2020屆二輪(理科數(shù)學(xué)) 壓軸大題得分練一 專題卷(全國(guó)通用)

1．(本小題滿分12分)(2019江西臨川一中考前模擬)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn＋1＝2a＋an(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)已知對(duì)于n∈N*，不等式＋＋＋…＋<M恒成立，求實(shí)數(shù)M的最小值．1．解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，2a1＋1＝2a＋a1，又an＞0，∴a1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn＋1＝2a＋an(n∈N*)，2Sn－1＋1＝2a＋an－1(n∈N*)，作差整理得an＋an－1＝2(an＋an－1)(an－an－1)，∵an＞0，故an＋an－1＞0，∴an－an－1＝，故數(shù)列{an}為等差數(shù)列，∴an＝.(2)由(1)知Sn＝，∴＝＝(－)，從而＋＋＋…＋＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＋(－)]＝(1＋＋－－－)＝(－－－)＜.∴M≥，故M的最小值為.2．(本小題滿分12分)(2019廣東肇慶三模)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1是菱形，∠BAA1＝60°，E是棱BB1的中點(diǎn)，CA＝CB，F(xiàn)在線段AC上，且AF＝2FC.(1)求證：CB1∥平面A1EF.(2)若CA⊥CB，平面CAB⊥平面ABB1A1，求二面角F－A1E－A的余弦值．2．(1)證明：連接AB1交A1E于點(diǎn)G，連接FG.∵△AGA1∽△B1GE，∴＝＝2.又∵＝2，∴＝，∴FG∥CB1.又CB1?平面A1EF，F(xiàn)G?平面A1EF，∴CB1∥平面A1EF.(2)解：過(guò)C作CO⊥AB于點(diǎn)O.∵CA＝CB，∴O是線段AB的中點(diǎn)．∵平面CAB⊥平面ABB1A1，平面CAB∩平面ABB1A1＝AB，∴CO⊥平面ABA1.連接OA1，BA1.∵△ABA1是等邊三角形，O是線段AB的中點(diǎn)，∴OA1⊥AB.如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，，，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB＝2，則A(1，0，0)，A1(0，，0)，C(0，0，1)，B(－1，0，0)，F(xiàn)(，0，)．由＝，得B1(－2，，0)，則BB1的中點(diǎn)E(－，，0)，＝(－，－，0)，＝(，－，)．設(shè)平面A1FE的一個(gè)法向量為n1＝(x1，y1，z1)，則即得方程的一組解為設(shè)平面ABA1的一個(gè)法向量為n2＝(0，0，1)，則cos〈n1，n2〉＝＝，∴二面角F－A1E－A的余弦值為.3.(本小題滿分12分)(2019山西太原一模)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，右焦點(diǎn)為F2(1，0)，點(diǎn)B(1，)在橢圓C上．(1)求橢圓C的方程．(2)若直線l：y＝k(x－4)(k≠0)與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，已知直線A1M與A2N相交于點(diǎn)G，求證：點(diǎn)G在某定直線上，并求出定直線的方程．3．(1)解：∵F2(1，0)，∴c＝1.由題中已知條件知∴a＝2，b＝，∴橢圓C的方程為＋＝1.(2)證明：由橢圓對(duì)稱性知G在x＝1上，假設(shè)直線l過(guò)橢圓上頂點(diǎn)，則M(0，)，∴k＝－，N(，)，lA1M：y＝(x＋2)，lA2N：y＝－(x－2)，∴G(1，)，∴G在定直線x＝1上．當(dāng)M不在橢圓頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，lA1M：y＝(x＋2)，lA2N：y＝(x－2)．當(dāng)x＝1時(shí)，＝，得2x1x2－5(x1＋x2)＋8＝0，∴2×－5×＋＝0顯然成立，∴G在定直線x＝1上．綜上，點(diǎn)G在定直線x＝1上．4．(本小題滿分12分)(2019山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)等四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝2(x－lnx)．(1)當(dāng)x>0時(shí)，求證：f(x)>g(x)．(2)已知點(diǎn)P(x，xf(x))，點(diǎn)Q(－sinx，cosx)，設(shè)函數(shù)h(x)＝·，當(dāng)x∈[－，]時(shí)，試判斷h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．4．(1)證明：令φ(x)＝f(x)－g(x)＝－2(x－lnx)，x＞0，則φ′(x)＝.令G(x)＝ex－2x(x＞0)，G′(x)＝ex－2(x＞0)，易得G(x)在(0，ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2，＋∞)上單調(diào)遞增，∴G(x)≥G(ln2)＝2－2ln2＞0，∴ex－2x＞0在(0，＋∞)恒成立．∴φ(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．∴φ(x)≥φ(1)＝e－2＞0，∴當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞g(x)．(2)解：∵點(diǎn)P(x，xf(x))，點(diǎn)Q(－sinx，cosx)，∴h(x)＝·＝－xsinx＋excosx，h′(x)＝－sinx－xcosx＋excosx－exsinx＝(ex－x)cosx－(ex＋1)sinx.①當(dāng)x∈[－，0]時(shí)，可知ex＞2x＞x，∴ex－x＞0.∴(ex－x)cosx≥0，(ex＋1)sinx≤0，∴h′(x)＝(ex－x)cosx－(ex＋1)sinx≥0.∴h(x)在[－，0]上單調(diào)遞增，h(0)＝1＞0，h(－)＜0.∴h(x)在[－，0]上有一個(gè)零點(diǎn)，②當(dāng)x∈(0，]時(shí)，cosx≥sinx，ex＞x＞0，∴excosx＞xsinx，∴h(x)＝