【數(shù)學欣賞】蜂巢探秘

《蜂》唐·羅隱不論平地與山尖，無限風光盡被占。采得百花成蜜后，為誰辛苦為誰甜？有的國家發(fā)行了精美的蜜蜂郵票來贊美小蜜蜂的辛勤工作。大多數(shù)郵票都是長方形的，但是蜜蜂郵票的造型很特別，它的外框采用了正六邊形，這種造型源于蜜蜂的家---蜂巢?！俺卜康木蓸?gòu)造十分符合需要，如果一個人在觀賞精密細致的蜂巢后，而不知加以贊揚，那人一定是個糊涂蟲”。——達爾文

你知道蜂巢為什么這么令人贊嘆嗎？蜂蠟蜜蜂建造蜂巢的材料不是普通的泥土、樹枝和石塊，而是蜜蜂分泌的——據(jù)估計，工蜂每分泌1公斤的蜂蠟，需要消耗大約16公斤的花蜜；而采集1公斤的花蜜，蜜蜂們需要飛行32萬公里才得以完成，相當于繞地球飛行八圈的距離。因此，蜂蠟對蜜蜂而言，是珍貴的。蜜蜂必須用最經(jīng)濟的方式來建造自己的家——用最少材料，建造最大的空間?！胺涓C的優(yōu)美形狀，是自然界最有效勞動的代表。”——古希臘數(shù)學家佩波斯

公元前3世紀，古希臘數(shù)學家就研究過，蜜蜂的正六棱柱的巢是自然界最經(jīng)濟有效的形狀，在相同條件下，這種形狀容積最大。正六邊形的建筑結(jié)構(gòu)，密合度最高、所需材料最簡、可使用空間最大，其致密的結(jié)構(gòu)，各方受力大小均等，且容易將受力分散，所能承受的沖擊也比其他結(jié)構(gòu)大。

蜂巢的外部為什么是正六邊形？怎么不選擇圓形呢？這里涉及到平面鑲嵌問題。古埃及人早就知道，用大小相同的正三角形、正方形、正六邊形，能各自鋪成一平面。如果蜂巢呈圓形等，會出現(xiàn)空隙，反而會浪費材料。

公元前180年，古希臘數(shù)學家芝諾多羅斯證明：(1)周長固定的n邊形，以正n邊形的面積最大，并且n越大，面積越大；(2)周長固定時，圓面積大于所有正多邊形。

當周長一定時，正六邊形是面積最大，這就是聰明的小蜜蜂不選擇正三角形和正方形的原因！“蜜蜂憑著本能選擇了正六邊形，因而使用同樣材料可以比正三角形和正方形具有更大的面積?！薄疗账埂稊?shù)學匯編》第5卷序言

從蜂巢的表面看，兩側(cè)都是一個個正六邊形的中空柱狀房室，背對背對稱地排列著，六邊形房室之間相互平行，每一間房室的距離都相等。每一個巢房的建筑，都是以中間為基礎(chǔ)向兩側(cè)水平展開，從房室底部至開口處有13°的仰角，能夠防止存蜜的流出。兩側(cè)的中空柱狀房室是不相通的，其底部不是平的，而是由三個全等的菱形組成的漏斗形狀。同側(cè)的三個中空柱狀房室圍在一起，形成另一側(cè)中空柱狀房室的底部。這樣，兩側(cè)的中空柱狀房室完美地結(jié)合在一起。打開蜂巢，里面的情況出乎人們的意料。

這種充滿空間對稱的蜂巢底部菱形的角應(yīng)該和菱形十二面體中菱形的角的大小一樣?！煳膶W家開普勒這個菱形的一角為109°28'，另一角為70°32'。——天文學家馬拉爾第的測量結(jié)果給定正六角柱，底部由三個全等菱形組成，最省材料的做法是，菱形兩鄰角分別是109°26'和70°34'?！鹗繑?shù)學家克尼格的計算結(jié)果菱形兩鄰角分別是109°28'和70°32'?！鴶?shù)學家馬克勞林的計算結(jié)果這種蜂巢可能是在相同容積下所用材料最省的。——法國物理學家雷奧米爾的猜測菱形的鈍角一定要為109°28'嗎？下面我們用中學數(shù)學的知識進行解釋。把正六棱柱的一角沿AB切下，然后沿AB翻轉(zhuǎn)180o。按照同樣的方法對其余三個角進行操作，最后三個角堆在一起，形成蜂巢的尖頂。在這個過程中，無論DC多長，蜂巢的體積都不會變化。盡管蜂巢體積沒有變化，但是蜂巢壁的面積卻受DC變化影響。這是從一個正六棱柱形成蜂巢的過程。不妨設(shè)棱柱底邊長為a，高為h，DC長為x，要求蜂巢壁面積的最小值，利用對稱性，只考慮圖形的六分之一，即等腰△CBC’和直角梯形EFBC的面積之和最小即可。這就說明在蜂巢體積不變的情況下，巢壁面積最小時，蜂巢底部菱形的鈍角剛好為109°28’。

建筑方面。生活中的一些建筑直接模仿了蜂巢的造型，這樣的建筑不但看上去美觀，而且還可以多面采光，節(jié)約材料。

通信方面。人們從蜂巢的結(jié)構(gòu)中受到啟發(fā)，建立了形似蜂巢的無線電覆蓋區(qū)域。信號塔發(fā)射的無線電波覆蓋區(qū)域是一個圓形，每個小區(qū)實際上的有效覆蓋區(qū)是一個圓的內(nèi)接多邊形，這些多邊形可能有正三角形、正方形和正六邊形。其中正六邊形覆蓋區(qū)域的有效面積最大，覆蓋同樣范圍區(qū)域所建的信號塔個數(shù)最少，有效地減少了投資。由于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)形似蜂窩狀，人們常把通信網(wǎng)絡(luò)稱為蜂窩網(wǎng)。

散熱方面。當結(jié)構(gòu)強度一定時，蜂窩型最省材料。電腦主機采用六邊形通孔作為主體結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，可以保證其機械強度，不僅降低了重量，節(jié)省了材料，而且增加了與空氣的接觸面積，加快了內(nèi)部向外部進行熱傳遞的速度，提高了散熱性能。

利用蜂巢原理制作的蜂窩紙板強度高、質(zhì)