概率密度和分布函數(shù)課件

觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)的分析與處理

隨機(jī)變量及其分布：概率密度和分布函數(shù)

[例]設(shè)某工廠(chǎng)產(chǎn)品中成分A的含量受不可控的隨機(jī)因素影響而有波動(dòng)。工廠(chǎng)每2小時(shí)測(cè)量一次A的百分含量，記為x。下表是一個(gè)時(shí)間段的數(shù)據(jù)。日期產(chǎn)品中成分A的百分含量數(shù)據(jù)11.401.281.361.381.441.401.341.541.441.461.801.4421.461.501.581.541.501.481.521.581.521.461.421.5831.701.621.581.621.761.681.681.661.621.721.601.6241.461.381.421.381.601.441.461.281.341.381.241.3651.581.381.341.281.181.081.361.501.461.281.181.28重點(diǎn)：介紹有關(guān)隨機(jī)變量和概率分布的基本概念，討論各種常見(jiàn)的有實(shí)用價(jià)值的分布函數(shù)。

觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)的分析與處理

隨機(jī)變量及其分布：概率密度和分布函數(shù)1級(jí)寬或段寬（將隨機(jī)變量x的整個(gè)取值范圍分成有限個(gè)區(qū)段，每個(gè)級(jí)段的取值范圍即為級(jí)寬或段寬）級(jí)頻數(shù)（每個(gè)級(jí)段中數(shù)據(jù)值出現(xiàn)的次數(shù)）相對(duì)頻數(shù)或頻率（將級(jí)頻數(shù)被樣本中數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)相除，相當(dāng)于x取值在該級(jí)段的概率。）隨機(jī)變量及其分布：

概率密度和分布函數(shù)

級(jí)寬或段寬隨機(jī)變量及其分布：

概2將上表數(shù)據(jù)從到取級(jí)寬0.1分為9級(jí)將上表數(shù)據(jù)從到取級(jí)寬0.1分為9級(jí)3分級(jí)頻數(shù)分布圖

分級(jí)頻數(shù)分布圖4概率密度

為了使分布圖有更好的泛化可以性，將相對(duì)頻數(shù)除以級(jí)寬，得到概率密度：級(jí)寬取微量：概率密度p對(duì)x的曲線(xiàn)稱(chēng)為概率密度分布曲線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)概率分布曲線(xiàn)、分布曲線(xiàn)等。概率密度為了使分布圖有更好的泛化可以性，將相對(duì)頻數(shù)除以級(jí)寬5隨機(jī)變量及其分布：

概率分布的數(shù)字特征不同性質(zhì)事物對(duì)象具有各種不同形狀的分布，為了定量地區(qū)別各種分布的特征，通常采用的一組判別指標(biāo)，稱(chēng)為分布的數(shù)字特征。[1]算術(shù)平均值總體：樣本：一階原點(diǎn)矩（隨機(jī)變量取值可能性最大的位置）一階原點(diǎn)矩的樣本估計(jì)值隨機(jī)變量及其分布：

概率分布6隨機(jī)變量及其分布：

概率分布的數(shù)字特征[2]方差總體：樣本：二階中心矩（隨機(jī)變量的變異程度）二階中心矩的樣本估計(jì)值隨機(jī)變量及其分布：

概率分布7隨機(jī)變量及其分布：

概率分布的數(shù)字特征[3]偏斜度總體：樣本：三階中心矩和二階中心矩的3/2次冪的商

（曲線(xiàn)偏離對(duì)稱(chēng)的程度）樣本估計(jì)值隨機(jī)變量及其分布：

概率分布8概率密度和分布函數(shù)課件9隨機(jī)變量及其分布：

概率分布的數(shù)字特征[4]峭度或峰態(tài)總體：樣本：四階中心矩和二階中心矩平方的商

（一階原點(diǎn)矩附近的斜率，和偏離后斜率的變化率）樣本估計(jì)值隨機(jī)變量及其分布：

概率分布10概率密度和分布函數(shù)課件11隨機(jī)變量及其分布：

離散型隨機(jī)變量的概率分布客觀(guān)世界很多隨機(jī)過(guò)程經(jīng)分析后可以用某種數(shù)學(xué)模型表示。不同的物質(zhì)現(xiàn)象有可能用類(lèi)似的模型描述。重點(diǎn)：介紹若干重要的隨機(jī)分布模型。 離散均勻分布 二項(xiàng)分布 多項(xiàng)分布 負(fù)二項(xiàng)分布 幾何分布 超幾何分布 擴(kuò)充幾何分布 泊桑分布隨機(jī)變量及其分布：

離散型隨機(jī)變量的概率12離散均勻分布分布模型條件：（1）每次試驗(yàn)可以有k種結(jié)果：（2）每種結(jié)果出現(xiàn)的概率均相等。

數(shù)學(xué)模型：

均勻分布的數(shù)字特征：離散均勻分布分布模型條件：13二項(xiàng)分布

分布模型條件：（1）設(shè)試驗(yàn)系由n次觀(guān)測(cè)組成。（2）每次觀(guān)測(cè)只有“是”和“非”兩種可能的結(jié)果出現(xiàn)。（3）觀(guān)測(cè)結(jié)果中出現(xiàn)“是”的概率為常數(shù)p，而出現(xiàn)“非”的概率為q=1-p。（4）每一次觀(guān)測(cè)均為獨(dú)立的，即每次觀(guān)測(cè)的結(jié)果不受其它任何一次觀(guān)測(cè)的影響。

二項(xiàng)分布分布模型條件：14二項(xiàng)分布

在n次觀(guān)測(cè)中“是”出現(xiàn)x次的概率呈二項(xiàng)分布，模型：C(n|x)表示組合數(shù)，即從n個(gè)事物中拿出x個(gè)的方法數(shù).

二項(xiàng)分布在n次觀(guān)測(cè)中“是”出現(xiàn)x次的概率呈二項(xiàng)分布，模型：15二項(xiàng)分布

二項(xiàng)分布的數(shù)字特征：總體平均值對(duì)的方差總體的方差為其中可以是0或1，表示“非”或“是”。二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布的數(shù)字特征：其中可以是0或1，16二項(xiàng)分布

[例]

已知某廠(chǎng)生產(chǎn)某A產(chǎn)品的合格率75%，現(xiàn)進(jìn)行一試驗(yàn)，隨機(jī)地檢查3個(gè)產(chǎn)品，看它是否合格。定義不合格產(chǎn)品為“是”，則試驗(yàn)結(jié)果為“是”的次數(shù)x作為隨機(jī)變量，可?。?，1，2，3中一個(gè)值。

二項(xiàng)分布[例]已知某廠(chǎng)生產(chǎn)某A產(chǎn)品的合格率75%，現(xiàn)進(jìn)行17多項(xiàng)分布

分布模型條件（二項(xiàng)分布的一種擴(kuò)充模型）：（1）每次觀(guān)測(cè)可以有k種可能的結(jié)果出現(xiàn)：，而各種結(jié)果都相互排斥。（2）各種結(jié)果出現(xiàn)的概率分別為常數(shù)：。（3）每一次觀(guān)測(cè)均為獨(dú)立，即每次觀(guān)測(cè)的結(jié)果不受其他任何一次觀(guān)測(cè)的影響。多項(xiàng)分布分布模型條件（二項(xiàng)分布的一種擴(kuò)充模型）：18多項(xiàng)分布

則n次試驗(yàn)的結(jié)果，出現(xiàn)：次，次，…，次的概率系多項(xiàng)分布，表示為：多項(xiàng)分布則n次試驗(yàn)的結(jié)果，出現(xiàn)：次，次19負(fù)二項(xiàng)分布

分布模型條件：（條件與二項(xiàng)試驗(yàn)相仿，考慮問(wèn)題的角度相反）（1）由多次獨(dú)立觀(guān)測(cè)構(gòu)成的試驗(yàn)。（2）每次觀(guān)測(cè)只有“是”和“非”兩種可能的結(jié)果出現(xiàn)。（3）結(jié)果為“是”的概率為常數(shù)p。得到k次“是”所需的觀(guān)測(cè)次數(shù)x的概率系負(fù)二項(xiàng)分布：負(fù)二項(xiàng)分布分布模型條件：20負(fù)二項(xiàng)分布

[例]由統(tǒng)計(jì)知道某藥劑的有效率為60%，將該藥劑用于一組病人。當(dāng)用到第7名病人時(shí)，累計(jì)有效的病人數(shù)增加到5名的概率為多少？解：除了最后一次按題意必須成功之外，其余（7-1）次中有（5-1）次成功的方式共有種，因此，滿(mǎn)足要求的概率為：

負(fù)二項(xiàng)分布[例]由統(tǒng)計(jì)知道某藥劑的有效率為60%，將該藥21負(fù)二項(xiàng)分布

負(fù)二項(xiàng)分布的數(shù)字特征為：負(fù)二項(xiàng)分布負(fù)二項(xiàng)分布的數(shù)字特征為：22幾何分布

這是負(fù)二項(xiàng)分布當(dāng)時(shí)的一個(gè)特例，即：得到第一次“是”所需要的試驗(yàn)次數(shù)為x時(shí)的概率。設(shè)，出現(xiàn)“是”的概率為p，幾何分布的模型描述為：幾何分布的數(shù)字特征為：

幾何分布這是負(fù)二項(xiàng)分布當(dāng)時(shí)的一個(gè)特例，23幾何分布

[例]由統(tǒng)計(jì)結(jié)果已知某生產(chǎn)過(guò)程平均每100件產(chǎn)品中有1件廢品。隨機(jī)檢查到第5件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)廢品的概率為多少？解：這是幾何分布，，則幾何分布[例]由統(tǒng)計(jì)結(jié)果已知某生產(chǎn)過(guò)程平均每100件產(chǎn)品24超幾何分布

是二項(xiàng)分布的一種變型，其條件為：（1）對(duì)象為有限的N個(gè)物體，其中k件為“是”，N-k為“非”。（2）從N個(gè)物件中，隨機(jī)地逐個(gè)取出n件，且每次取出后沒(méi)有替換。則在n件中出現(xiàn)“是”的次數(shù)x系超幾何分布，其模型描述為：超幾何分布是二項(xiàng)分布的一種變型，其條件為：25超幾何分布

[例]

某車(chē)間生產(chǎn)的元件按40個(gè)裝箱后進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，其步驟為：從每箱隨機(jī)檢查5個(gè)元件，若出現(xiàn)二等品，則把該箱退回車(chē)間返裝?，F(xiàn)若車(chē)間采取每40個(gè)元件中允許有3個(gè)二等品的質(zhì)量控制標(biāo)準(zhǔn)，則返裝的概率p為多少？解：用超幾何分布模型計(jì)算：超幾何分布[例]某車(chē)間生產(chǎn)的元件按40個(gè)裝箱后進(jìn)行質(zhì)量檢26超幾何分布

超幾何分布的數(shù)字特征：

超幾何分布超幾何分布的數(shù)字特征：27擴(kuò)充幾何分布

將超幾何分布擴(kuò)充到以下條件：（1）全體為有限的N個(gè)物體，可分為m類(lèi)：，它們?cè)贜中分別含件。（2）從N物件中，隨機(jī)地逐個(gè)取出n件，且每次取出后不再替換，則得到個(gè)類(lèi)，個(gè)類(lèi)，…，個(gè)類(lèi)物件的概率為擴(kuò)充超幾何分布，其模型為：

擴(kuò)充幾何分布將超幾何分布擴(kuò)充到以下條件：28泊桑分布這是一種常見(jiàn)的重要離散分布，其條件是：（1）已知某種事件在一定時(shí)間區(qū)段內(nèi)出現(xiàn)的平均次數(shù)為。（2）這種事件可能出現(xiàn)的次數(shù)遠(yuǎn)大于。（3）該事件每次出現(xiàn)均為獨(dú)立。（4）該事件出現(xiàn)的次數(shù)僅與時(shí)間區(qū)段長(zhǎng)度有關(guān)，而與區(qū)段外這種事件出現(xiàn)的次數(shù)無(wú)關(guān)。

則在某個(gè)給定的時(shí)間區(qū)段內(nèi)，該事件出現(xiàn)x次的概率為泊桑分布，其模型描述為：

泊桑分布這是一種常見(jiàn)的重要離散分布，其條件是：29[例]1910年Rutherford和Geiger在鏷放射源前的小屏幕上記錄粒子每分鐘撞擊次數(shù)x的頻數(shù)列于下表。每分鐘撞擊次數(shù)觀(guān)測(cè)到的頻數(shù)撞擊次數(shù)按泊桑分布計(jì)算的頻數(shù)057054120320321123837664073525157552645352128508540820403946273163825471399731408453606892724329101010011116666總計(jì)2608100922608[例]1910年Rutherford和Geiger在鏷放射30[例]1910年Rutherford和Geiger在鏷放射源前的小屏幕上記錄粒子每分鐘撞擊次數(shù)x的頻數(shù)列于下表。解：考慮到不太長(zhǎng)的時(shí)期內(nèi)，粒子放出的平均次數(shù)為常數(shù)，每個(gè)粒子的放出可認(rèn)為獨(dú)立，且放出次數(shù)只與時(shí)間有關(guān)，故可假設(shè)符合泊桑分布。首先計(jì)算粒子放出的平均次數(shù)：則泊桑分布模型：計(jì)算不同值時(shí)的頻數(shù)列于表，可見(jiàn)與實(shí)際觀(guān)測(cè)值非常接近。[例]1910年Rutherford和Geiger在鏷放射31泊桑分布泊桑分布的數(shù)字特征：泊桑分布泊桑分布的數(shù)字特征：32泊桑分布與二項(xiàng)分布之間的關(guān)系由二項(xiàng)分布的數(shù)字特征得：由二項(xiàng)分布模型得：

泊桑分布與二項(xiàng)分布之間的關(guān)系由二項(xiàng)分布的數(shù)字特征得：33泊桑分布與二項(xiàng)分布之間的關(guān)系當(dāng)時(shí)，上式有又因?yàn)椋核缘茫旱侵挥挟?dāng)時(shí)，才為有限值，所以應(yīng)寫(xiě)為：泊桑分布與二項(xiàng)分布之間的關(guān)系當(dāng)34幾種離散分布模型之間的關(guān)系幾種離散分布模型之間的關(guān)系35隨機(jī)變量及其分布：

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布當(dāng)隨機(jī)變量可以在數(shù)軸的一個(gè)連續(xù)區(qū)段內(nèi)取任意值，則需要用連續(xù)型概率分布模型。重點(diǎn)：介紹連續(xù)型隨機(jī)變量若干重要的分布模型。 連續(xù)均勻分布 指數(shù)分布 Gamma分布 Beta分布 Weibull分布 Chi平方分布隨機(jī)變量及其分布：

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率36連續(xù)均勻分布(矩形分布)特點(diǎn)：在一定范圍內(nèi)（從上限a到下限b），事件出現(xiàn)的概率密度q為常數(shù)，而在該范圍之外為0。概率密度的數(shù)學(xué)模型：連續(xù)均勻分布(矩形分布)特點(diǎn)：在一定范圍內(nèi)（從上限a到下限b37連續(xù)均勻分布(矩形分布)對(duì)x積分后得到分布函數(shù)Q：連續(xù)均勻分布(矩形分布)對(duì)x積分后得到分布函數(shù)Q：38連續(xù)均勻分布(矩形分布)矩形分布的數(shù)字特征：連續(xù)均勻分布(矩形分布)矩形分布的數(shù)字特征：39指數(shù)分布適用于描述出現(xiàn)某事件所需等待時(shí)間的概率分布。（例如設(shè)備從開(kāi)始運(yùn)行到出現(xiàn)故障的延續(xù)時(shí)間。）數(shù)學(xué)形式可在以下假設(shè)條件下引出：（1）在任一時(shí)間段內(nèi)，事件發(fā)生的概率僅與時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān)，而與時(shí)間的起點(diǎn)或終點(diǎn)無(wú)關(guān)。（2）在一小段時(shí)間內(nèi)，事件發(fā)生的概率近似地正比于時(shí)間段長(zhǎng)，即。（3）在不相重疊的各時(shí)間段內(nèi)，事件的發(fā)生是獨(dú)立的。

指數(shù)分布適用于描述出現(xiàn)某事件所需等待時(shí)間的概率分布。40指數(shù)分布將不發(fā)生事件的時(shí)間段（0，x）分成n等份：各時(shí)間段內(nèi)事件系獨(dú)立發(fā)生，又令p為不發(fā)生事件的概率：t為發(fā)生事件的時(shí)刻根據(jù)條件（1）和（2）：為發(fā)生事件的概率指數(shù)分布將不發(fā)生事件的時(shí)間段（0，x）分成n等份：各時(shí)間段41指數(shù)分布因此，在時(shí)發(fā)生事件的概率為：這是分布函數(shù)，相應(yīng)的密度函數(shù)為分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：其中為壽命參數(shù)。（這是和離散型的幾何分布相對(duì)應(yīng)的一種連續(xù)分布模型。它在設(shè)備和元件的壽命問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用，實(shí)際上是可靠性研究領(lǐng)域中的一種標(biāo)準(zhǔn)分布。）指數(shù)分布因此，在時(shí)發(fā)生事件的概率為：42指數(shù)分布當(dāng)時(shí)，指數(shù)分布的密度函數(shù)當(dāng)時(shí)，指數(shù)分布的分布函數(shù)指數(shù)分布當(dāng)時(shí)，指數(shù)分布的密度函數(shù)當(dāng)43指數(shù)分布指數(shù)分布的數(shù)字特征為：指數(shù)分布指數(shù)分布的數(shù)字特征為：44指數(shù)分布[例]某設(shè)備采用一元件，它的故障時(shí)間T遵循指數(shù)分布，并已測(cè)得參數(shù)為?，F(xiàn)將該種元件分別用于5臺(tái)設(shè)備中，試問(wèn)：8年以后，至少還有2個(gè)該種元件仍在工作著的概率為多少？解：根據(jù)指數(shù)分布，8年后該元件仍在工作著的概率為：令x表示8年后仍在工作著的元件數(shù)，由于這是離散性問(wèn)題，所以采用二項(xiàng)分布：指數(shù)分布[例]某設(shè)備采用一元件，它的故障時(shí)間T遵循指數(shù)分布45Gamma分布（第三類(lèi)Pearson分布）設(shè)在時(shí)間區(qū)段內(nèi)，事件的平均出現(xiàn)率為每單位時(shí)間次。Gamma分布系用來(lái)描述出現(xiàn)r次事件所需要的時(shí)間長(zhǎng)度x的概率分布。數(shù)學(xué)模型：[1]將時(shí)間區(qū)段離散化，把它等分為n個(gè)子區(qū)段，長(zhǎng)度均為T(mén)/n。取n足夠大，使每個(gè)區(qū)段出現(xiàn)1次以上事件的概率可以忽略不計(jì)。又設(shè)各子區(qū)段中事件的出現(xiàn)均為獨(dú)立。因此，在任一子區(qū)段出現(xiàn)一個(gè)事件的概率為：[2]出現(xiàn)r次事件所需要的時(shí)間區(qū)段個(gè)數(shù)k的概率可以用負(fù)二項(xiàng)分布描述為：Gamma分布（第三類(lèi)Pearson分布）設(shè)在時(shí)間區(qū)段46數(shù)學(xué)模型：[3]得到x的密度函數(shù)為：數(shù)學(xué)模型：[3]得到x的密度函數(shù)為：47Gamma分布考慮Gamma函數(shù)：當(dāng)r為非負(fù)整數(shù)時(shí)出現(xiàn)每次事件平均所需時(shí)間單參數(shù)Gamma分布Gamma分布考慮Gamma函數(shù)：出現(xiàn)每次事件平均所需時(shí)間48Gamma分布二參數(shù)Gamma分布的數(shù)字特征為：Gamma分布二參數(shù)Gamma分布的數(shù)字特征為：49單參數(shù)Gamma分布當(dāng)r=1時(shí)，單參數(shù)Gamma分布就是的指數(shù)分布。

設(shè)有r個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量都符合的指數(shù)分布，定義另一隨機(jī)變量：則y將符合單參數(shù)Gamma分布。單參數(shù)Gamma分布當(dāng)r=1時(shí)，單參數(shù)Gamma分布就是50Beta分布（第一類(lèi)Pearson分布）最簡(jiǎn)單的二參數(shù)形式的密度函數(shù)為（r和s是二參數(shù)）：二參數(shù)Beta分布的數(shù)字特征：Beta分布（第一類(lèi)Pearson分布）最簡(jiǎn)單的二參數(shù)形式51Weibull分布最常用的是它最簡(jiǎn)單的二參數(shù)形式密度函數(shù)：k為標(biāo)度參數(shù)，s為形狀參數(shù)。二參數(shù)Weibull分布的數(shù)字特征為：廣泛應(yīng)用于壽命檢驗(yàn)，可靠性研究等方面的模型。Weibull分布最常用的是它最簡(jiǎn)單的二參數(shù)形式密度函數(shù)：廣52單參數(shù)Weibull分布的密度函數(shù)單參數(shù)Weibull分布的密度函數(shù)53Chi分布Gamma分布的另一種特殊情況是當(dāng)：時(shí)稱(chēng)為Chi平方分布。它是假設(shè)檢驗(yàn)的重要工具，其密度函數(shù)為：稱(chēng)為自由度（它的含義將在以后章節(jié)中介紹）。Chi平方分布的數(shù)字特征為：Chi分布Gamma分布的另一種特殊情況是當(dāng)：54幾種分布之間的關(guān)系幾種分布之間的關(guān)系55幾種連續(xù)和離散分布之間的關(guān)系

離散對(duì)象連續(xù)對(duì)象單次事件幾何分布出現(xiàn)一次事件需要測(cè)試的次數(shù)指數(shù)分布出現(xiàn)一次事件需要延續(xù)的時(shí)間長(zhǎng)度多次事件負(fù)二項(xiàng)分布出現(xiàn)k次事件需要測(cè)試的次數(shù)xGamma分布出現(xiàn)r次事件需要延續(xù)的時(shí)間長(zhǎng)度x幾種連續(xù)和離散分布之間的關(guān)系

離散對(duì)象連續(xù)對(duì)象單次事件幾何分56隨機(jī)變量及其分布：

正態(tài)分布這是連續(xù)型隨機(jī)變量的一種最常見(jiàn)分布模型。在很多實(shí)際情況下可以用它描述或近似地描述隨機(jī)變量的分布。當(dāng)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)中包含的誤差純屬隨機(jī)性，則這種隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)一般可用正態(tài)分布模型描述。隨機(jī)誤差的特點(diǎn)：（1）大小相等而符號(hào)相反的誤差出現(xiàn)的概率密度相同。（2）概率密度隨誤差的絕對(duì)值增大而單調(diào)下降。（3）絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的概率密度趨于零。隨機(jī)變量及其分布：

57正態(tài)分布正態(tài)分布的密度函數(shù)為：（精確度指數(shù)）

和分別表示觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)總體平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。正態(tài)分布密度函數(shù)曲線(xiàn)的位置和形狀決定于和兩個(gè)參數(shù)，可以簡(jiǎn)單地表示為：正態(tài)分布正態(tài)分布的密度函數(shù)為：58正態(tài)分布曲線(xiàn)正態(tài)分布曲線(xiàn)59正態(tài)分布根據(jù)誤差定義只包含隨機(jī)因素影響的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)，為隨機(jī)誤差。得：這就是隨機(jī)誤差的概率密度函數(shù)，或稱(chēng)隨機(jī)誤差的正態(tài)分布。因?yàn)樗鼈兊男螤钪粵Q定于單個(gè)參數(shù)，所以表示為：又稱(chēng)其為Gauss誤差分布概率方程。正態(tài)分布根據(jù)誤差定義60隨機(jī)誤差的正態(tài)分布隨機(jī)誤差的正態(tài)分布61標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布引入一個(gè)新的隨機(jī)變量：得：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布引入一個(gè)新的隨機(jī)變量：62（1）時(shí)，，為概率密度最大位置。（2）從正負(fù)兩方面離開(kāi)0后，概率密度的值都下降。（3）密度曲線(xiàn)對(duì)垂直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，。（4）在和處各有一個(gè)變凹點(diǎn)。（5）在和之間，密度曲線(xiàn)下的面積表示取值在區(qū)間的概率，即：（6）從到，曲線(xiàn)下的面積為1.0。（7）正態(tài)分布的數(shù)字特征為：（8）規(guī)則：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有下列性質(zhì)（1）時(shí)，63設(shè)為n個(gè)具有正態(tài)分布的隨機(jī)變量，它們的總體平均值和方差分別為：和則由線(xiàn)性組合而構(gòu)成的隨機(jī)變量也將具有正態(tài)分布。且它的總體平均值為：方差為：正態(tài)分布的重現(xiàn)性?？梢宰C明：泊桑分布和Chi平方分布也具有重現(xiàn)性。重要特性設(shè)為n個(gè)具有正態(tài)64正態(tài)分布和其他分布的關(guān)系對(duì)于具有二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量x，當(dāng)時(shí)，它經(jīng)變換后的變量：將遵循標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即。對(duì)于Gamma分布，在r值逐漸增大后，將趨于正態(tài)分布。例如，設(shè)，則Gamma分布的數(shù)字特征：和正態(tài)分布的數(shù)字特征已非常接近。正態(tài)分布和其他分布的關(guān)系對(duì)于具有65正態(tài)分布判斷過(guò)程測(cè)量變量：（1）平均值附近出現(xiàn)的概率最大。（2）離平均值正負(fù)兩方面偏差出現(xiàn)的概率差不多。（3）很大的偏差出現(xiàn)的概率很小。如果：則可以滿(mǎn)意地用正態(tài)分布。正態(tài)分布判斷過(guò)程測(cè)量變量：66對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布是描述不對(duì)稱(chēng)分布最重要的一種模型:對(duì)數(shù)正態(tài)分布的數(shù)字特征：若x為具有對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，則將是一個(gè)具有正態(tài)分布的隨機(jī)變量。對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布是描述不對(duì)稱(chēng)分布最重要的一種模型:對(duì)67對(duì)數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)對(duì)數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)68隨機(jī)變量的函數(shù)設(shè)x和y是兩個(gè)隨機(jī)變量，它們同時(shí)取某兩個(gè)值時(shí)的概率稱(chēng)為x和y的聯(lián)合概率分布函數(shù)。若x和y為離散型隨機(jī)變量，在二維空間x-y中任一區(qū)域A上取值，如果：（1）對(duì)所有的，函數(shù)值。（2）。（3）x和y在區(qū)域A上概率為：則是x和y的聯(lián)合概率密度。隨機(jī)變量的函數(shù)設(shè)x和y是兩個(gè)隨機(jī)變量，它們同時(shí)取某兩個(gè)值時(shí)的69隨機(jī)變量的函數(shù)若x和y為連續(xù)型隨機(jī)變量，在二維空間x-y中任一區(qū)間A取值，如果：（1）對(duì)所有的，函數(shù)值。（2）。（3）x和y在區(qū)域A上概率為：則是x和y的聯(lián)合概率密度。隨機(jī)變量的函數(shù)若x和y為連續(xù)型隨機(jī)變量，在二維空間x-y中任70隨機(jī)變量的函數(shù)一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布:有離散型隨機(jī)變量x的概率分布為，而表示x和y之間“一對(duì)一”的函數(shù)變換關(guān)系，且為用y表示的x值。則y的概率分布為：隨機(jī)變量的函數(shù)一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布:有離散型71隨機(jī)變量的函數(shù)一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布:連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率密度分布為，而表示x和y之間“一對(duì)一”的函數(shù)變換關(guān)系，且為用y表示的x值。則y取值在區(qū)間內(nèi)的概率分布為：由此可知y的概率密度函數(shù)為：隨機(jī)變量的函數(shù)一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布:連續(xù)型隨72

觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)的分析與處理

隨機(jī)變量及其分布：概率密度和分布函數(shù)

[例]設(shè)某工廠(chǎng)產(chǎn)品中成分A的含量受不可控的隨機(jī)因素影響而有波動(dòng)。工廠(chǎng)每2小時(shí)測(cè)量一次A的百分含量，記為x。下表是一個(gè)時(shí)間段的數(shù)據(jù)。日期產(chǎn)品中成分A的百分含量數(shù)據(jù)11.401.281.361.381.441.401.341.541.441.461.801.4421.461.501.581.541.501.481.521.581.521.461.421.5831.701.621.581.621.761.681.681.661.621.721.601.6241.461.381.421.381.601.441.461.281.341.381.241.3651.581.381.341.281.181.081.361.501.461.281.181.28重點(diǎn)：介紹有關(guān)隨機(jī)變量和概率分布的基本概念，討論各種常見(jiàn)的有實(shí)用價(jià)值的分布函數(shù)。

觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)的分析與處理

隨機(jī)變量及其分布：概率密度和分布函數(shù)73級(jí)寬或段寬（將隨機(jī)變量x的整個(gè)取值范圍分成有限個(gè)區(qū)段，每個(gè)級(jí)段的取值范圍即為級(jí)寬或段寬）級(jí)頻數(shù)（每個(gè)級(jí)段中數(shù)據(jù)值出現(xiàn)的次數(shù)）相對(duì)頻數(shù)或頻率（將級(jí)頻數(shù)被樣本中數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)相除，相當(dāng)于x取值在該級(jí)段的概率。）隨機(jī)變量及其分布：

概率密度和分布函數(shù)

級(jí)寬或段寬隨機(jī)變量及其分布：

概74將上表數(shù)據(jù)從到取級(jí)寬0.1分為9級(jí)將上表數(shù)據(jù)從到取級(jí)寬0.1分為9級(jí)75分級(jí)頻數(shù)分布圖

分級(jí)頻數(shù)分布圖76概率密度

為了使分布圖有更好的泛化可以性，將相對(duì)頻數(shù)除以級(jí)寬，得到概率密度：級(jí)寬取微量：概率密度p對(duì)x的曲線(xiàn)稱(chēng)為概率密度分布曲線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)概率分布曲線(xiàn)、分布曲線(xiàn)等。概率密度為了使分布圖有更好的泛化可以性，將相對(duì)頻數(shù)除以級(jí)寬77隨機(jī)變量及其分布：

概率分布的數(shù)字特征不同性質(zhì)事物對(duì)象具有各種不同形狀的分布，為了定量地區(qū)別各種分布的特征，通常采用的一組判別指標(biāo)，稱(chēng)為分布的數(shù)字特征。[1]算術(shù)平均值總體：樣本：一階原點(diǎn)矩（隨機(jī)變量取值可能性最大的位置）一階原點(diǎn)矩的樣本估計(jì)值隨機(jī)變量及其分布：

概率分布78隨機(jī)變量及其分布：

概率分布的數(shù)字特征[2]方差總體：樣本：二階中心矩（隨機(jī)變量的變異程度）二階中心矩的樣本估計(jì)值隨機(jī)變量及其分布：

概率分布79隨機(jī)變量及其分布：

概率分布的數(shù)字特征[3]偏斜度總體：樣本：三階中心矩和二階中心矩的3/2次冪的商

（曲線(xiàn)偏離對(duì)稱(chēng)的程度）樣本估計(jì)值隨機(jī)變量及其分布：

概率分布80概率密度和分布函數(shù)課件81隨機(jī)變量及其分布：

概率分布的數(shù)字特征[4]峭度或峰態(tài)總體：樣本：四階中心矩和二階中心矩平方的商

（一階原點(diǎn)矩附近的斜率，和偏離后斜率的變化率）樣本估計(jì)值隨機(jī)變量及其分布：

概率分布82概率密度和分布函數(shù)課件83隨機(jī)變量及其分布：

離散型隨機(jī)變量的概率分布客觀(guān)世界很多隨機(jī)過(guò)程經(jīng)分析后可以用某種數(shù)學(xué)模型表示。不同的物質(zhì)現(xiàn)象有可能用類(lèi)似的模型描述。重點(diǎn)：介紹若干重要的隨機(jī)分布模型。 離散均勻分布 二項(xiàng)分布 多項(xiàng)分布 負(fù)二項(xiàng)分布 幾何分布 超幾何分布 擴(kuò)充幾何分布 泊桑分布隨機(jī)變量及其分布：

離散型隨機(jī)變量的概率84離散均勻分布分布模型條件：（1）每次試驗(yàn)可以有k種結(jié)果：（2）每種結(jié)果出現(xiàn)的概率均相等。

數(shù)學(xué)模型：

均勻分布的數(shù)字特征：離散均勻分布分布模型條件：85二項(xiàng)分布

分布模型條件：（1）設(shè)試驗(yàn)系由n次觀(guān)測(cè)組成。（2）每次觀(guān)測(cè)只有“是”和“非”兩種可能的結(jié)果出現(xiàn)。（3）觀(guān)測(cè)結(jié)果中出現(xiàn)“是”的概率為常數(shù)p，而出現(xiàn)“非”的概率為q=1-p。（4）每一次觀(guān)測(cè)均為獨(dú)立的，即每次觀(guān)測(cè)的結(jié)果不受其它任何一次觀(guān)測(cè)的影響。

二項(xiàng)分布分布模型條件：86二項(xiàng)分布

在n次觀(guān)測(cè)中“是”出現(xiàn)x次的概率呈二項(xiàng)分布，模型：C(n|x)表示組合數(shù)，即從n個(gè)事物中拿出x個(gè)的方法數(shù).

二項(xiàng)分布在n次觀(guān)測(cè)中“是”出現(xiàn)x次的概率呈二項(xiàng)分布，模型：87二項(xiàng)分布

二項(xiàng)分布的數(shù)字特征：總體平均值對(duì)的方差總體的方差為其中可以是0或1，表示“非”或“是”。二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布的數(shù)字特征：其中可以是0或1，88二項(xiàng)分布

[例]

已知某廠(chǎng)生產(chǎn)某A產(chǎn)品的合格率75%，現(xiàn)進(jìn)行一試驗(yàn)，隨機(jī)地檢查3個(gè)產(chǎn)品，看它是否合格。定義不合格產(chǎn)品為“是”，則試驗(yàn)結(jié)果為“是”的次數(shù)x作為隨機(jī)變量，可?。?，1，2，3中一個(gè)值。

二項(xiàng)分布[例]已知某廠(chǎng)生產(chǎn)某A產(chǎn)品的合格率75%，現(xiàn)進(jìn)行89多項(xiàng)分布

分布模型條件（二項(xiàng)分布的一種擴(kuò)充模型）：（1）每次觀(guān)測(cè)可以有k種可能的結(jié)果出現(xiàn)：，而各種結(jié)果都相互排斥。（2）各種結(jié)果出現(xiàn)的概率分別為常數(shù)：。（3）每一次觀(guān)測(cè)均為獨(dú)立，即每次觀(guān)測(cè)的結(jié)果不受其他任何一次觀(guān)測(cè)的影響。多項(xiàng)分布分布模型條件（二項(xiàng)分布的一種擴(kuò)充模型）：90多項(xiàng)分布

則n次試驗(yàn)的結(jié)果，出現(xiàn)：次，次，…，次的概率系多項(xiàng)分布，表示為：多項(xiàng)分布則n次試驗(yàn)的結(jié)果，出現(xiàn)：次，次91負(fù)二項(xiàng)分布

分布模型條件：（條件與二項(xiàng)試驗(yàn)相仿，考慮問(wèn)題的角度相反）（1）由多次獨(dú)立觀(guān)測(cè)構(gòu)成的試驗(yàn)。（2）每次觀(guān)測(cè)只有“是”和“非”兩種可能的結(jié)果出現(xiàn)。（3）結(jié)果為“是”的概率為常數(shù)p。得到k次“是”所需的觀(guān)測(cè)次數(shù)x的概率系負(fù)二項(xiàng)分布：負(fù)二項(xiàng)分布分布模型條件：92負(fù)二項(xiàng)分布

[例]由統(tǒng)計(jì)知道某藥劑的有效率為60%，將該藥劑用于一組病人。當(dāng)用到第7名病人時(shí)，累計(jì)有效的病人數(shù)增加到5名的概率為多少？解：除了最后一次按題意必須成功之外，其余（7-1）次中有（5-1）次成功的方式共有種，因此，滿(mǎn)足要求的概率為：

負(fù)二項(xiàng)分布[例]由統(tǒng)計(jì)知道某藥劑的有效率為60%，將該藥93負(fù)二項(xiàng)分布

負(fù)二項(xiàng)分布的數(shù)字特征為：負(fù)二項(xiàng)分布負(fù)二項(xiàng)分布的數(shù)字特征為：94幾何分布

這是負(fù)二項(xiàng)分布當(dāng)時(shí)的一個(gè)特例，即：得到第一次“是”所需要的試驗(yàn)次數(shù)為x時(shí)的概率。設(shè)，出現(xiàn)“是”的概率為p，幾何分布的模型描述為：幾何分布的數(shù)字特征為：

幾何分布這是負(fù)二項(xiàng)分布當(dāng)時(shí)的一個(gè)特例，95幾何分布

[例]由統(tǒng)計(jì)結(jié)果已知某生產(chǎn)過(guò)程平均每100件產(chǎn)品中有1件廢品。隨機(jī)檢查到第5件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)廢品的概率為多少？解：這是幾何分布，，則幾何分布[例]由統(tǒng)計(jì)結(jié)果已知某生產(chǎn)過(guò)程平均每100件產(chǎn)品96超幾何分布

是二項(xiàng)分布的一種變型，其條件為：（1）對(duì)象為有限的N個(gè)物體，其中k件為“是”，N-k為“非”。（2）從N個(gè)物件中，隨機(jī)地逐個(gè)取出n件，且每次取出后沒(méi)有替換。則在n件中出現(xiàn)“是”的次數(shù)x系超幾何分布，其模型描述為：超幾何分布是二項(xiàng)分布的一種變型，其條件為：97超幾何分布

[例]

某車(chē)間生產(chǎn)的元件按40個(gè)裝箱后進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，其步驟為：從每箱隨機(jī)檢查5個(gè)元件，若出現(xiàn)二等品，則把該箱退回車(chē)間返裝?，F(xiàn)若車(chē)間采取每40個(gè)元件中允許有3個(gè)二等品的質(zhì)量控制標(biāo)準(zhǔn)，則返裝的概率p為多少？解：用超幾何分布模型計(jì)算：超幾何分布[例]某車(chē)間生產(chǎn)的元件按40個(gè)裝箱后進(jìn)行質(zhì)量檢98超幾何分布

超幾何分布的數(shù)字特征：

超幾何分布超幾何分布的數(shù)字特征：99擴(kuò)充幾何分布

將超幾何分布擴(kuò)充到以下條件：（1）全體為有限的N個(gè)物體，可分為m類(lèi)：，它們?cè)贜中分別含件。（2）從N物件中，隨機(jī)地逐個(gè)取出n件，且每次取出后不再替換，則得到個(gè)類(lèi)，個(gè)類(lèi)，…，個(gè)類(lèi)物件的概率為擴(kuò)充超幾何分布，其模型為：

擴(kuò)充幾何分布將超幾何分布擴(kuò)充到以下條件：100泊桑分布這是一種常見(jiàn)的重要離散分布，其條件是：（1）已知某種事件在一定時(shí)間區(qū)段內(nèi)出現(xiàn)的平均次數(shù)為。（2）這種事件可能出現(xiàn)的次數(shù)遠(yuǎn)大于。（3）該事件每次出現(xiàn)均為獨(dú)立。（4）該事件出現(xiàn)的次數(shù)僅與時(shí)間區(qū)段長(zhǎng)度有關(guān)，而與區(qū)段外這種事件出現(xiàn)的次數(shù)無(wú)關(guān)。

則在某個(gè)給定的時(shí)間區(qū)段內(nèi)，該事件出現(xiàn)x次的概率為泊桑分布，其模型描述為：

泊桑分布這是一種常見(jiàn)的重要離散分布，其條件是：101[例]1910年Rutherford和Geiger在鏷放射源前的小屏幕上記錄粒子每分鐘撞擊次數(shù)x的頻數(shù)列于下表。每分鐘撞擊次數(shù)觀(guān)測(cè)到的頻數(shù)撞擊次數(shù)按泊桑分布計(jì)算的頻數(shù)057054120320321123837664073525157552645352128508540820403946273163825471399731408453606892724329101010011116666總計(jì)2608100922608[例]1910年Rutherford和Geiger在鏷放射102[例]1910年Rutherford和Geiger在鏷放射源前的小屏幕上記錄粒子每分鐘撞擊次數(shù)x的頻數(shù)列于下表。解：考慮到不太長(zhǎng)的時(shí)期內(nèi)，粒子放出的平均次數(shù)為常數(shù)，每個(gè)粒子的放出可認(rèn)為獨(dú)立，且放出次數(shù)只與時(shí)間有關(guān)，故可假設(shè)符合泊桑分布。首先計(jì)算粒子放出的平均次數(shù)：則泊桑分布模型：計(jì)算不同值時(shí)的頻數(shù)列于表，可見(jiàn)與實(shí)際觀(guān)測(cè)值非常接近。[例]1910年Rutherford和Geiger在鏷放射103泊桑分布泊桑分布的數(shù)字特征：泊桑分布泊桑分布的數(shù)字特征：104泊桑分布與二項(xiàng)分布之間的關(guān)系由二項(xiàng)分布的數(shù)字特征得：由二項(xiàng)分布模型得：

泊桑分布與二項(xiàng)分布之間的關(guān)系由二項(xiàng)分布的數(shù)字特征得：105泊桑分布與二項(xiàng)分布之間的關(guān)系當(dāng)時(shí)，上式有又因?yàn)椋核缘茫旱侵挥挟?dāng)時(shí)，才為有限值，所以應(yīng)寫(xiě)為：泊桑分布與二項(xiàng)分布之間的關(guān)系當(dāng)106幾種離散分布模型之間的關(guān)系幾種離散分布模型之間的關(guān)系107隨機(jī)變量及其分布：

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布當(dāng)隨機(jī)變量可以在數(shù)軸的一個(gè)連續(xù)區(qū)段內(nèi)取任意值，則需要用連續(xù)型概率分布模型。重點(diǎn)：介紹連續(xù)型隨機(jī)變量若干重要的分布模型。 連續(xù)均勻分布 指數(shù)分布 Gamma分布 Beta分布 Weibull分布 Chi平方分布隨機(jī)變量及其分布：

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率108連續(xù)均勻分布(矩形分布)特點(diǎn)：在一定范圍內(nèi)（從上限a到下限b），事件出現(xiàn)的概率密度q為常數(shù)，而在該范圍之外為0。概率密度的數(shù)學(xué)模型：連續(xù)均勻分布(矩形分布)特點(diǎn)：在一定范圍內(nèi)（從上限a到下限b109連續(xù)均勻分布(矩形分布)對(duì)x積分后得到分布函數(shù)Q：連續(xù)均勻分布(矩形分布)對(duì)x積分后得到分布函數(shù)Q：110連續(xù)均勻分布(矩形分布)矩形分布的數(shù)字特征：連續(xù)均勻分布(矩形分布)矩形分布的數(shù)字特征：111指數(shù)分布適用于描述出現(xiàn)某事件所需等待時(shí)間的概率分布。（例如設(shè)備從開(kāi)始運(yùn)行到出現(xiàn)故障的延續(xù)時(shí)間。）數(shù)學(xué)形式可在以下假設(shè)條件下引出：（1）在任一時(shí)間段內(nèi)，事件發(fā)生的概率僅與時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān)，而與時(shí)間的起點(diǎn)或終點(diǎn)無(wú)關(guān)。（2）在一小段時(shí)間內(nèi)，事件發(fā)生的概率近似地正比于時(shí)間段長(zhǎng)，即。（3）在不相重疊的各時(shí)間段內(nèi)，事件的發(fā)生是獨(dú)立的。

指數(shù)分布適用于描述出現(xiàn)某事件所需等待時(shí)間的概率分布。112指數(shù)分布將不發(fā)生事件的時(shí)間段（0，x）分成n等份：各時(shí)間段內(nèi)事件系獨(dú)立發(fā)生，又令p為不發(fā)生事件的概率：t為發(fā)生事件的時(shí)刻根據(jù)條件（1）和（2）：為發(fā)生事件的概率指數(shù)分布將不發(fā)生事件的時(shí)間段（0，x）分成n等份：各時(shí)間段113指數(shù)分布因此，在時(shí)發(fā)生事件的概率為：這是分布函數(shù)，相應(yīng)的密度函數(shù)為分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：其中為壽命參數(shù)。（這是和離散型的幾何分布相對(duì)應(yīng)的一種連續(xù)分布模型。它在設(shè)備和元件的壽命問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用，實(shí)際上是可靠性研究領(lǐng)域中的一種標(biāo)準(zhǔn)分布。）指數(shù)分布因此，在時(shí)發(fā)生事件的概率為：114指數(shù)分布當(dāng)時(shí)，指數(shù)分布的密度函數(shù)當(dāng)時(shí)，指數(shù)分布的分布函數(shù)指數(shù)分布當(dāng)時(shí)，指數(shù)分布的密度函數(shù)當(dāng)115指數(shù)分布指數(shù)分布的數(shù)字特征為：指數(shù)分布指數(shù)分布的數(shù)字特征為：116指數(shù)分布[例]某設(shè)備采用一元件，它的故障時(shí)間T遵循指數(shù)分布，并已測(cè)得參數(shù)為?，F(xiàn)將該種元件分別用于5臺(tái)設(shè)備中，試問(wèn)：8年以后，至少還有2個(gè)該種元件仍在工作著的概率為多少？解：根據(jù)指數(shù)分布，8年后該元件仍在工作著的概率為：令x表示8年后仍在工作著的元件數(shù)，由于這是離散性問(wèn)題，所以采用二項(xiàng)分布：指數(shù)分布[例]某設(shè)備采用一元件，它的故障時(shí)間T遵循指數(shù)分布117Gamma分布（第三類(lèi)Pearson分布）設(shè)在時(shí)間區(qū)段內(nèi)，事件的平均出現(xiàn)率為每單位時(shí)間次。Gamma分布系用來(lái)描述出現(xiàn)r次事件所需要的時(shí)間長(zhǎng)度x的概率分布。數(shù)學(xué)模型：[1]將時(shí)間區(qū)段離散化，把它等分為n個(gè)子區(qū)段，長(zhǎng)度均為T(mén)/n。取n足夠大，使每個(gè)區(qū)段出現(xiàn)1次以上事件的概率可以忽略不計(jì)。又設(shè)各子區(qū)段中事件的出現(xiàn)均為獨(dú)立。因此，在任一子區(qū)段出現(xiàn)一個(gè)事件的概率為：[2]出現(xiàn)r次事件所需要的時(shí)間區(qū)段個(gè)數(shù)k的概率可以用負(fù)二項(xiàng)分布描述為：Gamma分布（第三類(lèi)Pearson分布）設(shè)在時(shí)間區(qū)段118數(shù)學(xué)模型：[3]得到x的密度函數(shù)為：數(shù)學(xué)模型：[3]得到x的密度函數(shù)為：119Gamma分布考慮Gamma函數(shù)：當(dāng)r為非負(fù)整數(shù)時(shí)出現(xiàn)每次事件平均所需時(shí)間單參數(shù)Gamma分布Gamma分布考慮Gamma函數(shù)：出現(xiàn)每次事件平均所需時(shí)間120Gamma分布二參數(shù)Gamma分布的數(shù)字特征為：Gamma分布二參數(shù)Gamma分布的數(shù)字特征為：121單參數(shù)Gamma分布當(dāng)r=1時(shí)，單參數(shù)Gamma分布就是的指數(shù)分布。

設(shè)有r個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量都符合的指數(shù)分布，定義另一隨機(jī)變量：則y將符合單參數(shù)Gamma分布。單參數(shù)Gamma分布當(dāng)r=1時(shí)，單參數(shù)Gamma分布就是122Beta分布（第一類(lèi)Pearson分布）最簡(jiǎn)單的二參數(shù)形式的密度函數(shù)為（r和s是二參數(shù)）：二參數(shù)Beta分布的數(shù)字特征：Beta分布（第一類(lèi)Pearson分布）最簡(jiǎn)單的二參數(shù)形式123Weibull分布最常用的是它最簡(jiǎn)單的二參數(shù)形式密度函數(shù)：k為標(biāo)度參數(shù)，s為形狀參數(shù)。二參數(shù)Weibull分布的數(shù)字特征為：廣泛應(yīng)用于壽命檢驗(yàn)，可靠性研究等方面的模型。Weibull分布最常用的是它最簡(jiǎn)單的二參數(shù)形式密度函數(shù)：廣124單參數(shù)Weibull分布的密度函數(shù)單參數(shù)Weibull分布的密度函數(shù)125Chi分布Gamma分布的另一種特殊情況是當(dāng)：時(shí)稱(chēng)為Chi平方分布。它是假設(shè)檢驗(yàn)的重要工具，其密度函數(shù)為：稱(chēng)為自由度（它的含義將在以后章節(jié)中介紹）。Chi平方分布的數(shù)字特征為：Chi分布Gamma分布的另一種特殊情況是當(dāng)：126幾種分布之間的關(guān)系幾種分布之間的關(guān)系127幾種連續(xù)和離散分布之間的關(guān)系

離散對(duì)象連續(xù)對(duì)象單次事件幾何分布出現(xiàn)一次事件需要測(cè)試的次數(shù)指數(shù)分布出現(xiàn)一次事件需要延續(xù)的時(shí)間長(zhǎng)度多次事件負(fù)二項(xiàng)分布出現(xiàn)k次事件需要測(cè)試的次數(shù)xGamma分布出現(xiàn)r次事件需要延續(xù)的時(shí)間長(zhǎng)度x幾種連續(xù)和離散分布之間的關(guān)系

離散對(duì)象連續(xù)對(duì)象單次事件幾何分128隨機(jī)變量及其分布：

正態(tài)分布這是連續(xù)型隨機(jī)變量的一種最常見(jiàn)分布模型。在很多實(shí)際情況下可以用它描述或近似地描述隨機(jī)變量的分布。當(dāng)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)中包含的誤差純屬隨機(jī)性，則這種隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)一般可用正態(tài)分布模型描述。隨機(jī)誤差的特點(diǎn)：（1）大小相等而符號(hào)相反的誤差出現(xiàn)的概率密度相同。（2）概率密度隨誤差的絕對(duì)值增大而單調(diào)下降。（3）絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的概率密度趨于零。隨機(jī)變量及其分布：

129正態(tài)分布正態(tài)分布的密度函數(shù)為：（精確度指數(shù)）

和分別表示觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)總體平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。正態(tài)分布密度函數(shù)曲線(xiàn)的位置和形狀決定于和兩個(gè)參數(shù)，可以簡(jiǎn)單地表示為：正態(tài)分布正態(tài)分布的密度函數(shù)為：130正態(tài)分布曲線(xiàn)正態(tài)分布曲線(xiàn)131正態(tài)分布根據(jù)誤差定義只包含隨機(jī)因素影響的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)，為隨機(jī)誤差。得：這就是隨機(jī)誤差的概率密度函數(shù)，或稱(chēng)隨機(jī)誤差的正態(tài)分布。因?yàn)樗鼈兊男螤钪粵Q定于單個(gè)參數(shù)，所以表示為：又稱(chēng)其為Gauss誤差分布概率方程。正態(tài)分布根據(jù)誤差定義132隨機(jī)誤差的正態(tài)分布隨機(jī)誤差的正態(tài)分布133標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布引入一個(gè)新的隨機(jī)變量：得：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布引入一個(gè)新的隨