人教部編版九年級數(shù)學上冊《第21章 一元二次方程【全章】》優(yōu)質(zhì)課件

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《第21章一元二次方程【全章】》

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《第21章一元二次方程【全章21.1一元二次方程

——一元二次方程的相關(guān)概念R·九年級上冊21.1一元二次方程

——一元二次方程的相關(guān)概念R·九年級新課導(dǎo)入導(dǎo)入課題情景：要設(shè)計一座高2m的人體雕像,使

它的上部(腰以上)與下部(腰以

下)的高度比等于下部與全身的

高度比,則雕像的下部應(yīng)設(shè)計多

少米高?新課導(dǎo)入導(dǎo)入課題情景：要設(shè)計一座高2m的人體雕像,使思考問題問題1：列方程解應(yīng)用題的一般步驟是什么？問題2：你能畫出示意圖表示這個問題嗎？問題3：能反映問題的等量關(guān)系的是哪一句話？問題4：設(shè)雕像下部高BC=xm,請說出你所列的方

程，并化簡.這個方程是一元一次方程嗎？

它有什么特點？審、設(shè)、列、解、驗、答x2+2x-4=02mx2-x思考問題問題1：列方程解應(yīng)用題的一般步驟是什么？問題2：你能學習目標（1）會設(shè)未知數(shù)，列一元二次方程.（2）了解一元二次方程及其根的概念.（3）能熟練地把一元二次方程化成一般形式，并準確地

指出各項系數(shù).學習目標（1）會設(shè)未知數(shù)，列一元二次方程.（2）了解一元二次推進新課知識點1尋找等量關(guān)系列方程并化簡問題1

有一塊矩形鐵皮，長100cm，寬50cm，在它的四角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒.如果要制作無蓋方盒的底面積為3600cm2，那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形？推進新課知識點1尋找等量關(guān)系列方程并化簡問題

問題1中，要制作一個無蓋的方盒，四角都要剪去一個相同的正方形，我們設(shè)正方形邊長為

cm，則盒底的寬為

cm，盒底的長為

cm，根據(jù)矩形的面積公式及方盒的底面積3600cm2，可列方程為

.(50-2x)x(100-2x)(100-2x)(50-2x)=3600你能把它整理成形如x2+bx+c=0的形式嗎？問題1中，要制作一個無蓋的方盒，四角都要剪去(100-2x)(50-2x)=36005000－100x－200x+4x2=36004x2－300x+1400=0x2－75x+350=0先去括號移項、合并同類項系數(shù)化為1(100-2x)(50-2x)=

問題2中，本次排球比賽的總比賽場數(shù)為

場.設(shè)邀請

支隊參賽，則每支隊與其余

支隊都要賽一場.根據(jù)題意，你列出的方程是

.整理為

.28x(x-1)x(x-1)=28x2-x=56

問題2

要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場.根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應(yīng)邀請多少個隊參賽？問題2中，本次排球比賽的總比賽場數(shù)為強化訓練①一個圓的面積是2πm2，求半徑r.

②一個直角三角形的兩條直角邊相差3cm，面積9cm2，求

較長的直角邊x的長.③把長為1的木條分成兩段，使較短一段的長與全長的積等

于較長一段的長的平方，求較短一段的長x.πr2=2π

x=(1-x)2強化訓練①一個圓的面積是2πm2，求半徑r.πr2=2π

知識點2一元二次方程的概念下列方程中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少？x2+2x-4=0①x2－75x+350=0②x2-x=56③只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.知識點2一元二次方程的概念下列方程中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各結(jié)合一元一次方程的定義，請對一元二次方程進行定義：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.若方程（m-1）x2+

x=1是關(guān)于

x的一元二次方程，則m的取值范圍是

.m≥0且m≠1結(jié)合一元一次方程的定義，請對一元二次方程進行定義：若方程（m

一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，為什么要規(guī)定a≠0？

因為a=0時，未知數(shù)的最高次數(shù)小于2.知識點3一元二次方程的一般形式

a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0一元二次方程的每一項（系數(shù)）都應(yīng)包括它前面的符號。例將方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.解：去括號，得3x2-3x=5x+10.移項，合并同類項，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)為-8，常數(shù)項為-10.一元二次方程的每一項（系數(shù)）都應(yīng)包括它前面的符號。知識點4一元二次方程的解使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.知識點4一元二次方程的解使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的下面哪些數(shù)是方程x2+3x-10=0的根？-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5.分析：根據(jù)一元二次方程的根的定義，將這些數(shù)作為未知數(shù)x的值分別代入方程x2+3x-10=0中，能夠使方程左右兩邊相等的數(shù)就是方程的根，通過代入檢驗可知，當且僅當x=-5或2時，方程x2+3x-10=0左右兩邊相等.下面哪些數(shù)是方程x2+3x-10=0的根？-5，-4，-3，隨堂演練基礎(chǔ)鞏固1.一元二次方程3x2=5x的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別

是（

）A.3，5B.3，0C.3，-5D.5，02.下列哪些數(shù)是方程x2+x-12=0的根？

－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.C解：－4，3.隨堂演練基礎(chǔ)鞏固1.一元二次方程3x2=5x的二次項系數(shù)和3.將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出該方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

（1）3x2+1=6x；

（2）4x2=81－5x；解：一般形式：3x2-6x+1=0

二次項系數(shù)：3

一次項系數(shù)：-6

常數(shù)項：1解：一般形式：4x2+5x-81=0

二次項系數(shù)：4

一次項系數(shù)：5

常數(shù)項：-813.將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出該方程的二4.根據(jù)下列問題列方程，并將其化成一元二次方程的一般形式.（1）有一根1m長的鐵絲，怎樣用它圍一個面積為0.06m2的平

方的長方形?

解：設(shè)長方形的長為xm，則寬為(0.5-x)m.

根據(jù)題意，得x(0.5-x)=0.06,

整理，得50x2-25x+3=0.（2）參加一次聚會的每兩人都握了一次手，所有人共握手10

次.有多少人參加這次聚會？

解：設(shè)有x人參加了這次聚會,

根據(jù)題意，得

x(x-1)=10，

整理，得x2-x-20=0.4.根據(jù)下列問題列方程，并將其化成一元二次方程的一般形式.綜合應(yīng)用在一幅長80cm，寬50cm的矩形風景畫的四周鑲一

條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如果要使整個掛

圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，則x

滿足的方程是（

）

A.x2+130x+1400=0B.x2+65x-350=0C.x2-130x-1400=0D.x2-65x-350=0B綜合應(yīng)用在一幅長80cm，寬50cm的矩形風景畫的四周鑲一B拓展延伸6.如果2是方程x2-c=0的一個根，求常數(shù)c及方程的另

一個根.

解：將2代入原方程中，22-c=0，得c=4.

將c=4代入原方程，得x2-4=0.

解得x=±2.

即方程的另一個根為-2.拓展延伸6.如果2是方程x2-c=0的一個根，求常數(shù)c及方課堂小結(jié)一般形式：

ax2+bx+c=0(a≠0)a+b+c二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項一元二次方程概念一個未知數(shù)最高次是2整式方程課堂小結(jié)一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)課后作業(yè)1.從教材課后習題中選?。?.從練習冊中選取。課后作業(yè)1.從教材課后習題中選??；23課堂感想1、這節(jié)課你有什么收獲？2、這節(jié)課還有什么疑惑？說出來和大家一起交流吧！課堂感想24謝謝觀賞！謝謝觀賞！25再見！再見！2621.2解一元二次方程

21.2.1配方法

第1課時直接開平方法R·九年級上冊21.2解一元二次方程

21.2.1配方法

第1課時新課導(dǎo)入導(dǎo)入課題

一桶油漆可刷的面積為1500dm2，李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，求盒子的棱長.問題1：本題的等量關(guān)系是什么？問題2：設(shè)正方體的棱長為xdm，請列出方程并化簡.相等6x2×10=1500化簡為：x2=25新課導(dǎo)入導(dǎo)入課題一桶油漆可刷的面積為1500學習目標（1）能根據(jù)平方根的意義解形如x2=p及ax2+c=0的一

元二次方程.（2）能運用開平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程.（3）體會“降次”的數(shù)學思想.學習目標（1）能根據(jù)平方根的意義解形如x2=p及ax2+c=推進新課知識點1用直接開平方法解一元二次方程問題1

根據(jù)平方根的意義解導(dǎo)入列出的方程：

x2=25.解：根據(jù)平方根的意義，得x=±5即x1=5，x2=-5因為棱長不能是負值，所以盒子的棱長為5dm.推進新課知識點1用直接開平方法解一元二次方程問題1根據(jù)平鞏固練習根據(jù)平方根的意義解方程x2=36；2x2-4=0；3x2-4=8.x=±6x1=6，x2=-6x2=4x=±2x1=2，x2=-2鞏固練習根據(jù)平方根的意義解方程x2=36；當p>0時，方程x2=p有兩個不等的實數(shù)根.當p=0時，方程x2=p有兩個相等的實數(shù)根

x1=x2=0.當p<0時，方程x2=p無實數(shù)根.規(guī)律總結(jié)當p>0時，方程x2=p有兩個不等的實數(shù)根知識點2降次你認為應(yīng)怎樣解方程(x+3)2=5?由方程x2=25得x=±5.以此類推：由方程(x+3)2=5，可得知識點2降次你認為應(yīng)怎樣解方程(x+3)2=5?由方程x2=解方程(x+3)2=5，實質(zhì)上是把一個一元二次方程降次，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，再解兩個一元一次方程即得原方程的解.當p≥0時，方程(mx+n)2=p的解是

,當p<0時，方程(mx+n)2=p

.無實數(shù)根解方程(x+3)2=5，實質(zhì)上是把一個一元二次方程降次，鞏固練習(x+6)2－9=03(x－1)2－12=0解：(x+6)2=9

x+6=+3x1=－3,x2=－9解：3(x－1)2=12(x－1)2=4

x－1=+2x1=3,x2=－1鞏固練習(x+6)2－9=0隨堂演練一元二次方程(x+6)2=16可轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，

其中一個一元一次方程是x+6=4，則另一個一元一

次方程是（

）A.x-6=-4B.x-6=4C.x+6=4D.x+6=-42.方程3x2+9=0的根為（

）A.3B.－3C.±3D.無實數(shù)根3.若8x2-16=0，則x的值是

.DD

隨堂演練一元二次方程(x+6)2=16可轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方4.解關(guān)于x的方程(x+m)2=n.解：①當n>0時，此時方程兩邊直接開方.得

x+m=±

，方程的兩根為x1=

-m,x2=-

-m.

②當n=0時，此時(x+m)2=0,直接開方得

x+m=0，方程的兩根為x1=x2=-m.

③當n<0時，因為對任意實數(shù)x，都有(x+m)2≥0，所以方程無實數(shù)根.4.解關(guān)于x的方程(x+m)2=n.課堂小結(jié)當p>0時，方程x2=p有兩個不等的實數(shù)根.當p=0時，方程x2=p有兩個相等的實數(shù)根

x1=x2=0.當p<0時，方程x2=p無實數(shù)根.當p≥0時，方程(mx+n)2=p的解是

,當p<0時，方程(mx+n)2=p

.無實數(shù)根課堂小結(jié)當p>0時，方程x2=p有兩個不等的實數(shù)根課后作業(yè)1.從教材課后習題中選??；2.從練習冊中選取。課后作業(yè)1.從教材課后習題中選??；39課堂感想1、這節(jié)課你有什么收獲？2、這節(jié)課還有什么疑惑？說出來和大家一起交流吧！課堂感想40謝謝觀賞！謝謝觀賞！41再見！再見！42R·九年級上冊21.2解一元二次方程

21.2.1配方法

第2課時配方法R·九年級上冊21.2解一元二次方程

21.2.1配新課導(dǎo)入導(dǎo)入課題請把方程(x+3)2=5化成一般形式。那么你能將方程x2+6x+4=0轉(zhuǎn)化為(x+m)2=n的形式嗎？這節(jié)課我們一起來學習配方法。新課導(dǎo)入導(dǎo)入課題請把方程(x+3)2=5化成一般形式。那么你學習目標（1）知道用配方法解一元二次方程的一般步驟，會

用配方法解一元二次方程.（2）通過配方進一步體會“降次”的轉(zhuǎn)化思想.學習目標（1）知道用配方法解一元二次方程的一般步驟，會推進新課知識點1用配方法解一元二次方程怎樣解方程x2+6x+4=0?分析：我們已經(jīng)會解方程(x+3)2=5.因為它的左邊是含有x的完全平方式，右邊是非負數(shù)，所以可以直接降次解方程.那么，能否將方程x2+6x+4=0轉(zhuǎn)化為可以直接降次的形式再求解呢？推進新課知識點1用配方法解一元二次方程怎樣解方程x2+6x+降次左邊寫成完全平方式使左邊配成x2+2bx+b2的形式x2+6x+4=0x2+6x=－4移項兩邊加9x2+6x+9=－4+9(x+3)2=5

解一次方程降次左邊寫成使左邊配成x2+2bx+b2的形式x2回憶完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2思考：為什么要在x2+6x=-4兩邊加9而不是其他數(shù)？因為兩邊加9，式子左邊可以恰好湊成完全平方式.回憶完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2思考：為什么試一試：對下列各式進行配方：x2+10x+25=(x+5)2

x2-12x+36=(x－6)2試一試：對下列各式進行配方：x2+10x+25知識點2用配方法解一元二次方程的一般步驟例1

解下列方程(1)x2-8x+1=0(2)2x2+1=3x(3)3x2-6x+4=0(1)解：移項，得：x2-8x=-1

配方，得：x2-8x+42=-1+42(x-4)2=15知識點2用配方法解一元二次方程的一般步驟例1解下列方(2)2x2+1=3x

(2)解：移項，得：2x2-3x=-1二次項系數(shù)化為1：

配方，得：(2)2x2+1=3x(2)解：移項，得：2x2-3x(3)3x2-6x+4=0(3)解：移項，得：3x2-6x=-4二次項系數(shù)化為1：

配方，得：因為實數(shù)的平方不會是負數(shù)，所以x取任何實數(shù)時，(x-1)2都是非負數(shù)，上式都不成立，即原方程無實數(shù)根.(3)3x2-6x+4=0(3)解：移項，得：3x思考1：用配方法解一元二次方程時，移項時要

注意什么？思考2：說說配方法解一元二次方程的一般步驟.移項時需注意改變符號.①移項，二次項系數(shù)化為1；②左邊配成完全平方式；③左邊寫成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.思考1：用配方法解一元二次方程時，移項時要思考2：說說配方法一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成(x+n)2=p.規(guī)律總結(jié)①當p>0時，則

，方程的兩個根為②當p=0時,則(x+n)2=0，x+n=0,開平方得方程的兩個根為

x1=x2=-n.③當p<0時，則方程(x+n)2=p無實數(shù)根.一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成規(guī)律總結(jié)①當p1.用配方法解方程-x2+6x+7=0時，配方后得的方程為()A.(x+3)2=16 B.(x-3)2=16C.(x+3)2=2 D.(x-3)2=22.填空.(1)4x2+4x+1=(2)x2－30x+225=隨堂演練基礎(chǔ)鞏固(2x+1)2

B(x－15)2

1.用配方法解方程-x2+6x+7=0時，配方后得的方程為3.用配方法解下列方程.

（1）x2+10x+9=0；

（2）x2+4x-9=2x-11;解：移項,x2+10x=-9

配方,x2+10x+25=16(x+5)2=16

x+5=±4方程的兩個根為

x1=-1，x2=-9解：移項,x2+2x=-2

配方,x2+2x+1=-1(x+1)2=-1

方程沒有實數(shù)根.3.用配方法解下列方程.解：移項,x2+10x=-9解：（3）x(x+4)=8x+12解：化簡移項

x2-4x=12

配方

x2-4x+4=16(x-2)2=16

x-2=±4

方程的兩個根為x1=6,x2=-2（3）x(x+4)=8x+12解：化簡移項x2-4.當a為何值時，多項式a2+2a+18有最小值？并求出

這個最小值.解：對原式進行配方，則原式=(a+1)2+17

∵(a+1)2≥0,

∴當a=-1時，原式有最小值為17.4.當a為何值時，多項式a2+2a+18有最小值？并求出解課堂小結(jié)配方法解一元二次方程配方法直接開平方法ax2+bx+c=0(a≠0）(x+m)2=n(n≥0)課堂小結(jié)配方法解一元二次方程配方法直接開平方法ax2+bx+課后作業(yè)1.從教材課后習題中選??；2.從練習冊中選取。課后作業(yè)1.從教材課后習題中選取；60課堂感想1、這節(jié)課你有什么收獲？2、這節(jié)課還有什么疑惑？說出來和大家一起交流吧！課堂感想61謝謝觀賞！謝謝觀賞！62再見！再見！6321.2.2公式法

——根的判別式及求根公式R·九年級上冊21.2.2公式法

——根的判別式及求根公式R·九年級上新課導(dǎo)入導(dǎo)入課題（1）用配方法解一元二次方程的步驟是什么？（2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)嗎？

我們繼續(xù)學習另一種解一元二次方程的方法——公式法.新課導(dǎo)入導(dǎo)入課題（1）用配方法解一元二次方程的步驟是什么？（學習目標（1）知道一元二次方程根的判別式，能運用根的判別式

直接判斷一元二次方程的根的情況.（2）會用公式法解一元二次方程.學習目標（1）知道一元二次方程根的判別式，能運用根的判別式推進新課知識點1一元二次方程根的判別式任何一個一元二次方程都可以寫成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)那么我們能否也用配方法得出它的解呢？推進新課知識點1一元二次方程根的判別式任何一ax2+bx+c=0(a≠0)二次項系數(shù)化為1，得配方，得即ax2+bx+c=0(a≠0)二次項系數(shù)化為1，得配方，得因為a≠0，所以4a2＞0.式子ax2+bx+c=0的根有以下三種情況：①當b2－4ac>0時，>0，方程有兩個不等的

實數(shù)根因為a≠0，所以4a2＞0.式子ax2+bx+c=0的根有②當b2－4ac=0時，=0，方程有兩個相等的

實數(shù)根③當b2－4ac<0時，

<0，方程沒有實數(shù)根.②當b2－4ac=0時，=0，

Δ=b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式.當b2－4ac>0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不等的實數(shù)根；當b2－4ac=0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實數(shù)根；當b2－4ac<0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實數(shù)根.Δ=b2－4ac叫做一元二次方程ax2+b鞏固練習不解方程，利用判別式判斷下列方程的根的情況.x2+5x+6=0；9x2+12x+4=0；Δ=b2-4ac=52-4×1×6=1>0方程有兩個不等的實數(shù)根Δ=b2-4ac=122-4×9×4=0方程有兩個相等的實數(shù)根鞏固練習不解方程，利用判別式判斷下列方程的根的情況.x2+52x2+4x－3=2x－4；

x(x+4)=8x+12.化簡得2x2+2x+1=0Δ=b2-4ac

=22-4×2×1=-4<0方程無實數(shù)根化簡得x2-4x-12=0Δ=b2-4ac

=(-4)2-4×(-12)=64>0方程有兩個不等的實數(shù)根2x2+4x－3=2x－4；知識點2用公式法解一元二次方程當Δ≥0時，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實數(shù)根可寫為

的形式，這個式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.知識點2用公式法解一元二次方程當Δ≥0時，一元二次方程ax2

例2

用公式法解下列方程：解：a=1，b=-4，c=-7Δ=b2－4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0

例2用公式法解下列方程：解：a=1，b=-4，c=(3)5x2-3x=x+1；(4)x2+17=8x.解：方程化為5x2-4x-1=0

a=5，b=-4，c=-1Δ=b2－4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0解：方程化為x2-8x+17=0

a=1，b=-8，c=17Δ=b2－4ac

=(-8)2-4×1×17=-4＜0方程無實數(shù)根(3)5x2-3x=x+1；思考：運用公式法解一元二次方程時，有哪些注意事項？步驟：先將方程化為一般形式，確定a,b,c的值；

計算判別式Δ=b2-4ac的值，判斷方程是否有解；

若Δ≥0，利用求根公式計算方程的根，

若Δ<0，方程無實數(shù)根.易錯點：計算Δ的值時，注意a，b，c符號的問題.思考：運用公式法解一元二次方程時，有哪些注意事項？步驟：先將隨堂演練基礎(chǔ)鞏固一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不相等的實數(shù)根，則b2-4ac滿足的條件是（

）A.b2-4ac=0B.b2-4ac＞0C.b2-4ac＜0D.b2-4ac≥0B隨堂演練基礎(chǔ)鞏固一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有3.利用求根公式求5x2+=6x的根時，a，b，c的值分別是（）2.已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0.

下列說法正確的是（）A.①②都有實數(shù)解B.①無實數(shù)解，②有實數(shù)解C.①有實數(shù)解，②無實數(shù)解D.①②都無實數(shù)解BC

3.利用求根公式求5x2+=6x的根時，a，b，c

解：Δ=b2-4ac

=(-24)2-4×16×9=0方程有兩個相等的實數(shù)根

解：Δ=b2-4ac5.用公式法解下列方程：（1）x2+x－12=0；

（2）x2+4x+8=2x+11；解：a=1，b=1，c=-12Δ=b2－4ac=12-4×1×(-12)=49>0解：化簡，得x2+2x-3=0

a=1，b=2，c=-3Δ=b2－4ac=22-4×1×(-3)=16>05.用公式法解下列方程：解：a=1，b=1，c=-12解：化6.無論p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0總有兩個不等

的實數(shù)根嗎？給出你的答案并說明理由.解：方程化簡為x2-5x+6-p2=0

∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1,

∴Δ>0

∴無論p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0總有兩個不等的實數(shù)根.6.無論p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0總有兩個課堂小結(jié)公式法用求根公式解一元二次方程的方法一元二次方程根的判別式Δ=b2－4ac求根公式(b2－4ac≥0)當b2－4ac>0時，方程有兩個不等的實數(shù)根；當b2－4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當b2－4ac<0時，方程無實數(shù)根.課堂小結(jié)公式法用求根公式解一元二次方程的方法一元二次方程根的課后作業(yè)1.從教材課后習題中選取；2.從練習冊中選取。課后作業(yè)1.從教材課后習題中選取；84課堂感想1、這節(jié)課你有什么收獲？2、這節(jié)課還有什么疑惑？說出來和大家一起交流吧！課堂感想85謝謝觀賞！謝謝觀賞！86再見！再見！8721.2.3因式分解法R·九年級上冊21.2.3因式分解法R·九年級上冊新課導(dǎo)入導(dǎo)入課題

根據(jù)物理學規(guī)律，如果把一個物體從地面以10m/s的速度豎直上拋，那么經(jīng)過xs后物體離地面的高度（單位：m）為：10x-4.9x2.

問題：設(shè)物體經(jīng)過xs落回地面，請說說你列出的方程.10x-4.9x2=0新課導(dǎo)入導(dǎo)入課題根據(jù)物理學規(guī)律，如果把一個物學習目標(1)會用因式分解法解一元二次方程.(2)能選用合適的方法解一元二次方程.學習目標(1)會用因式分解法解一元二次方程.推進新課知識點1用因式分解法解一元二次方程你能用配方法或公式法解方程10x-4.9x2=0嗎？是否還有更簡單的方法呢？分解因式：左邊提公因式，得x(10-4.9x)=0，降次：把方程化為兩個一次方程，得x=0或10-4.9x=0，求解：解這兩個一次方程，得x1=0,x2=.推進新課知識點1用因式分解法解一元二次方程你能用配方法或公式思考：解方程10x-4.9x2=0時，二次方程是如何降為一次的？解方程10x-4.9x2=0時，不是用開平方降次，而是先因式分解，使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現(xiàn)降次。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。思考：解方程10x-4.9x2=0時，二次方程是如何降為一次解下列方程：x(x-2)+x-2=0；解：分解因式，得

(x-2)(x+1)=0即x-2=0或x+1

=0,

x1=2，x2=-1解：移項、合并同類項得

4x2-1=0(2x-1)(2x+1)=0即2x-1=0或2x+1

=0,

x1=,x2=解下列方程：解：分解因式，得解：移項、合并同類項得思考：將一個多項式進行因式分解，通常有哪幾種方法？提公因式法，公式法，十字相乘法用因式分解法解一元二次方程的依據(jù)是：

如果ab=0，則a=0或b=0.思考：將一個多項式進行因式分解，通常有哪幾種方法？提公因式法解下列方程：(x-2)·(x-3)=0；4x2－11x=0.解：由題可得x-2=0或x-3=0

x1=2,x2=3解：分解因式，得

故x=0或

x1=0,解下列方程：解：由題可得解：分解因式，得你能歸納出用因式分解法解方一元二次程的一般步驟嗎？第一步，把方程變形為x2+px+q=0的形式；第二步，把方程變形為(x-x1)(x-x2)=0的形式；第三步，把方程降次為兩個一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式；第四步，解兩個一次方程，求出方程的根.你能歸納出用因式分解法解方一元二次程的一般步驟嗎？第知識點2一元二次方程解法的選用選擇適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?x2-4x+1=0；(2x-1)2=x(3x+2)-7；解：解：化簡，得

4x2-4x+1=3x2+2x-7

x2-6x+8=0(x-2)(x-4)=0

x1=2，x2=4知識點2一元二次方程解法的選用選擇適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋航猓?/p>

x2+2x-35=0；(x-1)2+2x-3=0；解：分解因式，得

(x-5)(x+7)=0

x1=5,x2=-7解：化簡，得

x2-2x+1+2x-3=0

x2-2=0x2+2x-35=0；直接開平方法適用于哪種形式的方程？配方法適用于哪種形式的方程？公式法適用于哪種形式的方程？因式分解法適用于哪種形式的方程？x2=p(mx+n)2=pax2+bx+c=0(a≠0)

x2-(m+n)x+mn=0直接開平方法適用于哪種形式的方程？x2=p(mx+n)2=p隨堂演練基礎(chǔ)鞏固1.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的兩根分別為（

）A.3，-5B.-3，-5C.-3，5D.3，52.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是（

）

A.-1B.2C.1和2D.-1和23.方程x2-3x+2=0的根是

.4.方程

的根是

.DDx1=1,x2=2隨堂演練基礎(chǔ)鞏固1.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的兩5.用適當方法解下列方程：（1）(2x+3)2-25=0;

（2）x2+5x+7=3x+11；解：化簡，得

4x2+12x+9-25=0

x2+3x-4=0分解因式，得(x-1)(x+4)=0

x1=1,x2=-4解：化簡，得

x2+2x=4

x2+2x+1=5(x+1)2=55.用適當方法解下列方程：解：化簡，得解：化簡，得6.若一個三角形的三邊長均滿足方程x2-7x+12=0，求此三角形的周長.解：x2-7x+12=0，則(x-3)(x-4)=0.

∴x1=3，x2=4.∵三角形三邊長均為方程的根.①三角形三邊長為4、3、3，周長為10；②三角形三邊長為4、4、3，周長為11；③三角形三邊長為4、4、4，周長為12；④三角形三邊長為3、3、3，周長為9.6.若一個三角形的三邊長均滿足方程x2-7x+12=0，求7.用公式法和因式分解法解方程x(5x+4)-(4+5x)=0.解：公式法：原方程化為一般形式，得5x2-x-4=0.∵a=5，b=-1，c=-4，b2-4ac=(-1)2-4×5×(-4)=81>0,

∴方程有兩個不相等的實數(shù)根.

∴x=,

∴x1=,x2=1

因式分解法：方程左邊提公因式，得

(5x+4)(x-1)=0，則x1=，x2=1.7.用公式法和因式分解法解方程x(5x+4)-(4+5x)課堂小結(jié)因式分解法通過因式分解實現(xiàn)降次來解一元二次方程提公因式法公式法十字相乘法完全平方公式平方差公式課堂小結(jié)因式分解法通過因式分解實現(xiàn)降次來解一元二次方程提公因課后作業(yè)1.從教材課后習題中選取；2.從練習冊中選取。課后作業(yè)1.從教材課后習題中選?。?05課堂感想1、這節(jié)課你有什么收獲？2、這節(jié)課還有什么疑惑？說出來和大家一起交流吧！課堂感想106謝謝觀賞！謝謝觀賞！107再見！再見！108*21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系R·九年級上冊*21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系R·九年級上冊新課導(dǎo)入導(dǎo)入課題

如果一個方程的兩根之和為1，兩根之積為-2，你能說出這個方程嗎？

今天我們進一步學習一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.新課導(dǎo)入導(dǎo)入課題如果一個方程的兩根之和為1推進新課知識點1一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系思考：從因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1,x2為已知數(shù))的兩根為x1和x2,將方程化為x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2與p，q之間的關(guān)系嗎？推進新課知識點1一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

把方程(x-x1)(x-x2)=0的左邊展開，化成一般形式，得方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0.這個方程的二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)p=-(x1+x2)，常數(shù)項q=x1x2.

于是x1+x2=-p,x1x2=q.把方程(x-x1)(x-x2)=0的左邊展開思考：一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次項系數(shù)a未必是1，它的兩根的和、積與系數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢？思考：一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次項系數(shù)a已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當b2-4ac≥0時，兩根分別為x1=

，x2=

。x1+x2=

，x1x2=

.已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當b2-4ac≥0時因此，方程的兩個根x1，x2和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：因此，方程的兩個根x1，x2和系數(shù)a，b，c

例根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程兩根x1，x2的和與積.(1)x2-6x-15=0(2)3x2+7x-9=0(3)5x-1=4x2

解：(1)x1+x2=-(-6)=6,x1x2=-15例根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求下不解方程，求下列方程兩根的和與積.x2-3x=15；5x2-1=4x2+x解：x1+x2=3x1x2=-15解：化簡得x2-x-1=0x1+x2=1x1x2=-1不解方程，求下列方程兩根的和與積.x2-3x=15；設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根分別為x1，x2，則有Δ≥0且x1x2＞0Δ≥0且x1x2＜0x1+x2＞0x1+x2＜0x1+x2＞0x1+x2＜0兩根同為正數(shù)兩根同為負數(shù)兩根異號且正根的絕對值大兩根異號且負根的絕對值大設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)隨堂演練基礎(chǔ)鞏固關(guān)于x的方程x2+px+q=0的根為x1=1+，x2=1-，則p=

，q=

.已知方程5x2+kx－6=0的一根是2，則另一根是

，

k＝

.-2-1-7隨堂演練基礎(chǔ)鞏固關(guān)于x的方程x2+px+q=0的根為x1=13.求下列方程的兩根x1，x2的和與積：

（1）x2－3x+2=0；

（2）x2+x=5x+6解：x1+x2=3x1x2=2解：化簡得x2-4x-6=0x1+x2=4x1x2=-63.求下列方程的兩根x1，x2的和與積：解：x1+x2=34.已知兩個數(shù)的和為8，積為9.75，求這兩個數(shù).解：設(shè)其中一個數(shù)為x，則另一個數(shù)為(8-x).

根據(jù)題意，得x(8-x)=9.75，整理，

得x2-8x+9.75=0.

解得x1=6.5,x2=1.5.

當x=6.5時，8-x=1.5；當x=1.5時，8-x=6.5.

∴這兩個數(shù)是6.5和1.5.4.已知兩個數(shù)的和為8，積為9.75，求這兩個數(shù).解：設(shè)其5.x1，x2是方程x2－5x－7=0的兩根，不解方程求下列各式的值：

（1）

；（2）.解：∵x1，x2是方程x2-5x-7=0的兩根.

則x1+x2=5，x1x2=-7.5.x1，x2是方程x2－5x－7=0的兩根，不解方程求下人教部編版九年級數(shù)學上冊《第21章一元二次方程【全章】》優(yōu)質(zhì)課件6.已知關(guān)于x的方程x2-(2m+3)x+m2=0的兩根之和等于

兩根之積，求m的值.解：設(shè)方程x2-(2m+3)x+m2=0的兩根為x1，x2.

∴x1+x2=2m+3，x1x2=m2.

根據(jù)題意得m2=2m+3，解得m1=3，m2=-1.

當m=3時，原方程為x2-9x+9=0，b2-4ac=45>0.方程有實數(shù)根.

當m=-1時，原方程為x2-x+1=0，b2-4ac=-3<0.方程無實數(shù)根，此m值舍去.

∴m的值為3.6.已知關(guān)于x的方程x2-(2m+3)x+m2=0的兩根之課堂小結(jié)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根分別為x1，x2，則若方程x2+px+q=0有兩個實根x1，x2，則x1+x2=-p,x1x2=q.課堂小結(jié)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根分別為x課后作業(yè)1.從教材課后習題中選取；2.從練習冊中選取。課后作業(yè)1.從教材課后習題中選??；126課堂感想1、這節(jié)課你有什么收獲？2、這節(jié)課還有什么疑惑？說出來和大家一起交流吧！課堂感想127謝謝觀賞！謝謝觀賞！128再見！再見！12921.3實際問題與一元二次方程

第1課時實際問題與一元二次方程（1）R·九年級上冊21.3實際問題與一元二次方程

第1課時新課導(dǎo)入導(dǎo)入課題問題1：列方程解應(yīng)用題的基本步驟有哪些？問題2：有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？本節(jié)課我們學習一元二次方程的應(yīng)用.審、設(shè)、列、解、驗、答新課導(dǎo)入導(dǎo)入課題問題1：列方程解應(yīng)用題的基本步驟有哪些？問題推進新課知識點列一元二次方程解決實際問題

有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？你能解決這個問題嗎？推進新課知識點列一元二次方程解決實際問題有一設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.第一輪傳染后有

人患了流感.第二輪傳染中的傳染源為

人，第二輪傳染后有

人患了流感.

根據(jù)等量關(guān)系“

”列出方程

.x+1x+1x+1+x(x+1)兩輪傳染后，有121人患了流感x+1+x(x+1)=121設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.x+1x解方程x+1+x(x+1)=121化簡得：x2+2x-120=0(x-10)(x+12)=0

x1=10,x2=-12(舍)有更簡單的方法解這個方程嗎？解方程x+1+x(x+1)=121提取公因式：(x+1)(x+1)=121(x+1)2=121

x+1=±11

x1=10,x2=-12(舍)解方程x+1+x(x+1)=121有更簡單的方法解這思考：如果按這樣的傳染速度，三輪傳染后有多少人患了流感？n輪后呢？經(jīng)過三輪傳染后共有121×10+121=1331(人)患流感.n輪后患流感的人數(shù)為(1+10)n=11n.思考：如果按這樣的傳染速度，三輪傳染后有多少

某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染，請你用學過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，三輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？鞏固練習某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺電腦被感染，解：設(shè)每輪感染中平均一臺電腦會感染x臺電腦.

依題意1+x+(1+x)x=81，(1+x)2=81，x+1=9或x+1=-9.

解得x=8或x=-10(舍去)

三輪感染后被感染的電腦臺數(shù)為

(1+x)2+(1+x)2x=(1+x)3=(1+8)3=729>700.答：每輪感染中平均一臺電腦會感染8臺電腦；三輪感染后，被感染的電腦臺數(shù)會超過700臺.解：設(shè)每輪感染中平均一臺電腦會感染x臺電腦.

某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，每個支干長出多少個小分支?解：設(shè)每個支干長出x個小分支.

根據(jù)題意，得1+x+x2=91，

即(x-9)(x+10)=0

解得x1=9，x2=-10(舍去).答：每個支干長出9個小分支.某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又隨堂演練基礎(chǔ)鞏固1.生物興趣小組的學生，將自己收集的標本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了182

件，如果全組有x名同學，那么根據(jù)題意列出的方程是(

)A.x(x+1)=182 B.x(x-1)=182C.2x(x+1)=182 D.x(1-x)=182×2B隨堂演練基礎(chǔ)鞏固1.生物興趣小組的學生，將自己收集的標本向2.有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患了流感.

（1）求每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？

（2）如果不及時控制，第三輪將又有多少人被傳染？解：(1)設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.

依題意1+x+(1+x)x=64,即(x+1)2=64,

解得x1=7，x2=-9(舍).

答：每輪傳染中平均一個人傳染了7個人.2.有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患了流感.解：(2)第三輪被傳染的人數(shù)為

(1+x)2·x=(1+7)2×7=448(人).

答：第三輪將有448人被傳染.(2)第三輪被傳染的人數(shù)為3.參加足球聯(lián)賽的每兩隊之間都進行了兩次比賽（雙循環(huán)比賽），共要比賽90場，共有多少個隊參加了比賽？解：設(shè)共有x個隊參加了比賽.

依題意x(x-1)=90.

解得x1=10,x2=-9(舍去).答：共有10個隊參加了比賽.3.參加足球聯(lián)賽的每兩隊之間都進行了兩次解：設(shè)共有x個隊參4.有一人利用手機發(fā)送短信，獲得信息的人也按他的發(fā)送人數(shù)發(fā)送了該條短信息，經(jīng)過兩輪短信發(fā)送，共有90人的手機上獲得同一信息，則每輪平均一個人向多少人發(fā)送短信？解：設(shè)每輪平均一個人向x人發(fā)送短信.由題意，得x+x2=90.解得：x1=9，x2=-10(舍去).答：每輪平均一個人向9個人發(fā)送短信.4.有一人利用手機發(fā)送短信，獲得信息的人解：設(shè)每輪平均一個一個數(shù)字和為10的兩位數(shù),把個位與十位數(shù)字對

調(diào)后得到一個兩位數(shù),這兩個兩位數(shù)之積是2296,

則這個兩位數(shù)是多少？解：設(shè)這個數(shù)十位上數(shù)字為x,則個位數(shù)字為(10-x),

原數(shù)為10x+(10-x)=9x+10.

對調(diào)后得到的數(shù)為10(10-x)+x=100-9x.

依題意(9x+10)(100-9x)=2296.

解得

x1=8,x2=2.

當x=8時，這個兩位數(shù)是82；當x=2時，這個兩位數(shù)是28.答：這個兩位數(shù)是82或28.一個數(shù)字和為10的兩位數(shù),把個位與十位數(shù)字對解：設(shè)這個課堂小結(jié)傳播問題兩個要點：傳染源和傳播速度傳染輪數(shù)與傳染總?cè)藬?shù)之間的關(guān)系：設(shè)1個人每次可以傳染x人第一輪：(1+x)人第二輪：(1+x)+x(1+x)人第三輪：(1+x)+x(1+x)+x(1+x)2人第n輪：(1+x)+x(1+x)+…x(1+x)n=(1+x)n人課堂小結(jié)傳播問題兩個要點：傳染源和傳播速度傳染輪數(shù)與傳染總?cè)苏n后作業(yè)1.從教材課后習題中選??；2.從練習冊中選取。課后作業(yè)1.從教材課后習題中選取；146課堂感想1、這節(jié)課你有什么收獲？2、這節(jié)課還有什么疑惑？說出來和大家一起交流吧！課堂感想147謝謝觀賞！謝謝觀賞！148再見！再見！14921.3實際問題與一元二次方程

第2課時

實際問題與一元二次方程（2）R·九年級上冊21.3實際問題與一元二次方程

第2課時實際新課導(dǎo)入導(dǎo)入課題

兩年前生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大?本節(jié)課我們學習增長/下降率問題.新課導(dǎo)入導(dǎo)入課題兩年前生產(chǎn)1t甲種藥品的成本推進新課知識點1有關(guān)增長/下降率的問題探究2

兩年前生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大?下降率是什么意思？它與原成本、終成本之間有何數(shù)量關(guān)系？推進新課知識點1有關(guān)增長/下降率的問題探究2兩年前生產(chǎn)下降率是下降額與原成本的比值；下降率=×100%原成本－終成本原成本下降率是下降額與原成本的比值；下降率=①如果甲種藥品成本平均每年的下降率為x，則下降一次后的成本變?yōu)?/p>

，再次下降后的成本變?yōu)?/p>

.（用代數(shù)式表示）②設(shè)甲種藥品成本平均每年的下降率為x，由等量關(guān)系

可得方程

，解這個方程，得到方程的兩根，根據(jù)問題的實際意義，應(yīng)選擇哪個根呢？為什么？5000(1-x)5000(1-x)2終成本=原成本×(1－下降率)25000(1-x)2=3000①如果甲種藥品成本平均每年的下降率為x，則下降一次后的成本變

應(yīng)選擇x1=0.225.因為根據(jù)問題的實際意義，成本的年平均下降率應(yīng)是小于1的正數(shù).應(yīng)選擇x1=0.225.因為根據(jù)問題的實際意成本下降額較大的藥品，它的成本下降率不一定大.③

設(shè)乙種藥品成本平均每年的下降率為

y，

則由等量關(guān)系

可得方程

.④成本下