數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制 第14章 冪級(jí)數(shù)

§1

冪級(jí)數(shù)

一般項(xiàng)為冪函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù),這是一類(lèi)最簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).冪級(jí)數(shù)在級(jí)數(shù)理論中有著特殊的地位,在函數(shù)逼近和近似計(jì)算中有重要應(yīng)用,特別是函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)為研究非初等函數(shù)提供了有力的工具.

三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算一、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)

§1冪級(jí)數(shù)一般項(xiàng)為冪函數(shù)冪級(jí)數(shù)系數(shù)

一、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間冪級(jí)數(shù)系數(shù)一、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間2.冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)與收斂域2.冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)與收斂域因此級(jí)數(shù)斂散性的問(wèn)題對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或冪級(jí)數(shù)而言，正確的提法是區(qū)間上的那些點(diǎn)使級(jí)數(shù)收斂，那些點(diǎn)使級(jí)數(shù)發(fā)散？因此級(jí)數(shù)斂散性的問(wèn)題對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或冪級(jí)數(shù)而言，正確的提法是證明證明數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制第14章冪級(jí)數(shù)由(1)結(jié)論幾何說(shuō)明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域由(1)結(jié)論幾何說(shuō)明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域由定理14.1知道由定理14.1知道定義:正數(shù)R稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問(wèn)題如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?收斂域是稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.開(kāi)區(qū)間定義:正數(shù)R稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問(wèn)題如何求冪級(jí)數(shù)的收定理14.2

對(duì)于冪級(jí)數(shù)(2),

若則當(dāng)證

定理14.2對(duì)于冪級(jí)數(shù)(2),若則當(dāng)證根據(jù)級(jí)數(shù)的根式判別法,當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)

收斂.當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.于是(i)當(dāng)時(shí),由得冪級(jí)數(shù)(2)收斂半

徑(ii)

所以(iii)根據(jù)級(jí)數(shù)的根式判別法,當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂.當(dāng)時(shí),級(jí)證明證明由比值審斂法,由比值審斂法,數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制第14章冪級(jí)數(shù)例1

求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域:解該級(jí)數(shù)收斂;該級(jí)數(shù)發(fā)散;例1求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域:解該級(jí)數(shù)收斂;該級(jí)數(shù)發(fā)散;數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制第14章冪級(jí)數(shù)例1

所以其收斂半徑,即收斂區(qū)間為;而當(dāng)

所以級(jí)數(shù)

于是級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)槔?所以其收斂半徑,即收斂區(qū)間為;而當(dāng)所以級(jí)數(shù)因此冪級(jí)數(shù)(4)的收斂區(qū)間是.但級(jí)數(shù)(4)當(dāng)

時(shí)發(fā)散,時(shí)收斂,從而得到級(jí)數(shù)(4)的收

斂域是半開(kāi)區(qū)間.照此方法,容易驗(yàn)證級(jí)數(shù)的收斂半徑分別為與.例2設(shè)有級(jí)數(shù)由于因此冪級(jí)數(shù)(4)的收斂區(qū)間是.但級(jí)數(shù)(4)當(dāng)時(shí)發(fā)散解缺少偶次冪的項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,解缺少偶次冪的項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榻饨獍l(fā)散收斂故收斂域?yàn)?0,1].解發(fā)散收斂故收斂域?yàn)?0,1].解例5

級(jí)數(shù)由于所以級(jí)數(shù)(6)的收斂半徑,從而級(jí)數(shù)(6)的收斂

區(qū)間為即例5級(jí)數(shù)由于所以級(jí)數(shù)(6)的收斂半徑,從而當(dāng)

x=3時(shí),級(jí)數(shù)(6)為發(fā)散級(jí)數(shù)于是級(jí)數(shù)(6)的收斂域?yàn)?/p>

當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)(6)為

收斂級(jí)數(shù)例5

級(jí)數(shù)當(dāng)x=3時(shí),級(jí)數(shù)(6)為發(fā)散級(jí)數(shù)于是級(jí)數(shù)(6)的收下面討論冪級(jí)數(shù)(2)定理14.4

若冪級(jí)數(shù)(2)的收斂半徑為,則在它

的收斂區(qū)間內(nèi)任一閉區(qū)間上,級(jí)數(shù)(2)都一致收斂.證

任一點(diǎn)x,

都有由于級(jí)數(shù)(2)在點(diǎn)絕對(duì)收斂,由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法得級(jí)

數(shù)(2)在上一致收斂.的一致收斂性問(wèn)題.下面討論冪級(jí)數(shù)定理14.5

若冪級(jí)數(shù)(2)的收斂半徑為,且在

(或)時(shí)收斂,則級(jí)數(shù)(2)在(或

)上一致收斂.證設(shè)級(jí)數(shù)(2)在時(shí)收斂,對(duì)于有遞減且一致有界,即故由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的阿貝耳判別法,級(jí)數(shù)(2)在上一致收斂.定理14.5若冪級(jí)數(shù)(2)的收斂半徑為,且在(二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)根據(jù)一致收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)即可以得到冪級(jí)數(shù)的一系列性質(zhì).定理14.6(i)冪級(jí)數(shù)(2)的和函數(shù)是內(nèi)的連續(xù)

函數(shù);(ii)若冪級(jí)數(shù)(2)在收斂區(qū)間的左(右)端點(diǎn)上收斂,

則其和函數(shù)也在這一端點(diǎn)上右(左)連續(xù).在討論冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積之前,

先來(lái)確定冪級(jí)數(shù)(2)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)

二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)根據(jù)一致收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)即可以得到冪級(jí)數(shù)求積后得到的冪級(jí)數(shù)與的收斂區(qū)間.定理14.7

冪級(jí)數(shù)(2)與冪級(jí)數(shù)(7)、(8)具有相同的收斂區(qū)間.證

這里只要證明(2)與(7)具有相同的收斂區(qū)間就可以了,

因?yàn)閷?duì)(8)逐項(xiàng)求導(dǎo)就得到(2).求積后得到的冪級(jí)數(shù)與的收斂區(qū)間.定理14.7冪級(jí)數(shù)(2)首先證明冪級(jí)數(shù)(7)在冪級(jí)數(shù)(2)收斂區(qū)間中

每一點(diǎn)都收斂.設(shè),由阿貝耳定理(定理14.1)的

證明知道,

存在正數(shù)M與

r(r<1),

對(duì)一切正整數(shù)

n,

都有于是首先證明冪級(jí)數(shù)(7)在冪級(jí)數(shù)(2)收斂區(qū)間中每一點(diǎn)都收斂.

由級(jí)數(shù)的比

較原則及上述不等式,就推出冪級(jí)數(shù)(7)在點(diǎn)絕對(duì)

收斂(當(dāng)然也是收斂的!).由于為中任一點(diǎn),這就證明了冪級(jí)數(shù)(7)在上收斂.其次證明冪級(jí)數(shù)(7)對(duì)一切滿(mǎn)足不等式的x都

不收斂.由級(jí)數(shù)的比較原則及上述不等式,就推出冪級(jí)數(shù)(7)在點(diǎn)絕

冪級(jí)數(shù)(7)在

根據(jù)比較原則得冪級(jí)數(shù)(2)在處絕對(duì)收斂.這與所設(shè)冪級(jí)數(shù)(2)的收斂區(qū)間為相矛盾.于是冪級(jí)數(shù)(7)的收斂區(qū)間也是如若不然,冪級(jí)數(shù)(7)在點(diǎn)收斂,則存在冪級(jí)數(shù)(7)在根據(jù)比較原則得冪級(jí)數(shù)(2)在處絕對(duì)收斂.定理14.8

設(shè)冪級(jí)數(shù)(2)在收斂區(qū)間上的和函

數(shù)為f,若x為內(nèi)任意一點(diǎn),則(i)f在

x可導(dǎo),

且(ii)f在區(qū)間上可積,且定理14.8設(shè)冪級(jí)數(shù)(2)在收斂區(qū)間上的和函數(shù)為f,使得|x|<r<R,根據(jù)定理14.4,級(jí)數(shù)(2),(7)在[-r,r]上一致收斂.再由第十三章§2的逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積定理,

就得到所要證明的結(jié)論(i)與(ii).注由本定理立即可以得到冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間上可以逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)求積.徑R.因此,對(duì)任意一個(gè)

,

總存在正數(shù)

r,證由定理14.7,級(jí)數(shù)(2),(7),(8)具有相同的收斂半使得|x|<r<R,根據(jù)定理14.4,級(jí)數(shù)(2)推論1

設(shè)f為冪級(jí)數(shù)(2)

在收斂區(qū)間上的和函數(shù),則在上f具有任意階導(dǎo)數(shù),且

可任意次逐項(xiàng)求導(dǎo),即推論1設(shè)f為冪級(jí)數(shù)(2)在收斂區(qū)間上的和函數(shù),則在推論2

設(shè)f為冪級(jí)數(shù)(2)在某鄰域內(nèi)的和函數(shù),則級(jí)數(shù)(2)的系數(shù)與f在處的各

階導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系:注

推論2還表明,若級(jí)數(shù)(2)在上有和函數(shù)

f,則級(jí)數(shù)(2)由f在處的各階導(dǎo)數(shù)所惟一確定.這是一個(gè)非常重要的結(jié)論,在后面討論冪級(jí)數(shù)展開(kāi)時(shí)要用到.推論2設(shè)f為冪級(jí)數(shù)(2)在某鄰域內(nèi)的和函數(shù),則級(jí)數(shù)三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算定理14.9

若冪級(jí)數(shù)與在的某鄰域內(nèi)有相同的和函數(shù),則它們同次冪項(xiàng)的系數(shù)相等,即這個(gè)定理的結(jié)論可直接由定理14.8的推論2得到.三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算定理14.9若冪級(jí)數(shù)與在的某鄰域內(nèi)有相同的定理14.10

若冪級(jí)數(shù)與的收斂半徑

分別為Ra和Rb,則有定理的證明可由數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)推出.定理14.10若冪級(jí)數(shù)與的收斂半徑分別為Ra和R例6

幾何級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)有對(duì)級(jí)數(shù)(10)在內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)得例6幾何級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)有對(duì)級(jí)數(shù)(10)在內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)得將級(jí)數(shù)(10)在上逐項(xiàng)求積得到所以例6

幾何級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)有將級(jí)數(shù)(10)在上逐項(xiàng)求積得到所以例6幾何級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)有解解解兩邊積分得顯然，級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋èC1，1]解兩邊積分得顯然，級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋èC1，1]數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制第14章冪級(jí)數(shù)解收斂區(qū)間(-1,1),解收斂區(qū)間(-1,1),例7求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解

首先求出收斂域.因?yàn)?且級(jí)數(shù)與都發(fā)散,所以收斂域?yàn)?采用逐項(xiàng)求積法來(lái)求和函數(shù).設(shè)例7求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解首先求出收斂域.因?yàn)?且級(jí)數(shù)對(duì)進(jìn)行逐項(xiàng)積分,得對(duì)逐項(xiàng)積分,得對(duì)進(jìn)行逐項(xiàng)積分,得對(duì)逐項(xiàng)積分,得所以所以作業(yè)P511(1)(3)(5)(7)、2(1)(2)作業(yè)P511(1)(3)(5)(7)、2(1)(2§2

函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)由泰勒公式知道,可以將滿(mǎn)足一定條件的函數(shù)表示為一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)的和.如果能將一個(gè)滿(mǎn)足適當(dāng)條件的函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上表示成一個(gè)冪級(jí)數(shù),就為函數(shù)的研究提供了一種新的方法.返回二、初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式一、泰勒級(jí)數(shù)§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)由泰勒公式知道,可以將滿(mǎn)足一定一、泰勒級(jí)數(shù)在第六章§3的泰勒定理中曾指出,

若函數(shù)f在點(diǎn)x0

的某鄰域內(nèi)存在直至n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則這里為拉格朗日型余項(xiàng)一、泰勒級(jí)數(shù)在第六章§3的泰勒定理中曾指出,若函數(shù)f在點(diǎn)x由于余項(xiàng)是關(guān)于的高階無(wú)窮小,因此

在點(diǎn)附近f可用(1)式右邊的多項(xiàng)式來(lái)近似代替,這是泰勒公式帶來(lái)的重要結(jié)論.再進(jìn)一步,設(shè)函數(shù)f在處存在任意階導(dǎo)數(shù),就

可以由函數(shù)f得到一個(gè)冪級(jí)數(shù)其中在x與x0之間,稱(chēng)(1)式為f在點(diǎn)的泰勒公式.由于余項(xiàng)是關(guān)于的高階無(wú)窮小,因此在點(diǎn)附近f可用通常稱(chēng)(3)式為f在處的泰勒級(jí)數(shù).對(duì)于級(jí)數(shù)(3)是否能在點(diǎn)附近確切地表達(dá)f,或者說(shuō)級(jí)數(shù)(3)

在點(diǎn)附近的和函數(shù)是否就是f

本身,這就是本節(jié)所要著重討論的問(wèn)題.請(qǐng)先看一個(gè)例子.例1

由于函數(shù)在處的任意階導(dǎo)數(shù)都等于0(見(jiàn)第六章§4第二段末尾),即通常稱(chēng)(3)式為f在處的泰勒級(jí)數(shù).對(duì)于級(jí)數(shù)(因此f在的泰勒級(jí)數(shù)為顯然它在上收斂,且其和函數(shù).由

此看到,對(duì)一切都有.上例說(shuō)明,具有任意階導(dǎo)數(shù)的函數(shù),其泰勒級(jí)數(shù)并不都能收斂于該函數(shù)本身,哪怕在很小的一個(gè)鄰域內(nèi).那么怎樣的函數(shù),其泰勒級(jí)數(shù)才能收斂于它本身呢?因此f在的泰勒級(jí)數(shù)為顯然它在上收斂,且其和函數(shù)定理14.11

設(shè)f在點(diǎn)具有任意階導(dǎo)數(shù),那么f在

區(qū)間上等于它的泰勒級(jí)數(shù)的和函數(shù)的

充分條件是:對(duì)一切滿(mǎn)足不等式的,有

這里是f在點(diǎn)泰勒公式的余項(xiàng).本定理的證明可以直接從第六章§3泰勒定理推出.如果f能在點(diǎn)的某鄰域上等于其泰勒級(jí)數(shù)的和函

數(shù),則稱(chēng)函數(shù)f在點(diǎn)的這一鄰域內(nèi)可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù),并稱(chēng)等式定理14.11設(shè)f在點(diǎn)具有任意階導(dǎo)數(shù),那么f的右邊為f在處的泰勒展開(kāi)式,或冪級(jí)數(shù)展

開(kāi)式.由級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)可得:若f

為冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間上的和函數(shù),則

就是f

在上的泰勒展開(kāi)式,的右邊為f在處的泰勒展開(kāi)式,或冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.由即冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式是惟一的.在實(shí)際應(yīng)用上,主要討論函數(shù)在處的展開(kāi)式,

這時(shí)(3)式就變成稱(chēng)為麥克勞林級(jí)數(shù).從定理14.11知道,余項(xiàng)對(duì)確定函數(shù)能否展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)是極為重要的,下面我們重新寫(xiě)出當(dāng)時(shí)的

即冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式是惟一的.在實(shí)際應(yīng)用上,主要討論函數(shù)在處的積分型余項(xiàng)、拉格朗日型余項(xiàng)和柯西型余項(xiàng),以便于后面的討論.它們分別是積分型余項(xiàng)、拉格朗日型余項(xiàng)和柯西型余項(xiàng),以便于后面的討論二、初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式例2

求k次多項(xiàng)式函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.解由于二、初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式例2求k次多項(xiàng)式函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)即多項(xiàng)式函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式就是它本身.例3

求函數(shù)f(x)=ex的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.解

顯見(jiàn)即多項(xiàng)式函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式就是它本身.例3求函數(shù)f(x對(duì)任何實(shí)數(shù)x,都有對(duì)任何實(shí)數(shù)x,都有例4

所以在上可以展開(kāi)為麥克勞

林級(jí)數(shù):例4所以在上可以展開(kāi)為麥克勞林級(jí)數(shù):數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制第14章冪級(jí)數(shù)同樣可證(或用逐項(xiàng)求導(dǎo)),在上有例5

所以的麥克勞林級(jí)數(shù)是同樣可證(或用逐項(xiàng)求導(dǎo)),在上有例5所以的麥克勞林級(jí)數(shù)用比式判別法容易求得級(jí)數(shù)(5)的收斂半徑,且

當(dāng)時(shí)收斂,時(shí)發(fā)散,故級(jí)數(shù)(5)的收斂域

是.下面討論在上它的余項(xiàng)的極限.當(dāng)時(shí),對(duì)拉格朗日型余項(xiàng),有用比式判別法容易求得級(jí)數(shù)(5)的收斂半徑,且當(dāng)時(shí)收斂,當(dāng)時(shí),因拉格朗日型余項(xiàng)不易估計(jì),故改用柯西型余項(xiàng).此時(shí)有當(dāng)時(shí),因拉格朗日型余項(xiàng)不易估計(jì),故改用柯西型余項(xiàng).此這就證得在上

的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式就是(5).將(5)式中x換成,就得到函數(shù)處的泰勒展開(kāi)式:其收斂域?yàn)槔?討論二項(xiàng)式函數(shù)的展開(kāi)式.解

當(dāng)為正整數(shù)時(shí),由二項(xiàng)式定理直接展開(kāi),就得到f的展開(kāi)式,這已在前面例2中討論過(guò).這就證得在上的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式就是(5).將(5)式中下面討論不等于正整數(shù)時(shí)的情形,這時(shí)于是

的麥克勞林級(jí)數(shù)是運(yùn)用比式法,可得(6)的收斂半徑.在內(nèi)

考察它的柯西型余項(xiàng)下面討論不等于正整數(shù)時(shí)的情形,這時(shí)于是的麥克勞林級(jí)數(shù)是由比式判別法,由比式判別法,于

1所以在于1所以在論如下:對(duì)于收斂區(qū)間端點(diǎn)的情形,與的取值有關(guān),其結(jié)論如下:對(duì)于收斂區(qū)間端點(diǎn)的情形,與的取值有一般來(lái)說(shuō),只有比較簡(jiǎn)單的函數(shù),其冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式能直接從定義出發(fā),并根據(jù)定理14.11求得.

更多的情況是從已知的展開(kāi)式出發(fā),通過(guò)變量代換、四則運(yùn)一般來(lái)說(shuō),只有比較簡(jiǎn)單的函數(shù),其冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式能直接從定義算或逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法,間接地求得函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.注求一個(gè)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式就是確定該冪級(jí)數(shù)各項(xiàng)的系數(shù),根據(jù)展開(kāi)式的惟一性,不管用什么方法得到的系數(shù)都是一樣的.這就是間接展開(kāi)的根據(jù).例7

以與分別代入(8)與(9)式,可得算或逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法,間接地求得函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)對(duì)于(10)、(11)分別逐項(xiàng)求積可得函數(shù)與

的展開(kāi)式:-11-2-112對(duì)于(10)、(11)分別逐項(xiàng)求積可得函數(shù)與的展開(kāi)式:-1由此可見(jiàn),熟練掌握某些初等函數(shù)的展開(kāi)式,對(duì)求其他一些函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式是非常方便和有用的,特別是例3～例7的結(jié)果,對(duì)于今后用間接方法求冪級(jí)數(shù)展開(kāi)十分方便.由此可見(jiàn),熟練掌握某些初等函數(shù)的展開(kāi)式,對(duì)求其他解利用,得處連續(xù),在處無(wú)定義,

例8

求函數(shù)在處的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)

式.解利用,得處連續(xù),在處無(wú)定義,例8求函數(shù)在處的而級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?所以注

嚴(yán)格地說(shuō),上式中的冪級(jí)數(shù)在

上有和函數(shù),

而只是它在上的和函數(shù).

又因?yàn)?所以而級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?所以注嚴(yán)格地說(shuō),上式中的用類(lèi)似方法可得.(13)大家一定非常熟悉三角函數(shù)表和對(duì)數(shù)表,但這些表是怎樣制作出來(lái)的呢?例9

計(jì)算的近似值,精確到解

可以在展開(kāi)式中令,得

.這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù),故有

用類(lèi)似方法可得.(13)大家一定非常熟悉三角函.為了誤差小于0.0001,就必須計(jì)算

級(jí)數(shù)前10000項(xiàng)的和,收斂得太慢.為此在(13)式中令,,代入(13)式,有估計(jì)余項(xiàng):.為了誤差小于0.0001,就必須計(jì)算級(jí)數(shù)前100取,就有因此取,就有因此最后舉例說(shuō)明怎樣用冪級(jí)數(shù)形式表示某些非初等函數(shù),這是冪級(jí)數(shù)特有的功能.例10

用間接方法求非初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.解以代替ex的展開(kāi)式中的x,得最后舉例說(shuō)明怎樣用冪級(jí)數(shù)形式表示某些非初等函數(shù),這是冪再逐項(xiàng)求積,就得到在上的展開(kāi)式:F(x)用上述級(jí)數(shù)的部分和逐項(xiàng)逼近的過(guò)程,示于下圖:再逐項(xiàng)求積,就得到在上的展開(kāi)式:F(x)用上述級(jí)數(shù)的-2-112O-1-0.50.51-2-112O-1-0.50.51復(fù)習(xí)思考題1.設(shè)冪級(jí)數(shù)在的和函數(shù)為,問(wèn)

在處的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式是什么?2.設(shè)函數(shù)在上的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式為若上式右邊的冪級(jí)數(shù)在(或)收斂,能否

得出上式在(或)成立?(結(jié)合例8進(jìn)行討

論)復(fù)習(xí)思考題1.設(shè)冪級(jí)數(shù)在的和函數(shù)為,問(wèn)在處的冪級(jí)數(shù)§1

冪級(jí)數(shù)

一般項(xiàng)為冪函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù),這是一類(lèi)最簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).冪級(jí)數(shù)在級(jí)數(shù)理論中有著特殊的地位,在函數(shù)逼近和近似計(jì)算中有重要應(yīng)用,特別是函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)為研究非初等函數(shù)提供了有力的工具.

三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算一、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)

§1冪級(jí)數(shù)一般項(xiàng)為冪函數(shù)冪級(jí)數(shù)系數(shù)

一、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間冪級(jí)數(shù)系數(shù)一、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間2.冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)與收斂域2.冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)與收斂域因此級(jí)數(shù)斂散性的問(wèn)題對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或冪級(jí)數(shù)而言，正確的提法是區(qū)間上的那些點(diǎn)使級(jí)數(shù)收斂，那些點(diǎn)使級(jí)數(shù)發(fā)散？因此級(jí)數(shù)斂散性的問(wèn)題對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或冪級(jí)數(shù)而言，正確的提法是證明證明數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制第14章冪級(jí)數(shù)由(1)結(jié)論幾何說(shuō)明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域由(1)結(jié)論幾何說(shuō)明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域由定理14.1知道由定理14.1知道定義:正數(shù)R稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問(wèn)題如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?收斂域是稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.開(kāi)區(qū)間定義:正數(shù)R稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問(wèn)題如何求冪級(jí)數(shù)的收定理14.2

對(duì)于冪級(jí)數(shù)(2),

若則當(dāng)證

定理14.2對(duì)于冪級(jí)數(shù)(2),若則當(dāng)證根據(jù)級(jí)數(shù)的根式判別法,當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)

收斂.當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.于是(i)當(dāng)時(shí),由得冪級(jí)數(shù)(2)收斂半

徑(ii)

所以(iii)根據(jù)級(jí)數(shù)的根式判別法,當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂.當(dāng)時(shí),級(jí)證明證明由比值審斂法,由比值審斂法,數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制第14章冪級(jí)數(shù)例1

求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域:解該級(jí)數(shù)收斂;該級(jí)數(shù)發(fā)散;例1求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域:解該級(jí)數(shù)收斂;該級(jí)數(shù)發(fā)散;數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制第14章冪級(jí)數(shù)例1

所以其收斂半徑,即收斂區(qū)間為;而當(dāng)

所以級(jí)數(shù)

于是級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)槔?所以其收斂半徑,即收斂區(qū)間為;而當(dāng)所以級(jí)數(shù)因此冪級(jí)數(shù)(4)的收斂區(qū)間是.但級(jí)數(shù)(4)當(dāng)

時(shí)發(fā)散,時(shí)收斂,從而得到級(jí)數(shù)(4)的收

斂域是半開(kāi)區(qū)間.照此方法,容易驗(yàn)證級(jí)數(shù)的收斂半徑分別為與.例2設(shè)有級(jí)數(shù)由于因此冪級(jí)數(shù)(4)的收斂區(qū)間是.但級(jí)數(shù)(4)當(dāng)時(shí)發(fā)散解缺少偶次冪的項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,解缺少偶次冪的項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榻饨獍l(fā)散收斂故收斂域?yàn)?0,1].解發(fā)散收斂故收斂域?yàn)?0,1].解例5

級(jí)數(shù)由于所以級(jí)數(shù)(6)的收斂半徑,從而級(jí)數(shù)(6)的收斂

區(qū)間為即例5級(jí)數(shù)由于所以級(jí)數(shù)(6)的收斂半徑,從而當(dāng)

x=3時(shí),級(jí)數(shù)(6)為發(fā)散級(jí)數(shù)于是級(jí)數(shù)(6)的收斂域?yàn)?/p>

當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)(6)為

收斂級(jí)數(shù)例5

級(jí)數(shù)當(dāng)x=3時(shí),級(jí)數(shù)(6)為發(fā)散級(jí)數(shù)于是級(jí)數(shù)(6)的收下面討論冪級(jí)數(shù)(2)定理14.4

若冪級(jí)數(shù)(2)的收斂半徑為,則在它

的收斂區(qū)間內(nèi)任一閉區(qū)間上,級(jí)數(shù)(2)都一致收斂.證

任一點(diǎn)x,

都有由于級(jí)數(shù)(2)在點(diǎn)絕對(duì)收斂,由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法得級(jí)

數(shù)(2)在上一致收斂.的一致收斂性問(wèn)題.下面討論冪級(jí)數(shù)定理14.5

若冪級(jí)數(shù)(2)的收斂半徑為,且在

(或)時(shí)收斂,則級(jí)數(shù)(2)在(或

)上一致收斂.證設(shè)級(jí)數(shù)(2)在時(shí)收斂,對(duì)于有遞減且一致有界,即故由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的阿貝耳判別法,級(jí)數(shù)(2)在上一致收斂.定理14.5若冪級(jí)數(shù)(2)的收斂半徑為,且在(二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)根據(jù)一致收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)即可以得到冪級(jí)數(shù)的一系列性質(zhì).定理14.6(i)冪級(jí)數(shù)(2)的和函數(shù)是內(nèi)的連續(xù)

函數(shù);(ii)若冪級(jí)數(shù)(2)在收斂區(qū)間的左(右)端點(diǎn)上收斂,

則其和函數(shù)也在這一端點(diǎn)上右(左)連續(xù).在討論冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積之前,

先來(lái)確定冪級(jí)數(shù)(2)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)

二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)根據(jù)一致收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)即可以得到冪級(jí)數(shù)求積后得到的冪級(jí)數(shù)與的收斂區(qū)間.定理14.7

冪級(jí)數(shù)(2)與冪級(jí)數(shù)(7)、(8)具有相同的收斂區(qū)間.證

這里只要證明(2)與(7)具有相同的收斂區(qū)間就可以了,

因?yàn)閷?duì)(8)逐項(xiàng)求導(dǎo)就得到(2).求積后得到的冪級(jí)數(shù)與的收斂區(qū)間.定理14.7冪級(jí)數(shù)(2)首先證明冪級(jí)數(shù)(7)在冪級(jí)數(shù)(2)收斂區(qū)間中

每一點(diǎn)都收斂.設(shè),由阿貝耳定理(定理14.1)的

證明知道,

存在正數(shù)M與

r(r<1),

對(duì)一切正整數(shù)

n,

都有于是首先證明冪級(jí)數(shù)(7)在冪級(jí)數(shù)(2)收斂區(qū)間中每一點(diǎn)都收斂.

由級(jí)數(shù)的比

較原則及上述不等式,就推出冪級(jí)數(shù)(7)在點(diǎn)絕對(duì)

收斂(當(dāng)然也是收斂的!).由于為中任一點(diǎn),這就證明了冪級(jí)數(shù)(7)在上收斂.其次證明冪級(jí)數(shù)(7)對(duì)一切滿(mǎn)足不等式的x都

不收斂.由級(jí)數(shù)的比較原則及上述不等式,就推出冪級(jí)數(shù)(7)在點(diǎn)絕

冪級(jí)數(shù)(7)在

根據(jù)比較原則得冪級(jí)數(shù)(2)在處絕對(duì)收斂.這與所設(shè)冪級(jí)數(shù)(2)的收斂區(qū)間為相矛盾.于是冪級(jí)數(shù)(7)的收斂區(qū)間也是如若不然,冪級(jí)數(shù)(7)在點(diǎn)收斂,則存在冪級(jí)數(shù)(7)在根據(jù)比較原則得冪級(jí)數(shù)(2)在處絕對(duì)收斂.定理14.8

設(shè)冪級(jí)數(shù)(2)在收斂區(qū)間上的和函

數(shù)為f,若x為內(nèi)任意一點(diǎn),則(i)f在

x可導(dǎo),

且(ii)f在區(qū)間上可積,且定理14.8設(shè)冪級(jí)數(shù)(2)在收斂區(qū)間上的和函數(shù)為f,使得|x|<r<R,根據(jù)定理14.4,級(jí)數(shù)(2),(7)在[-r,r]上一致收斂.再由第十三章§2的逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積定理,

就得到所要證明的結(jié)論(i)與(ii).注由本定理立即可以得到冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間上可以逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)求積.徑R.因此,對(duì)任意一個(gè)

,

總存在正數(shù)

r,證由定理14.7,級(jí)數(shù)(2),(7),(8)具有相同的收斂半使得|x|<r<R,根據(jù)定理14.4,級(jí)數(shù)(2)推論1

設(shè)f為冪級(jí)數(shù)(2)

在收斂區(qū)間上的和函數(shù),則在上f具有任意階導(dǎo)數(shù),且

可任意次逐項(xiàng)求導(dǎo),即推論1設(shè)f為冪級(jí)數(shù)(2)在收斂區(qū)間上的和函數(shù),則在推論2

設(shè)f為冪級(jí)數(shù)(2)在某鄰域內(nèi)的和函數(shù),則級(jí)數(shù)(2)的系數(shù)與f在處的各

階導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系:注

推論2還表明,若級(jí)數(shù)(2)在上有和函數(shù)

f,則級(jí)數(shù)(2)由f在處的各階導(dǎo)數(shù)所惟一確定.這是一個(gè)非常重要的結(jié)論,在后面討論冪級(jí)數(shù)展開(kāi)時(shí)要用到.推論2設(shè)f為冪級(jí)數(shù)(2)在某鄰域內(nèi)的和函數(shù),則級(jí)數(shù)三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算定理14.9

若冪級(jí)數(shù)與在的某鄰域內(nèi)有相同的和函數(shù),則它們同次冪項(xiàng)的系數(shù)相等,即這個(gè)定理的結(jié)論可直接由定理14.8的推論2得到.三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算定理14.9若冪級(jí)數(shù)與在的某鄰域內(nèi)有相同的定理14.10

若冪級(jí)數(shù)與的收斂半徑

分別為Ra和Rb,則有定理的證明可由數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)推出.定理14.10若冪級(jí)數(shù)與的收斂半徑分別為Ra和R例6

幾何級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)有對(duì)級(jí)數(shù)(10)在內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)得例6幾何級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)有對(duì)級(jí)數(shù)(10)在內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)得將級(jí)數(shù)(10)在上逐項(xiàng)求積得到所以例6

幾何級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)有將級(jí)數(shù)(10)在上逐項(xiàng)求積得到所以例6幾何級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)有解解解兩邊積分得顯然，級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋èC1，1]解兩邊積分得顯然，級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋èC1，1]數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制第14章冪級(jí)數(shù)解收斂區(qū)間(-1,1),解收斂區(qū)間(-1,1),例7求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解

首先求出收斂域.因?yàn)?且級(jí)數(shù)與都發(fā)散,所以收斂域?yàn)?采用逐項(xiàng)求積法來(lái)求和函數(shù).設(shè)例7求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解首先求出收斂域.因?yàn)?且級(jí)數(shù)對(duì)進(jìn)行逐項(xiàng)積分,得對(duì)逐項(xiàng)積分,得對(duì)進(jìn)行逐項(xiàng)積分,得對(duì)逐項(xiàng)積分,得所以所以作業(yè)P511(1)(3)(5)(7)、2(1)(2)作業(yè)P511(1)(3)(5)(7)、2(1)(2§2

函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)由泰勒公式知道,可以將滿(mǎn)足一定條件的函數(shù)表示為一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)的和.如果能將一個(gè)滿(mǎn)足適當(dāng)條件的函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上表示成一個(gè)冪級(jí)數(shù),就為函數(shù)的研究提供了一種新的方法.返回二、初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式一、泰勒級(jí)數(shù)§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)由泰勒公式知道,可以將滿(mǎn)足一定一、泰勒級(jí)數(shù)在第六章§3的泰勒定理中曾指出,

若函數(shù)f在點(diǎn)x0

的某鄰域內(nèi)存在直至n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則這里為拉格朗日型余項(xiàng)一、泰勒級(jí)數(shù)在第六章§3的泰勒定理中曾指出,若函數(shù)f在點(diǎn)x由于余項(xiàng)是關(guān)于的高階無(wú)窮小,因此

在點(diǎn)附近f可用(1)式右邊的多項(xiàng)式來(lái)近似代替,這是泰勒公式帶來(lái)的重要結(jié)論.再進(jìn)一步,設(shè)函數(shù)f在處存在任意階導(dǎo)數(shù),就

可以由函數(shù)f得到一個(gè)冪級(jí)數(shù)其中在x與x0之間,稱(chēng)(1)式為f在點(diǎn)的泰勒公式.由于余項(xiàng)是關(guān)于的高階無(wú)窮小,因此在點(diǎn)附近f可用通常稱(chēng)(3)式為f在處的泰勒級(jí)數(shù).對(duì)于級(jí)數(shù)(3)是否能在點(diǎn)附近確切地表達(dá)f,或者說(shuō)級(jí)數(shù)(3)

在點(diǎn)附近的和函數(shù)是否就是f

本身,這就是本節(jié)所要著重討論的問(wèn)題.請(qǐng)先看一個(gè)例子.例1

由于函數(shù)在處的任意階導(dǎo)數(shù)都等于0(見(jiàn)第六章§4第二段末尾),即通常稱(chēng)(3)式為f在處的泰勒級(jí)數(shù).對(duì)于級(jí)數(shù)(因此f在的泰勒級(jí)數(shù)為顯然它在上收斂,且其和函數(shù).由

此看到,對(duì)一切都有.上例說(shuō)明,具有任意階導(dǎo)數(shù)的函數(shù),其泰勒級(jí)數(shù)并不都能收斂于該函數(shù)本身,哪怕在很小的一個(gè)鄰域內(nèi).那么怎樣的函數(shù),其泰勒級(jí)數(shù)才能收斂于它本身呢?因此f在的泰勒級(jí)數(shù)為顯然它在上收斂,且其和函數(shù)定理14.11

設(shè)f在點(diǎn)具有任意階導(dǎo)數(shù),那么f在

區(qū)間上等于它的泰勒級(jí)數(shù)的和函數(shù)的

充分條件是:對(duì)一切滿(mǎn)足不等式的,有

這里是f在點(diǎn)泰勒公式的余項(xiàng).本定理的證明可以直接從第六章§3泰勒定理推出.如果f能在點(diǎn)的某鄰域上等于其泰勒級(jí)數(shù)的和函

數(shù),則稱(chēng)函數(shù)f在點(diǎn)的這一鄰域內(nèi)可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù),并稱(chēng)等式定理14.11設(shè)f在點(diǎn)具有任意階導(dǎo)數(shù),那么f的右邊為f在處的泰勒展開(kāi)式,或冪級(jí)數(shù)展

開(kāi)式.由級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)可得:若f

為冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間上的和函數(shù),則

就是f

在上的泰勒展開(kāi)式,的右邊為f在處的泰勒展開(kāi)式,或冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.由即冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式是惟一的.在實(shí)際應(yīng)用上,主要討論函數(shù)在處的展開(kāi)式,

這時(shí)(3)式就變成稱(chēng)為麥克勞林級(jí)數(shù).從定理14.11知道,余項(xiàng)對(duì)確定函數(shù)能否展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)是極為重要的,下面我們重新寫(xiě)出當(dāng)時(shí)的

即冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式是惟一的.在實(shí)際應(yīng)用上,主要討論函數(shù)在處的積分型余項(xiàng)、拉格朗日型余項(xiàng)和柯西型余項(xiàng),以便于后面的討論.它們分別是積分型余項(xiàng)、拉格朗日型余項(xiàng)和柯西型余項(xiàng),以便于后面的討論二、初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式例2

求k次多項(xiàng)式函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.解由于二、初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式例2求k次多項(xiàng)式函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)即多項(xiàng)式函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式就是它本身.例3

求函數(shù)f(x)=ex的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.解

顯見(jiàn)即多項(xiàng)式函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式就是它本身.例3求函數(shù)f(x對(duì)任何實(shí)數(shù)x,都有對(duì)任何實(shí)數(shù)x,都有例4

所以在上可以展開(kāi)為麥克勞

林級(jí)數(shù):例4所以在上可以展開(kāi)為麥克勞林級(jí)數(shù):數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制第14章冪級(jí)數(shù)同樣可證(或用逐項(xiàng)求導(dǎo)),在上有例5

所以的麥克勞林級(jí)數(shù)是同樣可證(或用逐項(xiàng)求導(dǎo)),在上有例5所以的麥克勞林級(jí)數(shù)用比式判別法容易求得級(jí)數(shù)(5)的收斂半徑,且

當(dāng)時(shí)收斂,時(shí)發(fā)散,故級(jí)數(shù)(5)的收斂域

是.下面討論在上它的余項(xiàng)的極限.當(dāng)時(shí),對(duì)拉格朗日型余項(xiàng),有用比式判別法容易求得級(jí)數(shù)(5)的收斂半徑,且當(dāng)時(shí)收斂,當(dāng)時(shí),因拉格朗日型余項(xiàng)不易估計(jì),故改用柯西型余項(xiàng).此時(shí)有當(dāng)時(shí),因拉格朗日型余項(xiàng)不易估計(jì),故改用柯西型余項(xiàng).此這就證得在上

的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式就是(5).將(5)式中x換成,就得到函數(shù)處的泰勒展開(kāi)式:其收斂域?yàn)槔?討論二項(xiàng)式函數(shù)的展開(kāi)式.解

當(dāng)為正整數(shù)時(shí),由二項(xiàng)式定理直接展開(kāi),就得到f的展開(kāi)式,這已在前面例2中討論過(guò).這就證得在上的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式就是(5).將(5)式中下面討論不等于正整數(shù)時(shí)的情形,這時(shí)于是

的麥克勞林級(jí)數(shù)是運(yùn)用比式法,可得(6)的收斂半徑.在內(nèi)

考察它的柯西型余項(xiàng)下面討論不等于正整數(shù)時(shí)的情形