利用正弦定理、余弦定理判斷三角形形狀-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

利用正弦定理、余弦定理判斷三角形形狀例在△ABC中，，試問(wèn)這個(gè)三角形的形狀具有什么特點(diǎn)？解法一：由正弦定理得，，，∵，∴，∴，又∵、，∴或或，∴或或（舍去），∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．解法二：由余弦定理有，，，∵，∴，整理得，，，∴或，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．總結(jié)：利用正弦定理、余弦定理可以將條件中角的關(guān)系化成邊的關(guān)系式或邊的關(guān)系化成角的關(guān)系．角化邊：，，邊化角：，，另外，要注意的應(yīng)用．練習(xí)題1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，若bcosC＝(2a－c)cosB，求∠B的大?。猓河梢阎罢叶ɡ砜傻胹inBcosC＝2sinAcosB－cosBsinC，∴2sinAcosB＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin(B＋C)．又在三角形ABC中，sin(B＋C)＝sinA≠0，∴2sinAcosB＝sinA，即cosB＝，B＝．另解：由bcosC＝(2a－c)cosB，得，cosB＝，B＝．2．在△ABC中，已知sinBsinC＝cos2，則此三角形是__________三角形．答案：等腰解析：由已知得2sinBsinC＝1＋cosA＝1－cos(B＋C)，即2sinBsinC＝1－(cosBcosC－sinBsinC)，∴cos(B－C)＝1，得∠B＝∠C，∴此三角形是等腰三角形．3．在△ABC中，，sinA·sinB＝，則△ABC一定是()．A．等邊三角形 B．有兩邊不相等的等腰三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形答案：A解析：由＝c2a3＋b3－c3＝(a＋b－c)c2a3＋b3－c2(a＋b)＝0(a＋b)(a2＋b2－ab－c2)＝0．∵a＋b＞0，∴a2＋b2－c2－ab＝0．(1)由余弦定理(1)式可化為a2＋b2－(a2＋b2－2abcosC)－ab＝0，得cosC＝，∠C＝60°．由正弦定理＝＝，得sinA＝，sinB＝，∴sinA·sinB＝＝，∴＝1，ab＝c2．將ab＝c2代入(1)式得，a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，a＝b．△ABC是等邊三角形．4．在△ABC中，∠A最大，∠C最小，且∠A＝2∠C，a＋c＝2b，求此三角形三邊之比．答案：6∶5∶4．解析：本例主要考查正、余弦定理的綜合應(yīng)用．由正弦定理得＝＝＝2cosC，即cosC＝，由余弦定理cosC＝，∵a＋c＝2b，∴cosC＝＝，∴＝，整理得2a2－5ac＋3c2＝0，解得a＝c或a＝c．∵∠A＝2∠C，∴a＝c不成立，a＝c，∴b＝＝＝，∴a∶b∶c＝c∶∶c＝6∶5∶4．故此三角形三邊之比為6∶5∶4．5．△ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，tanC＝eq\f(sinA＋sinB,cosA＋cosB)，sin(B－A)＝cosC.(1)求A，C；(2)若S△ABC＝3＋eq\r(3)，求a，c．解：(1)因?yàn)閠anC＝eq\f(sinA＋sinB,cosA＋cosB)，即eq\f(sinC,cosC)＝eq\f(sinA＋sinB,cosA＋cosB)，所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，得sin(C－A)＝sin(B－C)．∴C－A＝B－C或(C－A)+(B－C)＝π(不成立)或(C－A)+(B－C)＝－π(不成立)，∴2C＝A＋B，得C＝eq\f(π,3)，所以B＋A＝eq\f(2π,3).又因?yàn)閟in(B－A)＝cosC＝eq\f(1,2)，則B－A＝eq\f(π,6)，或B－A＝eq\f(5π,6)(舍去)．得A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(5π,12).所以A＝eq\f(π,4)，C＝eq\f(π,3)．另解：由tanC＝eq\f(sinA＋sinB,cosA＋cosB)，得，∴，整理得，，，，∴，C＝eq\f(π,3)．由sin(B－A)＝cosC，得sin(B－A)＝，∴，∴，∴或，∴或（舍去）．＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(6)＋\r(2),8)ac＝3＋eq\r(3)，