【教學(xué)課件】對數(shù)函數(shù)的概念教學(xué)課件

對數(shù)函數(shù)的概念整體感知在4.2節(jié)中，我們用指數(shù)函數(shù)模型研究了呈指數(shù)增長或衰減變化規(guī)律的問題．對這樣的問題，在引入對數(shù)后，我們還可以從另外的角度，對其蘊(yùn)含的規(guī)律作進(jìn)一步的研究．新知探究問題1

在4.2.1的問題2中，我們已經(jīng)研究了死亡生物體內(nèi)碳14的含量y隨死亡時間x的變化而衰減的規(guī)律是函數(shù)（x≥

0）．進(jìn)一步地，死亡時間x是碳14的含量y的函數(shù)嗎？你能設(shè)計一個方案來研究這個問題嗎？要判斷其是否為函數(shù)，首先要從函數(shù)的定義進(jìn)行思考，然后考察其是否符合函數(shù)的定義．在考察的時候，一方面可以觀察圖象上進(jìn)行定性的分析，另一方面可以依據(jù)函數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行定量的推理判斷．追問1

解決這個問題，顯然要依據(jù)函數(shù)的定義．那么依據(jù)定義應(yīng)該怎樣進(jìn)行判斷呢？新知探究函數(shù)的定義：設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A．所以要判斷死亡時間x是否是碳14的含量y的函數(shù)，就要確定，對于任意一個y∈(0，1]，是否都有唯一確定的數(shù)x和它對應(yīng)．追問2

若已知死亡生物體內(nèi)碳14的含量，如何得知它死亡了多長時間呢？如右圖，觀察

的圖象，過y軸正半軸上任意一點(diǎn)(0，y0)（0＜y0≤1）作x軸的平行線，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，這條平行線與

的圖象有幾個交點(diǎn)？這說明對任意一個y∈(0，1]，都有幾個x與其對應(yīng)？能否將x看成是y的函數(shù)？新知探究所以要判斷死亡時間x是否是碳14的含量y的函數(shù)，就要確定，對于任意一個y∈(0，1]，是否都有唯一確定的數(shù)x和它對應(yīng)．新知探究從圖象上看，這條平行于x軸的直線，與

的圖象至少有一個交點(diǎn)(x0，y0)，又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)

為減函數(shù)，所以這個交點(diǎn)是唯一的交點(diǎn)．這個交點(diǎn)的意義是，已知死亡生物體內(nèi)碳14的含量為y0，則可以找到與其對應(yīng)的唯一的一個死亡時間x0．這說明對任意一個y∈(0，1]，在[0，＋∞)上都有唯一確定的數(shù)x和它對應(yīng)．所以x也是y的函數(shù)．追問3

能否求出生物死亡年數(shù)隨體內(nèi)碳14含量變化的函數(shù)解析式？新知探究根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算關(guān)系，可以將

這種對應(yīng)關(guān)系，改寫為

．習(xí)慣上用x表示自變量，用y表示函數(shù)值，于是就得到函數(shù)

，它刻畫了時間y隨碳14含量x的衰減而變化的規(guī)律．新知探究問題2

對一般的指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)，根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算關(guān)系，轉(zhuǎn)換成x＝logay(a＞0，且a≠1)，能否將x看成是y的函數(shù)？根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)0＜a＜1時，y＝ax單調(diào)遞減；當(dāng)a＞1時，y＝ax單調(diào)遞增．所以考慮一般的指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)，對任意一個y∈(0，＋∞)，都有唯一確定的數(shù)x和它對應(yīng)．因此，x也是y的函數(shù)．通常，我們用x表示自變量，y表示函數(shù)．為此，可將x＝logay(a＞0，且a≠1)改寫為：y＝logax(a＞0，且a≠1)．這就是對數(shù)函數(shù)．追問：如果用解析式法表示一個函數(shù)，除了要確定其解析式，還要確定其定義域，才能確定下來這個函數(shù)．現(xiàn)在我們已經(jīng)確定了一般的對數(shù)函數(shù)的解析式為y＝logax(a＞0，且a≠1)，那么通過與指數(shù)函數(shù)對比，你能給出一般的對數(shù)函數(shù)的定義域嗎？定義：一般地，函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)（logarithmicfunction），其中x是自變量，定義域是(0，＋∞)．新知探究根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義域可知，在對數(shù)函數(shù)中，自變量x的取值范圍是(0，＋∞)．于是就得到了：新知探究例1

求下列函數(shù)的定義域：（1）y＝log3x2；（2）y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1)．追問：求解的依據(jù)是什么？據(jù)此求解的步驟是什么？求解的依據(jù)是對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)的定義域(0，＋∞)．那么（1）中的x2和（2）中的(4－x)的取值范圍就是(0，＋∞)，于是得到不等式，將定義域問題轉(zhuǎn)化為解不等式問題，進(jìn)而求出定義域．新知探究例1

求下列函數(shù)的定義域：（1）y＝log3x2；（2）y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1)．解：（1）因?yàn)閤2＞0，即x≠0，所以函數(shù)y＝log3x2的定義域是{x|x≠0}．（2）因?yàn)?－x＞0，即x＜4，所以函數(shù)y＝loga(4－x)的定義域是{x|x＜4}．新知探究例2

假設(shè)某地初始物價為1，每年以5%的增長率遞增，經(jīng)過y年后的物價為x．（1）該地的物價經(jīng)過幾年后會翻一番？（2）填寫下表，并根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，說明該地物價的變化規(guī)律．物價x12345678910年數(shù)y0

新知探究例2

假設(shè)某地初始物價為1，每年以5%的增長率遞增，經(jīng)過y年后的物價為x．（1）該地的物價經(jīng)過幾年后會翻一番？對于（1），先寫出x關(guān)于y的函數(shù)，再根據(jù)對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為y關(guān)于x的函數(shù)．解：（1）由題意可知，經(jīng)過y年后物價x為x＝(1＋5%)y，即x＝1.05y(y∈[0，＋∞))．由對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系，可得y＝log1.05x，x∈[1，＋∞)．新知探究例2

假設(shè)某地初始物價為1，每年以5%的增長率遞增，經(jīng)過y年后的物價為x．（1）該地的物價經(jīng)過幾年后會翻一番？對于（1），先寫出x關(guān)于y的函數(shù)，再根據(jù)對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為y關(guān)于x的函數(shù)．解：由計算工具可得，當(dāng)x＝2時，y≈14．所以，該地區(qū)的物價大約經(jīng)過14年后會翻一番．新知探究例2

假設(shè)某地初始物價為1，每年以5%的增長率遞增，經(jīng)過y年后的物價為x．對于（2），利用計算工具，快速填好表格，探索發(fā)現(xiàn)，隨著x的增長，y的增長在減緩．（2）填寫下表，并根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，說明該地物價的變化規(guī)律．物價x12345678910年數(shù)y0

新知探究例2

假設(shè)某地初始物價為1，每年以5%的增長率遞增，經(jīng)過y年后的物價為x．（2）填寫下表，并根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，說明該地物價的變化規(guī)律．物價x12345678910年數(shù)y0

解：（2）根據(jù)函數(shù)y＝log1.05x，x∈[1，＋∞)，利用計算工具，可得表：由表中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)的物價隨時間的增長而增長，但大約每增加1倍所需要的時間在逐漸縮?。?42328333740434547歸納小結(jié)問題3

回顧本節(jié)課，談?wù)勎覀兪窃趺吹玫綄?shù)函數(shù)概念的？對數(shù)函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景是什么？（1）本節(jié)課我們先通過4.2.1的問題2中所闡述的實(shí)際問題，利用圖象上x與y的對應(yīng)關(guān)系，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，理解x也是y的函數(shù)，再利用指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算關(guān)系依據(jù)函數(shù)的定義，從交換自變量與函數(shù)值“地位”的方向進(jìn)行研究，得到對數(shù)函數(shù)的概念．歸納小結(jié)問題3

回顧本節(jié)課，談?wù)勎覀兪窃趺吹玫綄?shù)函數(shù)概念的？對數(shù)函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景是什么？（2）對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)是密不可分的．對于呈指數(shù)增長或衰減變化的問題，我們可以用指數(shù)函數(shù)進(jìn)行描述，還可以從對數(shù)函數(shù)的角度進(jìn)行描述，從而能夠更全面地研究其中蘊(yùn)含的規(guī)律．目標(biāo)檢測求下列函數(shù)的定義域：1（1）

；（2）

；（3）

；（4）(a＞0，且a≠1)．答案：（1）

．（2）

．（3）

．（4）

．目標(biāo)檢測畫出下列函數(shù)的圖象：2（1）；（2）

；答案：（1）圖略，定義域?yàn)镽，圖象是一條直線y＝x．（2）圖略，定義域?yàn)?/p>