高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程

第二章解析幾何初步§2圓與圓的方程應(yīng)用創(chuàng)新演練2.2圓的一般方程考點一考點二理解教材新知考點三把握熱點考向第二章§2應(yīng)用創(chuàng)新演練2.2考點一考點二理解教材新知考點高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展開得，x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，這是一個二元二次方程的形式，那么，是否一個二元二次方程都表示一個圓呢？問題1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么圖形？提示：對x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝4.此方程表示以(1，－2)為圓心，2為半徑長的圓．把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2問題2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么圖形？提示：對方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1.此方程表示一個點(－1,1)．問題3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么圖形？提示：對方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得(x－1)2＋(y－2)2＝－1.由于不存在點的坐標(biāo)(x，y)滿足這個方程，所以這個方程不表示任何圖形．問題2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表1．圓的一般方程的定義當(dāng)D2＋E2－4F>0時，二元二次方程

稱為圓的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0D2＋E2－4F=01．圓的一般方程的定義x2＋y2＋Dx＋EyD2＋E2－4F>0D2＋E2－4F>01．圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程可以互化1．圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程可以互化2．一個二元二次方程表示圓需要一定的條件，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有在D2＋E2－4F>0的條件下才表示圓．2．一個二元二次方程表示圓需要一定的條件，高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程[例1]判斷方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圓．若能表示圓，求出圓心和半徑．[思路點撥]

解答本題可直接利用D2＋E2－4F>0是否成立來判斷，也可把左端配方，看右端是否為大于零的常數(shù)．[例1]判斷方程x2＋y2－4mx＋2my高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程[一點通]

解決這種類型的題目，一般先看這個方程是否具備圓的一般方程的特征，即①x2與y2的系數(shù)是否相等；②不含xy項；當(dāng)它具有圓的一般方程的特征時，再看D2＋E2－4F>0是否成立，也可以通過配方化成“標(biāo)準(zhǔn)”形式后，觀察等號右邊是否為正數(shù)．[一點通]解決這種類型的題目，一般先看高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程答案：A答案：A2．下列方程能否表示圓？若能表示圓，求出圓心和半徑．(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－4x＝0.2．下列方程能否表示圓？若能表示圓，求出圓心和半徑．解：(1)2x2＋y2－7x＋5＝0，x2的系數(shù)為2，y2的系數(shù)為1.∵2≠1，∴不能表示圓．(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0，∵方程中含xy項，∴此方程不能表示圓．(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0.解：(1)2x2＋y2－7x＋5＝0，法一：由x2＋y2－2x－4y＋10＝0知：D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝10.∵D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－4)2－4×10＝20－40＝－20<0.∴此方程不能表示圓．法一：由x2＋y2－2x－4y＋10＝0知：法二：x2＋y2－2x－4y＋10＝0.配方：(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0不能表示圓．(4)∵2x2＋2y2－4x＝0，∴x2＋y2－2x＝0，∴(x－1)2＋y2＝1.∴表示以(1,0)為圓心，1為半徑的圓．法二：x2＋y2－2x－4y＋10＝0.3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓，求(1)實數(shù)m的取值范圍；(2)圓心坐標(biāo)和半徑．3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓，求高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程[例2]

已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圓的方程，并求其外心坐標(biāo)．[思路點撥]

先設(shè)其外接圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，然后把三個點的坐標(biāo)代入方程，得關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，解方程組得D，E，F(xiàn)的值代入原方程即可；也可用幾何法求出AB和BC的垂直平分線，進(jìn)而求出圓心坐標(biāo)和半徑，再利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接寫出．[例2]已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別是A(高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程則所求圓的方程為x2＋y2＋6x－2y－15＝0.配方，得(x＋3)2＋(y－1)2＝25.所以其外接圓的圓心是(－3,1)，即外心坐標(biāo)為(－3,1)．則所求圓的方程為x2＋y2＋6x－2y－15＝0.高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程[一點通]

一般地，已知圓上的三個點的坐標(biāo)或已知圓上的兩點的坐標(biāo)以及其他條件求圓的方程時，一般采用圓的一般方程求解．[一點通]一般地，已知圓上的三個點的坐標(biāo)4．經(jīng)過P(－2,4)、Q(3，－1)兩點，并且在x軸上截得的

弦長等于6的圓的方程．4．經(jīng)過P(－2,4)、Q(3，－1)兩點，并且在x軸上截得設(shè)x1、x2是方程③的兩根，則x1＋x2＝－D，x1x2＝F由|x1－x2|＝6，得(x1＋x2)2－4x1x2＝36，有D2－4F＝36.④由①②④解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8，或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0，所以所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.設(shè)x1、x2是方程③的兩根，則x1＋x2＝－D，x1x2＝F高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程整理得x2＋y2＋2x－3＝0，∴所求曲線方程即為x2＋y2＋2x－3＝0.將其左邊配方，得(x＋1)2＋y2＝4，∴此曲線是以點C(－1,0)為圓心，2為半徑的圓．如圖.整理得x2＋y2＋2x－3＝0，

[例3]

如圖所示，一座圓拱橋，當(dāng)水面在圖示位置時，拱頂離水面2m，水面寬12m，當(dāng)水面下降1m后，水面寬多少米？[思路點撥]

首先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)條件求出圓的方程，再應(yīng)用方程求解．[例3]如圖所示，一座圓拱橋，當(dāng)水面在圖示[精解詳析]以圓拱橋頂為坐標(biāo)原點，以過拱頂?shù)呢Q直直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓心為C，水面所在弦的端點為A，B，則由已知得A(6，－2)，B(－6，－2)，設(shè)圓拱所在的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，[精解詳析]以圓拱橋頂為坐標(biāo)原點，以高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程[一點通]

在解決圓在實際生活中的應(yīng)用問題時，借助坐標(biāo)系，利用方程求解可取得簡便、精確的效果．應(yīng)用解析法的關(guān)鍵是建系，合理適當(dāng)?shù)慕ㄏ祵栴}的解決會有很大幫助．[一點通]在解決圓在實際生活中的應(yīng)用問6．一輛卡車寬3米，要經(jīng)過一個半徑為5米的半圓形

隧道(雙車道，不得違章)，則這輛卡車的平頂車

篷篷頂距離地面的距離不得超過4米，試用數(shù)學(xué)

知識進(jìn)行驗證．解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則圓的方程為x2＋y2＝25(y>0)，當(dāng)x＝3時，y＝4，即高度不得超過4米．6．一輛卡車寬3米，要經(jīng)過一個半徑為5米的半圓形高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程

圓的一般方程的求法，主要是待定系數(shù)法，需要確定D、E、F的值．對于一些特殊條件下圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程對比如下：

圓的一般方程的求法，主要是待定系數(shù)法，需要高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程因此，在用待定系數(shù)法求圓的方程時，應(yīng)盡量注意特殊位置圓的特點、規(guī)律性．其次，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用平面幾何知識，可使解法靈活簡便．若涉及弦長有關(guān)的問題，運(yùn)用弦長、弦心距、半徑之間的關(guān)系及韋達(dá)定理等可簡化過程．因此，在用待定系數(shù)法求圓的方程時，應(yīng)盡量注第二章解析幾何初步§2圓與圓的方程應(yīng)用創(chuàng)新演練2.2圓的一般方程考點一考點二理解教材新知考點三把握熱點考向第二章§2應(yīng)用創(chuàng)新演練2.2考點一考點二理解教材新知考點高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展開得，x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，這是一個二元二次方程的形式，那么，是否一個二元二次方程都表示一個圓呢？問題1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么圖形？提示：對x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝4.此方程表示以(1，－2)為圓心，2為半徑長的圓．把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2問題2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么圖形？提示：對方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1.此方程表示一個點(－1,1)．問題3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么圖形？提示：對方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得(x－1)2＋(y－2)2＝－1.由于不存在點的坐標(biāo)(x，y)滿足這個方程，所以這個方程不表示任何圖形．問題2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表1．圓的一般方程的定義當(dāng)D2＋E2－4F>0時，二元二次方程

稱為圓的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0D2＋E2－4F=01．圓的一般方程的定義x2＋y2＋Dx＋EyD2＋E2－4F>0D2＋E2－4F>01．圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程可以互化1．圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程可以互化2．一個二元二次方程表示圓需要一定的條件，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有在D2＋E2－4F>0的條件下才表示圓．2．一個二元二次方程表示圓需要一定的條件，高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程[例1]判斷方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圓．若能表示圓，求出圓心和半徑．[思路點撥]

解答本題可直接利用D2＋E2－4F>0是否成立來判斷，也可把左端配方，看右端是否為大于零的常數(shù)．[例1]判斷方程x2＋y2－4mx＋2my高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程[一點通]

解決這種類型的題目，一般先看這個方程是否具備圓的一般方程的特征，即①x2與y2的系數(shù)是否相等；②不含xy項；當(dāng)它具有圓的一般方程的特征時，再看D2＋E2－4F>0是否成立，也可以通過配方化成“標(biāo)準(zhǔn)”形式后，觀察等號右邊是否為正數(shù)．[一點通]解決這種類型的題目，一般先看高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程答案：A答案：A2．下列方程能否表示圓？若能表示圓，求出圓心和半徑．(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－4x＝0.2．下列方程能否表示圓？若能表示圓，求出圓心和半徑．解：(1)2x2＋y2－7x＋5＝0，x2的系數(shù)為2，y2的系數(shù)為1.∵2≠1，∴不能表示圓．(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0，∵方程中含xy項，∴此方程不能表示圓．(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0.解：(1)2x2＋y2－7x＋5＝0，法一：由x2＋y2－2x－4y＋10＝0知：D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝10.∵D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－4)2－4×10＝20－40＝－20<0.∴此方程不能表示圓．法一：由x2＋y2－2x－4y＋10＝0知：法二：x2＋y2－2x－4y＋10＝0.配方：(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0不能表示圓．(4)∵2x2＋2y2－4x＝0，∴x2＋y2－2x＝0，∴(x－1)2＋y2＝1.∴表示以(1,0)為圓心，1為半徑的圓．法二：x2＋y2－2x－4y＋10＝0.3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓，求(1)實數(shù)m的取值范圍；(2)圓心坐標(biāo)和半徑．3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓，求高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程[例2]

已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圓的方程，并求其外心坐標(biāo)．[思路點撥]

先設(shè)其外接圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，然后把三個點的坐標(biāo)代入方程，得關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，解方程組得D，E，F(xiàn)的值代入原方程即可；也可用幾何法求出AB和BC的垂直平分線，進(jìn)而求出圓心坐標(biāo)和半徑，再利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接寫出．[例2]已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別是A(高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程則所求圓的方程為x2＋y2＋6x－2y－15＝0.配方，得(x＋3)2＋(y－1)2＝25.所以其外接圓的圓心是(－3,1)，即外心坐標(biāo)為(－3,1)．則所求圓的方程為x2＋y2＋6x－2y－15＝0.高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程[一點通]

一般地，已知圓上的三個點的坐標(biāo)或已知圓上的兩點的坐標(biāo)以及其他條件求圓的方程時，一般采用圓的一般方程求解．[一點通]一般地，已知圓上的三個點的坐標(biāo)4．經(jīng)過P(－2,4)、Q(3，－1)兩點，并且在x軸上截得的

弦長等于6的圓的方程．4．經(jīng)過P(－2,4)、Q(3，－1)兩點，并且在x軸上截得設(shè)x1、x2是方程③的兩根，則x1＋x2＝－D，x1x2＝F由|x1－x2|＝6，得(x1＋x2)2－4x1x2＝36，有D2－4F＝36.④由①②④解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8，或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0，所以所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.設(shè)x1、x2是方程③的兩根，則x1＋x2＝－D，x1x2＝F高中數(shù)學(xué)必修二課件：圓的一般方程整理得x2＋y2＋2x－3＝0，∴所求曲線方程即為x2＋y2＋2x－3＝0.將其左邊配方，得(x＋1)2＋y2＝4，∴此曲線是以點C(－1,0)為圓心，2為半徑的圓．如圖.整理得x2＋y2＋2x－3＝0，

[例3]

如圖所示，一座圓拱橋，當(dāng)水面在圖示位置時，拱頂離水面2m，水面寬12m，當(dāng)水面下降1m后，