最新高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)大賽獲獎(jiǎng)作品匯編(下冊(cè)-共8課-含點(diǎn)評(píng))

從而在直角三角形ABC中， 教師：那么任意三角形是否有呢？學(xué)生按事先安排分組，出示實(shí)驗(yàn)報(bào)告單，讓學(xué)生閱讀實(shí)驗(yàn)報(bào)告單，質(zhì)疑提問(wèn)：有什么不明白的地方或者有什么問(wèn)題嗎？〔如果學(xué)生沒(méi)有問(wèn)題，教師讓學(xué)生動(dòng)手計(jì)算，附實(shí)驗(yàn)報(bào)告單。〕 學(xué)生：分組互動(dòng)，每組畫一個(gè)三角形，度量出三邊和三個(gè)角度數(shù)值，通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算，比擬、、的近似值。 教師：借助多媒體演示隨著三角形任意變換，、、值仍然保持相等。 我們猜測(cè)：==設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，激起學(xué)生的好奇心和求知欲望。學(xué)生自己進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，體會(huì)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的歸納和演繹推理的兩個(gè)側(cè)面?！踩匙C明猜測(cè)，得出定理師生活動(dòng)：教師：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，多媒體技術(shù)支持，對(duì)任意的三角形，如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明呢？前面探索過(guò)程對(duì)我們有沒(méi)有啟發(fā)？學(xué)生分組討論，每組派一個(gè)代表總結(jié)?！惨韵伦C明過(guò)程，根據(jù)學(xué)生答復(fù)情況進(jìn)行表達(dá)〕 學(xué)生：思考得出=1\*GB3①在中，成立，如前面檢驗(yàn)。=2\*GB3②在銳角三角形中，如圖5設(shè)，，作：，垂足為在中，〔圖5〕在中，〔圖5〕同理，在中，=3\*GB3③在鈍角三角形中，如圖6設(shè)為鈍角，，，作交的延長(zhǎng)線于〔圖6〕 在中，〔圖6〕 在中， 同銳角三角形證明可知 教師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即還有其它證明方法嗎？學(xué)生：思考得出，分析圖形〔圖7〕，對(duì)于任意△ABC，由初中所學(xué)過(guò)的面積公式可以得出：，而由圖中可以看出：，，==等式中均除以后可得，即。教師邊分析邊引導(dǎo)學(xué)生，同時(shí)板書證明過(guò)程。(圖7)(圖7)ABCDEFbac〔圖7〕在剛剛的證明過(guò)程中大家是否發(fā)現(xiàn)三角形高，三角形的面積：，能否得到新面積公式學(xué)生：得到三角形面積公式 教師：大家還有其他的證明方法嗎？比方：、、都等于同一個(gè)比值，那么它們也相等，這個(gè)到底有沒(méi)有什么特殊幾何意義呢？〔圖8〕 學(xué)生：在前面的檢驗(yàn)中，中，，恰為外接接圓的直徑，即，所以作的外接圓，為圓心，連接并延長(zhǎng)交圓于，把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。〔圖8〕證明：連續(xù)并延長(zhǎng)交圓于，在中，即同理可證：， 教師：從剛剛的證明過(guò)程中,，顯示正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑，我們通過(guò)“作高法〞、“等積法〞、“外接圓法〞等平面幾何方法證明正弦定理，能否利用其他知識(shí)來(lái)證明正弦定理？比方，在向量中，我也學(xué)過(guò)，這與邊的長(zhǎng)度和三角函數(shù)值有較為密切的聯(lián)系，是否能夠利用向量積來(lái)證明正弦定理呢？學(xué)生：思考〔聯(lián)系作高的思想〕得出： 在銳角三角形中，，作單位向量垂直于，〔圖9〕〔圖9〕 即 同理： 對(duì)于鈍角三角形，直角三角形的情況作簡(jiǎn)單交代。 教師：由于時(shí)間有限，對(duì)正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學(xué)回家再探索。設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷證明猜測(cè)的過(guò)程，進(jìn)一步引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)論證猜測(cè)，力圖讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程?！菜摹忱枚ɡ?，解決引例師生活動(dòng)：教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問(wèn)題。學(xué)生：馬上得出 在中，〔五〕了解解三角形概念設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生了解解三角形概念，形成知識(shí)的完整性教師：一般地，把三角形的三個(gè)角、、和它們的對(duì)邊、、叫做三角形的元素，，三角形的幾個(gè)元素，求其他元素的過(guò)程叫做解三角形。設(shè)計(jì)意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學(xué)生體會(huì)用新的知識(shí)，新的定理，解決問(wèn)題更方便，更簡(jiǎn)單，激發(fā)學(xué)生不斷探索新知識(shí)的欲望?！擦尺\(yùn)用定理，解決例題師生活動(dòng)：教師：引導(dǎo)學(xué)生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問(wèn)題。 學(xué)生：討論正弦定理可以解決的問(wèn)題類型：=1\*GB3①如果三角形的任意兩個(gè)角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如；=2\*GB3②如果三角形任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，求另一邊與另兩角，如。師生：例1的處理，先讓學(xué)生思考答復(fù)解題思路，教師板書，讓學(xué)生思考主要是突出主體，教師板書的目的是標(biāo)準(zhǔn)解題步驟。 例1：在中，，，，解三角形。分析“三角形中兩角及一邊，求其他元素〞，第一步可由三角形內(nèi)角和為求出第三個(gè)角∠C，再由正弦定理求其他兩邊。 例2：在中，，，，解三角形。例2的處理，目的是讓學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想，可先讓中等學(xué)生講解解題思路，其他同學(xué)補(bǔ)充交流 學(xué)生：反應(yīng)練習(xí)〔教科書第5頁(yè)的練習(xí)〕 用實(shí)物投影儀展示學(xué)生中解題步驟標(biāo)準(zhǔn)的解答。設(shè)計(jì)意圖：自己解決問(wèn)題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和動(dòng)力，使學(xué)生體驗(yàn)到成功的愉悅感，變“要我學(xué)〞為“我要學(xué)〞，“我要研究〞的主動(dòng)學(xué)習(xí)?！财摺硣L試小結(jié)：教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。學(xué)生：思考交流，歸納總結(jié)。師生：讓學(xué)生嘗試小結(jié)，教師及時(shí)補(bǔ)充，要表達(dá)：〔1〕正弦定理的內(nèi)容〔〕及其證明思想方法?！?〕正弦定理的應(yīng)用范圍：①三角形中兩角及一邊，求其他元素；②三角形中兩邊和其中一邊所對(duì)的角，求其他元素。〔3〕分類討論的數(shù)學(xué)思想。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生的總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力和語(yǔ)言表達(dá)能力。〔八〕作業(yè)設(shè)計(jì)作業(yè)：第10頁(yè)[習(xí)題1.1]A組第1、2題。思考題：例2：在中，，，，解三角形。例2中分別改為，并解三角形，觀察解的情況并解釋出現(xiàn)一解，兩解，無(wú)解的原因。課外鏈接：課后通過(guò)查閱相關(guān)書籍，上網(wǎng)搜索，了解關(guān)于正弦定理的開展及應(yīng)用〔相關(guān)fayz〕七、設(shè)計(jì)思路：本節(jié)課，學(xué)生在不知正弦定理內(nèi)容和證明方法的前提下，在教師預(yù)設(shè)的思路中，學(xué)生積極主動(dòng)參與一個(gè)個(gè)相關(guān)聯(lián)的探究活動(dòng)過(guò)程，通過(guò)“觀察——實(shí)驗(yàn)——?dú)w納——猜測(cè)——證明〞的數(shù)學(xué)思想方法發(fā)現(xiàn)并證明定理，讓學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)形成的過(guò)程，感受到創(chuàng)新的快樂(lè)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。其次，以問(wèn)題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，促使學(xué)生去思考問(wèn)題，去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，讓學(xué)生在“活動(dòng)〞中學(xué)習(xí)，在“主動(dòng)〞中開展，在“合作〞中增知，在“探究〞中創(chuàng)新。結(jié)合實(shí)例，激發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，從學(xué)生日常生活中的實(shí)際問(wèn)題引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的知識(shí)解決新的問(wèn)題，方法一通過(guò)相似三角形相似比相等進(jìn)行計(jì)算，方法二轉(zhuǎn)化解直角三角形。讓學(xué)在解決問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，提出猜測(cè)，使學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理等活動(dòng)中，逐步形成創(chuàng)新意識(shí)。2、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證猜測(cè)通過(guò)特例檢驗(yàn)，讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，提高了學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作、分析思考和抽象概括的能，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲望，體會(huì)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的歸納和演繹推理的兩個(gè)側(cè)面。3、證明猜測(cè)，得出定理引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生從角度進(jìn)行證明定理，展示自己的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣，愛(ài)好，在知識(shí)的形成、開展過(guò)程中展開思維，培養(yǎng)推理的意識(shí)。附一：實(shí)驗(yàn)報(bào)告單組長(zhǎng): 組員：試驗(yàn)?zāi)康难芯咳切沃懈鬟吅退鼘?duì)角的正弦值的比(，，)是否相等。實(shí)驗(yàn)器材計(jì)算器，直尺，量角器，硬紙板〔由老師統(tǒng)一發(fā)〕實(shí)驗(yàn)方法畫一個(gè)任意三角形，量取三邊和三個(gè)角的值，并計(jì)算。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容三邊：a= b= c=三角：A= B= C=計(jì)算：= = =〔精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位〕結(jié)論：福安一中陳楨仔林旭點(diǎn)評(píng)：本節(jié)定理教學(xué)課，教師把重點(diǎn)放在定理的發(fā)現(xiàn)與證明上，符合新課標(biāo)重視過(guò)程與方法的理念，克服了傳統(tǒng)教學(xué)只注重結(jié)論的傾向。首先，利用解決一個(gè)可測(cè)量?jī)山且粚?duì)邊，求另一對(duì)邊的實(shí)際問(wèn)題引入，在解決實(shí)際問(wèn)題中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“三角形三邊與其對(duì)應(yīng)角的正弦值的比相等〞的規(guī)律；通過(guò)對(duì)特殊三角形的驗(yàn)證，大膽猜測(cè)對(duì)任意三角形成立；接著證明了這個(gè)定理。在課堂上展示了定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，使學(xué)生感受到創(chuàng)新的快樂(lè)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)了“觀察—實(shí)驗(yàn)—?dú)w納—猜測(cè)—證明〞的數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)歷了知識(shí)形成的過(guò)程，符合新課標(biāo)重視過(guò)程與方法的理念。其次，在解決引例中的測(cè)量問(wèn)題時(shí)利用用初中相似三角形知識(shí)、正弦定理的不同證法〔轉(zhuǎn)化為直角三角形、輔助以三角形外接圓、向量〕等，都表達(dá)了“在已有知識(shí)體系的根底上去建構(gòu)新的知識(shí)體系〞的理念，加強(qiáng)了知識(shí)間的聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性。定理證明的方法一、方法二，參透了分類、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。但是，本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容還是偏多，在時(shí)間分配上要有規(guī)劃，突出重點(diǎn)，刪繁就簡(jiǎn)；引入的例題要注意條件更加明確直接，以免產(chǎn)生歧義，沖淡主體，浪費(fèi)時(shí)間?？傊?，本節(jié)課有效地采用了探究式教學(xué)，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作交流為前提，以問(wèn)題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明〞為根本探究?jī)?nèi)容，為學(xué)生提供充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問(wèn)題的時(shí)機(jī)，讓學(xué)生通過(guò)個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動(dòng)，感受“觀察——實(shí)驗(yàn)——猜測(cè)——證明——應(yīng)用〞等環(huán)節(jié)，教學(xué)過(guò)程流暢，在知識(shí)的形成、開展過(guò)程中展開思維，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探索問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。20、正弦定理〔3〕一、教學(xué)內(nèi)容分析“正弦定理〞是?普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)〔必修5〕?〔人教版〕第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容，它既是初中“解直角三角形〞內(nèi)容的直接延拓，也是三角函數(shù)一般知識(shí)和平面向量等知識(shí)在三角形中的具體運(yùn)用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問(wèn)題的其它數(shù)學(xué)問(wèn)題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問(wèn)題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。為什么要研究正弦定理？正弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的？其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒(méi)有答復(fù)，而確實(shí)又是學(xué)生所關(guān)心的問(wèn)題。本節(jié)課是“正弦定理〞教學(xué)的第一課時(shí)，其主要任務(wù)是引入并證明正弦定理，在課型上屬于“定理教學(xué)課〞。因此，做好“正弦定理〞的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)穩(wěn)固舊知識(shí)，使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí)，體會(huì)聯(lián)系、開展等辯證觀點(diǎn)，而且通過(guò)對(duì)定理的探究，能使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、解決問(wèn)題等研究性學(xué)習(xí)的能力。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形的內(nèi)容，在必修4中，又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的根底知識(shí)和平面向量的有關(guān)內(nèi)容，對(duì)解直角三角形、三角函數(shù)、平面向量已形成初步的知識(shí)框架，這不僅是學(xué)習(xí)正弦定理的認(rèn)知根底，同時(shí)又是突破定理證明障礙的強(qiáng)有力的工具。正弦定理是關(guān)于任意三角形邊角關(guān)系的重要定理之一，?課程標(biāo)準(zhǔn)?強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中要重視定理的探究過(guò)程，并能運(yùn)用它解決一些實(shí)際問(wèn)題，可以使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也為學(xué)習(xí)正弦定理提供一種親和力與認(rèn)同感。三、設(shè)計(jì)思想培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究是全面開展學(xué)生能力的重要前提，是高中新課程改革的主要任務(wù)。如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究呢？建構(gòu)主義認(rèn)為：“知識(shí)不是被動(dòng)吸收的，而是由認(rèn)知主體主動(dòng)建構(gòu)的。〞這個(gè)觀點(diǎn)從教學(xué)的角度來(lái)理解就是：知識(shí)不是通過(guò)教師傳授得到的，而是學(xué)生在一定的情境中，運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，并通過(guò)與他人〔在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下〕協(xié)作，主動(dòng)建構(gòu)而獲得的，建構(gòu)主義教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，視學(xué)生為認(rèn)知的主體，教師只對(duì)學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進(jìn)作用。本節(jié)“正弦定理〞的教學(xué)，將遵循這個(gè)原那么而進(jìn)行設(shè)計(jì)。四、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能：通過(guò)對(duì)任意三角形的邊與其對(duì)角的關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法。2、過(guò)程與方法：讓學(xué)生從已有的知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、歸納、猜測(cè)、證明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：在平等的教學(xué)氣氛中，通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評(píng)價(jià)，實(shí)現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長(zhǎng)的教學(xué)情境。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)難點(diǎn)：正弦定理的推導(dǎo)六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)〔一〕設(shè)置情境利用投影展示：如圖1，一條河的兩岸平行，河寬。因上游爆發(fā)特大洪水，在洪峰到來(lái)之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及留守人員用船盡快轉(zhuǎn)運(yùn)到正對(duì)岸的碼頭B處或其下游的碼頭C處，請(qǐng)你確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案。船在靜水中的速度，水流速度?！驹O(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)起源于生活，運(yùn)用于生活〞的思想意識(shí)，同時(shí)情境問(wèn)題的圖形及解題思路均為研究正弦定理做鋪墊?！捕程岢鰡?wèn)題師：為了確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案，請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)身處地地考慮有關(guān)的問(wèn)題，將各自的問(wèn)題經(jīng)小組〔前后4人為一小組〕匯總整理后交給我。待各小組將問(wèn)題交給老師后，老師篩選了幾個(gè)問(wèn)題通過(guò)投影向全班展示，經(jīng)大家歸納整理后得到如下的五個(gè)問(wèn)題：1、船應(yīng)開往B處還是C處？2、船從A開到B、C分別需要多少時(shí)間？3、船從A到B、C的距離分別是多少？4、船從A到B、C時(shí)的速度大小分別是多少？5、船應(yīng)向什么方向開，才能保證沿直線到達(dá)B、C？【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)小組交流，提供一定的研究學(xué)習(xí)與情感交流的時(shí)空，培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力；問(wèn)題源于學(xué)生，突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；問(wèn)題通過(guò)老師的篩選，確定研究的方向，表達(dá)教師的主導(dǎo)作用。師：誰(shuí)能幫大家講解，應(yīng)該怎樣解決上述問(wèn)題？大家經(jīng)過(guò)討論達(dá)成如下共識(shí)：要答復(fù)以下問(wèn)題1，需要解決問(wèn)題2，要解決問(wèn)題2，需要先解決問(wèn)題3和4，問(wèn)題3用直角三角形知識(shí)可解，所以重點(diǎn)是解決問(wèn)題4，問(wèn)題4與問(wèn)題5是兩個(gè)相關(guān)問(wèn)題。因此，解決上述問(wèn)題的關(guān)鍵是解決問(wèn)題4和5。師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)平行四邊形法那么，先在練習(xí)本上做出與問(wèn)題對(duì)應(yīng)的示意圖，明確什么，要求什么，怎樣求解。生1：船從A開往B的情況如圖2，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)，可求得船在河水中的速度大小及與的夾角：，用計(jì)算器可求得船從A開往C的情況如圖3，，，易求得，還需求及，我還不知道怎樣解這兩個(gè)問(wèn)題。師：請(qǐng)大家思考，這兩個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是什么？局部學(xué)生：在三角形中，兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊?！驹O(shè)計(jì)意圖】將問(wèn)題數(shù)學(xué)化，有助于加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)。師：請(qǐng)大家討論一下，如何解決這兩個(gè)問(wèn)題？生3：不知道。師：圖2的情形大家都會(huì)解，但圖3的情形卻有困難，那么圖2與圖3有何異同點(diǎn)？生4：圖2和圖3的情形都是三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊。但圖2中是直角三角形，而圖3中不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接利用邊角的關(guān)系求解。師：圖3的情形能否轉(zhuǎn)化成直角三角形來(lái)解呢？【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)教師的問(wèn)題引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想，同時(shí)為下一步用特例作為突破口來(lái)研究正弦定理以及用作高的方法來(lái)證明正弦定理做好鋪墊。生5：能，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G〔如圖4〕，，師：很好！采取分割的方法，將一般三角形化為兩個(gè)直角三角形求解。但在生活中有許多三角形不是直角三角形，如果每個(gè)三角形都劃分為直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形一樣直接利用邊角關(guān)系求解呢？三角形中，任意兩邊與其對(duì)角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)教師對(duì)學(xué)生的肯定評(píng)價(jià)，創(chuàng)造一個(gè)教與學(xué)的和諧環(huán)境，既激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使緊接著的問(wèn)題能更好地得到學(xué)生的認(rèn)同，又有利于學(xué)生和教師的共同成長(zhǎng)。〔三〕解決問(wèn)題1、正弦定理的引入師：請(qǐng)同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問(wèn)題時(shí)，是怎樣處理的？眾學(xué)生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法?？梢砸灾苯侨切螢樘乩?，先在直角三角形中試探一下。師：如果一般三角形具有某種邊角關(guān)系，對(duì)于特殊的三角形——直角三角形也是成立的，因此我們先研究特例，請(qǐng)同學(xué)們對(duì)直角三角形進(jìn)行研究，尋找一般三角形的各邊及其對(duì)角之間有何關(guān)系？同學(xué)們可以參與小組共同研究?！?〕學(xué)生以小組為單位進(jìn)行研究；教師觀察學(xué)生的研究進(jìn)展情況或參與學(xué)生的研究?！?〕展示學(xué)生研究的結(jié)果?！驹O(shè)計(jì)意圖】教師參與學(xué)生之間的研究，增進(jìn)師生之間的思維與情感的交流，并通過(guò)教師的指導(dǎo)與觀察，及時(shí)掌握學(xué)生研究的情況，為展示學(xué)生的研究結(jié)論做準(zhǔn)備；同時(shí)通過(guò)展示研究結(jié)論，強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)，增進(jìn)學(xué)生的成功感及學(xué)習(xí)的信心。師：請(qǐng)說(shuō)出你研究的結(jié)論？生7：師：你是怎樣想出來(lái)的？生7：因?yàn)樵谥苯侨切沃?，它們的比值都等于斜邊。師：有沒(méi)有其它的研究結(jié)論？〔根據(jù)實(shí)際情況，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析判斷結(jié)論正確與否，或留課后進(jìn)一步深入研究?！硯煟簩?duì)一般三角形是否成立呢？眾學(xué)生：不一定，可以先用具體例子檢驗(yàn)，假設(shè)有一個(gè)不成立，那么否認(rèn)結(jié)論：假設(shè)都成立，那么說(shuō)明這個(gè)結(jié)論很可能成立，再想方法進(jìn)行嚴(yán)格的證明。師：這是個(gè)好主意。那么對(duì)等邊三角形是否成立呢？生9：成立。師：對(duì)任意三角形是否成立，現(xiàn)在讓我們借助于?幾何畫板?做一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，……【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生的思維逐步形成“情境思考〞——“提出問(wèn)題〞——“研究特例〞——“歸納猜測(cè)〞——“實(shí)驗(yàn)探究〞——“理論探究〞——“解決問(wèn)題〞的思維方式，進(jìn)而形成解決問(wèn)題的能力。2、正弦定理的探究〔1〕實(shí)驗(yàn)探究正弦定理師：借助于電腦與多媒體，利用?幾何畫板?軟件，演示正弦定理教學(xué)課件。邊演示邊引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形形狀的變化與三個(gè)比值的變化情況。結(jié)論：對(duì)于任意三角形都成立。【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)?幾何畫板?軟件的演示，使學(xué)生對(duì)結(jié)論的認(rèn)識(shí)從感性逐步上升到理性。師：利用上述結(jié)論解決情境問(wèn)題中圖3的情形，并檢驗(yàn)與生5的計(jì)算結(jié)果是否一致。生10：〔通過(guò)計(jì)算〕與生5的結(jié)果相同。師：如果上述結(jié)論成立，那么在三角形中利用該結(jié)論解決“兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊。〞的問(wèn)題就簡(jiǎn)單多了?！驹O(shè)計(jì)意圖】與情境設(shè)置中的問(wèn)題相照應(yīng)，間接給出了正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，并強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)探究、應(yīng)用正弦定理的心理需求?！?〕點(diǎn)明課題：正弦定理〔3〕正弦定理的理論探究師：既然是定理，那么需要證明，請(qǐng)同學(xué)們與小組共同探究正弦定理的證明。探究方案：直角三角形——已驗(yàn)證；銳角三角形——課堂探究；鈍角三角形——課后證明?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過(guò)分析，確定探究方案。課堂只讓學(xué)生探究銳角三角形的情形，有助于在不影響探究進(jìn)程的同時(shí)，為探究銳角三角形的情形騰出更多的時(shí)間。鈍角三角形的情形以課后證明的形式，可使學(xué)生穩(wěn)固課堂的成果。師：請(qǐng)你〔生11〕到講臺(tái)上，講講你的證明思路？生11：〔走上講臺(tái)〕，設(shè)法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直角三角形中的問(wèn)題進(jìn)行解決。通過(guò)作三角形的高，與生5的方法一樣，如圖5作BC邊上的高AD，那么，所以，同理可得師：因?yàn)橐C明的是一個(gè)等式，所以應(yīng)從銳角三角形的條件出發(fā)，構(gòu)造等量關(guān)系從而到達(dá)證明的目的。注意：表示的幾何意義是三角形同一邊上的高不變。這是一個(gè)簡(jiǎn)捷的證明方法！【設(shè)計(jì)意圖】點(diǎn)明此證法的實(shí)質(zhì)是找到一個(gè)可以作為證明根底的等量關(guān)系，為后續(xù)兩種方法的提出做鋪墊，同時(shí)適時(shí)對(duì)學(xué)生作出合情的評(píng)價(jià)。師：在三角形中還有哪些可以作為證明根底的等量關(guān)系呢？學(xué)生七嘴八舌地說(shuō)出一些等量關(guān)系，經(jīng)討論后確定如下一些與直角三角形有關(guān)的等量關(guān)系可能有利用價(jià)值：①三角形的面積不變；②三角形外接圓直徑不變。在教師的建議下，學(xué)生分別利用這兩種關(guān)系作為根底又得出了如下兩種證法：證法二：如圖6，設(shè)AD、BE、CF分別是的三條高。那么有，，。證法三：如圖7，設(shè)是外接圓的直徑，那么，同理可證：【設(shè)計(jì)意圖】在證明正弦定理的同時(shí)，將兩邊及其夾角的三角形面積公式及一并牽出，使知識(shí)的產(chǎn)生自然合理。師：前面我們學(xué)習(xí)了平面向量，能否運(yùn)用向量的方法證明呢？師：任意中，三個(gè)向量、、間有什么關(guān)系？生12：師：正弦定理表達(dá)的是三角形中邊角間的數(shù)量關(guān)系，由轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系？生13：利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。師：在兩邊同乘以向量,有,這里的向量可否任意？又如何選擇向量?生14：因?yàn)閮蓚€(gè)垂直向量的數(shù)量積為0，可考慮讓向量與三個(gè)向量中的一個(gè)向量〔如向量〕垂直，而且使三個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成兩個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式。師：還是先研究銳角三角形的情形，按以上思路，請(qǐng)大家具體試一下，看還有什么問(wèn)題？教師參與學(xué)生的小組研究，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生注意兩個(gè)向量的夾角，最后讓學(xué)生通過(guò)小組代表作完成了如下證明。證法四：如圖8，設(shè)非零向量與向量垂直。因?yàn)?，所以即所以，同理可得師：能否?jiǎn)化證法四的過(guò)程？〔留有一定的時(shí)間給學(xué)生思考〕師：有什么幾何意義？生15：把移項(xiàng)可得，由向量數(shù)量積的幾何意義可知與在方向上的投影相等。生16：我還有一種證法師：請(qǐng)你到講臺(tái)來(lái)給大家講一講?！矊W(xué)生16上臺(tái)板書自己的證明方法?！匙C法五：如圖9，作，那么與在方向上的投影相等,即故，同理可得師：利用向量在邊上的高上的射影相等，證明了正弦定理，方法非常簡(jiǎn)捷明了！【設(shè)計(jì)意圖】利用向量法來(lái)證明幾何問(wèn)題，學(xué)生相比照擬生疏，不容易馬上想出來(lái)，教師通過(guò)設(shè)計(jì)一些遞進(jìn)式的問(wèn)題給予適當(dāng)?shù)膯l(fā)引導(dǎo)，將很難想到的方法合理分解，有利于學(xué)生理解接受?！菜摹承〗Y(jié)師：本節(jié)課我們是從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)，歸納等思維方法，最后發(fā)現(xiàn)了正弦定理，并從不同的角度證明了它。本節(jié)課，我們研究問(wèn)題的突出特點(diǎn)是從特殊到一般，利用了幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。我們不僅收獲著結(jié)論，而且整個(gè)探索過(guò)程我們也掌握了研究問(wèn)題的一般方法?！参濉匙鳂I(yè)1、回憶本節(jié)課的整個(gè)研究過(guò)程，體會(huì)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程；2、思考：證法五與證法一有何聯(lián)系？3、思考：能否借助向量的坐標(biāo)的方法證明正弦定理？4、當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，證明正弦定理?！驹O(shè)計(jì)意圖】為保證學(xué)生有充足的時(shí)間來(lái)完成觀察、歸納、猜測(cè)、探究和證明，小結(jié)的時(shí)間花得少且比擬簡(jiǎn)單，這將在下一節(jié)課進(jìn)行完善，因此作業(yè)的布置也為下節(jié)課做一些必要的準(zhǔn)備。七、教學(xué)反思為了使學(xué)生真正成為提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的主體，成為知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)者〞和“創(chuàng)造者〞，使教學(xué)過(guò)程成為學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)、開展能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過(guò)程。我想到了“情境——問(wèn)題〞教學(xué)模式，即構(gòu)建一個(gè)以情境為根底，提出問(wèn)題與解決問(wèn)題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境——問(wèn)題〞學(xué)習(xí)鏈，并根據(jù)上述精神，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，具體做出了如下設(shè)計(jì)：①創(chuàng)設(shè)一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境作為提出問(wèn)題的背景〔注：該情境源于?普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)〔必修4〕?〔人教版〕第二章習(xí)題B組第二題，我將其加工成一個(gè)具有實(shí)際意義的決策型問(wèn)題〕；②啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，逐步將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化、抽象成過(guò)渡性數(shù)學(xué)問(wèn)題，解決過(guò)渡性問(wèn)題4與5時(shí)需要使用正弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問(wèn)題的動(dòng)機(jī)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將過(guò)渡性問(wèn)題引伸成一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題：三角形的兩條邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角及第三邊。解決這兩個(gè)問(wèn)題需要先答復(fù)目標(biāo)問(wèn)題：在三角形中，兩邊與它們的對(duì)角之間有怎樣的關(guān)系？③為了解決提出的目標(biāo)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問(wèn)題在直角三角形中的解，從而形成猜測(cè)，然后使用幾何畫板對(duì)猜測(cè)進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)猜測(cè)進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明。總之，整個(gè)過(guò)程讓學(xué)生通過(guò)自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了“情境思考〞——“提出問(wèn)題〞——“研究特例〞——“歸納猜測(cè)〞——“實(shí)驗(yàn)探究〞——“理論探究〞——“解決問(wèn)題〞——“反思總結(jié)〞的歷程，使學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者〞和“創(chuàng)造者〞，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂(lè)，從而使三維教學(xué)目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)。大田一中陳永民點(diǎn)評(píng)：本節(jié)課是典型合作探究課，教師先設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生討論問(wèn)題解決方案，將方案數(shù)學(xué)化，歸納出一類數(shù)學(xué)問(wèn)題“在三角形中，兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊〞，順利地引入新課，實(shí)現(xiàn)了從“現(xiàn)象〞到“本質(zhì)〞的飛躍，培養(yǎng)了學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、數(shù)學(xué)建模的能力。為尋求解決問(wèn)題的普遍方法，對(duì)三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行探索，在特殊情況〔直角三角形〕下得到正弦定理，又在等邊三角形和一般三角形中驗(yàn)證，堅(jiān)決了結(jié)論成立的猜測(cè)，最后通過(guò)嚴(yán)格證明，得到了正弦定理，再返回到前面的引例中，利用正弦定理問(wèn)題迎仞而解。從而使學(xué)生親身經(jīng)歷了“情境思考〞—“提出問(wèn)題〞—“研究特例〞—“歸納猜測(cè)〞—“實(shí)驗(yàn)探究〞—“理論探究〞—“解決問(wèn)題〞—“反思總結(jié)〞的歷程，學(xué)會(huì)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者〞和“創(chuàng)造者〞，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂(lè)。在對(duì)具體的一般三角形驗(yàn)證成立的過(guò)程中，利用?幾何畫板?軟件，不斷變換三角形，觀察上式成立，提高了效率，現(xiàn)代教育技術(shù)的運(yùn)用恰到好處。21、余弦定理一、教學(xué)內(nèi)容分析人教版?普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·必修〔五〕?〔第2版〕第一章?解三角形?第一單元第二課?余弦定理?。通過(guò)利用向量的數(shù)量積方法推導(dǎo)余弦定理，正確理解其結(jié)構(gòu)特征和表現(xiàn)形式，解決“邊、角、邊〞和“邊、邊、邊〞問(wèn)題，初步體會(huì)余弦定理解決“邊、邊、角〞，體會(huì)方程思想，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)的潛能。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析本課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、向量根本知識(shí)和正弦定理有關(guān)內(nèi)容，對(duì)于三角形中的邊角關(guān)系有了較進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。在此根底上利用向量方法探求余弦定理，學(xué)生已有一定的學(xué)習(xí)根底和學(xué)習(xí)興趣。總體上學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)不強(qiáng)，創(chuàng)造力較弱，看待與分析問(wèn)題不深入，知識(shí)的系統(tǒng)性不完善，使得學(xué)生在余弦定理推導(dǎo)方法的探求上有一定的難度，在開掘出余弦定理的結(jié)構(gòu)特征、表現(xiàn)形式的數(shù)學(xué)美時(shí)，能夠激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)的思想感情；從具體問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，應(yīng)用方程的思想去審視，解決問(wèn)題是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)。三、設(shè)計(jì)思想新課程的數(shù)學(xué)提倡學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，自主探索，合作交流，深刻地理解根本結(jié)論的本質(zhì)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，力求對(duì)現(xiàn)實(shí)世界蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考，作出判斷；同時(shí)要求教師從知識(shí)的傳授者向課堂的設(shè)計(jì)者、組織者、引導(dǎo)者、合作者轉(zhuǎn)化，從課堂的執(zhí)行者向?qū)嵤┱?、探究開發(fā)者轉(zhuǎn)化。本課盡力追求新課程要求，利用師生的互動(dòng)合作，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，開展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，深刻地體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的潛能。四、教學(xué)目標(biāo)繼續(xù)探索三角形的邊長(zhǎng)與角度間的具體量化關(guān)系、掌握余弦定理的兩種表現(xiàn)形式，體會(huì)向量方法推導(dǎo)余弦定理的思想；通過(guò)實(shí)踐演算運(yùn)用余弦定理解決“邊、角、邊〞及“邊、邊、邊〞問(wèn)題；深化與細(xì)化方程思想，理解余弦定理的本質(zhì)。通過(guò)相關(guān)教學(xué)知識(shí)的聯(lián)系性，理解事物間的普遍聯(lián)系性。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)是余弦定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程及定理的應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)是用向量的數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的思路方法及余弦定理在應(yīng)用求解三角形時(shí)的思路。六、教學(xué)過(guò)程：教學(xué)環(huán)節(jié)合作探究活動(dòng)學(xué)情分析與設(shè)計(jì)意圖知識(shí)回憶1、一般三角形全等的四種判斷方法是什么？2、三角形的正弦定理內(nèi)容，主要解決哪幾類問(wèn)題的三角形？回憶舊知，防止遺忘創(chuàng)設(shè)引入你能判斷以下三角形的類型嗎？1、以3，4，5為各邊長(zhǎng)的三角形是_____三角形以2，3，4為各邊長(zhǎng)的三角形是_____三角形以4，5，6為各邊長(zhǎng)的三角形是_____三角形2、在△ABC中a＝8，b＝5，∠c＝60°，你能求c邊長(zhǎng)嗎？引導(dǎo)學(xué)生從平面幾何、實(shí)踐作圖方面進(jìn)行估計(jì)判斷。學(xué)生可能比擬茫然，幫助學(xué)生分析相關(guān)內(nèi)容，從多角度看待問(wèn)題，用實(shí)踐進(jìn)行檢驗(yàn)。提出問(wèn)題你能夠有更好的具體的量化方法嗎？幫助學(xué)生從平面幾何、三角函數(shù)、向量知識(shí)、坐標(biāo)法等方面進(jìn)行分析討論，選擇簡(jiǎn)潔的處理工具，引發(fā)學(xué)生的積極討論。引導(dǎo)學(xué)生從相關(guān)知識(shí)入手，選擇簡(jiǎn)潔的工具。合作探究ABABC如圖：設(shè)，由三角形法那么有同理，讓學(xué)生利用相同方法推導(dǎo)，學(xué)生對(duì)向量知識(shí)可能遺忘，注意復(fù)習(xí)；在利用數(shù)量積時(shí)，角度可能出現(xiàn)錯(cuò)誤，出現(xiàn)不同的表示形式，讓學(xué)生從錯(cuò)誤中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，穩(wěn)固向量知識(shí)，明確向量工具的作用。同時(shí)，讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想：化未知為。歸納概括余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。知識(shí)歸納比擬，發(fā)現(xiàn)特征，加強(qiáng)識(shí)記結(jié)構(gòu)分析觀察余弦定理，指明了三邊長(zhǎng)與其中一角的具體關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)a與A，b與B，C與c之間的對(duì)應(yīng)表述，同時(shí)發(fā)現(xiàn)三邊長(zhǎng)的平方在余弦定理中同時(shí)出現(xiàn)使學(xué)生明確對(duì)應(yīng)關(guān)系，樹立方程思想，解決“邊、角、邊〞問(wèn)題知識(shí)聯(lián)系余弦定理的推論：解決“邊、邊、邊〞問(wèn)題方法應(yīng)用怎樣準(zhǔn)確地解答引入中的兩個(gè)問(wèn)題？怎樣利用條件判斷三角形的形狀？用準(zhǔn)確的量化關(guān)系去解決問(wèn)題，用邊長(zhǎng)去判斷三角形形狀，勾股定理是余弦定理特例。知識(shí)應(yīng)用例1：在△ABC中，b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，求解三角形〔角度精確到1°，邊長(zhǎng)精確到1cm〕例2：在△ABC中，a＝134.6cm，b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形〔角度精確到1′〕應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解問(wèn)題加強(qiáng)計(jì)算器的運(yùn)算功能，同時(shí)，穩(wěn)固好正弦定理，余弦定理知識(shí)，發(fā)現(xiàn)兩種知識(shí)方法在解三角形中的綜合應(yīng)用。知識(shí)深化例3：△ABC中求c邊長(zhǎng)分析：〔1〕用正弦定理分析引導(dǎo)〔2〕應(yīng)用余弦定理構(gòu)造關(guān)于C的方程求解?！?〕比擬兩種方法的利弊。能用正弦定理解決的問(wèn)題均可以用余弦定理解決，更具有優(yōu)越性。繼續(xù)深化正弦、余弦定理，尤其是余弦定理的方程思想求解問(wèn)題優(yōu)越于余弦定理。并讓學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)“邊、邊、角〞問(wèn)題解法，為下節(jié)學(xué)習(xí)輔墊。練習(xí)檢測(cè)1、某人站在山頂向下看一列車隊(duì)向山腳駛來(lái)，他看見(jiàn)第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見(jiàn)第二輛與第三輛車的俯角差，那么第一輛車與第二輛車的距離與第二輛車的距離之間關(guān)系為〔〕A：>B：=C：<D：大小不確定2、銳角△ABC中b＝1，c＝2，那么a取值為〔〕A：〔1,3〕B：〔1,〕C：〔，2〕D：〔，〕3、在△ABC中假設(shè)有，你能判斷這個(gè)三角形的形狀嗎？假設(shè)呢？用練習(xí)去穩(wěn)固所學(xué)知識(shí)，使學(xué)生逐步形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力的培養(yǎng)。課堂小結(jié)1、正弦、余弦定理各能解決哪些類型問(wèn)題？各有什么利與弊？2、從本課中你學(xué)到了哪些知識(shí)和方法？通過(guò)知識(shí)回憶，使學(xué)生各自體會(huì)收獲。板書設(shè)計(jì)1、推導(dǎo)余弦定理及其推論2、例3、例43、練習(xí)指導(dǎo)4、小結(jié)投影正弦、余弦定理，比擬它們理解知識(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)1、討論余弦定理的其它解法設(shè)計(jì)思路。2、第11頁(yè)A組3、4題穩(wěn)固知識(shí)多角度看待問(wèn)題七、教學(xué)反思本課的教學(xué)應(yīng)具有承上啟下的目的。因此在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)既要兼顧前后知識(shí)的聯(lián)系，又要使學(xué)生明確本課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，將新舊知識(shí)逐漸地融為一體，構(gòu)建比擬完整的知識(shí)系統(tǒng)。所以在余弦定理的表現(xiàn)方式、結(jié)構(gòu)特征上重加指導(dǎo)，只有當(dāng)學(xué)生正確地理解了余弦定理的本質(zhì)，才能更好地應(yīng)用求解問(wèn)題。本課教學(xué)設(shè)計(jì)力求在型〔模型、類型〕，質(zhì)〔實(shí)質(zhì)、本質(zhì)〕，思〔思維、思想方法〕上到達(dá)教學(xué)效果。本課之前學(xué)生已學(xué)習(xí)過(guò)三角函數(shù)，平面幾何，平面向量、解析幾何、正弦定理等與本課緊密聯(lián)系的內(nèi)容，使本課有了較多的處理工具，也使余弦定理的探討有了更加簡(jiǎn)潔的工具。因此在本課的教學(xué)設(shè)計(jì)中抓住前后知識(shí)的聯(lián)系，重視數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系，學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決一些實(shí)際問(wèn)題。學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)不強(qiáng)，創(chuàng)造力缺乏、看待問(wèn)題不深入，很大原因在于學(xué)生的知識(shí)系統(tǒng)不夠完善。因此本課運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)，從多角度看待問(wèn)題，在提出問(wèn)題、思考分析問(wèn)題、解決問(wèn)題等多方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行示范引導(dǎo)，將舊知識(shí)與新知識(shí)進(jìn)行重組擬合及提高，幫助學(xué)生建立自己的良好知識(shí)結(jié)構(gòu)。福建漳平市第一中學(xué)李永彬點(diǎn)評(píng)：本課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面幾何、平面向量、正弦定理的根底上而設(shè)置的教學(xué)內(nèi)容，因此本課的教學(xué)有較多的處理方法。李老師從解三角形的問(wèn)題出發(fā)，提出解題需要，引發(fā)認(rèn)知沖突，激起學(xué)生的求知欲望，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性；在定理證明的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從平面幾何、三角函數(shù)、向量知識(shí)、坐標(biāo)法等方面進(jìn)行分析討論，注意分析思路，揭示蘊(yùn)含在證明中的數(shù)學(xué)思想，最后引導(dǎo)學(xué)生用向量知識(shí)推導(dǎo)出公式，在給出余弦定理的三個(gè)等式和三個(gè)推論之后，又對(duì)知識(shí)進(jìn)行了歸納比擬，發(fā)現(xiàn)特征，便于學(xué)生識(shí)記，同時(shí)也指出了勾股定理是余弦定理的特殊情形，提高了學(xué)生的思維層次。命題的應(yīng)用是命題教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，學(xué)習(xí)命題的重要目的是應(yīng)用命題去解決問(wèn)題。所以，例題的精選、講解是至關(guān)重要的。設(shè)計(jì)中的例1、例2是常規(guī)題，讓學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解問(wèn)題，穩(wěn)固正弦定理、余弦定理知識(shí)。例3是兩邊一對(duì)角，求解三角形問(wèn)題，可用正弦定理求之，也可用余弦定理求解，通過(guò)比擬分析，突出了正、余弦定理的聯(lián)系，深化了對(duì)兩個(gè)定理的理解，培養(yǎng)了解決問(wèn)題的能力。但李老師在對(duì)例3解法的總結(jié)時(shí)，指出“能用正弦定理解決的問(wèn)題均可以用余弦定理解決，更具有優(yōu)越性。〞這結(jié)論有點(diǎn)片面。本課在繼承了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)模式優(yōu)點(diǎn)，結(jié)合新課程的要求進(jìn)行改良和開展，以開展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力為主線，發(fā)揮教師的設(shè)計(jì)者，組織者作用，在使學(xué)生掌握知識(shí)的同時(shí)，幫助學(xué)生摸索自己的學(xué)習(xí)方法。22、等差數(shù)列一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課是?普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)5?〔人教版〕第二章數(shù)列第二節(jié)等差數(shù)列第一課時(shí)。數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面,數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項(xiàng)公式和遞推公式的根底上，對(duì)數(shù)列的知識(shí)進(jìn)一步深入和拓廣。同時(shí)等差數(shù)列也為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列提供了“聯(lián)想〞、“類比〞的思想方法。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析我所教學(xué)的學(xué)生是我校高二〔2〕班的學(xué)生，經(jīng)過(guò)一年的學(xué)習(xí)，大局部學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)已較為豐富，他們的智力開展已到了形式運(yùn)演階段，具備了較強(qiáng)的抽象思維能力和演繹推理能力，但也有一局部學(xué)生的根底較弱，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣還不是很濃，所以我在授課時(shí)注重從具體的生活實(shí)例出發(fā)，注重引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學(xué)生的心理開展特點(diǎn)，從而促進(jìn)思維能力的進(jìn)一步開展。三、設(shè)計(jì)思想1．教法⑴誘導(dǎo)思維法：這種方法有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)；有利于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)；有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性。⑵分組討論法：有利于學(xué)生進(jìn)行交流，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。⑶講練結(jié)合法：可以及時(shí)穩(wěn)固所學(xué)內(nèi)容，抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。2．學(xué)法引導(dǎo)學(xué)生首先從四個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題〔數(shù)數(shù)問(wèn)題、女子舉重獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置問(wèn)題、水庫(kù)水位問(wèn)題、儲(chǔ)蓄問(wèn)題〕概括出數(shù)組特點(diǎn)并抽象出等差數(shù)列的概念；接著就等差數(shù)列概念的特點(diǎn)，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；可以對(duì)各種能力的同學(xué)引導(dǎo)認(rèn)識(shí)多元的推導(dǎo)思維方法。用多種方法對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行推導(dǎo)。在引導(dǎo)分析時(shí)，留出“空白〞，讓學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，圍繞中心各抒己見(jiàn)，把思路方法和需要解決的問(wèn)題弄清。四、教學(xué)目標(biāo)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生能理解并掌握等差數(shù)列的概念，能用定義判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列，引導(dǎo)學(xué)生了解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程及思想，會(huì)求等差數(shù)列的公差及通項(xiàng)公式，能在解題中靈活應(yīng)用，初步引入“數(shù)學(xué)建模〞的思想方法并能運(yùn)用；并在此過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力，在領(lǐng)會(huì)函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下，把研究函數(shù)的方法遷移來(lái)研究數(shù)列，培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)、方法遷移能力；通過(guò)階梯性練習(xí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。在解決問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；使學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的變化形態(tài)，養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣。并通過(guò)一定的實(shí)例激發(fā)同學(xué)們的民族自豪感和愛(ài)國(guó)熱情。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：①等差數(shù)列的概念。②等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程及應(yīng)用。難點(diǎn)：①理解等差數(shù)列“等差〞的特點(diǎn)及通項(xiàng)公式的含義。②理解等差數(shù)列是一種函數(shù)模型。關(guān)鍵：等差數(shù)列概念的理解及由此得到的“性質(zhì)〞的方法。六、教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)情境設(shè)計(jì)和學(xué)習(xí)任務(wù)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情景上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列。在日常生活中，人口增長(zhǎng)、教育貸款、存款利息等等這些大家以后會(huì)接觸得比擬多的實(shí)際計(jì)算問(wèn)題，都需要用到有關(guān)數(shù)列的知識(shí)來(lái)解決。今天我們就先學(xué)習(xí)一類特殊的數(shù)列。傾聽(tīng)課堂引入探索研究由學(xué)生觀察分析并得出答案：在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列：0，5，___,___,___,___,…2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運(yùn)會(huì)上，女子舉重被正式列為比賽工程。該工程共設(shè)置了7個(gè)級(jí)別。其中較輕的4個(gè)級(jí)別體重組成數(shù)列〔單位：kg〕：48，53，58，63。水庫(kù)的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清理水庫(kù)的雜魚。如果一個(gè)水庫(kù)的水位為18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從開始放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫(kù)每天的水位組成數(shù)列〔單位：m〕：18，15.5，13，10.5，8，5.5我國(guó)現(xiàn)行儲(chǔ)蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息參加本金計(jì)算下一期的利息。按照單利計(jì)算本利和的公式是：本利和=本金×〔1+利率×寸期〕.例如，按活期存入10000元錢，年利率是0.72%。那么按照單利，5年內(nèi)各年末的本利和分別是：時(shí)間年初本金〔元〕年末本利和〔元〕第1年1000010072第2年1000010144第3年1000010216第4年1000010288第5年1000010360各年末的本利和〔單位：元〕組成了數(shù)列：10072，10144，10216，10288，10360。觀察分析，發(fā)表各自的意見(jiàn)引向課題發(fā)現(xiàn)規(guī)律思考：同學(xué)們觀察一下上面的這四個(gè)數(shù)列：0，5，10，15，20，……①48，53，58，63②18，15.5，13，10.5，8，5.5③10072，10144，10216，10288，10360④看這些數(shù)列有什么共同特點(diǎn)呢？觀察分析并得出答案:引導(dǎo)學(xué)生觀察相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系，得到：對(duì)于數(shù)列①，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于5；對(duì)于數(shù)列②，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于5；對(duì)于數(shù)列③，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于-2.5；對(duì)于數(shù)列④，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于72；由學(xué)生歸納和概括出，以上四個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)〔即：每個(gè)都具有相鄰兩項(xiàng)差為同一個(gè)常數(shù)的特點(diǎn)〕。通過(guò)分析，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的探究知識(shí)的興趣，引導(dǎo)揭示數(shù)列的共性特點(diǎn)。總結(jié)提高[等差數(shù)列的概念]對(duì)于以上幾組數(shù)列我們稱它們?yōu)榈炔顢?shù)列。請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)我們剛剛分析等差數(shù)列的特征，嘗試著給等差數(shù)列下個(gè)定義：等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。那么對(duì)于以上四組等差數(shù)列，它們的公差依次是5，5，-2.5，72。學(xué)生認(rèn)真閱讀課本相關(guān)概念，找出關(guān)鍵字。通過(guò)學(xué)生自己閱讀課本，找出關(guān)鍵字，提高學(xué)生的閱讀水平和思維概括能力，學(xué)會(huì)抓重點(diǎn)。提問(wèn)：如果在與中間插入一個(gè)數(shù)A，使，A，成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件？由學(xué)生答復(fù)：因?yàn)閍，A，b組成了一個(gè)等差數(shù)列，那么由定義可以知道：A-a=b-A所以就有讓學(xué)生參與到知識(shí)的形成過(guò)程中，獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感。由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)。不難發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)〔有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外〕都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)。如數(shù)列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中項(xiàng)，1和9的等差中項(xiàng)。9是7和11的等差中項(xiàng)，5和13的等差中項(xiàng)?？磥?lái)，從而可得在一等差數(shù)列中，假設(shè)m+n=p+q那么深入探究，得到更一般化的結(jié)論引領(lǐng)學(xué)習(xí)更深入的探究，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)水平?？偨Y(jié)提高[等差數(shù)列的通項(xiàng)公式]對(duì)于以上的等差數(shù)列，我們能不能用通項(xiàng)公式將它們表示出來(lái)呢？這是我們接下來(lái)要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。⑴、我們是通過(guò)研究數(shù)列的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系去寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式的。下面由同學(xué)們根據(jù)通項(xiàng)公式的定義，寫出這四組等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。由學(xué)生經(jīng)過(guò)分析寫出通項(xiàng)公式：①這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)5，第2項(xiàng)是10〔=5+5〕，第3項(xiàng)是15〔=5+5+5〕，第4項(xiàng)是20〔=5+5+5+5〕，……由此可以猜測(cè)得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是②這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)48，第2項(xiàng)是53〔=48+5〕，第3項(xiàng)是58〔=48+5×2〕，第4項(xiàng)是63〔=48+5×3〕，由此可以猜測(cè)得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是③這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)18，第2項(xiàng)是15.5〔=18-2.5〕，第3項(xiàng)是13〔=18-2.5×2〕，第4項(xiàng)是10.5〔=18-2.5×3〕，第5項(xiàng)是8〔=18-2.5×4〕，第6項(xiàng)是5.5〔=18-2.5×5〕由此可以猜測(cè)得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是④這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)10072，第2項(xiàng)是10144〔=10172+72〕，第3項(xiàng)是10216〔=10072+72×2〕，第4項(xiàng)是10288〔=10072+72×3〕，第5項(xiàng)是10360〔=10072+72×4〕，由此可以猜測(cè)得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并加以總結(jié)。⑵、那么，如果任意給了一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差d，它的通項(xiàng)公式是什么呢？引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行歸納：所以……引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行理性分析與推導(dǎo)，從而得出公式。總結(jié)提高思考：那么通項(xiàng)公式到底如何表達(dá)呢？……進(jìn)一步的分析。得出通項(xiàng)公式：由此我們可以猜測(cè)得出：以為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為也就是說(shuō)，只要我們知道了等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差d，那么這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)就可以表示出來(lái)了。思考，并發(fā)表各自的意見(jiàn)。讓學(xué)生有自主思考的時(shí)空。應(yīng)用穩(wěn)固例1、⑴求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項(xiàng).⑵-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？讓兩個(gè)學(xué)生分別對(duì)這兩小題加以分析。讓學(xué)生參與課堂。分析：⑴要求出第20項(xiàng)，可以利用通項(xiàng)公式求出來(lái)。首項(xiàng)知道了，還需要知道的是該等差數(shù)列的公差，由公差的定義可以求出公差；⑵這個(gè)問(wèn)題可以看成是上面那個(gè)問(wèn)題的一個(gè)逆問(wèn)題。要判斷這個(gè)數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)，就是要看它是否滿足該數(shù)列的通項(xiàng)公式，并且需要注意的是，項(xiàng)數(shù)是否有意義。解：⑴由=8，d=5-8=-3，n=20，得⑵由=-5，d=-9-〔-5〕=-4，得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為由題意知，此題是要答復(fù)是否存在正整數(shù)n,使得-401=-4n-1成立。解這個(gè)關(guān)于n的方程，得n=100，即-401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)。例題評(píng)述：從該例題中可以看出，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式其實(shí)就是一個(gè)關(guān)于、、d、n〔獨(dú)立的量有3個(gè)〕的方程；另外，要懂得利用通項(xiàng)公式來(lái)判斷所給的數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)，當(dāng)判斷是第幾項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)時(shí)還應(yīng)看求出的項(xiàng)數(shù)是否為正整數(shù)，如果不是正整數(shù)，那么它就不是數(shù)列中的項(xiàng)。聆聽(tīng)教師點(diǎn)評(píng)通過(guò)教師點(diǎn)評(píng)，提高學(xué)生對(duì)關(guān)鍵問(wèn)題的認(rèn)知水平。隨堂練習(xí)：課本45頁(yè)“練習(xí)〞第1題；完成練習(xí)講練結(jié)合，有利提高學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用水平例2．某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價(jià)為10元，即最初的4km〔不含4千米〕計(jì)費(fèi)10元。如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，需要支付多少車費(fèi)？解：根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4km時(shí)，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個(gè)等差數(shù)列來(lái)計(jì)算車費(fèi).令=11.2，表示4km處的車費(fèi)，公差d=1.2。那么當(dāng)出租車行至14km處時(shí)，n=11，此時(shí)需要支付車費(fèi)答：需要支付車費(fèi)23.2元。學(xué)以致用，將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到具體生活中去，加深對(duì)概念的理解。例題評(píng)述：這是等差數(shù)列用于解決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用，要學(xué)會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出等差數(shù)列模型，用等差數(shù)列的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。聆聽(tīng)教師點(diǎn)評(píng)通過(guò)教師點(diǎn)評(píng)，提高學(xué)生對(duì)關(guān)鍵問(wèn)題的認(rèn)知水平。隨堂練習(xí)：課本45頁(yè)“練習(xí)〞第2題；完成練習(xí)講練結(jié)合，有利提高學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用水平例3數(shù)列的通項(xiàng)公式為其中p、q為常數(shù)，且p≠0，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？分析思考，然后分組討論，讓兩組學(xué)生代表發(fā)表自己的見(jiàn)解。培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力，在小組討論中提高組長(zhǎng)的組織與歸納組內(nèi)成員想法的能力。分析：判定是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，也就是看〔n＞1〕是不是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)。解：取數(shù)列中的任意相鄰兩項(xiàng)〔n＞1〕，求差得它是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的數(shù).所以是等差數(shù)列。課本左邊“旁注〞：這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差分別是多少？這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)公差。由此我們可以知道對(duì)于通項(xiàng)公式是形如的數(shù)列，一定是等差數(shù)列，一次項(xiàng)系數(shù)p就是這個(gè)等差數(shù)列的公差，首項(xiàng)是p+q.例題評(píng)述：通過(guò)這個(gè)例題我們知道判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法：如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于正整數(shù)n的一次型函數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列必定是等差數(shù)列。對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行更深入一步的探究，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。探索研究引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手畫圖研究完成以下探究：⑴在直角坐標(biāo)系中，畫出通項(xiàng)公式為的數(shù)列的圖象。這個(gè)圖象有什么特點(diǎn)？⑵在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=3x-5的圖象，你發(fā)現(xiàn)了什么？據(jù)此說(shuō)一說(shuō)等差數(shù)列與一次函數(shù)y=px+q的圖象之間有什么關(guān)系。分析：⑴n為正整數(shù)，當(dāng)n取1，2，3，……時(shí)，對(duì)應(yīng)的可以利用通項(xiàng)公式求出。經(jīng)過(guò)描點(diǎn)知道該圖象是均勻分布的一群孤立點(diǎn)；⑵畫出函數(shù)y=3x-5的圖象一條直線后發(fā)現(xiàn)數(shù)列的圖象〔點(diǎn)〕在直線上，數(shù)列的圖象是改一次函數(shù)當(dāng)x在正整數(shù)范圍內(nèi)取值時(shí)相應(yīng)的點(diǎn)的集合。于是可以得出結(jié)論：等差數(shù)列的圖象是一次函數(shù)y=px+q的圖象的一個(gè)子集，是y=px+q定義在正整數(shù)集上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合。該處還可以引導(dǎo)學(xué)生從等差數(shù)列中的p的幾何意義去探究。學(xué)生動(dòng)手畫圖，并進(jìn)行學(xué)習(xí)小組討論，發(fā)表見(jiàn)解。通過(guò)學(xué)生動(dòng)手作圖，并加以比照，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在關(guān)系。課堂小結(jié)本節(jié)主要內(nèi)容為：①等差數(shù)列定義：即(n≥2)②等差數(shù)列通項(xiàng)公式：(n≥1)推導(dǎo)出公式：以學(xué)習(xí)小組為單位，在學(xué)習(xí)小組中，各自歸納自己對(duì)這堂課的收獲，后由小組代表總結(jié)歸納。學(xué)生自己小結(jié)，使學(xué)生對(duì)自己所學(xué)知識(shí)有更深刻的認(rèn)識(shí)。評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)1、是等差數(shù)列.⑴是否成立？呢？為什么？⑵是否成立？據(jù)此你能得出什么結(jié)論？是否成立？據(jù)此你又能得出什么結(jié)論？2、等差數(shù)列的公差為d.求證：作業(yè)是課堂的延續(xù)，除了檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的理解程度，還在于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本課知識(shí)的進(jìn)一步探究，讓學(xué)生在更大的深度與廣度之間進(jìn)行思考。七、教學(xué)反思本節(jié)課通過(guò)生活中一系列的實(shí)例讓學(xué)生觀察，從而得出等差數(shù)列的概念，并在此根底上學(xué)會(huì)求等差數(shù)列的公差及通項(xiàng)公式，培養(yǎng)了學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力。充分表達(dá)了學(xué)生做數(shù)學(xué)的過(guò)程，使學(xué)生對(duì)等差數(shù)列有了從感性到理性的認(rèn)識(shí)過(guò)程，也使本節(jié)課的三維目標(biāo)真正落到實(shí)處。福州金橋高級(jí)中學(xué)林岳水點(diǎn)評(píng)：本設(shè)計(jì)從生活中的數(shù)列模型，如舉重級(jí)別、水庫(kù)水位、儲(chǔ)蓄的本息計(jì)算等問(wèn)題引入，進(jìn)而提出有待探索的問(wèn)題，這有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。在探索的過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)分析、觀察，逐步抽象概括得出等差數(shù)列定義，強(qiáng)化了由具體到抽象，由特殊到一般的思維過(guò)程。本課各環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣、簡(jiǎn)潔明了、重點(diǎn)突出，引導(dǎo)分析細(xì)致、到位、適度。如：判斷某數(shù)列是否成等差數(shù)列，這是促進(jìn)概念理解的好素材；又如：把通項(xiàng)公式與一次函數(shù)發(fā)生聯(lián)系，利用函數(shù)這一“上位〞概念，來(lái)“同化〞等差數(shù)列的概念，表達(dá)函數(shù)思想；還有讓學(xué)生經(jīng)歷列表、畫圖象的過(guò)程，從“形〞的角度，感受函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系；此外，用方程的思想指導(dǎo)等差數(shù)列根本量的運(yùn)算等等。學(xué)生在經(jīng)歷過(guò)程中，加深了對(duì)概念的理解和穩(wěn)固。本節(jié)課教學(xué)表達(dá)了課堂教學(xué)從“灌輸式〞到“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)式〞的轉(zhuǎn)變，以教師提出問(wèn)題、學(xué)生探討解決問(wèn)題為途徑，以相互補(bǔ)充展開教學(xué)，總結(jié)科學(xué)合理的知識(shí)體系，形成師生之間的良性互動(dòng)，提高課堂教學(xué)效率。教學(xué)手段和教學(xué)方法的選擇合理有效，表達(dá)了新課程所倡導(dǎo)的“培養(yǎng)學(xué)生積極主動(dòng)，勇于探索的學(xué)習(xí)方式〞。值得商討的問(wèn)題，在等差數(shù)列中，對(duì)于任意正整數(shù)，假設(shè)那么這一性質(zhì)的在第一課時(shí)提出是否不合時(shí)宜，并且只是這樣蜻蜒點(diǎn)水是否無(wú)視了其重要性。23、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容是?普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)〔5〕?〔人教A版〕中第二章的第三節(jié)“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和〞〔第一課時(shí)〕．本節(jié)課主要研究如何應(yīng)用倒序相加法求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和以及該求和公式的應(yīng)用．等差數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中比擬常見(jiàn)，因此等差數(shù)列求和就成為我們?cè)趯?shí)際生活中經(jīng)常遇到的一類問(wèn)題．同時(shí)，求數(shù)列前n項(xiàng)和也是數(shù)列研究的根本問(wèn)題，通過(guò)對(duì)公式推導(dǎo)，可以讓學(xué)生進(jìn)一步掌握從特殊到一般的研究問(wèn)題方法．二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析在本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及根本性質(zhì)，也對(duì)高斯算法有所了解，這都為倒序相加法的教學(xué)提供了根底；同時(shí)學(xué)生已有了函數(shù)知識(shí)，因此在教學(xué)中可適當(dāng)滲透函數(shù)思想．高斯的算法與一般的等差數(shù)列求和還有一定的距離，如何從首尾配對(duì)法引出倒序相加法，這是學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙．三、設(shè)計(jì)思想建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程，因此，應(yīng)該讓學(xué)生在具體的問(wèn)題情境中經(jīng)歷知識(shí)的形成和開展，讓學(xué)生利用自己的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，自主地在教師的引導(dǎo)下促進(jìn)對(duì)新知識(shí)的建構(gòu)．在教學(xué)過(guò)程中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，從介紹高斯的算法開始，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法．通過(guò)設(shè)計(jì)一些從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般的問(wèn)題，層層鋪墊，組織和啟發(fā)學(xué)生獲得公式的推導(dǎo)思路，并且充分引導(dǎo)學(xué)生展開自主、合作、探究學(xué)習(xí)，通過(guò)生生互動(dòng)和師生互動(dòng)等形式，讓學(xué)生在問(wèn)題解決中學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)．同時(shí)根據(jù)我校的特點(diǎn)，為了促進(jìn)成績(jī)優(yōu)秀學(xué)生的開展，還設(shè)計(jì)了選做題和探索題，進(jìn)一步培養(yǎng)優(yōu)秀生用函數(shù)觀點(diǎn)分析、解決問(wèn)題的能力，到達(dá)了分層教學(xué)的目的．四、教學(xué)目標(biāo)1.理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程；掌握并能熟練運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式；了解倒序相加法的原理；2.通過(guò)公式的推導(dǎo)過(guò)程，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，滲透函數(shù)思想與方程〔組〕思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、反思的能力；通過(guò)小組討論學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生合作交流、獨(dú)立思考等良好的個(gè)性品質(zhì)．五、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)本節(jié)教學(xué)重點(diǎn)是探索并掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，學(xué)會(huì)用公式解決一些實(shí)際問(wèn)題；難點(diǎn)是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得．六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)〔一〕創(chuàng)設(shè)情景，喚起學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的感悟和體驗(yàn)世界七大奇跡之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，傳說(shuō)陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？體展示三角形圖案〕[設(shè)計(jì)意圖]情境學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是與一定的知識(shí)背景，即“情境〞相聯(lián)系．從實(shí)際問(wèn)題入手，圖中蘊(yùn)含算數(shù)，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的興趣，并且可引導(dǎo)學(xué)生共同探討高斯算法更一般的應(yīng)用，為新課的講解作鋪墊．[知識(shí)鏈接]高斯，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子〞。200多年前，高斯的算術(shù)教師提出了下面的問(wèn)題：1＋2＋3＋…+100＝？據(jù)說(shuō)，當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：〔1＋100〕＋〔2＋99〕＋……＋〔50＋51〕＝101×50＝5050.[學(xué)情預(yù)設(shè)]高斯的算法蘊(yùn)涵著求等差數(shù)列前n項(xiàng)和一般的規(guī)律性．教學(xué)時(shí)，應(yīng)給學(xué)生提供充裕的時(shí)間和空間，讓學(xué)生自己去觀察、探索發(fā)現(xiàn)這種數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律．學(xué)生對(duì)高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配對(duì)的方法來(lái)求和，但估計(jì)他們對(duì)這種方法的認(rèn)識(shí)可能處于記憶階段，為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)這種算法的進(jìn)一步理解，設(shè)計(jì)了以下三道由易到難的問(wèn)題．〔二〕由易到難，在自主探究與合作中學(xué)習(xí)問(wèn)題1圖案中，第1層到第51層一共有多少顆寶石？該題組織學(xué)生分組討論，在合作中學(xué)習(xí)，并把小組發(fā)現(xiàn)的方法一一呈現(xiàn)．[學(xué)情預(yù)設(shè)]學(xué)生可能出現(xiàn)以下求法方法1：原式＝〔1＋2＋3＋……＋50〕＋51方法2：原式＝0＋1＋2＋……＋50＋51方法3：原式＝〔1＋2＋…＋25＋27…＋51〕＋26以上方法實(shí)際上是用了“化歸思想〞，將奇數(shù)個(gè)項(xiàng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為偶數(shù)個(gè)項(xiàng)求解，教師應(yīng)進(jìn)行充分肯定與表?yè)P(yáng)．[設(shè)計(jì)意圖]這是求奇數(shù)個(gè)項(xiàng)和的問(wèn)題，假設(shè)簡(jiǎn)單地摹仿高斯算法，將出現(xiàn)不能全部配對(duì)的問(wèn)題，借此滲透化歸思想．問(wèn)題2：求圖案中從第1層到第n層〔1＜n＜100，n∈N*〕共有多少顆寶石？[學(xué)情預(yù)設(shè)]學(xué)生通過(guò)劇烈的討論后，發(fā)現(xiàn)n為奇數(shù)時(shí)不能配對(duì)，可能會(huì)分n為奇數(shù)、偶數(shù)的情況分別求解，教師如何引導(dǎo)學(xué)生防止討論成為該環(huán)節(jié)的關(guān)鍵．[設(shè)計(jì)意圖]從求確定的前n個(gè)正整數(shù)之和到求一般項(xiàng)數(shù)的前n個(gè)正整數(shù)之和，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)從特殊到一般的研究方法，旨在讓學(xué)生對(duì)“首尾配對(duì)求和〞這一算法的改良．啟發(fā)：〔多媒體演示〕如右圖，在三角形圖案右側(cè)倒放一個(gè)全等的三角形與原圖補(bǔ)成平行四邊形．[設(shè)計(jì)意圖]借助幾何圖形的直觀性，能啟迪思路，喚醒學(xué)生記憶深處的東西，并為倒序相加法的出現(xiàn)提供了一個(gè)直接的模型．通過(guò)以上啟發(fā)學(xué)生再自主探究，相信容易得出解法：∵1+2+3+…〔n－1〕+nn+〔n－1〕+〔n－2〕+…+2+1____________________________________________________________________(n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)+(n+1)∴1+2+3+…+n=問(wèn)題3：在公差為d的等差數(shù)列{an}中，定義前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+…+an，如何求Sn？由前面的大量鋪墊，學(xué)生應(yīng)容易得出如下過(guò)程：∵Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n－1)d]Sn=an+(an－d)+〔an－2d〕+…+[an－(n－1)d]∴(公式1)組織學(xué)生討論：在公式1中假設(shè)將an=a1+〔n－1〕d代入又可得出哪個(gè)表達(dá)式?即：〔公式2〕〔三〕設(shè)置典例，促進(jìn)學(xué)生對(duì)公式的應(yīng)用對(duì)于以上兩個(gè)公式，初學(xué)的學(xué)生在解決一些問(wèn)題時(shí)，往往不知道該如何選?。處煈?yīng)通過(guò)適當(dāng)?shù)睦右龑?dǎo)學(xué)生對(duì)這兩個(gè)公式進(jìn)行分析，根據(jù)公式各自的特點(diǎn)，幫助學(xué)生恰當(dāng)?shù)剡x擇適宜的公式．例1為了參加冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)的5000m長(zhǎng)跑比賽，某同學(xué)給自己制定了7天的訓(xùn)練方案〔單位：m〕如下表：5000550060006500700075008000問(wèn)這個(gè)同學(xué)7天一共將跑多長(zhǎng)的距離？[設(shè)計(jì)意圖]該例題是將課本P53習(xí)題2.3A組第3題改編成表格形式，可以鍛煉學(xué)生處理數(shù)據(jù)信息的能力和選用公式的能力。學(xué)生可以從首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)出發(fā)，選用公式1；也可以從首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)出發(fā)，選用公式2，通過(guò)兩種方法的比擬，引導(dǎo)學(xué)生在解題時(shí)注意選擇適當(dāng)?shù)墓?，以便于?jì)算．例2等差數(shù)列5，4，3，…求(1)數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和為？(3)Sn的最大值為多少？并求出此時(shí)相應(yīng)的n的值。[設(shè)計(jì)意圖]通項(xiàng)公式與求和公式中共有a1、d、n、an、Sn五個(gè)根本元素，如果其中三個(gè)，就可求其余兩個(gè)，主要是訓(xùn)練學(xué)生的方程〔組〕思想。第〔3〕小題是讓學(xué)生初步接觸用函數(shù)觀點(diǎn)解決數(shù)列問(wèn)題，為以后函數(shù)與數(shù)列的綜合打下根底．[知識(shí)鏈接]〔1〕由假設(shè)令可知當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是在常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)圖象上，可由二次函數(shù)的知識(shí)解決的最值問(wèn)題；〔2〕假設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和〔〕，那么數(shù)列一定是等差數(shù)列；〔3〕由，可知，點(diǎn)在直線上；〔4〕在等差數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，最大，當(dāng)時(shí)，最小?！菜摹撤磻?yīng)調(diào)控，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握練習(xí)1等差數(shù)列｛an｝的前10項(xiàng)和是310，前20項(xiàng)的和是1220，求前n項(xiàng)和Sn.練習(xí)2等差數(shù)列｛an｝中，a1=－4，a8=－18，n=8，求公差d及前n項(xiàng)和Sn.選做題函數(shù)f〔x〕=，那么f〔-5〕+f〔-4〕+……+f〔0〕+……+f〔5〕+f〔6〕的值為[設(shè)計(jì)意圖]分層練習(xí)使學(xué)生在完成必修教材根本任務(wù)的同時(shí)，拓展自主開展的空間，讓每一個(gè)學(xué)生都得到符合自身實(shí)踐的感悟，使不同層次的學(xué)生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而實(shí)現(xiàn)“以人為本〞的教育理念．〔五〕回憶反思，深化知識(shí)組織學(xué)生分組共同反思本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容及思想方法，小組之間互相補(bǔ)充完成課堂小結(jié)，實(shí)現(xiàn)對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的再次深化．1.從特殊到一般的研究方法；2.體會(huì)倒序相加的算法，掌握等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式，領(lǐng)會(huì)方程〔組〕思想；3.前n項(xiàng)和公式的函數(shù)意義4、用梯形面積公式記憶等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；[知識(shí)鏈接]〔六〕布置作業(yè)1.課本P52習(xí)題2．3，第1題〔1〕〔3〕，第2題〔3〕〔4〕，第5題2.探索題〔1〕數(shù)列{}的前n項(xiàng)和=+++…+，求；〔2〕假設(shè)公差為d(d≠0〕的等差數(shù)列{}中，=+++…+，你能否由題〔1〕的啟發(fā)，得到的表達(dá)式？七、教學(xué)反思“等差數(shù)列前n項(xiàng)和〞的推導(dǎo)不只一種方法，本節(jié)課是通過(guò)介紹高斯的算法，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的求和．該方法反映了等差數(shù)列的本質(zhì)，可以進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對(duì)等差數(shù)列性質(zhì)的理解，而且該推導(dǎo)過(guò)程表達(dá)了人類研究、解決問(wèn)題的一般思路．本節(jié)課教學(xué)過(guò)程的難點(diǎn)在于如何獲得推導(dǎo)公式的“倒序相加法〞這一思路．為了突破這一難點(diǎn)，在教學(xué)中采用了以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法，設(shè)計(jì)的三個(gè)問(wèn)題表達(dá)了分析、解決問(wèn)題的一般思路，即從特殊問(wèn)題的解決中提煉方法，再試圖運(yùn)用這一方法解決一般問(wèn)題．在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)教師的層層引導(dǎo)、學(xué)生的合作學(xué)習(xí)與自主探究，尤其是借助圖形的直觀性，學(xué)生“倒序相加法〞思路的獲得就水到渠成了．德化第一中學(xué)陳麗真點(diǎn)評(píng)本節(jié)課以故事引課，增強(qiáng)學(xué)生的好奇心，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望和熱情。以問(wèn)題為紐帶，通過(guò)三個(gè)問(wèn)題組織學(xué)生討論，由特殊〔自然數(shù)的前51項(xiàng)和〕到一般〔自然數(shù)的前幾項(xiàng)和〕，再到一類〔等差數(shù)列前幾項(xiàng)和〕，循序漸進(jìn)。通過(guò)類比Causs配對(duì)求和方法，借助幾何直觀，啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，討論交流，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行層層遞進(jìn)的探究，使學(xué)生從不同的思維角度掌握了等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式，從中深刻領(lǐng)會(huì)推導(dǎo)過(guò)程所蘊(yùn)涵的邏輯推理方法和數(shù)學(xué)思維方法，培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性、鋒利性和批判性。通過(guò)精選例題，分層次練習(xí)，使學(xué)生既穩(wěn)固了知識(shí)又形成了技能。在此根底上，通過(guò)民主和諧的課堂氣氛，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，也培養(yǎng)了學(xué)生勇于探索、不斷創(chuàng)新的思維品質(zhì)。必須指出的是，在用Causs配對(duì)法得到前幾項(xiàng)和公式后，如能對(duì)此方法做更深入分析，指出其實(shí)質(zhì)是等差數(shù)列的重要性質(zhì)——等距性〔即∈N,m+n=k+l,那么am+an=a+a〕的應(yīng)用，在作業(yè)中的探索題中如能加上：數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求sn=a1a2+a2a3+…+anan+1那么可得到一類問(wèn)題〔由等差連續(xù)項(xiàng)或連續(xù)項(xiàng)倒數(shù)〕組成的數(shù)列求和問(wèn)題的解決，深化學(xué)生對(duì)相關(guān)問(wèn)題的理解。24、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課選自?普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)〔5〕?〔人教版〕第二章第5節(jié)第一課時(shí)。從在教材中的地位與作用來(lái)：看?等比數(shù)列的前n項(xiàng)和?是數(shù)列這一章中的一個(gè)重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，如儲(chǔ)蓄、分期付款的有關(guān)計(jì)算等等，而且公式推導(dǎo)過(guò)程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析從學(xué)生的思維特點(diǎn)看，很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前n項(xiàng)和從公式的形成、特點(diǎn)等方面進(jìn)行類比，這是積極因素，應(yīng)因勢(shì)利導(dǎo)。不利因素是：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這對(duì)學(xué)生的思維是一個(gè)突破，另外，對(duì)于q=1這一特殊情況，學(xué)生往往容易無(wú)視，尤其是在后面使用的過(guò)程中容易出錯(cuò)。教學(xué)對(duì)象是剛進(jìn)入高中的學(xué)生，雖然具有一定的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活潑、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴(yán)謹(jǐn)。三、設(shè)計(jì)思想?新課程改革綱要?提出，要“改變課程實(shí)施過(guò)于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、樂(lè)于探究、勤于動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息能力、獲取新知識(shí)的能力、分析和解決問(wèn)題的能力以及交流合作的能力〞。對(duì)這一目標(biāo)本人認(rèn)為更加注重培養(yǎng)學(xué)生作為學(xué)習(xí)主體的能動(dòng)性、獨(dú)立性、創(chuàng)造性、開展性。心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，9~22歲的學(xué)生正處于創(chuàng)新思維的培養(yǎng)期，高中生正好處于這一關(guān)鍵年齡段，作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)因勢(shì)力導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。利用問(wèn)題探究式的方法對(duì)新課加以穩(wěn)固理解。在生生、師生交流的過(guò)程中，表達(dá)對(duì)弱勢(shì)學(xué)生更多的關(guān)心。四、教學(xué)目標(biāo)理解并掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程、公式的特點(diǎn)，在此根底上能初步應(yīng)用公式解決與之有關(guān)的問(wèn)題。通過(guò)對(duì)公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn)，向?qū)W生滲透特殊到一般、類比與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比擬、抽象、概括等邏輯思維能力和逆向思維的能力。通過(guò)對(duì)公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，滲透事物之間等價(jià)轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實(shí)際的辯證唯物主義觀點(diǎn)。五、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)是公式的推導(dǎo)、公式的特點(diǎn)和公式的運(yùn)用。教學(xué)難點(diǎn)是公式的推導(dǎo)方法和公式的靈活運(yùn)用。公式推導(dǎo)所使用的“錯(cuò)位相減法〞是高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和方法中最常用的方法之一，它蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想，所以既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。教學(xué)準(zhǔn)備：包括資源的收集、課件的制作、活動(dòng)的準(zhǔn)備等1.全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書〔必修〕第一冊(cè)〔上〕2.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書數(shù)學(xué)〔必修〕5及配套光盤3.兩種教材的主要差異比照4.課件?等比數(shù)列的前n項(xiàng)和?改編六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)：學(xué)生是認(rèn)知的主體，設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程必須遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，盡可能地讓學(xué)生去經(jīng)歷知識(shí)的形成與開展過(guò)程，結(jié)合本節(jié)課的特點(diǎn)，我設(shè)計(jì)了如下的教學(xué)過(guò)程：〔一〕創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題在古印度，有個(gè)名叫西薩的人，創(chuàng)造了國(guó)際象棋，當(dāng)時(shí)的印度國(guó)王大為贊賞，對(duì)他說(shuō)：我可以滿足你的任何要求。西薩說(shuō)：請(qǐng)給我棋盤的64個(gè)方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格。國(guó)王令宮廷數(shù)學(xué)家計(jì)算，結(jié)果出來(lái)后，國(guó)王大吃一驚。為什么呢？【設(shè)計(jì)意圖】：設(shè)計(jì)這個(gè)情境目的是在引入課題的同時(shí)激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性。故事內(nèi)容緊扣本節(jié)課的主題與重點(diǎn)。此時(shí)我問(wèn)：同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導(dǎo)學(xué)生寫出麥?？倲?shù)。帶著這樣的問(wèn)題，學(xué)生會(huì)動(dòng)手算了起來(lái)，他們想到用計(jì)算器依次算出各項(xiàng)的值，然后再求和。這時(shí)我對(duì)他們的這種思路給予肯定。【設(shè)計(jì)意圖】：在實(shí)際教學(xué)中，由于受課堂時(shí)間限制，教師舍不得花時(shí)間讓學(xué)生去做所謂的“無(wú)用功〞，急急忙忙地拋出“錯(cuò)位相減法〞，這樣做有悖學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律：求和就想到相加，這是符合邏輯順理成章的事，教師為什么不相加而馬上相減呢？在整個(gè)教學(xué)關(guān)鍵處學(xué)生難以轉(zhuǎn)過(guò)彎來(lái)，因而在教學(xué)中應(yīng)舍得花時(shí)間營(yíng)造知識(shí)形成過(guò)程的氣氛，突破學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙。同時(shí)，形成繁難的情境激起了學(xué)生的求知欲，迫使學(xué)生急于尋求解決問(wèn)題的新方法，為后面的教學(xué)埋下伏筆?！捕硯熒?dòng)，探究問(wèn)題在肯定他們的思路后，我接著問(wèn)：是什么數(shù)列？有何特征？應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？【學(xué)情預(yù)設(shè)】：探討1：設(shè)，記為〔1〕式，注意觀察每一項(xiàng)的特征，有何聯(lián)系？〔學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，后一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的2倍〕探討2：如果我們把每一項(xiàng)都乘以2，就變成了它的后一項(xiàng)，〔1〕式兩邊同乘以2那么有，記為〔2〕式。比擬〔1〕(2〕兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？【設(shè)計(jì)意圖】：留出時(shí)間讓學(xué)生充分地比擬，等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是變“加〞為“減〞，在教師看來(lái)這是“天經(jīng)地義〞的，但在學(xué)生看來(lái)卻是“不可思議〞的，因此教學(xué)中應(yīng)著力在這兒做文章，從而抓住培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力的良好契機(jī)。經(jīng)過(guò)比擬、研究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：〔1〕、〔2〕兩式有許多相同的項(xiàng)，把兩式相減，相同的項(xiàng)就消去了，得到：。老師指出：這就是錯(cuò)位相減法，并要求學(xué)生縱觀全過(guò)程，反思：為什么〔1〕式兩邊要同乘以2呢？【設(shè)計(jì)意圖】：經(jīng)過(guò)繁難的計(jì)算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，不禁驚呼：真是太簡(jiǎn)潔了！讓學(xué)生在探索過(guò)程中，充分感受到成功的情感體驗(yàn)，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。〔三〕類比聯(lián)想，解決問(wèn)題這時(shí)我再順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論一般化，設(shè)等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，如何求前n項(xiàng)和？這里，讓學(xué)生自主完成，并喊一名學(xué)生上黑板，然后對(duì)個(gè)別學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)。【設(shè)計(jì)意圖】：在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學(xué)生自己探究公式，從而體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的愉快和成就感?！緦W(xué)情預(yù)設(shè)】：在學(xué)生推導(dǎo)完成后，我再問(wèn)：由得對(duì)不對(duì)？這里的能不能等于1？等比數(shù)列中的公比能不能為1？時(shí)是什么數(shù)列？此時(shí)？〔這里引導(dǎo)學(xué)生對(duì)進(jìn)行分類討論，得出公式，同時(shí)為后面的例題教學(xué)打下根底。〕再次追問(wèn)：結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,如何把用、、表示出來(lái)？〔引導(dǎo)學(xué)生得出公式的另一形式〕【設(shè)計(jì)意圖】：通過(guò)反問(wèn)精講，一方面使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面使學(xué)生由簡(jiǎn)單地模仿和接受，變?yōu)閷?duì)知識(shí)的主動(dòng)認(rèn)識(shí)，從而進(jìn)一步提高分析、類比和綜合的能力。這一環(huán)節(jié)非常重要，盡管時(shí)間有時(shí)比擬少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點(diǎn)睛之妙用。〔四〕討論交流，延伸拓展在此根底上，我提出：探究等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，還有其它方法嗎？我們知道,那么我們能否利用這個(gè)關(guān)系而求出呢？根據(jù)等比數(shù)列的定義又有，能否聯(lián)想到等比定理從而求出呢？【設(shè)計(jì)意圖】：以疑導(dǎo)思，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，營(yíng)造一個(gè)讓學(xué)生主動(dòng)觀察、思考、討論的氣氛.以上兩種方法都可以化歸到,這其實(shí)就是關(guān)于的一個(gè)遞推式，遞推數(shù)列有非常重要的研究?jī)r(jià)值，是研究性學(xué)習(xí)和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對(duì)學(xué)生的思維開展有促進(jìn)作用.〔五〕變式訓(xùn)練,深化認(rèn)識(shí)例1：求等比數(shù)列前8項(xiàng)和；變式1、等比數(shù)列前多少項(xiàng)的和是；變式2、等比數(shù)列求第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和；變式3、等比數(shù)列求前2n項(xiàng)中所有偶數(shù)項(xiàng)的和。首先，學(xué)生獨(dú)立思考，自主解題，再請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)來(lái)幻燈演示他們的解答，其它同學(xué)進(jìn)行評(píng)價(jià)，然后師生共同進(jìn)行總結(jié)。【設(shè)計(jì)意圖】：采用變式教學(xué)設(shè)計(jì)題組，深化學(xué)生對(duì)公式的認(rèn)識(shí)和理解，通過(guò)直接套用公式、變式運(yùn)用公式、研究公式特點(diǎn)這三個(gè)層次的問(wèn)題解決，促進(jìn)學(xué)生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。通過(guò)以上形式，讓全體學(xué)生都參與教學(xué)，以此培養(yǎng)學(xué)生的參與意識(shí)和競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)?！擦忱}講解，形成技能例2：求和【設(shè)計(jì)意圖】：解題時(shí)，以學(xué)生分析為主，教師適時(shí)給予點(diǎn)撥，該題有意培養(yǎng)學(xué)生對(duì)含有參數(shù)的問(wèn)題進(jìn)行分類討論的數(shù)學(xué)思想?！财摺晨偨Y(jié)歸納，