導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用(含答案)

11.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（含答案）（高二）1.（15北京理科）已知函數(shù)f（x）=ln4.1—x（I）求曲線J=f（x）在點(diǎn)（0,f（0））處的切線方程;（II）求證：當(dāng)xG（0,（II）求證：當(dāng)xG（0,1）時，、x3(III)/、(V3\設(shè)實(shí)數(shù)k使得f(x)>kx+三k3j對xg（0,1）恒成立，求k的最大值.【答案】（I）2x-y=0,（II）證明見解析，（I）k的最大值為2.【解析】試題分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)在r=0處的函數(shù)值及肆數(shù)值，再用直線方程的點(diǎn)斜式寫出直線方程；第二步要證明不等式力工）〉4工+=）在ioLIi成立，可用作差法構(gòu)造函數(shù)FK）=比匕獸-+土），利用導(dǎo)敬研究函數(shù)在區(qū)間1）上的單調(diào)性，由于成F>0,1-x3心）在頃1）上為i曾函數(shù)，則盧5）>3。=0,間題得征；第三少與第二步方法類以，構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，但需要對參數(shù)去作討論，首先人eL0,2］符合題意，其改當(dāng)?shù)?gt;9時，不滿是題意舍去，得出L的最大值為二試題解析：（I）f(x)=lnf(x)=lnT^，xe(-1，1)f(x)=2，、，、,f(0)=2,f(0)=01一X2曲線J=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為2x一y=0；(II)當(dāng)xg(0，1)時，f(x)x3、一即不等式f（x）-2（x+一）>0，對3VxG（0,1）成立，設(shè)F(x)=In1+x-2(x+x3)=ln(1+x)-ln(1-x)-2(x+(II)當(dāng)xg(0，1)時，f(x)2x4F（x）=L，當(dāng)xG（0，1）時，F(xiàn)（x）>0，故F（x）在（0，】）上為增函數(shù)，則F(x)>F(0)=0，因此對Vxg(0,1)，X3.f(x)>2(x+司)成立;3(III)使f(III)使f(x)>k成立，XG(0,1)，等價于F(x)=ln1i^-k(x+=)>0,xe(0,1)；1-x3F(xF(x)=k(1+x2)=1-x2kx4+2-k1-x2當(dāng)kg[0,2]時，F(xiàn)(x)>0，函數(shù)在(0，1)上位增函數(shù)，F(xiàn)(x)>F(0)=0，符合題意；當(dāng)k>2時，令F(x)=0,x4=k-2G(0,1),0kx(0,x)x(x,1)F(x)_0+F(x)X極小值F(x)<F(0)，顯然不成立，綜上所述可知：k的最大值為2.考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式；3.含參問題討論.2.(15年安徽理科)設(shè)函數(shù)f(x)=x2-ax+b.(1)討論函數(shù)f(sinx)在(-:,y)內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值;⑵記f(x)=x2-a0x+b0,求函數(shù)If(sinx)-f(sinx)|在(-：，:)上的最大值D；a、一(3)在(2)中，取a0=b0=0,求z=b-苛滿足D<1時的最大值。,a2【答案】(I)極小值為b3；(II)睥|a-叩+Ib-"(III)L【解析】試題分析=(1)將sinx代人f(對為f(51Hx)=sin."jc—a^inx-d=5in.v(sina,——<：x<—.TT9T<T求導(dǎo)得［/7>inr)］'=(25inr-￡j)cos.r!一、■::x<：：.因?yàn)橐回?:：工亡所以w>0=-2?::2sinx<2.搜療的范圍分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)打五一U在艮時，函數(shù)，《in對單調(diào)甌增，無極值一②當(dāng)心土wRTTct時，函/(sinx)單調(diào)屈瀛無極值.③當(dāng)-2<；?<：.2,在(-三三)內(nèi)存在唯一的一歐使得2如沔二u.—=，：：吒時，函數(shù)/(sinx)單調(diào)避漏；x：.：：w.:三時,函數(shù)/Xsin對單調(diào)迷增.因此，—？-：：￡?，：：、hER時，函數(shù)了任inx］在與處有根小值yGiiiQ=六?)=5-專.(II)當(dāng)壬.*(時，依據(jù)絕襯值不等式可知/(5inx)-y；(5Lnx)=(a:-j)5inr-i-d;<-rb-b>t從而能遍得出函數(shù)TOC\o"1-5"\h\z共擊?—*即冷|在［―H］上的最大值為Z?=w—%|+|占—婦.(III)當(dāng)DW1,即此-!或^時0<^從而z=i)-—<1.依據(jù)式子特征取i?=Ori=1,::-b<h井且z=^-—=1.S此可知，z=b-—^足條件D司的最大值為1.44試題解析：(I)f(sinx)=sin2x-asinx+b=sinx(sinx-a)+b,-—<x<—22[f(sinx)]'=(2sinx-a)cosx,-—<x<生.22TT因?yàn)橐?<yj所以co5x>0:-2<2dnjr<2.當(dāng)a<-2=beR時，函數(shù)/(shir)單調(diào)遂噌，無極值當(dāng)打乏】上ER時］函f(sinY)單調(diào)逮減，無極值當(dāng)在(--=-)內(nèi)存在雎一的和使得2血瑪二②■土TTT—時，函數(shù)乂⑸口的單調(diào)il減；^.<r<-時，函數(shù)JBinx)單調(diào)il增.■1因此，-2<￡?<2s時，函藪尸(豆nx)在改處有極值r(豆飪耳)=/X?〕=右一子.(II)一;￡互芝;時】|了⑶11工)一尤(sin對|=［納一曲)虹11工十行一艮｝|弓a一昭|十|6—描卜當(dāng)-砍處-b)河時，取k=三,等號成立，當(dāng)［叱―M)氣一?<。時，取K=-等號成立'由此可知，函敬|/\sinxj-J^(sin*)|在［-：,：］上的最大值為少―口-昭I+|b-b^I.上.Jhq(III)D<L即IE+IEML此時x/sl—1WE,Mz=fr-—<1.4q取fl=O=&=l,ro|a|+|6|<L并且z=&-—=1.4由此可知，z=6-—滿足條件DW1的最大值為1.4考點(diǎn)：1.函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值；2.絕對值不等式的應(yīng)用.3.(15年福建理科)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)，g(x)=kx,(keR),證明：當(dāng)x>0時，f(x)vx；證明：當(dāng)k<1時，存在x0>0,使得對任意xe(0,x0),恒有f(x)>g(x)；確定k的所以可能取值，使得存在^>0，對任意的xe(0,t),恒有l(wèi)f(x)-g(x)l<x2.【答案】(I)詳見解析；(I)詳見解析；(I)k=1.【解析】試題分析：(I)構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-x=ln(l+x)-x,xe(0,+8),只需求值域的右端點(diǎn)并和0比較即可；(II)構(gòu)造函數(shù)G(x)=f(x)-g(x)=ln(l+x)-kx,xe(0,+oo),即G(x)>0,求導(dǎo)得G(x)=《-k1+x二T警(1一k)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)G(x)的形狀和最值，證明當(dāng)k<1時，存在x>0,使1+x0得G(x)>0即可；(III)由(I)知，當(dāng)k>1時，對于Vxe(0,+oo),g(x)>x>f(x),故g(x)>f(x)，則不等式lf(x)-g(x)lvx2變形為kx-ln(1+x)<x2，構(gòu)造函數(shù)M(x)=kx-ln(1+x)-x2,xe[0，+oo)，只需說明M(x)<0，易發(fā)現(xiàn)函數(shù)M(x)在k—2+J(k-2)2+8(k-1)7、xe(0,^)遞增，而M(0)二0，故不存在；當(dāng)k<1時，由(II)知，存在x0>0,使得對任意的任意的xe(0，x0),恒有f(x)>g⑴，此時不等式變形為ln(1+x)—kx<x2，構(gòu)造N(x)=ln(1+x)-kx-x2,xe[0，+oo)，易發(fā)現(xiàn)函數(shù)N(x)在(k+2)+U(k+2)2+8(1—k)、74xe(0,—-—-)遞增，而N(0)二0，不滿足題意；當(dāng)k=1時，代入證4明即可.試題解析：解法一：(1)令F(x)=f(x)—x=ln(1+x)—x,xe(0,+oo),則有F'(x)=」-1二-工1+x1+x當(dāng)xe(0,+8),F(x)V0,所以F(x)在(0,+s)上單調(diào)遞減；故當(dāng)x>0時，F(xiàn)(x)vF(0)=0,即當(dāng)x>0時，f(x)<x.(2)令G(x)=f(x)-g(x)=ln(1+x)-kx,xe(0,+oo),則有Gf(x)二——k=*x*('「1+x1+x當(dāng)kJ0G'(x)>0,所以G(x)在[0,+8)上單調(diào)遞增,G(x)〉G(0)二0故對任意正實(shí)數(shù)x均滿足題意.0當(dāng)0<k<1時，令G'(x)=0,得x=^^=!-^0.kk

取x=丁-1，對任意X￡(0,x),恒有G'(x)>0,所以G(x)在［0,x)上單調(diào)遞0ko0增,G(x)>G(0)=0,即f(X)>g(X).綜上，當(dāng)k<1時，總存在X0>0,使得對任意的xe(0,X。),恒有f(x)>g⑴?⑶當(dāng)k〉1時，由(1)知，對于Vxe(0,+oo),g(x)>x>f(x),故g(x)>f(x),If(X)-g(x)1=g(X)-f(X)=kX-ln(1+X),令M(x)=kx-ln(1+x)-x2,xe［0,+oo),1。-2x2+(k-2)x+k—1TOC\o"1-5"\h\z則有M'(x)=k———2x=,1+X1+X2+\：'(k_2)2+8(k—1),故當(dāng)xe(0,-__-__)時，M'(x)>0,4八k—2+J(k-2)2+8(k-1)M(x)在［0,^-―■~-~-)上單調(diào)遞增，故M(x)>M(0)=0,4即If(X)-g(X)I>X2，所以滿足題意的t不存在.當(dāng)k<1時，由(2)知存在X0>0,使得對任意的任意的XE(0,X0),恒有f(x)>g⑴.此時If(x)-g(x)I=f(x)-g(x)=ln(1+x)-kX,令N(x)=ln(1+x)一kx-x2,xe［0,+oo),則有n(x)=1-2x2-(k+2)x—k+1k-2x=1+X5—(k+2))、：'(k+2)28(1—k)、,故當(dāng)xe(0,)時，N(x)〉0,4—(k+2)+J(k+2)2+8(1—k)M(x)在［0,一'"一-一-)上單調(diào)遞增，故N(x)>N(0)=0,4-(k+2)+J(k2)28(1—k)即f(X)-g(X)>X2，記X0與笑中較小的為X1，則當(dāng)XE(0,X])時，恒有If(X)-g(X)I>X2則有n(x)=當(dāng)k=1,由(1)知，當(dāng)xg(0,+oo),|f(x)-g(x)|二g⑴一f(x)=x—ln(1+x),1一-2x2—x令H(x)=x—ln(1+x)—x2,xg[0，+oo)，則^有H(x)=1——2x=1+x1+x當(dāng)x>0時，H'(x)v0,所以H(x)在［0，+8)上單調(diào)遞減，故H(x)vH(0)=0,故當(dāng)x>0時，恒有l(wèi)f(x)-g(x)l<x2,此時，任意實(shí)數(shù)t滿足題意.綜上，k=L解法二：(1)(2)同解法一.(3)當(dāng)k>1時，由(1)知，對于Vxe(0,+oo),g(x)>x>f(x)，，故lf(x)_g(x)l=g(x)_f(x)=kx-ln(1+x)>kx-x=(k—1)x，令(k—1)x>x2,解得0<x<k-1，從而得到當(dāng)k>1時，對于xe(0,k-1)恒有l(wèi)f(x)-g(x)l>x2，所以滿足題意的t不存在.k+1當(dāng)k<1時，取kj—^，從而入匕<1由(2)知存在x0>。,使得任意xe(0，x0),恒有f(x)>k^〉kx=g(x).此時lf(x)—g(x)l=f(x)—g(x)>(k-k)x=^^x,.1一k1-k令x>x2,解得0VxV，此時f(x)-g(x)>x2,221-k記x0與項(xiàng)中較小的為x]，則當(dāng)xe(0，x「時，恒有l(wèi)f(x)-g(x)l>x2，故滿足題意的t不存在.當(dāng)k=1，由(1)知，當(dāng)xe(0,+oo),lf(x)—g(x)l=g(x)-f(x)=x-ln(1+x)，1—2x2—x令M(x)=x—ln(1+x)—x2,xg[0，+3)，則有M(x)=1——2x=1+x1+x當(dāng)x>0時，M'(x)v0,所以M(x)在［0，+3)上單調(diào)遞減，故M(x)<M(0)=0,故當(dāng)x>0時，恒有l(wèi)f(x)-g(x)l<x2,此時，任意實(shí)數(shù)t滿足題意綜上，k=1.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.4.(15年新課標(biāo)2理科)設(shè)函數(shù)f⑴=emx+x2-mx。(1)證明：f(x)在(-8,0)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增;(2)若對于任意x,xG[-1,1]，都有If(x)-f(x)l<e-1，求m的取值范圍。1212解*(I)因?yàn)?(r)~-mx,所成f脫口-2x-hirxe=J?r:ew+2>0在頂上擅成立「所映尸a)-mc^-2x~m在R上望調(diào)遞增x而廣(0).。，飭以工盹*/(對>0壬所以工，G時，所以網(wǎng)在(Tt’O)單滴逢源，在(。廣珥單調(diào)遑熠…5,由匚【>=f(O)=1,時當(dāng)例四0時，/(jc)=1+?,此時/四在[-卬上的最大值是財所以此時f(^)-/(xj*一1成立#當(dāng)朋學(xué)0時，六T)匚j「帽『f(T)=寸?1+扉卜令g(朋)./⑴—f(—').#”一°-。一上也f所以&'(/).分'—c-5*1—2王0/所以￡何)-/(1J-/(-L)-『-en-鬲在&上單闞謝憎，?而喜㈣?°/所以腳、。時，&㈤》0.即/(I)>所以渺wD時，g(j?)40「即/(I)V/(-I)+J當(dāng)wi〉?；蓿?(rt)-/"(q)|</(1J-<1當(dāng)/(!])-/(jj)怛/(-1)-1?e-~r-m?e~r-(-Jft)營e-1n~m<1n-1<m<Ow所職，蹤上所逑徂的取值蕪圍是(-1」).|試題分析二⑴由廣3）=土一席：可分￡7土0:C;>0兩種情況來討論；〔II）由⑴知當(dāng)<7三口時尸⑴在（口十①〕JC/廠1、無最大值=當(dāng)度>。時司最大值為尸；—i=Tnh+<t—L因此/j—；>2<i—2^=>ln￡?+<7-l<0.令、口J'j0J￡■（□）=1□口十以一1:則￡■〔"］在（隊(duì)十30）是增函數(shù):當(dāng)Q匚UC1時：U。：當(dāng)￡7>1時§0）〉0：因此￡7的取值范圍是（cu）.試題解析=解：⑴了（同的定義域?yàn)椋囀ぁ?3）二上一刀若”罰:則廣（同對：m在（饑十，〕是單調(diào)