2023屆河南省豫北名校高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．2．已知命題：“關(guān)于的方程有實(shí)根”，若為真命題的充分不必要條件為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．設(shè)為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知集合,，則A． B．C． D．5．已知向量滿足,且與的夾角為,則()A． B． C． D．6．設(shè)，，，則的大小關(guān)系是()A． B． C． D．7．若，，則的值為（）A． B． C． D．8．設(shè)，是非零向量，若對(duì)于任意的，都有成立，則A． B． C． D．9．一個(gè)陶瓷圓盤的半徑為，中間有一個(gè)邊長為的正方形花紋，向盤中投入1000粒米后，發(fā)現(xiàn)落在正方形花紋上的米共有51粒，據(jù)此估計(jì)圓周率的值為（精確到0.001）（）A．3.132 B．3.137 C．3.142 D．3.14710．是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的（）A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心11．已知在中，角的對(duì)邊分別為，若函數(shù)存在極值，則角的取值范圍是（）A． B． C． D．12．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線（，）的左，右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于，兩點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為__________.14．從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名代表，甲被選中的概率為__________.15．在平面直角坐標(biāo)系中，圓.已知過原點(diǎn)且相互垂直的兩條直線和，其中與圓相交于，兩點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn).若，則直線的斜率為_____________.16．在的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)為________．（用數(shù)值作答）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績分布在的范圍內(nèi)，規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上（含50）的作文被評(píng)為“優(yōu)秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.（1）求的值；（2）填寫下面列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)？文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)6不獲獎(jiǎng)合計(jì)400（3）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市參考學(xué)生中，任意抽取2名學(xué)生，記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）某商場為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)抽取了200名進(jìn)場購物的顧客進(jìn)行問卷調(diào)查．調(diào)查后，就顧客“購物體驗(yàn)”的滿意度統(tǒng)計(jì)如下：滿意不滿意男4040女8040（1）是否有97.5%的把握認(rèn)為顧客購物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)？（2）為答謝顧客，該商場對(duì)某款價(jià)格為100元/件的商品開展促銷活動(dòng)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，在此期間顧客購買該商品的支付情況如下：支付方式現(xiàn)金支付購物卡支付APP支付頻率10%30%60%優(yōu)惠方式按9折支付按8折支付其中有1/3的顧客按4折支付，1/2的顧客按6折支付，1/6的顧客按8折支付將上述頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，記某顧客購買一件該促銷商品所支付的金額為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附表及公式：．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）已知函數(shù)f(x)=x-2a-x-a（Ⅰ）若f(1)>1，求a的取值范圍；（Ⅱ）若a<0，對(duì)?x，y∈-∞,a，都有不等式f(x)≤(y+2020)+20．（12分）已知函數(shù)，函數(shù)（）.（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.（3）證明：當(dāng)時(shí)，.21．（12分）為了拓展城市的旅游業(yè)，實(shí)現(xiàn)不同市區(qū)間的物資交流，政府決定在市與市之間建一條直達(dá)公路，中間設(shè)有至少8個(gè)的偶數(shù)個(gè)十字路口，記為，現(xiàn)規(guī)劃在每個(gè)路口處種植一顆楊樹或者木棉樹，且種植每種樹木的概率均為.（1）現(xiàn)征求兩市居民的種植意見，看看哪一種植物更受歡迎，得到的數(shù)據(jù)如下所示：A市居民B市居民喜歡楊樹300200喜歡木棉樹250250是否有的把握認(rèn)為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性；（2）若從所有的路口中隨機(jī)抽取4個(gè)路口，恰有個(gè)路口種植楊樹，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望；（3）在所有的路口種植完成后，選取3個(gè)種植同一種樹的路口，記總的選取方法數(shù)為，求證：.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822．（10分）如圖，矩形和梯形所在的平面互相垂直，，，.（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若，求四棱錐的體積.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【答案解析】分析：題設(shè)中復(fù)數(shù)滿足的等式可以化為，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可以求出.詳解：由題設(shè)有，故，故選A.點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)概念中的共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.2．B【答案解析】命題p：，為，又為真命題的充分不必要條件為，故3．A【答案解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，求得對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，由此判斷對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.【題目詳解】，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限，屬于基礎(chǔ)題.4．D【答案解析】

因?yàn)?,所以,,故選D．5．A【答案解析】

根據(jù)向量的運(yùn)算法則展開后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.【題目詳解】.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.6．A【答案解析】

選取中間值和，利用對(duì)數(shù)函數(shù)，和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【題目詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,.故選:A【答案點(diǎn)睛】本題考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;選取合適的中間值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.7．A【答案解析】

取，得到，取，則，計(jì)算得到答案.【題目詳解】取，得到；取，則.故.故選：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，取和是解題的關(guān)鍵.8．D【答案解析】

畫出，，根據(jù)向量的加減法，分別畫出的幾種情況，由數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【題目詳解】由題意，得向量是所有向量中模長最小的向量，如圖，當(dāng)，即時(shí)，最小，滿足，對(duì)于任意的，所以本題答案為D.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的加減法，以及點(diǎn)到直線的距離最短問題，解題的關(guān)鍵在于用有向線段正確表示向量，屬于基礎(chǔ)題.9．B【答案解析】

結(jié)合隨機(jī)模擬概念和幾何概型公式計(jì)算即可【題目詳解】如圖，由幾何概型公式可知：.故選：B【答案點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)模擬的概念和幾何概型，屬于基礎(chǔ)題10．B【答案解析】

解出，計(jì)算并化簡可得出結(jié)論．【題目詳解】λ（），∴，∴，即點(diǎn)P在BC邊的高上，即點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過△ABC的垂心．故選B．【答案點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用，根據(jù)條件中的角計(jì)算是關(guān)鍵．11．C【答案解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，由有不等的兩實(shí)根，即可得不等關(guān)系，然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論．【題目詳解】，.若存在極值，則，又.又．故選：C．【答案點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，考查余弦定理．掌握極值存在的條件是解題關(guān)鍵．12．C【答案解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AB選項(xiàng)；結(jié)合特殊值，即可排除D選項(xiàng).【題目詳解】∵，，∴函數(shù)為奇函數(shù)，∴排除選項(xiàng)A，B；又∵當(dāng)時(shí)，，故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，注意奇偶性及特殊值的用法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

設(shè)，由雙曲線的定義得出：，由得為等腰三角形，設(shè)，根據(jù)，可求出，得出，再結(jié)合焦點(diǎn)三角形，利用余弦定理：求出和的關(guān)系，即可得出離心率.【題目詳解】解：設(shè)，由雙曲線的定義得出：，，由圖可知：，又，即，則，為等腰三角形，，設(shè)，，則，，即，解得：，則，，解得：，，解得：，，在中，由余弦定理得：，即：，解得：，即.故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用，以及余弦定理的應(yīng)用，求雙曲線離心率.14．【答案解析】

甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,根據(jù)公式即可求得概率.【題目詳解】甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,.故答案為:.【答案點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的計(jì)算,考查學(xué)生分析問題的能力,難度容易.15．【答案解析】

設(shè)：，：，利用點(diǎn)到直線的距離，列出式子，求出的值即可.【題目詳解】解：由圓，可知圓心，半徑為.設(shè)直線：，則：，圓心到直線的距離為，，.圓心到直線的距離為半徑，即，并根據(jù)垂徑定理的應(yīng)用，可列式得到，解得.故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，并結(jié)合圓的方程，垂徑定理的基本知識(shí)，屬于中檔題.16．-40【答案解析】

由題意，可先由公式得出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，再令10-3r=1，得r=3即可得出x項(xiàng)的系數(shù)【題目詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，r=0，1，2，3，4，5，令，所以的二項(xiàng)展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：-40.【答案點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是靈活掌握二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)的公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1），，.（2）填表見解析；在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的情況下，不能認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)（3）詳見解析【答案解析】

（1）根據(jù)頻率分步直方圖和構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，即可得解；（2）由頻率分步直方圖算出相應(yīng)的頻數(shù)即可填寫列聯(lián)表，再用的計(jì)算公式運(yùn)算即可；（3）獲獎(jiǎng)的概率為，隨機(jī)變量，再根據(jù)二項(xiàng)分布即可求出其分布列與期望.【題目詳解】解：（1）由頻率分布直方圖可知，，因?yàn)闃?gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，所以，解得，所以，.故，，.（2）獲獎(jiǎng)的人數(shù)為人，因?yàn)閰⒖嫉奈目粕c理科生人數(shù)之比為，所以400人中文科生的數(shù)量為，理科生的數(shù)量為.由表可知，獲獎(jiǎng)的文科生有6人，所以獲獎(jiǎng)的理科生有人，不獲獎(jiǎng)的文科生有人.于是可以得到列聯(lián)表如下：文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)61420不獲獎(jiǎng)74306380合計(jì)80320400所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的情況下，不能認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān).（3）由（2）可知，獲獎(jiǎng)的概率為，的可能取值為0，1，2，，，，分布列如下：012數(shù)學(xué)期望為.【答案點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、統(tǒng)計(jì)案例和離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生的閱讀理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．18．（1）有97.5%的把握認(rèn)為顧客購物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)；（2）67元，見解析.【答案解析】

（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)代入公式，結(jié)合臨界值即得解；（2）的可能取值為40，60，80，1，根據(jù)題意依次計(jì)算概率，列出分布列，求數(shù)學(xué)期望即可.【題目詳解】（1）由題得，所以，有97.5%的把握認(rèn)為顧客購物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān).（2）由題意可知的可能取值為40，60，80，1．，，，．則的分布列為4060801所以，（元）．【答案點(diǎn)睛】本題考查了統(tǒng)計(jì)和概率綜合，考查了列聯(lián)表，隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等知識(shí)點(diǎn)，考查了學(xué)生數(shù)據(jù)處理，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.19．（Ⅰ）(-∞,-1)∪(1,+∞)；（Ⅱ）-1010,0.【答案解析】

（Ⅰ）由題意不等式化為|1-2a|-|1-a|>1，利用分類討論法去掉絕對(duì)值求出不等式的解集即可；（Ⅱ）由題意把問題轉(zhuǎn)化為[f(x)]max≤[|y+2020|+|y-a|]min，分別求出【題目詳解】（Ⅰ）由題意知，f(1)=|1-2a|-|1-a|>1，若a≤12，則不等式化為1-2a-1+a>1，解得若12<a<1，則不等式化為2a-1-(1-a)>1，解得若a≥1，則不等式化為2a-1+1-a>1，解得a>1，綜上所述，a的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,+∞)；（Ⅱ）由題意知，要使得不等式f(x)≤|(y+2020)|+|y-a|恒成立，只需[f(x)]max當(dāng)x∈(-∞,a]時(shí)，|x-2a|-|x-a|≤-a，[f(x)]max因?yàn)閨y+2020|+|y-a|≥|a+2020|，所以當(dāng)(y+2020)(y-a)≤0時(shí)，[|y+2020|+|y-a|]min即-a≤|a+2020|，解得a≥-1010，結(jié)合a<0，所以a的取值范圍是[-1010,0).【答案點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的求解問題，含有絕對(duì)值的不等式恒成立應(yīng)用問題，以及絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，考查了分類討論思想，是中檔題．含有絕對(duì)值的不等式恒成立應(yīng)用問題，關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化為最值問題，再通過絕對(duì)值三角不等式求解最值，從而建立不等關(guān)系，求出參數(shù)范圍.20．（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【答案解析】

（1）求出的定義域，導(dǎo)函數(shù)，對(duì)參數(shù)、分類討論得到答案.（2）設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得證.（3）由（1）可知，可得，即又即可得證.【題目詳解】（1）解：的定義域?yàn)椋?，?dāng)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：設(shè)函數(shù)，則.因?yàn)?，所以，，則，從而在上單調(diào)遞減，所以，即.（3）證明：當(dāng)時(shí)，.由（1）知，，所以，即.當(dāng)時(shí)，，，則，即，又，所以，即.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題.21．（1）沒有（2）分布列見解析，（3）證明見解析【答案解析】

（1）根據(jù)公式計(jì)算卡方值，再對(duì)應(yīng)卡值表判斷..（2）根據(jù)題意，隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3，4，分別求得概率，寫出分布列，根據(jù)期望公式求值.（3）因?yàn)橹辽?個(gè)的偶數(shù)個(gè)十字路口，所以，即.要證，即證，根據(jù)組合數(shù)公式，即證；易知有.成立.設(shè)個(gè)路口中有個(gè)路口種植楊樹，下面分類討論①當(dāng)時(shí)，由論證.②當(dāng)時(shí)，由論證.③當(dāng)時(shí)，，設(shè)，再論證當(dāng)時(shí)，取得最小值即可.【題目詳解】（1）本次實(shí)驗(yàn)中，，故沒有99.9%的把握認(rèn)為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性.（2）依題意，的可能取值為0，1，2，3，4，故，，01234故.（3）∵，∴.要證，即證；首先證明：對(duì)任意，有.證明：因?yàn)椋?設(shè)個(gè)路口中有個(gè)路口種植楊樹，①當(dāng)時(shí)，，