成為次品相互獨(dú)立.以X記產(chǎn)求在1000只產(chǎn)品中至少有5只次品的概率.品中的次品數(shù),

X

~

b(1000,

0.001)解

所求概率為4P{

X

5}

1

P{

X

k}k

01000

0.001

1

,P{

X

5}利用泊松定理計算得,41k1

1

ek

0

k

!=10.9963=0.0037散變量布離機(jī)